浙江省镇海中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．16．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣18．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t311．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.712．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为．16．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．四、解答题（共6小题）.17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，所以∁U T＝{1，5}，所以S∩（∁U T）＝{1，5}．故选：A．2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），若函数f（x）单调递增，则a＞0，反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，故选：B．3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，∴扇形的半径r＝＝2，∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．故选：A．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．故选：C．5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．1解：因为函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故选：D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f（1）＝0，排除A，B，故选：C．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣1解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；当a＞0时，则有，无解；当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，解得①无解，②无解，③a＜﹣1，故a＜﹣1，综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．故选：B．8．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．解：令，因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，所以，当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，此时值域不可能为（1，+∞），当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，要使得值域为（1，+∞），则有，解得r＝1，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），但函数在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f（x）＝e lnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．故选：ABC．10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝a t（a＞0且a≠1），由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；当t＝5 时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝6，则t1+t2＝t3成立，故D正确．故选：ACD．11．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.7解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．故选：BC．12．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是解：＝，由题意，，两式平方相加可得，所以或．当时，2α﹣2β＝符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．解：sinα＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x+）．解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝2sin（x+φ），由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为2．解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）a+b的最小值为2故答案为216．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．解：f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝±3，所以在（1，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，4）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，所以x2∈（1，2.25），所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，所以1＜a≤4﹣，所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，故答案为：（1，4﹣]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．解：（I）由题意，，得2x＝3，得．（Ⅱ）．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B得，，解得m≥4．所以实数m的取值范围是[4，+∞）．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上所以，所以．（Ⅱ）由题意，tanα＝2，则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．【解答】解（Ⅰ），所以，周期为T＝＝π，令，得，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y＝sin（4x+）+，再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，即，由，得，解得满足条件的x的集合为：．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，解得k＝10，∴y＝10x，又由，解得a＝0.1，所以；（2）令，解得x＞0.6，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．解：（Ⅰ）a＝1时，，（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，故不等式的解集为{x|x≤1}．（Ⅱ），（1）当，即时，符合条件，（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；综上：或a≤﹣9．（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．。
2020-2021学年高一上期期末数学模拟试卷(浙江专用)(一)(含解析)
2020-2021学年高一上期期末数学模拟试卷（浙江专用）（一）(测试时间：120分钟，满分：150分) 第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,12．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．50C ．D 6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,47．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-;②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭;④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．29．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）．A ．[]3,3-B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞ D ．(][),44,-∞-⋃+∞第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2018·江苏苏州市·高一期末）函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．（2020·江苏南通市·高三期中）已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.13．（2020·浙江杭州市·高一期末）函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．14．（2020·北京师大附中高一期末）设α是第一象限角，3sin5α=，则tanα=______.cos2=α______.15．（2020·忻州市第二中学校高三月考（文））某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<<⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.16．（2020·江苏南通市·高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即logbaa Nb N=⇔=，现已知2log6,336ba==，则12a b+=____，2=a b_____．17．（2020·江苏高一月考）设函数2(),0()1,0x a xf xx xx⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a=1时，f(x)的最小值是________；若2()f x a≥恒成立，则a的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（2020·安徽滁州市·定远二中高一月考）已知函数()()()log22log4a af x x x=-++，其中1a>. （1）求函数()f x的定义域；（2）若函数()f x的最大值为2.求a的值.19．（2020·重庆高一期中）已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20．（2020·儋州市第一中学高二月考）已知函数()sin(),0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的对称中心； （2）当[0,4]x ∈时，求()f x 的值域.21．（2019·西安市铁一中学高一月考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的单调递增区间.（2）将函数()f x 的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，若存在20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得等式23()12()g x a g x ⎡⎤+=+⎣⎦成立，求实数a 的取值范围.22．（2020·四会市四会中学高一期中）定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年高一上期期末数学模拟试卷（浙江专用）（一）（解析版）(测试时间：120分钟，满分：150分)第II 卷 非选择题部分（共110分） 第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2 B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=，∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．50C ．D 【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=. 故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()x e a x f x a R ⎧+=∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）．A ．[]3,3-B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤，由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2018·江苏苏州市·高一期末）函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．（2020·江苏南通市·高三期中）已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.【答案】12【解析】由对数函数性质知333log 1log 2log 3<<，即30log 21<<，则3log 20-< 故()()()331log 2log 21331log 2log 23322f f ---=-====. 故答案为：12. 13．（2020·浙江杭州市·高一期末）函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．【答案】37[2,2],44k k k Z ++∈【解析】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈， 故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈ 14．（2020·北京师大附中高一期末）设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______.【答案】34725【解析】∵α是第一象限角，3sin 5α=， ∴24cos 1sin 5αα=-=， ∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725. 15．（2020·忻州市第二中学校高三月考（文））某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t b ωϕ=++2πϕπ⎛⎫<<⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C ；图中曲线对应的函数解析式是________.【答案】20 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 【解析】由图可知，这段时间的最大温差是30°C -10°C=20°C ； 图中从6~14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，得1(3010)102A =-=，1(3010)202b =+=，因为121462πω⋅=-，所以8πω=，从而得10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将6x =，10y =代入， 得10sin 620108ϕπ⎛⎫⨯++=⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于2ϕπ<<π，可得34πϕ=. 故所求解析式为310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 故答案为：20；310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 16．（2020·江苏南通市·高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．【答案】1 3【解析】由题意知2log 6,336ba ==，可得33log 362log 6b ==，所以66231121log 2,log 3log 6log 6a b ====，所以66612log 2log 3log (23)1a b+=+=⨯=，又由2223log 61log 3log 2log 62a b ===，所以log 22ab ==故答案为：117．（2020·江苏高一月考）设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】1 [0] 【解析】当a =1时，当0x ≤时，2()(1)1f x x =-≥，当0x >时，1()f x x x =+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立.所以()f x 的最小值为1.当0x ≤时，2()f x a ≥，即22()x a a -≥，即(2)0x x a -≥恒成立，所以2x a -0≤恒成立，即2a x ≥恒成立，所以20a ≥，即0a ≥. 当0x >时，2()f x a ≥，即21x a x +≥恒成立，因为1x x+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以22a ≤，所以a ≤.综上所述：a的取值范围是. 故答案为：1；三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·安徽滁州市·定远二中高一月考）已知函数()()()log 22log 4a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最大值为2.求a 的值. 【答案】（1）(4,1)-；（2）2a =. 【解析】（1）要使函数有意义，则有22040x x ->⎧⎨+>⎩，解得41x -<<，所以函数()f x 的定义域为(4,1)-. （2）函数可化22325()log (22)log (4)log (268)log 222a a a a f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=--+=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因为41x -<<，所23252502222x ⎛⎫<-++≤⎪⎝⎭. 因为1a >，所以232525log 2log 222a ax ⎡⎤⎛⎫-++≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即max 25()log 2af x =，由25log 22a=，解得2a =. 19．（2020·重庆高一期中）已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|210A x m =-≤≤；（2）11a ≥. 【解析】（1）若关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是真命题， 则()24250m m ∆=-+>，即28200m m -->，解得：2m <-或10m >，所以方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题则{}|210x m -≤≤， 所以{}|210A x m =-≤≤，（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A B ，则122110a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得11a ≥，经检验11a =时，{|2110}B x x =-≤≤，满足A B ，所以11a =成立， 所以实数a 的取值范围是11a ≥.20．（2020·儋州市第一中学高二月考）已知函数()sin(),0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的对称中心； （2）当[0,4]x ∈时，求()f x 的值域. 【答案】（1）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对称中心为：(41,0),k k Z -∈（2）[2,2]【解析】（1）由函数图像可知2A = ∵37164T =-=,∴28T πω==,∴则4πω=由图像可知,函数()f x 的经过点(1,2), ∴(1)2sin 24f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2,42k k Z ππϕπ+=+∈∵||2ϕπ<,∴4πϕ= ∴()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令,44x k k Z πππ+=∈,得41x k =-所以函数()f x 的图像的对称中心为(41,0),k k Z -∈ （2）由（1）可知()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵[0,4]x ∈,∴5,4444x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知 当442x πππ+=,即1x =时,()f x 的最大值为2当5444x πππ+=,即4x =时,()f x 的最小值为2- ∴()f x 的值域为[2,2]-21．（2019·西安市铁一中学高一月考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的单调递增区间.（2）将函数()f x 的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，若存在20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得等式23()12()g x a g x ⎡⎤+=+⎣⎦成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）117216a ≤≤ 【解析】（1）由图象可知：22362T πππ=-=，所以T π=，则22T πω==，又22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈得26k πϕπ=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得，,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由图象变换得()sin g x x =，所以存在20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得等式()23sin 12sin x a x +=+成立，即222sin 3sin 1a x x =-++在20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 令[]sin 0,1t x =∈，则223171723121,488y t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以17128a ≤≤，即117216a ≤≤. 22．（2020·四会市四会中学高一期中）定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【解析】 （1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a bb a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+（2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k =- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意 当12k >时，1012k<-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =-4,0m n ∴=-=。
2020-2021高一数学上期末试卷带答案(2)
2020-2021高一数学上期末试卷带答案(2)一、选择题1．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>4．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．310．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,211．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭12．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．14．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．15．求值： 233125128100log lg += ________ 16．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．17．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.18．函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,{,a a b a b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.19．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______.20．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <>则1111()()66f f -+为_____三、解答题21．已知函数()10()mf x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .23．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.24．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：（1）有下列函数模型：①2016x y a b -=⋅；②sin2016xy a b π=+；③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：lg 20.3010,=lg30.4771=） 25．已知函数()22xxf x k -=+⋅，()()log ()2xa g x f x =-（0a >且1a ≠），且(0)4f =.（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82xtf x ≥+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 26．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示：（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．A解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数过点[],0π，从而得出结论．【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.7．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.9．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．10．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,由此解得：34<a <2， 故答案为(34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解11．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．A解析：A 【解析】 由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.二、填空题13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m.【详解】因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =.当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数；当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数，所以3m =-.【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题. 14．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出.【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．15．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有： 解析：32- 【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 16．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题 解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足 max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21x g x a x x =+++， 设21x y x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x >-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-， 实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.17．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解.【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦， 当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞，此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同，故a 的取值范围为(]0,1.故答案为:(]0,1.【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题. 18．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝ 解析：0232m <<- 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>可知{}()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2|当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x∵f （4﹣23）＝232-其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点故答案为0232m -＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.19．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值．【详解】 因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解.【详解】因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <> 则11111()sin()sin 6662f ππ-=-==, 11511()()()sin()66662f f f π==-=-=-, 所以1111()()066f f -+=. 【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.三、解答题21．（1）14m >；（2）当14m >或14m <-时，有1个零点；当14m =或0m =或14m =-时，有2个零点；当104m <<或104m -<<时，有 3个零点【解析】【分析】（1）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，（2）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可．【详解】解：（1）由()20f log x >得，2210m log x log x +-> 当(1,)x ∈+∞时，20logx >变形为()2220log x log x m -+>，即()222m log x log x >-+ 而()222221412log x log x log x ⎛⎫+ ⎪-⎭--⎝+= 当212log x =即2x =时，()()2ma 22x 14log x log x =-+ 所以14m > （2）由()0f x =可得00()x x x m x -+=≠，变为()0m x x x x =-+≠令()222211,024,0,011,024x x x x x g x x x x x x x x x ⎧⎛⎫--+>⎪ ⎪⎧-+>⎪⎝⎭=-==⎨⎨+<⎩⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得:当14m >或14m <-时，()f x 有1个零点. 当14m =或0m =或14m =-时，()f x 有2个零点: 当104m <<或104m -<<时，()f x 有 3个零点.【点睛】本题考查不等式恒成立以及函数的单调性的应用，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.23．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．24．（1）①，2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）2022年【解析】【分析】 （1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；（2）由题意有201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再两边同时取对数求解即可.【详解】 解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，设2016x y a b -=⋅，将2016x =，4y =和2017x =，6y =代入得201620162017201646a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩；解得432a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故函数模型解析式为：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭. 经检验，2018x =和2019x =也符合. 综上：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭； （2）令201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，解得20163102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边同时取对数得： 20163lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，3(2016)lg 12x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 11(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥=-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 120162021.7lg3lg 2x ∴≥+≈-. 综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题. 25．(1) 3k =；(2) 当1a >时，()2,log 3x ∈-∞；当01a <<时，()2log 3,x ∈+∞；(3)(],13-∞-【解析】【分析】（1）由函数过点()0,4，待定系数求参数值；（2）求出()g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可.（3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可.【详解】（1）因为()22x x f x k -=+⋅且(0)4f =，故：14k +=， 解得3k =.（2）因为()()log ()2x a g x f x =-，由（1），将()f x 代入得：()log (32?)x a g x -=n ，则log (32?)0x a ->n ，等价于：当1a >时，321x ->n ，解得()2,log 3x ∈-∞当01a <<时，321x -<n ，解得()2log 3,x ∈+∞.（3）()82xt f x ≥+在R 上恒成立，等价于： ()()228230x x t --+≥n 恒成立； 令2x m =，则()0,m ∈+∞，则上式等价于：2830m m t --+≥，在区间()0,+∞恒成立.即：283t m m ≤-+，在区间()0,+∞恒成立，又()2283413m m m -+=--，故： 2(83)m m -+的最小值为：-13，故：只需13t ≤-即可.综上所述，(],13t ∈-∞-.【点睛】本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题. 26．（Ⅰ）12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．【解析】【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．【详解】（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得11215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩， 当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．（Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得140k b =-⎧⎨=⎩， 所以40Q t =-+．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(2)(40),02051(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩ 即221680,020*******,203010t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩， 当020t <≤时，2211680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =，当20t 30<≤时，221112320(60)401010y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数， 所以21(2060)4012010y <⨯--=． 综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．。
2020-2021学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题
绝密★启用前2020-2021学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合{}{}{}123451452,3,4U S T ===,,,,,,,,，则()U S T ⋂=（） A ．{}1,5 B ．{}1 C ．{}1,4,5 D ．{}1,2,3,4,5答案：A利用集合的补集和交集定义求解即可． 解：{}1,5UT =，(){}1,5U S T ∴⋂=故选：A2．“0a >”是“关于x 的函数(0)y ax b a =+≠单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C利用充分条件和必要条件的定义判断.解：当0a >时，由一次函数的性质得，函数(0)y ax b a =+≠单调递增，故充分； 若函数(0)y ax b a =+≠单调递增，则0a >，故必要；所以“0a >”是“关于x 的函数(0)y ax b a =+≠单调递增”的充要条件， 故选：C3．已知某扇形的弧长为23π，圆心角为3π，则该扇形的面积为（） A ．23πB ．πC ．43π D ．83π 答案：A 由弧长公式求出2r，再由扇形的面积公式求出答案.解：扇形的半径2323l r ππθ===，所以2r ，则扇形的面积112222233S lr ππ==⨯⨯=.故选：A.4．已知非零实数,a b 满足a b >，则（） A ．11a b a b+>+ B ．11<a bC ．2<2a b --D ．()()ln ln a b >答案：C根据不等式的性质，结合特殊值法，逐项判断，即可得出结果. 解：已知非零实数,a b 满足a b >，A 选项，若1a =，12b =，则满足a b >，但此时111222a b a b +=<+=+，故A 错；B 选项，若1a =，1b =-，则满足a b >，但不满足11a b<，故B 错；C 选项，由a b >可得a b -<-，所以2<2a b --，即C 正确；D 选项，若1a =，b e =-，则满足a b >，但此时()()ln 0ln 1a b =<=，故D 错. 故选：C.5．已知函数()2,0lg ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则110f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1-C ．1100D ．1答案：D 先求110f ⎛⎫⎪⎝⎭，进而可得110f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． 解：11lg 11010f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()11110f f f ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 6．函数()ln x xxf x e e -=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．答案：C结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 解：由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C.点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤-B ．1a <-C ．314a -<≤ D ．1a ≤-答案：B将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a 的取值范围． 解：2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+ 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈； 当0x ≠时，20x >，则2min 414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭ 令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <- 故选：B8．已知函数()()()1log ,21a x f x x r a x -=∈++)的值域为1,，则（）A．22r a ==-,B．22r a ==,C．11r a ==, D．11r a ==,答案：D 令()11x h x x -=+求出其值域，再分类讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，根据()f x 的值域，列出方程组，求解得出答案. 解：令()12111x h x x x -==-++，因为函数()h x 在(),2r a +上单调性递增，所以()221,113h x r a ⎛⎫∈-- ⎪++⎝⎭，当1a >时，函数()f x 在(),2r a +上单调性递增，此时值域不可能为1,，当01a <<时，函数()f x 在(),2r a +上单调性递减，要使得值域为1,，则2130112r a a ⎧=⎪⎪⎨=-+-+⎪⎪⎩，解得11r a ==,. 故选：D点评：关键点睛：解决本题的关键在于讨论复合函数函数()f x 的单调性，再由其值域得出,r a 的值.9．根据已给数据：在精确度为0.1的要求下，方程34x x =+的一个近似解可以为（） A ．1- B ．1.5 C ．1.562 D ．1.7答案：C令()34xf x x =--，根据零点存在性定理即可求解.解：解：34x x =+， 即340x x --=，令()34xf x x =--，则() 1.51.53 1.54 5.196 1.540.3040f =--≈--≈-<，() 1.531251.531253 1.531254 5.378 1.5312540.153250f =--≈--≈-<， () 1.56251.56253 1.56254 5.565 1.562540.00250f =--≈--≈>， () 1.6251.6253 1.6254 5.961 1.62540.3360f =--≈--≈>， () 1.751.753 1.754 6.839 1.754 1.0890f =--≈--≈>，根据零点存在性定理可知：()0 1.53125,1.5625x ∃∈，使()00f x =， 又1.53125 1.56250.031250.1-=<，故34x x =+的一个近似解可以为：1.562. 故选：C. 二、多选题10．下列选项不正确的是（）A ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是()()0f x x R =∈B ．函数1y x=在定义域内是减函数 C ．所有的周期函数一定有最小正周期 D ．函数()ln xf x e =和函数()g x=有相同的定义域与值域 答案：ABCA.既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是0f x，但定义域不一定是R ；B.不是整个定义域上的减函数，两个区间必须分开写；C.狄利克雷函数函数是周期函数，没有最小正周期；D.求两个函数定义域和值域即可.解：A.既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是0f x，但定义域不一定是R ，也可以是[]1,1-这种.B.函数1y x=在,0和0,上为减函数C.狄利克雷函数()1,0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩是周期函数，但是没有最小正周期.D.()ln xf x e=的定义域为0,，值域为0,()g xx=定义域为0,，值域为0,故选：ABC11．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积()2m y 与时间t(月)的关系为：ty a =.有以下几个判断，正确的是（）A ．2a =B ．浮萍从25m 蔓延到215m 只需要经过1.5个月C ．在第6个月，浮萍面积超过230mD ．若浮萍蔓延到2222m 4m 8m ，，所经过的时间分别为123,,t t t ，则123t t t += 答案：ACD由图象经过点可得解析式可判断A ；分别令25t =、215m =求出m 、t 做差可判断B ；计算(6)f 可判断C ；分别计算123t t t 、、可判断D.解：因为函数图象经过(1,2)点，所以2a =，所以2ty =，故A 正确；当()25tf t ==，得2log 5t =，当()215m f m ==，得2log 15m =，所以 1.52222log 15log 5log 3log 21.5m t -=-=≠=，所以B 错误；当6(6)26430f ==>，所以C 正确； 当11()22tf t ==，得11t =，当22()24t f t ==，得22t =，当33()28t f t ==，得33t =，所以123t t t +=，所以D 正确.故选：ACD.点评：本题考查了求解析式并求函数值及比较大小的问题，关键点是由图象求出函数的解析式，注意指对互化的问题，考查了学生的计算能力.12．己知222()sin sin ()sin ()f x x x x αβ=++++，其中,αβ为参数，若对()x R f x ∀∈，恒为定值，则下列结论中正确的是（） A ．()32f x =B ．()2f x =C ．αβπ+=D ．满足题意的一组,αβ可以是2,33ππαβ==答案：AD利用二倍角公式和两角和的余弦公式对()f x 化简，要使()x R f x ∀∈，恒为定值，根据()f x 结构形式可得方程组化简可得答案. 解：()()()1cos 221cos 221cos 2222x x x f x αβ-+-+-=++()31cos 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 222x x x x x ααββ=-+-+- ()()()31cos 21cos 2cos 2sin 2sin 2sin 222x x αββα=-⋅++-⋅+ 若对()x R f x ∀∈，恒为定值，则cos 2cos 21sin 2sin 20αββα+=-⎧⎨+=⎩，两式平方相加得；()1cos 222αβ-=-所以()32,22223f x k παβπ=-=+或2222,3k k Z παβπ-=-+∈， 即3k παβπ-=+或,3k k Z παβπ-=-+∈.故选：AD.点评：本题考查了三角函数的性质，关键点是利用二倍角公式、两角和与差的余弦公式进行化简，对于某些恒成立的问题可以根据结构特征得到答案，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 三、填空题13．已知35sin ,cos ,0,,,51322ππαβαβπ⎛⎫⎛⎫==-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________. 答案：3365利用两角和与差的正弦公式求解即可． 解：30,,sin 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则4cos 5α= 5,,cos 213πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则12sin 13β=()3541233sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：336514．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,<2A πωϕ>>)，其部分图象如图所示，则()f x =________.答案：2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭根据图象的最大值和最小值得到A ，根据图象得到周期从而求出ω，再代入点()3,0得到ϕ的值可得答案.解：由图象可得函数的最大值为2，最小值为2-，故2A =根据图象可知7342T=-=， 28,4T T ππω∴===，()2sin 4x f x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，将()3,0代入，得3sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以32,4k k Z πϕππ+=+∈， 3||,24ππϕϕπ<∴+=，解得4πϕ=，()2sin 44x f x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故答案为：2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭. 点评：本题考查根据正弦型函数的图象求函数的解析式，关键点是根据图象的最大值和最小值得到A ，根据图象得到周期，从而求出ω，再代入图象过的特殊点得到ϕ的值，考查了学生识图的能力及对基础知识的掌握情况.15．已知,a b 都是正数，若3a b ab ++=，则+a b 的最小值为________. 答案：2利用基本不等式()24a b ab +≤代入原式，解不等式可得+a b 的最小值．解：由基本不等式可得：()()234a b ab a b +=-+≤，化简得()()21240b a a b +-+≥+即()()620a b a b +++-≥，又,a b 都是正数，则2a b +≥，即+a b 的最小值为2 故答案为：216．已知14a <<，函数()[][]129,1,,,4f x x x a x a x=+∃∈∈，使得()()1280f x f x ≥，则a 的取值范围________.答案：(1,4-由已知得出函数的单调性，再得出()()4f a f =时，a 的值，从而分91,4a <≤9<<44a 两种情况，分别由()()12max max 80f x f x ≥解得可得a 的取值范围.解：因为()9f x x x =+，所以函数()9f x x x=+在(]0，3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增， 当()()99444f a a f a =+==+时，解得94a =（4a =舍去），（1）当()()()()12max max 991,110804a f x f x f f a a a ⎛⎫<≤==+≥ ⎪⎝⎭，解得(1,4a ∈；（2）当()()()()12max max 99<<4,141048044a f x f x f f ⎛⎫==⨯+≥ ⎪⎝⎭，不符题意.故答案为：(1,4.点评：方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <.四、解答题17．（1）求值：若3log 21x =，求22x x -+的值；（2）化简：()cos 3cos 2sin 2παπαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭.答案：（1）103；（2）12-. （1）由题意，3log 21x=，得23x =，代入可得值；（2）运用诱导公式，可化简求值.解：解：（1）由题意，3log 21x =，得23x =，得11022333x x-+=+=； （2）()cos 3cos cos sin 12sin 22sin cos 2παπαααααα⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==-.18．已知集合{}{}222|340450A x x x B x x mx m =--<=+-<，，其中m R ∈. （1）若{}51B x x =-<<，求实数m 的值；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，且0m >，求实数m 的取值范围. 答案：（1）1m =；（2）4m ≥.（1）由题意知，方程22450x mx m +-=的两根分别为5-和1，然后利用韦达定理可求出实数m 的值；（2）求出集合A 和集合B ，结合题中条件得出A B ⊆，可列出关于实数m 的不等式组，解出即可. 解：（1）由题意，51-，是方程22450x mx m +-=的两根， 由韦达定理得：24455m m -=-⎧⎨-=-⎩，解得1m =，经检验符合条件.（2）由题意，{}{}2|34014|A x x x x x =--<-<<=， 因为0m >，则{}{}224505B x x mx m x m x m =+-<=-<<， 由已知A B ⊆得，514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得4m ≥. 点评：本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，关键点是利用充分条件关系得出A B ⊆，求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，属于中等题.19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2(0)y x x =≥上.（1）求cos2α的值：（2）若角β满足tan(2)1αβ-=，求tan()αβ-的值.答案：（1）35；（2）13-. （1）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．（2）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．解：解：（1）因为角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2(0)y x x =≥上，所以tan 2α=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++． （2）由题意，tan 2α=，tan(2)1αβ-=，则()()tan tan 2αβαβα-=--⎡⎤⎣⎦()()tan 2tan 1211tan 2tan 1123αβααβα---===-+-+⨯ 20．已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）若将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足()1g x ≥的实数x 的集合.答案：（1）最小正周期π，单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（1）先将函数解析式整理，得到()1242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可求出最小正周期，以及单调递增区间；（2）先根据三角函数的图象变换，得到()14242gx x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，解不等式，即可求出结果.解：（1）由题意，()1cos 211sin 2222242x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ== 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以，函数()f x 的单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题意，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，所以()14242g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1sin 442g x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，得3242,444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得满足条件的x 的集合为：,8242k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如下图所示，在药物释放的过程中，y 与x 成正比：药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式.（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？答案：（1）0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）0.6h （1）利用函数图象经过点()0.1,1，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭．解：解：（1）依题意，当00.1x ≤≤时，可设y kx =，且10.1k =，解得10k = 又由0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =， 所以0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）令0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即20.21144a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，得20.21a ->，解得0.6x >， 即至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．点评：本题主要考查分段函数的应用，考查指数不等式的解法，属于中档题．22．已知函数()()21f x x x x a =+-- （1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若函数()f x 在[22]-，上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）记函数()f x 在[22]-，上最大值为()g a ，求()g a 的最小值. 答案：（1）{}|1x x ≤；（2）13a ≥或9a ≤-；（3）4. （1）由1a =，先化简函数解析式，再讨论1≥x 和1x <两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论14a a +=，14a a +<，14a a +>三种情况，根据函数单调性，即可求出结果；（3）讨论13a ≥或9a ≤-，92a -<≤-，21a -<<-，113a -≤<四种情况，结合函数单调性，即可得出最大值()g a ，进而可求出()g a 最小值.解：（1）1a =时，()2221,121,1x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 当1≥x 时，()1f x ≤可化为22211x x -+≤，解得1x =：当1x <时，()1f x ≤可化为211x -≤，解得1x <，综上，不等式的解集为{}|1x x ≤.（2）()()()221,1,x a x a x a f x a x a x a⎧-++≥⎪=⎨+-<⎪⎩，因为()()221f x x a x a =-++是开口向上，对称轴为14a x +=的二次函数， 当14a a +=，即13a =时，()f x 在R 上显然单调递增，满足题意； 当14a a +<，即13a >时，()f x 在R 上为增函数，满足题意； 当14a a +>，即13a <时，为使函数()f x 在[22]-，上单调递增，需满足：124a +≤-，解得9a ≤-； 综上，13a ≥或9a ≤-； （3）由（2）知：当13a ≥或9a ≤-，则()f x 在[]2.2-上单调递增，所以()()242g a f a ==+-； 当92a -<≤-，则()()221f x x a x a =-++，对称轴104a x +=<，所以()()242g a f a ==+-；当21a -<<-时，()()(){}{}max 2,2max 432,4242g a f f a a a =-=-++-=+-； 当113a -≤<时，()()(){}{}2max ,2max ,42g a f a f a a ==+-， 因()()()2242632<0a a a a a a -+-=+-=+-，所以()()242g a f a ==+-. 综上，()()242g a f a ==+-，当2a =时，()min 4g a =.点评：方法点睛：求解含参二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要利用分类讨论的的方法进行求解，考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况，结合函数单调性，即可求解.。
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 300°化为弧度是( )A. 43πB. 53πC. 74πD. 76π2. 已知角α的终边经过点P(m,−6)，且cosα=−45，则m =( )A. 8B. −8C. 4D. −43. 已知sin(θ+π)<0，cos(θ−π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A. sinθ<0，cosθ>0B. sinθ>0，cosθ<0C. sinθ>0，cosθ>0D. sinθ<0，cosθ<04. 要得到函数y =sin(2x −π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平行移动π3 B. 向右平行移动π3 C. 向左平行移动π6D. 向右平行移动π65. 在[0,2π]上满足sinx ≥12的x 的取值范围是( )A. [0,π6]B. [π6,5π6]C. [π6,2π3]D. [5π6,π]6. 在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则cosA 的最小值为( ) A. 15B. 25C. 35D. 457. 已知α，β为锐角，且4sin 2α+2sin 2β=1，2sin2α−sin2β=0，则cos(2α+2β)=( )A. −14B. 14C. −√154D. −138. 已知函数f(x)=x 2+x|x −a|+a ，若函数f(x)恰有2个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2x 1的取值范围是( )A. [−12,0]B. [−12,0)C. [−12,12]D. [−12,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列函数中，周期为1的函数是( )A. y =cos(2πx)B. y =sin(2πx)C. y =tan(2πx)D. y =sin(2πx)cos(2πx)10. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ ，下列命题中不正确的是( ) A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ 与b ⃗ 中至少有一个为0⃗ B. 向量a ⃗ 与向量b ⃗ 夹角的范围是[0,π) C. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0 D. [(b ⃗ ⋅c ⃗ )a ⃗ −(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ ]⋅c ⃗ =0 11. 下列各式中值为1的是( )A. tan12°+tan33°1−tan12∘tang33∘B. sin π12cos π12 C. sin72°cos18°+cos72°sin18°D. √2(cos 2π8−sin 2π8)12. 已知函数f(x)=e |x+4|sin(bx)，若存在实数a ，使得y =f(x +a)是奇函数，则sinb的值可能为( )A. √22B. √32C. −√22D. −√32三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形中心角的弧度数是______． 14. 在▱ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ (用a ，b 表示)．15. 如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______ ．16. 已知函数f(x)={|2x −1|,0<x ≤m2sin(π3x)+1,m <x ≤10恰有3个零点，则m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知θ∈(π,3π2)，且sin 4θ+cos 4θ=59． (1)求sin2θ的值； (2)求tanθ的值．18.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35,−45).(1)求6sinα3cosα−sinα的值；(2)若角β满足sin(α+β)=513，求cosβ的值．19.已知|a⃗|=2，|b⃗ |=1，(a⃗−3b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=3．(1)求|a⃗+b⃗ |的值；(2)求a⃗与a⃗−2b⃗ 的夹角．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的某一周期内的对应值如表：x −π6 π3 5π6 4π3 11π6f(x) −1 1 3 1 −1(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y =f(nx)(n >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0,π3]时，关于x 的方程f(nx)=m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．21. 在如图所示的平面图形中，已知OM =1，ON =2，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求： (1)设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x +y 的值； (2)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[π6,π3]，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值及此时的夹角<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >.22.已知函数f(x)=2a(sinx−cosx+tanx)2+(a−1)(sinx−cosx+tanx)−8，其中a>0．]，求g(x)的值域；(1)设g(x)=sinx−cosx+tanx，x∈[0,π4]，|f(x1)−f(x2)≤a2+1，求实数a的取值范围．(2)若对任意x1，x2∈[0,π4答案和解析1.【答案】B【解析】解：300°=300×π180=5π3．故选：B．根据已知条件，结合弧度制的定义，即可求解．本题主要考查弧度制的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(m,−6)，且cosα=−45，∴√m2+(−6)2=−45，解得m=−8．故选：B．根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为sin(θ+π)<0，所以−sinθ<0，即sinθ>0；又因为cos(θ−π)>0，所以−cosθ>0，即cosθ<0．故选：B．由sin(θ+π)=−sinθ，cos(θ−π)=−cosθ化简即可．本题考查诱导公式的运用．4.【答案】D【解析】解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2(x+ρ)=sin(2x+2ρ)=sin(2x−π3 )∴ρ=−π6∴应向右平移π6个单位 故选D ．假设将函数y =sin2x 的图象平移ρ个单位得到，根据平移后y =sin(2x −π3)，求出ρ进而得到答案．本题主要考查三角函数的平移．属基础题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查y =sinx 在[0,2π]上的图象，属于基础题．利用y =sinx 在[0,2π]上的图象，直接得到sinx ≥12的x 的取值范围，得到正确选项． 【解答】 解：在[0,2π]上，，解得或，由三角函数y =sinx 在[0,2π]上的图象可得， 当sinx ≥12时，解得x ∈[π6,5π6]，故选B ．6.【答案】D【解析】解：设△ABC 中，A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得−accosB −4abcosC =0， 由余弦定理得−aca 2+c 2−b 22ac −4aba 2+b 2−c 22ab=0， 整理得a 2=35c 2−35b 2代入cosA =b 2+c 2−a 2 2bc得cosA =85b2+25c 22bc≥2√85b 2⋅25c 22bc=45， 当且仅当85b 2=25c 2即c =2b 时等号成立，∴cosA 的最小值为45． 故选：D ．设△ABC 中，A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得a 、b 、c 关系，代入cosA =b 2+c 2−a 2 2bc，再结合基本不等式可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算、余弦定理，考查数学运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：已知α，β为锐角，且4sin2α+2sin2β=1，2sin2α−sin2β=0，则4×1−cos2α2+2×1−cos2β2=1，整理得2cos2α+cos2β=2；故4cos22α+4cos2αcos2β+cos22β=4，①；4sin22α−4sin2αsin2β+sin22β=0，②；①+②得：4+4(cos2αcos2β−sin2αsin2β)+1=4；故cos(2α+2β)=cos2αcos2β−sin2αsin2β=−14；故选：A．直接利用三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当x≥a时，f(x)=x2+x|x−a|+a=2x2−ax+a=2(x−a4)2+a−a28，当x<a时，f(x)=x2+x|x−a|+a=ax+a，当a≥0时，当x≥a时，函数f(x)单调递增，即f(x)≥f(a)=a2+a，当x<a时，函数f(x)单调递增，即f(x)<f(a)=a2+a，∴当a≥0时，函数f(x)单调递增，且函数f(x)单调递增，且当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→−∞时，f(x)→−∞，因此函数有一个零点，不符合题意，当a<0时，当a<x<a4时，函数单调递减，当x>a4时，函数单调递增，故函数有最小值，最小值为a−a28<0，当x<a时，函数f(x)单调递减，而f(a)=a2+a，当f(a)=a2+a≥0，因为a<0，所以有a≤−1，这时函数有两个零点，且x1+x2=a2，x1x2=a2，设x2x1=k，∴x2=kx1，显然k<0，∴有x1+kx1=a2，kx12=a2，∴(k+1)x1=a2，∴[(k+1)x1]2kx12=(a2)2a2，即2(k+1)2k=a，而a≤−1，∴即2(k+1)2k ≤−1，∴2k2+5k+2≥0，∴k≥−12或k≤−2，又k<0，∴−12≤k<0或k ≤−2，由x 1+kx 1=a2，kx 12=a2，∴(k +1)x 1=kx 22，∴k+1k=x 1，而x 1<0，∴k+1k<0，∴k >−1，故k ≤−2应舍去， ∴−12≤k <0，当f(a)=a 2+a <0时，因为a <0，∴a >−1，即−1<a <0， 当x <a 时，因为f(−1)=0，所以x 1=−1，此时x 2−a 4<a 4−(−1)，∴x 2<a2+1，∵−1<a <0，∴12<a 2+1<1，因此有0<x 2≤12，而x2x 1=−x 2，∴−12≤−x 2<0， 综上所述：x 2x 1∈[−12,0)．故选：B ．根据绝对值的性质，结合二次函数的性质，函数零点的定义，分类讨论进行求解即可． 本题考查利用分类讨论思想，结合二次函数的性质解题，属中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A ：y =cos(2πx)的最小正周期为T =2π2π=1，故A 正确； 对于B ：函数y =sin(2πx)的最小正周期为T =2π2π=1，故B 正确； 对于C ：函数y =tan(2πx)的最小正周期为T =π2π=12，故C 错误；对于D ：函数y =sin(2πx)cos(2πx)=12sin(4πx)，故函数的最小正周期T =2π4π=12；故D 错误． 故选：AB ．直接利用函数的关系式求出函数的最小正周期，进一步判定A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：三角函数的性质，周期性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则若a ⃗ 与b ⃗ 可能垂直，∴A 中说法错； 向量a ⃗ 与向量b ⃗ 夹角的范围是[0,π]，∴B 中说法错；根据平面向量数量积性质可知C中说法对；根据平面向量数量积运算律可知(b⃗ ⋅c⃗ )a⃗与(c⃗⋅a⃗ )b⃗ 不一定相等，[(b⃗ ⋅c⃗ )a⃗−(c⃗⋅a⃗ )b⃗ ]与c⃗也不一定垂直，∴D中内容错误．故选：ABD．根据平面向量数量积定义及性质可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：tan12°+tan33°1−tan12∘tan33∘=tan(12°+33°)=tan45°=1，选项A正确；sinπ12cosπ12=12sinπ6=12×12，选项B错误；sin72°cos18°+cos72°sin18°=sin(72°+18°)=sin90°=1，选项C正确；√2(cos2π8−sin2π8)=√2cosπ4=√2×√22=1，选项D正确．故选：ACD．利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．本题考查两角和差的三角函数公式及倍角公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．12.【答案】AC【解析】解：根据题意，函数f(x)=e|x+4|sin(bx)，f(x+a)=e|x+a+4|sin(bx+ab)，若存在a∈R，使得f(x+a)为奇函数，即f(−x+a)=−f(x+a)，又f(−x+a)=e|−x+a+4|sin(−bx+ab)，所以−e|x+a+4|sin(bx+ab)=e|−x+a+4|sin(−bx+ab)，即e|x+a+4|sin(−bx−ab)=e|−x+a+4|sin(−bx+ab)，所以4+a=0且ab=kπ，k∈Z，所以a=−4，b=−kπ4，k∈Z，所以sinb=sin(−kπ4)，k∈Z，当k=1时，sinb=sin(−π4)=−√22；当k=2时，sinb=sin(−2π4)=−1；当k =3时，sinb =sin(−3π4)=−√22； 当k =4时，sinb =sin(−4π4)=0；当k =5时，sinb =sin(−5π4)=√22； 当k =6时，sinb =sin(−6π4)=1；当k =7时，sinb =sin(−7π4)=−√22； 当k =8时，sinb =sin(−8π4)=0；所以sinb 的值可能为−√22，√22−1，1，0． 故选：AC ．根据y =f(x +a)是奇函数，可得−f(x +a)=f(−x +a)，由此可求出a =−4，b =−kπ4，k ∈Z ，对k 进行取值，由此即可求出结果．本题主要考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的求值，属于中档题．13.【答案】52【解析】解：设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r ． ∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5， ∴5=αr ，5=12αr 2， 解得α=52． 故答案为：52．设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r.利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．14.【答案】−14a⃗ +14b ⃗【解析】解：由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得4AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a ⃗ +b ⃗ )， 即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(a ⃗ +b ⃗ )，又∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ +12b ⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(a ⃗ +b ⃗ )−(a ⃗ +12b ⃗ )=−14a ⃗ +14b ⃗ ．故答案为：−14a⃗ +14b ⃗ 本题是一个用一组基底表示向量的问题，根据两个向量之间的关系，表示出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两个向量，要求的向量是这两个向量之和，用向量的减法运算得到结果．用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，是解题的一个中间过程，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决数学问题．15.【答案】−116【解析】解：∵OA =OB =1，∠AOB =60°， ∴△OAB 为等边三角形，则AB =1， 设BP =x ，则AP =1−x ，(0≤x ≤1)， ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ > =1⋅x ⋅cos π3+(1−x)⋅x ⋅cosπ =x 2−12x =(x −14)2−116，∵0≤x ≤1，∴当x =14时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−116． 故答案为：−116．根据题意，可以得到△OAB 为等边三角形，则AB =1，设BP =x ，则AP =1−x ，(0≤x ≤1)，利用向量加法的三角形法则，将则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案． 本题考查了平面向量数量积的运算，解决平面向量数量积的问题，一般有三种方法：向量转化法，坐标化法，特殊值法．解题的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．属于中档题．16.【答案】(0,12)∪[72,112)【解析】解：令|2x −1|=0，得x =12；令2sin(π3x)+1=0，得π3x =2kπ−π6或π3x =2kπ+7π6(k ∈Z)，即x =6k −12或x =6k +72(k ∈Z)， 又x ∈(0,10]，所以x =12或72或112或192，因为f(x)={|2x −1|,0<x ≤m2sin(π3x)+1,m <x ≤10恰有3个零点， 所以，当0<m <12时，f(x)有3个零点72,112,192； 当72≤m <112时，f(x)有3个零点12,112,192；所以m 的取值范围是(0,12)∪[72,112), 故答案为(0,12)∪[72,112)．先求出函数f(x)在区间(0,10]上的4个零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．17.【答案】解：(1)由sin 4θ+cos 4θ=59，得(sin 2θ+cos 2θ)2−2sin 2θcos 2θ=59，即2sin 2θcos 2θ=49， ∴sin 22θ=89， 又θ∈(π,3π2)，∴2θ∈(2π,3π)，可得sin2θ=2√23； (2)∵sin2θ=2√23，∴2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2√23， 即2tanθtan 2θ+1=2√23，∴√2tan 2θ−3tanθ+√2=0，解得tanθ=√22或tanθ=√2．【解析】(1)把等式左边变形，结合倍角公式及角θ的范围即可求sin2θ的值； (2)由(1)中求得的sin2θ=2√23，利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：(1)∵α的终边过点P(−35,−45)，且点P 在单位圆上，∴sinα=−45，cosα=−35，∴6sinα3cosα−sinα=6×(−45)3×(−35)−(−45)=245；(2)由sin(α+β)=513，得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β)=±1213， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα． 当cos(α+β)=1213时，cosβ=1213×(−35)+513×(−45)=−5665； 当cos(α+β)=−1213时，cosβ=−1213×(−35)+513×(−45)=1665．【解析】(1)由已知直接利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，则答案可求；(2)由已知求得cos(α+β)，再由两角差的余弦求解cosβ的值．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及两角和的余弦，是基础题．19.【答案】解∵|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，(a ⃗ −3b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=3， ∴22−3×12−2a ⃗ ⋅b ⃗ =3，解得a ⃗ ⋅b ⃗ =−1．(1)|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√22+2×(−1)+12=√3； (2)设a ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 的夹角θ，则cosθ=a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ −2b ⃗ |=22√(a ⃗ −2b⃗ )2=√22+4×12−2×2×(−1)=√32，又∵θ∈[0,π]，∴θ=π6．【解析】由|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，(a ⃗ −3b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=3可求得a ⃗ ⋅b ⃗ 然后可解决此题． 本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由表格提供的数据知：{A +B =3−A +B =−1，且T =2πω=11π6−(−π6)=2π， 解得A =2，B =1，ω=1， ∴f(x)=2sin(x +φ)+1，把(π3,1)代入，得：2sin(π3+φ)+1=1，解得φ=−π3， ∴f(x)=2sin(x −π3)+1．(2)y =f(nx)=2sin(nx −π3)+1， ∵函数y =f(nx)(n >0)的最小正周期为2π3， ∴T =2πn=2π3，解得n =3，∴y =f(nx)=2sin(3x −π3)+1， ∵x ∈[0,π3]，∴3x −π3∈[−π3,2π3]，sin(3x −π3)∈[−√32,1] y =f(nx)=2sin(3x −π3)+1)∈[1−√3,3] 当x =π3时，y =√3+1， ∴实数m 的取值范围是[1+√3,3)．【解析】(1)由表格提供的数据知{A +B =3−A +B =−1，且T =2πω=11π6−(−π6)=2π，由此得到f(x)=2sin(x +φ)+1，再把(π3,1)代入，能求出f(x)．(2)y =f(nx)=2sin(nx −π3)+1，由函数y =f(nx)(k >0)的最小正周期为2π3，得n =3，从而y =f(nx)=2sin(3x −π3)+1，由此能求出实数m 的取值范围．本题考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =−3，y =3， 所以x +y =0．(2)设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，θ=<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[π6,π3]， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(−λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−λ(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(λ2−3λ)|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+3λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=λ2−3λ+6λcosθ=λ2+(6cosθ−3)λ， 当λ=−6cosθ−32时，λ2+(6cosθ−3)λ取得最小值，为−(6cosθ−3)24，又θ∈[π6,π3]，所以6cosθ−3∈[0,3√3−3]，所以−(6cosθ−3)24∈[9√3−182,0]，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为9√3−182，此时<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >为π6．【解析】(1)由向量的减法法则知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合题意和平面向量共线定理，即可求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解； (2)设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，θ=<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，根据平面向量加法法则和平面向量共线定理可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再结合平面向量数量积，可将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成关于λ的函数，然后根据二次函数和余弦函数的性质，即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算法则和数量积的运算法则是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)g(x)=sinx −cosx +tanx 得g′(x)=cosx +sinx +1cos 2x ，∵x ∈[0,π4]，∴g′(x)>0，∴g(x)=sinx −cosx +tanx 在x ∈[0,π4]时是单调递增函数， 而g(0)=−1，g(π4)=1，故g(x)的值域为[−1,1]； (2)令t =sinx −cosx +tanx ，x ∈[0,π4]，则t ∈[−1,1]，则f(x)=2a(sinx −cosx +tanx)2+(a −1)(sinx −cosx +tanx)−8，a >0， 即为f(t)=2at 2+(a −1)t −8，t ∈[−1,1]，所以其图象对称轴为t =1−a 4a=14(1a−1)>−14>−1，故f(−1)=a −7，f(1)=3a −9，f(1−a 4a)=−8−(a−1)28a，对任意x 1，x 2∈[0,π4]，|f(x 1)−f(x 2)|≤a 2+1，等价于|f(x 1)−f(x 2)|max ≤a 2+1， 当0<a <15时，t =1−a 4a=14(1a −1)>1，|f(x 1)−f(x 2)|max =f(−1)−f(1)=2−2a ，令2−2a ≤a 2+1，解得a >√2+1或a <−√2−1，与0<a <15矛盾，故不符合题意； 当15≤a <1时，0<t =1−a 4a=14(1a −1)<1，此时，|f(x 1)−f(x 2)|max =f(−1)−f(1−a4a )=a +1+(a−1)28a，令a+1+(a−1)28a ≤a2+1，整理得a−18a≥a，∵a−1≤0，故该式无解，不符合题意；当a>1时，t=1−a4a =14(1a−1)<0，此时，|f(x1)−f(x2)|max=f(1)−f(1−a4a)=3a−1+(a−1)28a，令3a−1+(a−1)28a ≤a2+1，整理得a−18a≥a−2，解得a≥17+√25716，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为[17+√25716,+∞)．【解析】(1)求函数g(x)=sinx−cosx+tanx的导函数，根据导数的正负判断其单调性，求出函数的值域；(2)采用换元法，将f(x)=2a(sinx−cosx+tanx)2+(a−1)(sinx−cosx+tanx)−8，变换为f(t)=2at2+(a−1)t−8.再根据在给定区间上二次函数的最值问题的求解方法，求得|f(x1)−f(x2)|的最大值，解不等式求得结果．本题考查三角函数的最值，以及二次函数的最值的求法，属中档题．。
浙江省2021年高一上学期数学期末考试试卷(I)卷(考试)
浙江省2021年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·林芝期末) 已知全集，，，则为（）A . {1}B . {1,6}C . {1,3,5}D . {1,3,5,6}2. （2分） (2020高一下·永济期中) 若，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·普宁期中) 函数f（x）=ax﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A . （5，1）B . （1，5）C . （1，4）D . （4，1）4. （2分） (2016高一下·南安期中) 已知函数的定义域为，且，为的导函数，函数的图象如图所示．则平面区域0b0f2a+b<1所围成的面积是（）A . 2B . 4C . 5D . 85. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 函数的部分图象如图所示，将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·新津月考) 已知函数，则下列等式成立的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·大庆期末) 设函数，若a= ), ，则（）A .B .C .D .8. （2分）log2sin10°+log250°+log2sin70°的值为（）A . 4B . ﹣4C . ﹣2D . ﹣39. （2分） (2018高一上·长安期末) 函数的一部分图像如图所示，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·新宁模拟) 已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x123f(x)6．12．9-3．5那么函数f(x)一定存在零点的区间是（）A . （-∞，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，+∞)11. （2分）已知函数f(x)=x,g(x)为偶函数，且当时，g(x)=x2-2x．记．给出下列关于函数F(x)=max{f(x),g(x)}(x)的说法：①当时，F(x)=x2-2x；②函数为奇函数；③函数F(x)在[-1,1]上为增函数；④函数F(x)的最小值为-1，无最大值．其中正确的是（）A . ①②④B . ①③④C . ①③D . ②④12. （2分） (2016高一上·蕲春期中) 已知A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、双空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2016高一上·如皋期末) （log23+log227）×（log44+log4 ）的值为________．14. （1分） (2018高一上·海安月考) 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为________平方米．15. （1分） (2016高一上·青海期中) 关于下列命题：①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；②若函数y= 的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤ }；③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．其中不正确的命题的序号是________．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、填空题 (共4题；共4分)16. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知函数的定义域是，则的值域是________.17. （1分） (2020高一下·南昌期中) 在中，a的取值范围是________..18. （1分） (2018高二下·陆川月考) 设，则中点到C的距离________.19. （1分） (2020高二下·江西期中) 已知函数在无极值，则在上的最小值是________.四、解答题 (共4题；共50分)20. （10分） (2019高一上·重庆月考) 已知角的终边经过点 ,求下列各式的值.（1） ;（2） .21. （10分） (2016高一下·黄陵开学考) 已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求a、c的值；（2）若对任意的实数x∈[ ， ]，都有f（x）﹣2mx≤1成立，求实数m的取值范围．22. （15分）函数y=Asin（ωx+φ）+c（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在同一周期中最高点坐标为（2，2），最低点的坐标为（8，﹣4）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．23. （15分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且y=f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、双空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、填空题 (共4题；共4分) 16-1、17-1、18-1、19-1、四、解答题 (共4题；共50分) 20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2022-2023学年浙江省宁波市镇海中学高一上数学期末联考试题含解析
A. 7
B.7
C. 1
D.1
9．若直线 y x m 与曲线 y 1 x2 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围为
A. ( 2, 2)
B. (1, 2)
C. (1, 2]
D.[1, 2)
10．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 上的点到直线 x－y＝2 的距离的最大值是（）
A.2
B.1＋ 2
C.2＋ 2 2
（1）将 2020 年该产品的利润 y （单位：万元）表示为年促销费用 m 的函数；
（2）该厂家 2020 年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
19．已知函数
f
(x)
a
2 (a
2x 1
0)
的图象在直线
y
1的下方且无限接近直线
y
1.
（1）判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11、 ①. ##-0.25 ②.3
【解析】①根据函数解析式，代值求解即可；
②在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，即可数形结合求得结果.
【详解】①由题可知：
；
②根据 的解析式，在同一坐标系下绘制 与
的图象如下所示：
数形结合可知，两个函数有 个交点. 故答案为： ； .
A.
6
,
3
B.
12
,
7 12
C.
5 12
, 13 12
D.
3
,
5 6
5．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，三棱锥 C1 A1BD 的体积为1
2
C.
D.
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省宁波市镇海中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．300°化为弧度是（）A．πB．πC．πD．π2．已知角α的终边经过点P（m，﹣6），且cosα＝﹣，则m＝（）A．8B．﹣8C．4D．﹣43．已知sin（θ+π）＜0，cos（θ﹣π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是（）A．sinθ＜0，cosθ＞0B．sinθ＞0，cosθ＜0C．sinθ＞0，cosθ＞0D．sinθ＜0，cosθ＜04．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动5．在〖0，2π〗上满足sin x≥的x的取值范围是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，•（﹣4）＝0，则cos A的最小值为（）A．B．C．D．7．已知α，β为锐角，且4sin2α+2sin2β＝1，2sin2α﹣sin2β＝0，则cos（2α+2β）＝（）A．﹣B．C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）＝x2+x|x﹣a|+a，若函数f（x）恰有2个零点x1，x2，且x1＜x2，则的取值范围是（）A．〖﹣，0〗B．〖﹣，0）C．〖﹣，〗D．〖﹣，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数中，周期为1的函数是（）A．y＝cos（2πx）B．y＝sin（2πx）C．y＝tan（2πx）D．y＝sin（2πx）cos（2πx）10．对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（）A．若•＝0，则与中至少有一个为B．向量与向量夹角的范围是〖0，π）C．若⊥，则•＝0D．〖（•）﹣（•）〗•＝011．下列各式中值为1的是（）A．B．sin cosC．sin72°cos18°+cos72°sin18°D．（cos2﹣sin2）12．已知函数f（x）＝e|x+4|sin（bx），若存在实数a，使得y＝f（x+a）是奇函数，则sin b的值可能为（）A．B．C．﹣D．﹣三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是．14．在▱ABCD中，＝，＝，＝3，M为BC的中点，则＝（用a，b表示）．15．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是．16．已知函数f（x）＝恰有3个零点，则m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知θ∈（π，），且sin4θ+cos4θ＝．（1）求sin2θ的值；（2）求tanθ的值．18．（12分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣，﹣）．（1）求的值；（2）若角β满足sin（α+β）＝，求cosβ的值．19．（12分）已知||＝2，||＝1，（﹣3）•（+）＝3．（1）求|+|的值；（2）求与﹣2的夹角．20．（12分）已知函数的某一周期内的对应值如表：xf（x）﹣1131﹣1（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的〖解析〗式；（2）根据（1）的结果，若函数y＝f（nx）（n＞0）的最小正周期为，当时，关于x的方程f（nx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．（12分）在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，＝2，＝2，求：（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若∥，且＜，＞∈〖，〗，求•的最小值及此时的夹角＜，＞．22．（12分）已知函数f（x）＝2a（sin x﹣cos x+tan x）2+（a﹣1）（sin x﹣cos x+tan x）﹣8，其中a＞0．（1）设g（x）＝sin x﹣cos x+tan x，x∈〖0，〗，求g（x）的值域；（2）若对任意x1，x2∈〖0，〗，|f（x1）﹣f（x2）≤a2+1，求实数a的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗．故选：B．2．B〖解析〗∵角α的终边经过点P（m，﹣6），且cosα＝﹣，∴，解得m＝﹣8．故选：B．3．B〖解析〗因为sin（θ+π）＜0，所以﹣sinθ＜0，即sinθ＞0；又因为cos（θ﹣π）＞0，所以﹣cosθ＞0，即cosθ＜0．故选：B．4．D〖解析〗假设将函数y＝sin2x的图象平移ρ个单位得到y＝sin2（x+ρ）＝sin（2x+2ρ）＝，∴ρ＝﹣，∴应向右平移个单位，故选：D．5．B〖解析〗在〖0，2π〗上满足sin x≥，由三角函数线可知，满足sin x≥，的解，在图中阴影部分，故选：B．6．D〖解析〗设△ABC中，A、B、C对的边分别为a、b、c，由•（﹣4）＝0得•﹣4•＝0得﹣ac cos B﹣4ab cos C＝0，由余弦定理得﹣ac﹣4ab＝0，整理得a2＝c2﹣b2代入cos A＝得cos A＝≥＝，当且仅当b2＝c2即c＝2b时等号成立，∴cos A的最小值为．故选：D．7．A〖解析〗已知α，β为锐角，且4sin2α+2sin2β＝1，2sin2α﹣sin2β＝0，则，整理得2cos2α+cos2β＝2；故4cos22α+4cos2αcos2β+cos22β＝4，①；4sin22α﹣4sin2αsin2β+sin22β＝0，②；①+②得：4+4（cos2αcos2β﹣sin2αsin2β）+1＝4；故cos（2α+2β）＝cos2αcos2β﹣sin2αsin2β＝﹣；故选：A．8．B〖解析〗当x≥a时，f（x）＝x2+x|x﹣a|+a＝2x2﹣ax+a＝2（x﹣）2+a﹣，当x＜a时，f（x）＝x2+x|x﹣a|+a＝ax+a，当a≥0时，当x≥a时，函数f（x）单调递增，即f（x）≥f（a）＝a2+a，当x＜a时，函数f（x）单调递增，即f（x）＜f（a）＝a2+a，∴当a≥0时，函数f（x）单调递增，且函数f（x）单调递增，且当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，因此函数有一个零点，不符合题意，当a＜0时，当a＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故函数有最小值，最小值为a﹣＜0，当x＜a时，函数f（x）单调递减，而f（a）＝a2+a，当f（a）＝a2+a≥0，因为a＜0，所以有a≤﹣1，这时函数有两个零点，且x1+x2＝，x1x2＝，设＝k，∴x2＝kx1，显然k＜0，∴有x1+kx1＝，kx12＝，∴（k+1）x1＝，∴＝，即＝a，而a≤﹣1，∴即≤﹣1，∴2k2+5k+2≥0，∴k≥﹣或k≤﹣2，又k＜0，∴﹣≤k＜0或k≤﹣2，由x1+kx1＝，kx12＝，∴（k+1）x1＝kx22，∴＝x1，而x1＜0，∴＜0，∴k＞﹣1，故k≤﹣2应舍去，∴﹣≤k＜0，当f（a）＝a2+a＜0时，因为a＜0，∴a＞﹣1，即﹣1＜a＜0，当x＜a时，因为f（﹣1）＝0，所以x1＝﹣1，此时x2﹣＜﹣（﹣1），∴x2＜+1，∵﹣1＜a＜0，∴＜+1＜1，因此有0＜x2≤，而＝﹣x2，∴﹣≤﹣x2＜0，综上所述：∈〖﹣，0）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．AB〖解析〗对于A：y＝cos（2πx）的最小正周期为，故A正确；对于B：函数y＝sin（2πx）的最小正周期为，故B正确；对于C：函数y＝tan（2πx）的最小正周期为，故C错误；对于D：函数y＝sin（2πx）cos（2πx）＝，故函数的最小正周期；故D错误．故选：AB．10．ABD〖解析〗若•＝0，则若与可能垂直，∴A中说法错；向量与向量夹角的范围是〖0，π〗，∴B中说法错；根据平面向量数量积性质可知C中说法对；根据平面向量数量积运算律可知（•）与（•）不一定相等，〖（•）﹣（•）〗与也不一定垂直，∴D中内容错误．故选：ABD．11．ACD〖解析〗＝tan（12°+33°）＝tan45°＝1，选项A正确；sin cos＝sin＝×，选项B错误；sin72°cos18°+cos72°sin18°＝sin（72°+18°）＝sin90°＝1，选项C正确；（cos2﹣sin2）＝cos＝×＝1，选项D正确．故选：ACD．12．AC〖解析〗根据题意，函数f（x）＝e|x+4|sin（bx），f（x+a）＝e|x+a+4|sin（bx+ab），若存在a∈R，使得f（x+a）为奇函数，即f（﹣x+a）＝﹣f（x+a），又f（﹣x+a）＝e|﹣x+a+4|sin（﹣bx+ab），所以﹣e|x+a+4|sin（bx+ab）＝e|﹣x+a+4|sin（﹣bx+ab），即e|x+a+4|sin（﹣bx﹣ab）＝e|﹣x+a+4|sin（﹣bx+ab），所以4+a＝0且ab＝kπ，k∈Z，所以a＝﹣4，b＝﹣，k∈Z，所以sin b＝sin（﹣），k∈Z，当k＝1时，sin b＝sin（﹣）＝﹣；当k＝2时，sin b＝sin（﹣）＝﹣1；当k＝3时，sin b＝sin（﹣）＝﹣；当k＝4时，sin b＝sin（﹣）＝0；当k＝5时，sin b＝sin（﹣）＝；当k＝6时，sin b＝sin（﹣）＝1；当k＝7时，sin b＝sin（﹣）＝﹣；当k＝8时，sin b＝sin（﹣）＝0；所以sin b的值可能为﹣，﹣1，1，0．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．〖解析〗设这个扇形圆心角的弧度数为α，半径为r．∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5，∴5＝αr，5＝，解得α＝．故〖答案〗为：．14．﹣+〖解析〗由＝3（+），即＝（+），又∵＝+，∴＝（+）﹣（+）＝﹣+．故〖答案〗为：﹣+.15．﹣〖解析〗∵OA＝OB＝1，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，则AB＝1，设BP＝x，则AP＝1﹣x，（0≤x≤1），∴＝（+）＝+＝||•||cos+||•||cos＜，＞＝1+（1﹣x）•x•cosπ＝＝（x﹣）2﹣，∵0≤x≤1，∴当x＝时，取得最小值为﹣．故〖答案〗为：﹣．16．〖解析〗令|2x﹣1|＝0，得；令，得或，即或，又x∈（0，10〗，所以或或或，因为恰有3个零点，所以，当时，f（x）有3个零点；当时，f（x）有3个零点；所以m的取值范围是，故〖答案〗为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）由sin4θ+cos4θ＝，得（sin2θ+cos2θ）2﹣2sin2θcos2θ＝，即，∴，又θ∈（π，），∴2θ∈（2π，3π），可得sin2θ＝；（2）∵sin2θ＝，∴，即，∴，解得tanθ＝或tan．18．解：（1）∵α的终边过点P（﹣，﹣），且点P在单位圆上，∴sinα＝，cosα＝，∴＝＝；（2）由sin（α+β）＝，得cos（α+β）＝＝，则cosβ＝cos〖（α+β）﹣α〗＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα．当cos（α+β）＝时，cosβ＝＝；当cos（α+β）＝﹣时，cosβ＝﹣＝．19．解：∵||＝2，||＝1，（﹣3）•（+）＝3，∴22﹣3×12﹣2•＝3，解得•＝﹣1．（1）|+|＝＝＝；（2）设与﹣2的夹角θ，则cosθ＝＝＝＝，又∵θ∈〖0，π〗，∴θ＝．20．解：（1）由表格提供的数据知：，且T＝＝﹣（﹣）＝2π，解得A＝2，B＝1，φ＝1，∴f（x）＝2sin（x+φ）+1，把（，1）代入，得：2sin（+φ）+1＝1，解得φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（x﹣）+1．（2）y＝f（nx）＝2sin（nx﹣）+1，∵函数y＝f（nx）（n＞0）的最小正周期为，∴T＝＝，解得n＝3，∴y＝f（nx）＝2sin（3x﹣）+1，∵x∈〖0，〗，∴3x﹣∈〖﹣，〗，sin（3x﹣）∈〖﹣，1〗y＝f（nx）＝2sin（3x﹣）+1）∈〖1﹣，3〗，当x＝时，y＝+1，∴实数m的取值范围是〖1+，3）．21．解：（1）因为＝2，＝2，所以＝﹣＝3﹣3＝3＝3（﹣）＝﹣3+3，所以x＝﹣3，y＝3，所以x+y＝0．（2）设＝λ，θ＝＜，＞∈〖，〗，则＝+＝﹣λ+3（﹣）＝（3﹣λ）﹣3，所以•＝〖（3﹣λ）﹣3〗•（﹣λ）＝﹣λ（3﹣λ）2+3λ•＝（λ2﹣3λ）||2+3λ||•||cosθ＝λ2﹣3λ+6λcosθ＝λ2+（6cosθ﹣3）λ，当λ＝﹣时，λ2+（6cosθ﹣3）λ取得最小值，为﹣，又θ∈〖，〗，所以6cosθ﹣3∈〖0，3﹣3〗，所以﹣∈〖，0〗，所以•的最小值为，此时＜，＞为．22．解：（1）g（x）＝sin x﹣cos x+tan x得g′（x）＝cos x+sin x+，∵x∈〖0，〗，∴g′（x）＞0，∴g（x）＝sin x﹣cos x+tan x在x∈〖0，〗时是单调递增函数，而g（0）＝﹣1，g（）＝1，故g（x）的值域为〖﹣1，1〗；（2）令t＝sin x﹣cos x+tan x，x∈〖0，〗，则t∈〖﹣1，1〗，则f（x）＝2a（sin x﹣cos x+tan x）2+（a﹣1）（sin x﹣cos x+tan x）﹣8，a＞0，即为f（t）＝2at2+（a﹣1）t﹣8，t∈〖﹣1，1〗，所以其图象对称轴为t＝＝（﹣1）＞﹣＞﹣1，故f（﹣1）＝a﹣7，f（1）＝3a﹣9，f（）＝﹣8﹣，对任意x1，x2∈〖0，〗，|f（x1）﹣f（x2）|≤a2+1，等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a2+1，当0＜a＜时，t＝＝（﹣1）＞1，|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（﹣1）﹣f（1）＝2﹣2a，令2﹣2a≤a2+1，解得a＞+1或a＜﹣﹣1，与0＜a＜矛盾，故不符合题意；当≤a＜1时，0＜t＝＝（﹣1）＜1，此时，|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（﹣1）﹣f（）＝a+1+，令a+1+≤a2+1，整理得≥a，∵a﹣1≤0，故该式无解，不符合题意；当a＞1时，t＝＝（﹣1）＜0，此时，|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（1）﹣f（）＝3a﹣1+，令3a﹣1+≤a2+1，整理得≥a﹣2，解得a≥，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为〖，+∞）．。
2020-2021高一数学上期末试卷带答案
2020-2021高一数学上期末试卷带答案一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√322．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√53．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．26．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．1658．已知cos （140°﹣α）+sin （110°+α）＝sin （130°﹣α），求tan α＝（ ） A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√3二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x +π6)+1，则下列说法正确的是（ ）A ．相位为2x +π6B ．对称中心为(−π12+kπ，0)，k ∈Z C ．函数f （x ）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k ∈ZD ．将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ） A ．t ∈（0，2） B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 ． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ ． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= ．16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23．（1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值． 19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD 所示），其中O 为生活区入口．已知有三条路AB ，BC ，AD ，路AD 上有一个观赏塘T ，其中AT ＝300m ，路BC 上有一个风雨走廊的入口L ，其中BL ＝200m ．现要修建两条路OT ，OL ，修建OT ，OL 费用成本分别为2λ/m ，3λ/m ．设∠TOA ＝α．（1）当AO ＝600m ，BO ＝200m 时，求张角∠TOL 的正切值；（2）当OT ⊥OL 时，求当α取多少时，修建OT ，OL 的总费用最少，并求出此时总费用．20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)． （1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围．21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答） ①f(x +12)=f(−x +12)；②f(x −12)是奇函数；③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx+12)，不等式m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m对于∀x∈R恒成立，求m的取值范围．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√32解：cos2024π3=cos （675π−π3）＝﹣cos π3=−12． 故选：A ．2．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√5解：|AB →|=|OB →−OA →|=√OB →2+OA →2−2OB →⋅OA →=√2+1−2×√2×1×(−22)=√5．故选：D ．3．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解：为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象向右平移π15个单位长度得到．故选：A ．4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →解：|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos ＜a →，b →＞×b→|b →|=2√3×(−√32)b →=−3b →．故选：D ．5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．2解：由tan （α−π4）=tanα−11+tanα=12，解得tan α＝3，所以cos2α+sin2α+2＝2cos 2α+2sin αcos α+1 =3cos 2α+sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=3+tan 2α+2tanαtan 2α+1=3+9+2×39+1=95．故选：C ．6．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a解：b =cos 2π12−sin 2π12= c os π6=√32，c =2tan 3π81+tan 23π8=2sin 3π8cos 3π8sin 23π8+cos 23π8= s in （2×3π8）＝sin 3π4=√22， 所以a =(12)1.2＜12＜√22＜√32，即a ＜c ＜b ．故选：B ．7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．165解：因为B ，D ，P 三点共线，所以CP →=λCD →+(1−λ)CB →=λ2CA →+(1−λ)CB →，因为A ，P ，E 三点共线，所以CP →=μCA →+(1−μ)CE →=μCA →+34(1−μ)CB →，由平面向量基本定理可得：{λ2=μ1−λ=34(1−μ)，解得{λ=25μ=15， 所以AP →=15CA →+35CB →，因为CM →=mCA →，CN →=nCB →，且0＜m ＜1，0＜n ＜1，所以CA →=1m CM →，CB →=1nCN →，所以CP →=15m CM →+35nCN →， 因为M ，P ，N 三点共线，所以15m+35n=1，所以m+n=(m+n)(15m+35n)=n5m+3m5n+45≥2√n5m×3m5n+45=2√3+45，当且仅当n5m=3m5n，即m=1+√35，n=3+√35时等号成立，所以m+n的最小值为4+2√35．故选：B．8．已知cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），求tanα＝（）A．√33B．−√33C．√3D．−√3解：因为cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），所以﹣sin（50°﹣α）+cos（20°+α）＝sin（50°+α），即﹣sin50°cosα+cos50°sinα+cos（20°+α）＝sin50°cosα+cos50°sinα，所以cos20°cosα﹣sin20°sinα＝2sin50°cosα，即（cos20°﹣2sin50°）cosα＝sin20°sinα，所以tanα=cos20°−2sin50°sin20°=cos20°−2sin(30°+20°)sin20°=cos20°−2×12cos20°−2×√32sin20°sin20°=−√3．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+1，则下列说法正确的是（）A．相位为2x+π6B．对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC．函数f（x）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k∈ZD．将函数y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin(x+π6)+1的图象解：函数f(x)=2sin(2x+π)+1，对于A ：相位为2x +π6，故A 正确；对于B ：当x =−π12+kπ，k ∈Z 时，f （−π12+kπ）＝1，故对称中心为（−π12+kπ，1），k ∈Z ．故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+π2，（k ∈Z ），整理得：−π3+kπ≤x ≤kπ+π6，（k ∈Z ），故函数的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，（k ∈Z ），故C 错误；对于D ：将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象，故D 正确．故选：AD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形解：由题意，a →，b →为平面内两个不共线的向量， 设a →+b →=λ(−a →+3b →)=−λa →+3λb →，则有{−λ=13λ=1，λ不存在，所以a →+b →与−a →+3b →不共线，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底，故A 对；只有当b →≠0→时，若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →，故B 错； 因为a →，b →为非零向量，设a →与b →夹角为α， 由|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，平方得4a →2+12a →⋅b →+9b →2=4|a →|2−12|a →|⋅|b →|+9|b →|2， 整理得a →⋅b →=−|a →|⋅|b →|，所以cos α＝﹣1，又α∈[0，π]，所以α＝π，则a →与b →共线且反向，故C 对； 在△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，所以cosA =12，A ∈(0，π)，所以A =π3，由(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，得|AB →|2−|AC →|2=0， 即|AB →|=|AC →|，则△ABC 为等边三角形，故D 对． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞） 解：对于A ，∵f （x +π）＝cos2（x +π）+4cos(x+π)=cos2x −4cosx≠f （x ），故A 错误；对于B ，由cos x ≠0，得x ≠kπ+π2(k ∈Z)，∴f （x ）的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z }，且f(−x)=cos2(−x)+4cos(−x)=cos2x +4cosx−f(x)，∴f （x ）是偶函数，故B 正确； 对于C ，∵f （x ）+f （2π﹣x ）＝cos2x +4cosx +cos2（2π﹣x ）+4cos(2π−x)=2f （x ）不是定值，故C 错误；对于D ，f （x ）＝cos2x +4cosx =2cos 2x +4cosx−1， 令t ＝cos x ∈[﹣1，0）∪（0，1]，则g(t)=2t 2+4t −1，g ′(t)=4t −4t 2=4(t 3−1)t 2，当t ∈[﹣1，0）时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减； 当t ∈（0，1]时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增， 又g （﹣1）＝2﹣4﹣1＝﹣3，g （1）＝2+4﹣1＝5， 当x →0﹣时，g （t ）→﹣∞； 当x →0+时，g （t ）→+∞，∴g （t ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），即f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ）A ．t ∈（0，2）B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182解：将函数y ＝log 2x （0＜x ＜4）的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方， 即可得到y ＝log 2（﹣x ）（﹣4＜x ＜0）的图象；对于f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24），最小正周期为T =2ππ3=6，故[0，24）上有4个周期，令π3x +π6=k π+π2，k ∈Z ，则可得f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24）的对称轴为x ＝3k +1，k ＝0，1，2， (7)由此作出函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24的图象，如图：则g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）的零点问题即为f （x ）的图象与直线y ＝t 的交点问题， 由图象可知，当t ＞4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有1个交点，不合题意； 当t ＝4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有5个交点，不合题意； 当2≤t ＜4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有9个交点，不合题意；当0＜t ＜2，即t ∈（0，2）时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，符合题意，A 正确； 由题意可知﹣4＜x 1＜﹣1＜x 2＜0，满足|log 2（﹣x 1）|＝|log 2（﹣x 2）|，则log 2（﹣x 1）＝﹣log 2（﹣x 2），即log 2（﹣x 1）+log 2（﹣x 2）＝log 2[（﹣x 1）（﹣x 2）]＝0， 所以（﹣x 1）（﹣x 2）＝1， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）＝（﹣x 1）+1−x 1， 因为﹣4＜x 1＜﹣1，所以1＜﹣x 1＜4， 由对勾函数的性质可知（﹣x 1）+1−x 1∈（2，174）， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）∈（2，174），所以x 1+x 2∈（−174，﹣2），故B 不正确； 由函数图象可得x 3+x 4＝8，2＜x 3＜52， 故x 3x 4＝x 3（8﹣x 3）＝﹣（x 3﹣4）2+16∈（12，554），C 正确； 由图象可知f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，即n ＝5，且x 3，x 4关于直线x ＝4对称，故x 3+x 4＝8，同理得x 4+x 5＝14，x 5+x 6＝20，x 6+x 7＝26，x 7+x 8＝32，x 8+x 9＝38，x 9+x 10＝44，故x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 2n ﹣1）+x 2n＝x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 9）+x 10＝8+14+20+26+32+38+44＝182，D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 π2 ．解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，则扇形的面积为12αr 2＝π，弧长为αr ＝π，解得r ＝2，α=π2， 所以扇形的圆心角为π2． 故答案为：π2． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ −25 ． 解：e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，则e 1→⋅e 2→=1×1×cos 2π3=−12， 若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直， 则(e 1→+λe 2→)⋅(3e 1→+4e 2→)=3e 1→2+(4+3λ)e 1→⋅e 2→+4λe 2→2=3+（4+3λ）×(−12)+4λ=0，解得λ=−25． 故答案为：−25． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= 3+4√310． ． 解：因为x ∈（π，2π），所以x 2+5π24∈(π2+5π24，π+5π24)，则cos （x 2+5π24）＜0， 所以cos （x 2+5π24）=−√1−sin 2(x 2+5π24)=−2√55， 所以cos （x +5π12）＝2co s 2(x 2+5π24)−1=85−1=35，sin （x +5π12）＝2sin （x 2+5π24）cos （x 2+5π24）=−45， 所以cos （x +3π4）＝cos[（x +5π12）+π3 ]＝cos (x +5π12)cos π3−sin(x +5π12)sin π3=35×12−(−45)×√32=3+4√310． 故答案为：3+4√310． 16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 （0，112]∪[16，712] ． 解：f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝[sin （ωx +2φ）+φ]﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ+cos （ωx +2φ）sin φ﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ﹣cos （ωx +2φ）sin φ＝sin （ωx +φ），因为ω＞0，0＜φ＜π，所以T =2πω， f （T 4）＝f （π2ω）＝sin （π2+φ）＝cos φ=12， 所以φ=π3，f （x ）＝sin （ωx +π3）， 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递增， 则{2kπ−π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，即2k −56≤ω≤k +112，k ∈Z ， 需满足2k −56≤k +112，k ∈Z ，所以k ≤1112，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，0＜ω≤112； 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递减， 则{2kπ+π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，即2k +16≤ω≤k +712，k ∈Z ， 需满足2k +16≤k +712，k ∈Z ，所以k ≤512，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，16≤ω≤712； 故ω的取值范围为：（0，112]∪[16，712]．故答案为：（0，112]∪[16，712]． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23． （1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围．解：（1）因为|a →|=|b →|=1，(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23， 所以a →2+a →⋅b →−2b →2=−23，即1+a →⋅b →−2=−23， 则a →⋅b →=13， 则cos〈a →，b →〉=a →⋅b →|a →||b →|=13， 即a →与b →夹角的余弦值13； （2）因为ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，所以(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0且ka →+b →与a →+3b →不共线，当ka →+b →与a →+3b →共线时，有ka →+b →=λ(a →+3b →)，即ka →+b →=λa →+3λb →，由（1）知a →与b →不共线，所以{k =λ1=3λ，解得k =13， 所以当ka →+b →与a →+3b →不共线时，k ≠13， 由(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0，得ka →2+(3k +1)a →⋅b →+3b →2＞0，即k +(3k +1)×13+3＞0，解得k ＞−53， 所以k ＞−53且k ≠13， 即实数k 的取值范围为(−53，13)∪(13，+∞)． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值．解：（1）f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)=sinα(−sinα)cosα(−tanα)(−cosα)(−sinα)(−cosα)(−tanα)=tanα；（2）若α∈(−π2，0)，则tanα＜0，因为f(α)+1f(α)=−103=tanα+1tanα，所以tanα＝﹣3或tanα=−1 3，√2sin(α+π4)=cos2α−sin2αsinα+cosα=cosα﹣sinα，当tanα＝﹣3，α∈(−π2，0)，则{sinα=−3cosαsin2α+cos2α=1，解得sinα=−3√310，cosα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；当tanα=−13时，{cosα=−3sinαsin2α+cos2α=1，解得cosα=3√310，sinα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；故√2sin(α+π4)=2√105．19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD所示），其中O为生活区入口．已知有三条路AB，BC，AD，路AD上有一个观赏塘T，其中AT＝300m，路BC上有一个风雨走廊的入口L，其中BL＝200m．现要修建两条路OT，OL，修建OT，OL费用成本分别为2λ/m，3λ/m．设∠TOA＝α．（1）当AO＝600m，BO＝200m时，求张角∠TOL的正切值；（2）当OT⊥OL时，求当α取多少时，修建OT，OL的总费用最少，并求出此时总费用．解：（1）设∠LOB＝β，β为锐角，则tanβ=LBOB=1，设∠TOA＝α，则tanα=TAOA=12，故tan∠TOL＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）=−tanα+tanβ1−tanαtanβ=−12+11−12×1=−3；（2）当OT⊥OL时，∠LOB=π2−α，α∈(0，π2)，故OT=300sinα，OL=200sin(π2−α)=200cosα，设修建OT ，OL 的总费用为y ，则y =300sinα×2λ+200cosα×3λ=600λ⋅(1sinα+1cosα)=600λ⋅sinα+cosαsinαcosα， 设t ＝sin α+cos α，则t =√2sin(α+π4)∈(1，√2]， 则sinαcosα=t 2−12， 所以y =600λ⋅sinα+cosαsinαcosα=600λ⋅2t t 2−1=1200λ⋅1t−1t， 因为y =t −1t 在(1，√2]上单调递增，所以0＜t −1t ≤√22，t =√2时取得等号， 所以y =1200λ⋅1t−1t 的最小值为1200λ1√22=1200√2λ，此时t =√2，即α=π4， 故当α=π4时，修建OT ，OL 的总费用最少，最少为1200√2λ． 20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)．（1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围． 解：（1）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），c →=（﹣1，0），∴b →+c →=（cos α﹣1，sin α），∴|b →+c →|=√cos 2α−2cosα+1+sin 2α=√2−2cosα，当cos α＝﹣1时，|b →+c →|最大，此时|b →+c →|=2，α＝π+2k π，k ∈Z ；（2）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），∴a →⋅b →=cos α+2sin α=√5sin(α+φ)，tanφ=12，φ∈(0，π2)， ∵α∈(0，π3)，∴α+φ∈(φ，π3+φ)， 设θ＝α+φ，易知θ是第一象限角，故原式转化为f(θ)=√5sinθ，结合正弦函数性质得f （θ）在(0，π2)上单调递增， 当θ＝φ时，tanθ=12，易知θ是第一象限角，故sinθ=√55，a →⋅b →=1， 当θ=φ+π3时，sinθ=2√15+√510，a →⋅b →=√5×2√15+√510=12+√3，故f(θ)∈(1，12+√3)，即a →⋅b →∈(1，12+√3)． 21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答）①f(x +12)=f(−x +12)； ②f(x −12)是奇函数； ③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx +12)，不等式m sin 2x ﹣g （x ）≤4﹣6m 对于∀x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．解：（1）∵△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，∴A ＝1，且T 2=2，∴T =2π|ω|=4，又ω＞0，∴ω=π2．则f(x)=sin(π2x +φ)． 选①由f(x +12)=f(−x +12)，得函数f （x ）的图像关于直线x =12对称， 则π2×12+φ=π2+kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选②∵f(x −12)=sin(π2x −π4+φ)是奇函数， ∴−π4+φ=kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选③则f(0)=sinφ=√22，结合图像和0＜φ＜π，可得φ=π4．故函数f（x）的解析式为f(x)=sin(π2x+π4)．（2）由（1），得g(x)=f(2πx+12)=sin(x+π2)=cosx，∴m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m⇔m sin2x﹣cos x﹣4+6m≤0，∴m cos2x+cos x﹣7m+4≥0对于∀x∈R恒成立．令t＝cos x∈[﹣1，1]，则mt2+t﹣7m+4≥0对∀t∈[﹣1，1]恒成立，∴m≤−t+4t2−7对∀t∈[﹣1，1]恒成立．∵t2−7t+4=(t+4)2−8(t+4)+9t+4=t+4+9t+4−8，令n＝t+4∈[3，5]，则y=n+9n−8在n∈[3，5]时单调递增，∴y∈[−2，−65]，∴t2−7t+4∈[−2，−65]，∴−t+4t2−7∈[12，56]，∴m≤12，故m的取值范围为(−∞，12 ]．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．解：（1）f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2=4sin x cos x+2|√2（sin x+cos x）﹣t|+t+2，设n=√2（sin x+cos x），则4sin x cos x＝n2﹣2，﹣2≤n≤2，则y（n）＝n2+2|n﹣t|+t，当t≤﹣1时，函数y（n）＝n2+2n﹣t在[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9，当﹣1＜t≤0时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2﹣2t+8；当0＜t≤1时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2+2t+8；当t＞1时，函数y（n）在[﹣2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9．综上：g（t）={9，t≤−1−t2−2t+8，−1＜t≤0−t2+2t+8，0＜t≤19，t＞1；（2）|f（x）+s|≤6恒成立可化为﹣s﹣6≤y（n）≤﹣s+6，﹣2≤n≤2恒成立．①当t＞1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，所以﹣s﹣6≤3t﹣1且8+3t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣2t﹣2＜﹣4；②当0＜t≤1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8+3t≤﹣s+6，解得：﹣7≤s+t＜﹣2；③当﹣1＜t≤0时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8﹣t≤﹣s+6，解得：﹣7＜s+t≤﹣2；④当t≤﹣1时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，故﹣s﹣6≤﹣t﹣1且8﹣t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣4，综上所述：s+t≤﹣2．所以s+t的取值范围为（﹣∞，﹣2]．。
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)
（1）求 的值；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1）因为 ，所以 且 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
.
20.已知定义在R上的奇函数 ．
（1）求b的值；（2）若 在 上的最大值为 ，求a的值．
18.已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 和 ；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ， ；（2） 或 .
【详解】解：（1）由题可知，当 时，则 ，
或 ，则 ，
所以 .
（2）由题可知， 是 的必要不充分条件，则 ，
当 时， ，解得： ；
当 时， 或 ，
解得： 或 ；综上所得： 或 .
则 在 上成立，所以 ；又 在 上成立，所以 在 上成立，所以 ，综上， 的取值范围为 .
8.已知函数 ，若方程 恰有 个实根，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】 ， ，设 .
当 时，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立.所以， .
【答案】D【详解】函数 的图像向左平移2个单位长度后可得，
，与函数 的图象重合，
由 ，所以 时，即 时图象重合，且 最小.
7.若函数 在区间 上单调递增，则a的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】令 ，则 ，因为函数 在 上单调递增，函数 在定义域上是减函数，所以函数 在 上单调递减，并且 在 上成立；当 在 上单调递减，
所以 ，解得
15.函数 的值域是____．
【答案】 【详解】设 ，则 ，
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案
镇海中学2020学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列直线方程纵截距为2的选项为（ ） A ．20x y ++=B ．124x y += C ．20x y -+= D ．2y x =-2．与直线2x =相切于点()2,0且半径为1的圆的方程为（ ） A ．()2211x y -+=B ．()2231x y -+=C ．()2211x y ++=D ．()2211x y -+=或()2231x y -+=3．已知(),6A m -，()2,B m -，()0,2P -，()5,Q m -，则下列选项中是AB PQ ⊥的充分不必要条件的是（ ） A ．12m =-B ．2m =C ．2m =-D ．2m =-或11m =-4．已知空间三点()2,0,8A -，(),,P m m m ，()4,4,6B -，若向量PA 与PB 的夹角为60°，则实数m =（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-5．等腰直角ABC △，直角边为2，沿斜边AC 边上高BD 翻折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（ ）AB ．4πC ．D ．6π6．镇海植物园有两块地，从A ，B ，C ，D 四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A ，B 种植在同一块地的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．347．以下四个命题正确的为（ ）A ．在空间中，与不共面的四点A ，B ，C ，D 距离相等的平面有4个 B ．正方体12条棱中有48对异面直线 C ．平行同一个平面的两条直线平行D ．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面．8．己知正四面体ABCD ，E 为AC 中点，F 为AB 中点，P 在线段BD 上一个动点（包含端点），则直线CF 与直线EP 所成角余弦值的取值范围为（ ）A ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,62⎡⎢⎣⎦C ．10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列结论正确的为（ ） A ．正四棱柱中是长方体的一类 B ．四面体最多有四个钝角三角形C ．若复数1z ，2z ，满足2212z z =，则12z z = D ．若复数1z ，2z ，满足12z z R ∈，则12z z =10．已知直线l ：()2200x y a a +-=>，(),M s t 是直线l 上的任意一点，直线l 与圆221x y +=相切．下列结论正确的为（ ）A 1B ．当0s >，0t >时，21s t +C s s 的最小值D s s 的最小值三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分． 11．已知复数125z i =-（i 为虚数单位），则z z z=-______．12．倾斜角为90°且与点()1,1距离为2的直线方程为______．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为______． 14．已知()1,2E -，()3,4F -，M 为平面上一个动点满足32ME MF =，则M 的轨迹方程为______． 15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ EFGH -，下建筑是长方体ABCD EFGH -．假设屋脊没有歪斜，即WZ 的中点R 在底面ABCD 上的投影为矩形ABCD 的中心点O ，//WZ AB ，30AB =，20AD =，10AE =，20WZ =，13OR =（长度单位：米）。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案2020-2021学年度第一学期高一数学期末质量监测第I卷（选择题共45分）一.选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3,4}，B={1,3,4}，则(A∪B)′是()。
A.{1,2,5,6}B.{5,6}C.{2,3,5,6}D.{1,2,3,4}2.命题p:a>b,c>d。
命题q:ac>bc。
则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列幂函数在区间(0,+∞)内单调递减的是()A.y=xB.y=x^2C.y=x^3D.y=x^-14.设a=1.10.3，b=0.93.1，c=log3 0.2，则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a5.若tanα=2，则tan2α=()A.4/5B.-4/3C.4/3D.-4/56.当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a与y=logax的图象为()7.已知α是第一象限角，若|cos2α|=−cos2α，那么α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知函数f(x)=sin((x+3π)/π)，给出下列结论①f(x)的最小正周期为2π②f(x)在[-3π,π]上的最大值为1③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象。
其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③9.下列结论正确的是()A.sin1<cos1B.cos(23π/5)>cos(17π/4)C.tan(-52)>tan(-47)D.sin(-π/18)>sin(-π/10)第II卷（非选择题共75分）二.填空题(每题5分,共30分)10.命题p:∃x∈R,x+1>0的否定形式p为____。