定解条件与定解问题的提法
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非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。 稳态问题：定解条件为边界条件。 定解问题=控制方程+定解条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问 题分为正向问题和逆向问题。
正向问题，即 为已知源求场
逆向问题，即 为已知场求源.
不同出发点 ?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容。 后者是高等数 学物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
第一类边界条件：介质表面温度已知
T ( p,t) S 0
式中，p为边界面上的点。
第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知
T
T
qn K n const,
f ( p,t) n S
第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
qn (T T0 )
(为热交换系数)
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量
一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应 满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 条件所处的状况有关。
① 初始条件——描述系统的初始状态
设弦在初始时刻t 0时的位置和速度为：
u(x, 0) (x)
u( x, t
0)
(x)
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解条件 初始条件
定解条件： 边界条件
① 初始条件——描述系统的初始状态
T (x, y, z, 0) (x, y, z)
式中φ( x, y, z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况
例： 长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直， 下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。 试写出杆振动的定解问题。
2u t2
a2
2u x2
,
u(x, 0) 0, ut (x, 0) v0,
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x (0,l) t0
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史， 即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的 条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约 束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
h
o
b
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
x l
ut (x, t) |t0 ut (x, 0) 0
初始位移如图所示
u(
x,
0)
h b
x
h l b
(l
x)
(0 x b) (b x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
K
T n
(T
T0 ),
T n
Baidu NhomakorabeahT
S
f
( p,t)
第三章 定解条件与定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场 和产生这种场的源之间的关系。
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松方程表示的是电势 （或电场）和电荷分布之 间的关系
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解条件
u u
0
x x0 x xl
或：
u x
x0
f
(t),
u g(t) x xl
第三类边界条件： 在x=l 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承
T u k u
或
x xl
xl
u x
u
xl
0
第三章 定解条件与定解问题的提法
例 ： 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ，
在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离 h ，
u(x, 0) 0
初始速度
u t
|t 0
x(l
x)
第三章 定解条件与定解问题的提法
综上讨论，故定解问题为
utt a2uxx 0 u(0,t) 0, ux
|xl
0
u(x, 0) 0,ut (x, 0) x(l x)
(0 x l,t 0) (t 0)
(0 x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为 l 的弦在 x 0 端固定，另一端 x l
自由，且在初始时刻 t 0 时处于水平状态，初始速度为 x(l x) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解】 ① 确定泛定方程：
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.1 定解条件
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
第三章 定解条件与定解问题的提法
要想完全确定一个物理过程除了控 制方程（一般指偏微分方程）外，还需要 给定初始和边界条件。
表征和控制物理现象的方程，称为控制 方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程 的推导过程得出，不同的物理现象具有不同 的物理规律，其控制方程也是不同的。
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.2 定解条件的形式和定解问题
取弦的水平位置为 x 轴，x 0 为原点，
弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
utt a2uxx 0
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 确定边界条件
对于弦的固定端，显然有 u(0,t) 0 另一端自由，意味着其张力为零，则
u 0 x xl
③ 确定初始条件 根据题意，当 t 0 时，弦处于水平状态，即初始位移为零
0 xl
系统各点的初位移 系统各点的初速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况 第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为：
u(0,t) 0, u(l,t) 0 或： u(0,t) f (t), u(l,t) g(t)
第二类边界条件：一 端既不固定，又不受位移方向力的作用
第三章 定解条件与定解问题的提法
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问 题分为正向问题和逆向问题。
正向问题，即 为已知源求场
逆向问题，即 为已知场求源.
不同出发点 ?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容。 后者是高等数 学物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
第一类边界条件：介质表面温度已知
T ( p,t) S 0
式中，p为边界面上的点。
第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知
T
T
qn K n const,
f ( p,t) n S
第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
qn (T T0 )
(为热交换系数)
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量
一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应 满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 条件所处的状况有关。
① 初始条件——描述系统的初始状态
设弦在初始时刻t 0时的位置和速度为：
u(x, 0) (x)
u( x, t
0)
(x)
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解条件 初始条件
定解条件： 边界条件
① 初始条件——描述系统的初始状态
T (x, y, z, 0) (x, y, z)
式中φ( x, y, z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况
例： 长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直， 下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。 试写出杆振动的定解问题。
2u t2
a2
2u x2
,
u(x, 0) 0, ut (x, 0) v0,
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x (0,l) t0
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史， 即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的 条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约 束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
h
o
b
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
x l
ut (x, t) |t0 ut (x, 0) 0
初始位移如图所示
u(
x,
0)
h b
x
h l b
(l
x)
(0 x b) (b x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
K
T n
(T
T0 ),
T n
Baidu NhomakorabeahT
S
f
( p,t)
第三章 定解条件与定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场 和产生这种场的源之间的关系。
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松方程表示的是电势 （或电场）和电荷分布之 间的关系
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解条件
u u
0
x x0 x xl
或：
u x
x0
f
(t),
u g(t) x xl
第三类边界条件： 在x=l 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承
T u k u
或
x xl
xl
u x
u
xl
0
第三章 定解条件与定解问题的提法
例 ： 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ，
在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离 h ，
u(x, 0) 0
初始速度
u t
|t 0
x(l
x)
第三章 定解条件与定解问题的提法
综上讨论，故定解问题为
utt a2uxx 0 u(0,t) 0, ux
|xl
0
u(x, 0) 0,ut (x, 0) x(l x)
(0 x l,t 0) (t 0)
(0 x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为 l 的弦在 x 0 端固定，另一端 x l
自由，且在初始时刻 t 0 时处于水平状态，初始速度为 x(l x) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解】 ① 确定泛定方程：
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.1 定解条件
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
第三章 定解条件与定解问题的提法
要想完全确定一个物理过程除了控 制方程（一般指偏微分方程）外，还需要 给定初始和边界条件。
表征和控制物理现象的方程，称为控制 方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程 的推导过程得出，不同的物理现象具有不同 的物理规律，其控制方程也是不同的。
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.2 定解条件的形式和定解问题
取弦的水平位置为 x 轴，x 0 为原点，
弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
utt a2uxx 0
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 确定边界条件
对于弦的固定端，显然有 u(0,t) 0 另一端自由，意味着其张力为零，则
u 0 x xl
③ 确定初始条件 根据题意，当 t 0 时，弦处于水平状态，即初始位移为零
0 xl
系统各点的初位移 系统各点的初速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况 第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为：
u(0,t) 0, u(l,t) 0 或： u(0,t) f (t), u(l,t) g(t)
第二类边界条件：一 端既不固定，又不受位移方向力的作用