利用导数研究函数的极值PPT优秀课件

f’(x)
f(x)
+
↗
0
极大值-2a
↘
-
0
+
↗
↘ 极小值2a
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
6x 练习1:求函数 y 1 x 2 的极值.
6(1 x2 ) . 解: y 2 2 (1 x ) 令 y =0,解得x1=-1,x2=1.
3 2
2 a )x ( a0 )的极值. 例2:求函数 f(x x
, 0 ) ( 0 , ), 解:函数的定义域为(
2 a ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
)0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 令 f(x
当x变化时, f ( x) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
小结：求函数极值的步骤
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0 的根的左右两侧的符号，进而确定函 数的极值点与极值.
练 习 ： y 8 x － 1 2 x 6 x 1
右侧f /(x)>0, 那么f(x0)是极小值（左负右正）
y
f(x 0)0
y
f(x)0
o a
f(x )0
f(x)0
f(x 0)0
f(x )0
x
X0
0
b
x
o
a
X0
b
从曲线的切线角度看,如果曲线在极值点 处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜 率为0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率 左侧为正,右侧为负;曲线在极小值点处切线 的斜率左侧为负,右侧为正.
5.函数的极值与导数的关系
y
f(x 0)0
y
f(x)0
o a
f(x )0
f(x)0
f(x 0)0
f(x )0
x
X0
0
b
x
o
a
X0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(x0)是极大值（左正右负）
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)<0
1.3.2利用导数研究 函数的极值
一、知识回顾:
1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有
导数,如果在 这个区间内f ′ (x) >0,那么函数y=f(x) 为这 个区间内 的增函数;如果在这个区间内f ′ (x) <0,那么 函数y=f(x) 为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0
3.思考： 观察下图，当t=t0时距地面的高
关注用导数本质及其几何意义解决问题
度最大,那么函数 h（t）在此点的导数是多 少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地， 导数的符号有什么变化规律？
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
从图象我们可以看出什么？ 函数在X=0的函数值比它附 近所有各点的函数值都大，我 们说f(0)是函数的一个极大值； 函数在X=2的函数值比它附近 所有各点的函数值都小，我们 说f(2)是函数的一个极小值。
当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-1) ↘ -1 0 极小值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极大值3 (2,+∞) ↘
因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3; 而,当x=1时有极大值,并且,y极大值= 3.
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f (x) 0,则 f ( x ) 为常数函数.
2.求函数单调区间的一般步 骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数 f ′(x) ;
③解不等式 f ′(x) >0 得f(x)的 单调递增区间; 解不等式 f ′(x) <0 得f(x)的 单调递减区间.
3.探索思考：
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
f ( x3
y 4. 极值的几点说明 )
f ( x4 )
f ( x1 )
思考：极值与 最值的区别?
f ( x2 )
O a x x2 x1 x3 x4 b (1)极值是一个局部概念 (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3)函数的极大(小)值不是唯一的. (4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小; (5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。 (6)当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在 该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
四.探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
思考：y=x3在x=0处的导数？
可导函数的极值点一定是它导数为零的点, 反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的 极值点.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要 条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
结论： x 左右两侧导数异号 x 是 f ( x ) 的极值点 f ( x ) 0 0 0 0
0
y
2
x
2.函数极值的定义
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点 (1)如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大=f(x0) (2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小=f(x0) 极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点. 试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极 大值点,哪些是极小值点.
三、例题选讲:
1 3 y x 4 x 4 的 极 值 , 并 画 出 函 数 的 大 致 图 象 例1. 求 23 x 4 ( x 2 )( x 2 ). 解: y 令 y 0,解得x1=-2,x2=2.
当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0 极小值-4/3 (2,+∞) + ↗