2.2 解析函数的充要条件
函数解析的充要条件
函数解析的充要条件函数解析是研究函数的定义域和值域的一种方法，用于确定函数的限制条件和特性。
在数学中，函数解析的充要条件对于理解和推导函数的性质至关重要。
本文将介绍函数解析的充要条件及其应用。
一、函数解析的定义和概念在开始讨论函数解析的充要条件之前，我们先来了解一下函数解析的定义和概念。
函数解析是指确定函数的定义域和值域的过程。
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
二、函数解析的充要条件函数解析的充要条件有以下几个要点：1. 定义域的确定：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。
在确定定义域时，需要避免出现分母为零、负数开偶次方根、负数的对数等不合法的情况。
2. 垂直渐近线的存在性：如果函数在某个点x=a的左右极限存在且相等，那么该点x=a处就存在着一个垂直渐近线。
3. 水平渐近线的存在性：如果函数在无穷远处的左右极限存在且相等，那么函数就存在一个水平渐近线。
4. 每一个分段函数段的解析条件：对于分段函数，每一个分段函数段都要满足解析条件。
也就是说，每一个函数段都需要符合函数解析的充要条件。
三、函数解析的应用函数解析的充要条件在解析函数性质和求解问题中有着广泛的应用。
1. 确定函数的定义域：通过函数解析的充要条件，我们可以确定函数的定义域，从而确定函数的取值范围。
2. 求解极限：函数的垂直渐近线和水平渐近线的存在性可以帮助我们求解函数的极限。
3. 分段函数的分析：分段函数的每一个函数段都需要满足解析条件，通过函数解析的充要条件，我们可以分析每一个函数段的性质。
4. 函数的图像绘制：根据函数解析的充要条件，我们可以确定函数的特性，从而绘制出函数的图像。
四、总结函数解析的充要条件是确定函数的定义域和值域的重要方法，对于理解和推导函数的性质具有重要意义。
本文介绍了函数解析的定义和概念，以及函数解析的充要条件及其应用。
通过了解和应用函数解析的充要条件，我们可以更加深入地研究和理解函数的性质。
解析函数的充要条件
那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 那么在曲线的交点处， 、 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1 = − u x / u y
k2 = −v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 方程 利用 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交 两族曲线互相正交. ，
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有 上述条件满足时 有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
f ' ( z ) = ux + iv x = ux − iu y = v y − iu y = v y + iv x
证明 " ⇒ " 方程满足上面已证！ （由f (z)的可导⇒ C-R方程满足上面已证！只须证 的可导 方程满足上面已证 f (z)的可导 ⇒ 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 的可导 、 可微 可导， ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 点 可导
定理2 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 在 内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 在 内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 方程 满足
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时, 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 以求出导数来.
例3 若 f ' ( z ) ≡ 0 , z ∈ D ⇒ f ( z ) = C , z ∈ D
2.2函数解析的充要条件
其中 lim (z ) 0,
z 0
令 f ( z z ) f ( z ) u iv ,
f ( z ) a ib,
( z ) 1 i 2 ,
4
所以 u iv (a ib ) ( x iy ) ( 1 i 2 ) ( x iy )
(ax by 1x 2 y ) i (bx ay 2 x 1y )
于是 u ax by 1x 2y,
5
x 0 y 0
x 0 y 0
解析函数的判定方法:
(1) 如果能用求导公式与求 导法则证实复变函 数 f ( z ) 的导数在区域 D 内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f ( z ) 在 D 内是解析的.
( 2) 如果复变函数 f ( z ) u iv 中 u, v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在 、连续(因而 u, v ( x , y ) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f ( z ) 在 D 内解析.
2
根据定理一, 可得函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在 点 z x yi 处的导数公式: u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y 函数在区域 D 内解析的充要条件
定理二
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义
6
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
函数解析的充要条件概述
v 0, x
v 1. y
上一节是由 解析定义判断 处处不解析
不满足柯西－黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.
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(2) f ( z) e x (cos y i sin y)
u e x cos y, v e y y x
u 常数, v 常数,
因此 f ( z) 在区域 D 内为一常数.
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例4 问常数 a, b, c, d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
设 f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ),
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(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
u u x e cos y, e x sin y, x y v v x e sin y, e x cos y, x y u v u v 即 , . x y y x
由于四个偏导 数均连续
故 f ( z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
f ( z) e x (cos y i sin y) f ( z). 指数函数
解析? u u 解 2 x ay , ax 2by, x y v v 2cx dy , dx 2 y , x y u v u v 欲使 , , x y y x
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
2-2 函数解析的充要条件
u=0 v=10
x 0 y 0
x 0 y 0
u ax by 1x 2 y , v bx ay 2 x 1y
当 y 0 时，
0
当 x 0 时，
u u u u lim b lim 2 b lim a lim 1 a y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
z 0
令 f z a ib ， z 1 i 2 其中 lim 1 0 , lim 2 0
故
ax by 1x 2 y i bx ay 2 x 1y
u iv a ibx iy 1 i 2 x iy
u e x cos y
[解] w x yi 故 u =x ,v =-y
[解 ]
v e x sin y
u v 1 1 x y u v 00 y x
不满足C-R方程
u v x e cos y x y
u v x e sin y y x
0 0
v v v v lim a lim 1 a lim b lim 2 b y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
u v 因此 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微, 且 x y
0
u v y x
u v v u i i y 1 i 3 x 2 i 4 y x x y x y
x0 y0
根据柯西-黎曼方程得
f z z f z u v x y i 1 i 3 2 i 4 所以 z x x z z
解析函数的充要条件初等函数
一. 解析函数的充要条件
设函数 w f( z ) u ( x ,y ) iv ( x ,y ) 在点 z x iy 可导 , 则
f(z z) f(z) z
[ u ( x x , y y ) iv ( x x , y y ) [ ] u ( x , y ) iv ( x , y )] x i y
v v v x y x y 3 4 x y
x 0 y 0
其 lim 中 0 , ( k 1 ， 2 , 3 , 4 ) k
f ( z z ) f ( z ) u i v u v u v ( i ) x ( i ) y ( i ) x ( i ) y 1 3 2 4 x x y y
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
" "（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即： u u u x y x y 1 2 x y
lim ( z )0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为 Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy) 因此 Δu=aΔxbΔy+1Δx2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx1Δy
解析的充要条件
解析的充要条件
函数解析的充要条件：
1、f'(z)=df/dz唯一存在。
f'(z)=(∂u/∂x)+(∂v/∂x)i=(∂v/∂y)-(∂u/∂y)i。
2、满足C-R方程（柯西黎曼方程）—(∂u/∂x)=(∂v/∂y)(∂v/∂x)=-(∂u/∂y)。
同部偏导相等，异部偏导相反。
区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。
B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。
由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。
数学与应用数学(解析函数的几个等价条件及其证明)[毕业论文]2011-05-26
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毕业论文2011届解析函数的几个等价条件的证明及其应用学生姓名学号院系专业指导教师完成日期解析函数的几个等价条件的证明及其应用摘要复变函数论的核心内容是解析函数，而解析函数的等价条件又贯穿于整个复变函数的始终。
本文从解析函数的定义出发，从三个不同角度给出了解析函数的若干等价性，并相应的做了论证和应用举例。
关键词解析函数;C._R.方程;C._R.算子;平均值条件PROOFS AND APPLICATION OFSEVERAL EQUIVALENTCONDUCTIONSIN ANALYTIC FUNCTIONABSTRACTAnalytic function is the core content of complex function theory, and equivalent conditions of which is throughout all complex function. We departure from the definition of analytic function, and give some equivalent conditions of analytic function from three different angles in this paper. Then we give corresponding proves and examples to understand every equivalence.KEY WORDS analytic function ;C._R. equation; C._R. operator ;mean value condition目录中文摘要 (I)英文摘要 (II)目录.............................................................. I II 引言.. (1)1. 预备知识 (2)2. 解析函数若干等价性的证明及其应用 (4)2.1 解析函数的6个基本等价刻画 (4)2.2 利用Cauchy-Riemann算子刻画解析性 (10)2.3 利用平均值条件刻画解析性 (10)3．小结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)引 言复变函数论是将实微积分中极限、导数、微分及积分等一系列概念在复数域中的推广。
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
复变函数 第2章 解析函数
2.2 解析函数
第2章 解析函数
2.2.1解析函数的概念 1. 解析函数的定义 定义2.2 不仅在点 z 0 处可导,而 定义2.2 如果函数 f (z ) 且在点 z 0 的某邻域内的每一点都可导,则称 f (z ) 在点 z 0 处解析，并称点 z 0是函数的解析点；如 果函数 f (z ) 在区域 D 内每一点都解析,则称 f (z ) 在区域 D 内解析或称 f (z ) 为区域 D 内的解析函 数，区域 D 称为的 f (z ) 解析区域.
定理2.2 函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )在区域D内 解析的充要条件为
∂u ∂u ∂v ∂v D （1） 在 内连续； , , , ∂x ∂y ∂x ∂y （2） u , v 在 D 内满足C—R条件 ，
∂u ∂v = , ∂x ∂y
∂u ∂v =− ∂y ∂x
u x = v y , u y = −vx
确定的函数v( x, y ) ，使得函数 f ( z ) = u + iv 在区 域D 内解析，其中点 ( x, y )为D 内的动点， ( x0 , y0 ) 为D 内一定点，C 为常数.
由共轭调和函数与解析函数的关系，可以根据 给定的二元实函数来构造解析函数 u ( x, y ) = x 2 − y 2 + xy ，试求解 【例6】 已知 析函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) u ( x, y ) = x 2 − y 2 + xy 解法一 因为 在复平面 上为一调和函数，由定理2.4得
f ( z) − f ( z0 ) = lim ( z − z 0 ) lim z → z0 z → z0 z − z0
解析函数
u v u v , . x y y x
Cauchy Riemann 方程 (简称 C R 方程)
定理 2.1 (可导的充要条件) f ( z ) u iv 在 z x iy 可导 (1) u、v 可微； ( 2) u、v 满足 C R 方程 : u v u v , . x y y x
例3 研究函数 h( z ) z 的解析性.
2
解： h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) (1) z0 0, lim 0. z 0 z ( 2) z0 0, 令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 ,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
或
w f ( z0 )z o(| z |) ( z 0),
也称 df ( z0 ) f ( z0 )z 或 f ( z0 )dz 为 f ( z ) 在 z0 处
解析函数的运算法则
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
( 2) 设函数 g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( ) 在 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点z , 函数 g( z ) 的对应值 都属 于 G , 那末复合函数w f [ g( z )] 在 D 内解析.
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
工程数学-复变函数 2-2 函数解析的充要条件
x y
y x
第 条件的充分性 由于w u iv , 而u( x, y)、v( x, y)
二 章
在点 ( x, y)
处可微， 则
解 析 函
u
u x
x
u y
y
1x
2y
数
v
v x
x
v y
y
3x
4y
在这里 lim x0
k
u C2 ,v C3 , f (z) C2 iC3
- 11 -
y0
其中 lim x0 y0
(x)2 (y)2
0 ,但
显然不满足此式。
所以函数在原点不可导。
- 10 -
第二节 解析函数的充要条件
例4 设函数 w f (z) 在区域 D 解析，且 | f (z) |
为常数，证明： f (z) 在区域 D 为常数函数。
证 由于 | f (z) | C1 ，因此 u2 v2 C, 即
u v , u v
得 wu(xuxuxiyxxv)yzuy(y1x1ix3 )x2(y2 i4 )y
数
由于
xv z
1, xvyz x1
v , y
故y
3x
4y
liz m0(1
v bx ay 2x 2y
由于 lim (z) 0 , z0
所以
lim
x0
1
0,
lim
x0
2
0
,因此
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
第二章 常用逻辑用语2．2 充分条件、必要条件、充要条件1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.会判断、证明充要条件.4.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为．1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.教学难点：会求(判定)某些简单命题的条件关系．1．下列语句中是命题的为( )①x 2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④对任意x ∈R ,5x －3>6.A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④2．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p ，则q ”的形式．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(3)当x ＋y 是有理数时，x ，y 都是有理数；(4)1＋2＋3＋…＋2 014；(5)这盆花长得太好了！阅读课本P29~30页，完成下列表格。
知识点一知识点二 (1)定义：若p ⇒q 且q ⇒p ，则记作p ⇔q ，此时p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的 ． 典型例题 类型一 充分条件与必要条件的概念例1 判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”．引申探究 例1中p 是q 的必要条件的是________．变式：a >b 的一个充分不必要条件是( )A ．a 2>b 2B ．|a |>|b | C.1a <1bD ．a －b >1 跟踪训练 设计如图所示的三个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________．类型二 充要条件的判断例2 (1)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)下列所给的p ，q 中，p 是q 的充要条件的为________．(填序号)①若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0；②p ：|x |>3，q ：x 2>9.跟踪训练（1） a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．ab >0C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0（2）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件；B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件；D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件类型三 由条件关系求参数取值范围例3 已知p ：x <－2，q ：x <a ，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．引申探究例3中若p 是q 的必要不充分条件，实数a 的取值范围是什么？变式 若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．类型四 充要条件的探求与证明例4 (1)“方程x 2－2x －a ＝0无实根”的充要条件是________．(2)求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.跟踪训练 已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.1．“x >0”是“x ≠0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件2．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分条件；B ．必要条件；C ．既不是充分条件也不是必要条件；D ．无法判断3．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________．(2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________．4．“x 2>2 017”是“x 2>2 016”的( )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件5．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．a ＋b >0C.a b >1D.a b<－1参考答案1．答案 A解析 ∵x >0⇒x ≠0，而x ≠0⇏x >0，∴x >0是x ≠0的充分不必要条件．2．答案 A解析 当a ＝1时，|a |＝1成立，但|a |＝1时，a ＝±1，所以a ＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．3．答案 (1)必要条件 (2)充分条件4．答案 A5．答案 A解析 a ＋b <0⇏a <0，b <0，而a <0，b <0⇒a ＋b <0.。
复变函数课件2-2函数解析的充要条件
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
解 (1) w z ,
u x, v y,
u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y 不满足柯西－黎曼方程,
5
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
6
例2 解
函数 f ( z ) xy 在点 z 0 不可导.
18
例5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u , 求 f ( z ).
2
解
u v u 2u , x y y u v u 2 u , y x x
2 2
2
4
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
所以 u 常数, v 常数,
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
21
参照以上例题可进一步证明:
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) 恒取实值;
明德 第二章 解析函数
(1) 可以用此条件判断函数在哪些点不可导
例1 证明 f ( z ) z 在复平面上不可导. 证 由于 f ( z ) x iy ，于是， u( x, y) x, v( x, y) y 从而 u v 1, 1 x y 显然，对复平面上任意一点 ( x, y ) ， f ( z )都不 满足C—R条件，所以 f ( z ) z 在整个复平面 上不可导.
(2) 导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) u v v u i i dz x x y y
考虑:是否满足C-R条件就可导?
例：函数f z Re z .Im z 在z 0 处不可导却满足C-R条件。
u v y x
三. 解析函数判断的举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z Re( z ) (2) f ( z) e (cos y i sin y)；
x
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y x v e x sin y x
f ( z0 z ) f ( z0 ) dw 即：f ( z0 ) |z z0 lim , z 0 dz z
是该邻域内任意一点，函数的增量w f ( z0 z ) f ( z0 )，
说明：
(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导 要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz 0是在平面 区域上 以任意方式趋于零的。 f z f z0 (2)等价的定义： lim f z z z0 z z0
复变函数02
5
由于z→0时ρ (z)→0，所以 → 时 → ， 当x→0，y→0 时 ρ1→0, ρ2→0。 → ， → 。 由二元函数可微的定义知, 由二元函数可微的定义知 u(x,y)与v(x,y) 与 在点(x,y)可微，且满足方程 可微， 在点 可微
z1 z2 z1 + z 2
e
z + 2 kπ i
= e e
z
2 kπ i
=e
z
18
对数函数 对数函数是指数函数的反函数. 对数函数是指数函数的反函数 若 ew = z (z≠0) ≠ 则称复数w为复数 的对数函数, 则称复数 为复数 z 的对数函数 记为 w = Ln z 对数函数的主值与分支 对数函数的主值与分支 设w = u + iv, 把它代入 ew = z = reiθ 有
2
函数可导的充要条件 定理2.1（ 定理 （书P16) 在区域D内有定 设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 内有定 在区域 内一点z 义，则f(z)在D内一点 = x + iy可导的充 在 内一点 可导的充 要条件是: u(x, y)与v(x, y)在点 y)可微， 要条件是 与 在点(x, 可微， 在点 可微 且满足柯西－黎曼方程(C－R方程 。 且满足柯西－黎曼方程 － 方程)。 方程
20
的值及其主值. 例 求Ln 2，Ln(－1)的值及其主值 ， － 的值及其主值 为整数) 解 Ln2 = ln2 + 2kπ i (k为整数 为整数 主值为ln2. 主值为 Ln(－1) = ln|1| + i Arg(1) － 为整数) = π i + 2kπ i (k为整数 为整数 主值为 ln(1) = π i. 在实变函数中，负数没有对数， 在实变函数中，负数没有对数，而在复 数范围内，负数有对数， 数范围内，负数有对数，并且正实数的 对数也是无穷多值. 对数也是无穷多值
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解 析
记 f (z) a i b, 由 w u i v , z x i y 有
函
u i v (a b i)( x i y) o(|z|),
数
u ax - b y o(|z|),
v bx a y o(|z|),
故 u( x, y) 和 v( x, y) 在点 ( x, y) 处可微，且
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
第 二
一、点可导的充要条件
章 二、区域解析的充要条件
解 析 函 数
1
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解定理 函数 w f (z) u( x, y) i v( x, y) 在点 z x i y 处可导
函
数 推论 若函数 u( x, y) 和 v( x, y) 的四个偏导数 ux , uy , vx , vy
在区域 D内存在且连续，并满足 C - R方程，则函数
w f (z) u( x, y) i v( x, y) 在区域 D 内解析。
6
§2.2 解析函数的充要条件
例 讨论函数 w z 的可导性与解析性。
解 析
v vy y vx x o (| z |) ,
函 数
又由 u 和 v 满足 C - R 方程：ux vy , uy -vx , 得
u ux x - uvxy y o (| z |) ,
v uvyx y vx x o (| z |) ,
z
w u i v (ux i vx ) ( x i y) o(|z|), 即 f (z) 在 z x i y 处可微(可导)，且 f (z) ux i vx .
5
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
第 二. 区域解析的充要条件 二 定理 函数 w f (z) u( x, y) i v( x, y) 在区域 D 内解析的
章
P42 定理二
充要条件是：u( x, y) 和 v( x, y) 在区域 D 内可微，且
解 析
满足 C - R 方程。
本例结果表明：(ez ) ez .
10
§2.2 解析函数的充要条件
第 二 P43 例2 章 解 由 u x2 Axy By2 , v C x2 D xy y2 , 有
解 析
ux 2x Ay , uy Ax 2By ,
函 数
vy D x 2 y , vx 2C x D y ,
二
有 u x3 x y2, v x2 y y3,
章
解 析
u 3x2 y2 , x
u 2x y , y
由 C - R方程，
函 数
v x2 3 y2 , y
v 2x y , x
x y 0,
所以 w z z2 仅在 (0, 0) 点可导， 处处不解析。
8
§2.2 解析函数的充要条件
9
§2.2 解析函数的充要条件
例 讨论函数 f (z) ex (cos y i sin y) 的可导性与解析性。
P42 例1 (2)
第 解 由 u ex cos y , v ex sin y , 有
二
章
ux ex cos y , uy - ex sin y , 四个偏导数连续，
解 析
例 讨论函数 f (z) x2 i y2 的可导性与解析性。
第 解 由 u x2, v y2, 有
二 章
u 2x , u 0 ,
x
y
解 析
v 2 y , v 0 ,
函
y
x
由 C - R方程，
x y,
y x y x
数
所以 f (z) x2 i y2 仅在直线 x y 上可导，处处不解析。
a u v , - b u - v .
x y
y x
3
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
第 一. 点可导的充要条件
二 证明 充分性 “ ”若 u( x, y) 和 v( x, y) 在点 ( x, y) 处可微，则
章
u ux x uy y o (| z |) ,
o(|z|)
u x u y o ( x2 y2 ) . x y 2
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
第 一. 点可导的充要条件
二 证明 必要性 “ ”若 w f (z) u i v 在 z x i y 处可导，
章
则必可微，即 w f (z) z o(| z|),
vy ex cos y , vx ex sin y , 且满足 C - R 方程，
函
故 f (z) ex (cos y i sin y) 在全平面上处处可导，
数
处处解析，且 f (z) ux i vx ex (cos y i sin y).
注 函数 f (z) ex (cos y i sin y) ex ei y 记为 ez ,
章
P41 定理一
的充要条件是： u( x, y) 和 v( x, y) 在点 ( x, y)
处可微，
解
且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann )方程：
析
函 数
u v , x y
u - v . y x
(简称 C - R方程)
附 实二元函数 u( x, y)可微的含义：
u Ax B y o( x2 y2)
第 解 由 w z x-iy, 有 u x, v -y,
二 章
u 1, u 0 ,
x
y
解 析
v -1, v 0 ,
函
y
x
数 可知不满足 C - R 方程，
所以 w z 在复平面内处处不可导， 处处不解析。
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§2.2 解析函数的充要条件
例 讨论函数 w z z2的可导性与解析性。
第 解 由 w z z2 | z |2 z ( x3 x y2 ) i ( x2 y y3 ) ,
由 C - R 方程可得 2x Ay D x 2 y ,
4
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
第 一. 点可导的充要条件 二 求导公式 若 f (z) 在 z x i y 处可导，则
章
P42
解 析
f (z) u i v . u - i u x x x y
函 数
v - i u v i v .
y y y x
(关于C -R条件)