第1章 最优化方法的一般概念
最优化方法
最优化方法1. 简介最优化方法是一种通过调整变量值以最小化或最大化某个目标函数来优化系统性能的数学方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍最优化方法的基本概念、常用算法以及其在实际问题中的应用。
2. 最优化问题最优化问题可以分为无约束最优化和约束最优化问题。
无约束最优化问题是在没有任何限制条件的情况下，寻找使目标函数值最小或最大的变量值。
约束最优化问题则在一定的约束条件下寻找最优解。
在最优化问题中，目标函数通常是一个多元函数，而变量则是目标函数的输入参数。
最优化的目标可以是最小化或最大化目标函数的值。
常见的优化问题包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
3. 常用最优化算法3.1 梯度下降法梯度下降法是最常用的最优化算法之一。
它通过计算目标函数相对于变量的梯度（即偏导数），以负梯度方向更新变量值，逐步接近最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，但可能收敛速度较慢，且容易陷入局部最优解。
3.2 牛顿法牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数（即海森矩阵）信息进行更新的最优化算法。
相较于梯度下降法，牛顿法的收敛速度更快，并且对于某些非凸优化问题更具优势。
然而，牛顿法的计算复杂度较高，且可能遇到数值不稳定的问题。
3.3 共轭梯度法共轭梯度法是一种用于解决线性方程组的最优化算法。
它利用共轭方向上的信息以减少最优化问题的迭代次数。
共轭梯度法适用于大规模线性方程组的求解，并且在非线性优化问题中也得到了广泛应用。
3.4 遗传算法遗传算法是一种通过模拟生物进化过程寻找最优解的优化算法。
它通过交叉、变异等操作生成新的解，并通过适应度评估筛选出优秀的解。
遗传算法适用于搜索空间较大、复杂度较高的优化问题。
4. 最优化方法的应用最优化方法在各个领域都有广泛的应用。
在经济学领域，最优化方法可以用于优化生产资源的配置、最小化成本或最大化利润等问题。
它可以帮助决策者制定最优的决策方案，提高效益。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法及其python程序实现
最优化方法及其python程序实现最优化方法及其Python程序实现一、引言最优化方法是一种在给定的约束条件下，寻找最佳解决方案的数学方法。
它可以应用于各种领域，如工程、经济学、物理学等。
在本文中，我们将介绍最优化方法的基本概念和常用算法，并使用Python语言实现一个最优化问题的求解程序。
二、最优化方法的基本概念最优化方法旨在寻找使目标函数取得最大或最小值的自变量。
其中，目标函数是需要优化的函数，自变量是影响目标函数取值的变量。
最优化问题通常包含约束条件，限制了自变量的取值范围。
三、最优化方法的分类最优化方法可以分为无约束优化和约束优化两类。
无约束优化是指在没有任何约束条件下，寻找目标函数的最优解。
约束优化是在一定约束条件下，寻找满足约束条件的目标函数的最优解。
四、最优化方法的常用算法1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种常用的无约束优化算法。
它通过计算目标函数的梯度（导数），沿着梯度的反方向更新自变量的取值，以逐步接近最优解。
在Python中，可以使用NumPy库来实现梯度下降法。
2. 单纯形法（Simplex Method）单纯形法是一种常用的线性规划算法，用于求解线性约束条件下的最优化问题。
它通过不断调整顶点的位置，逐步接近最优解。
在Python中，可以使用SciPy库中的linprog函数来实现单纯形法。
3. 全局优化算法（Global Optimization）全局优化算法用于求解具有多个局部最优解的问题。
它通过遍历自变量的取值空间，寻找全局最优解。
在Python中，可以使用SciPy 库中的basinhopping函数来实现全局优化算法。
五、Python程序实现最优化问题的求解下面我们以求解一个简单的无约束优化问题为例，演示如何使用Python实现最优化问题的求解。
```pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import minimize# 定义目标函数def objective(x):return x**2 + 10*np.sin(x)# 使用梯度下降法求解最优化问题x0 = np.array([2.0]) # 初始解result = minimize(objective, x0, method='BFGS')# 输出最优解和目标函数的最小值print("Optimal solution:", result.x)print("Minimum value:", result.fun)```在上述代码中，我们首先定义了一个目标函数objective，然后使用minimize函数来求解目标函数的最小值。
最优化计算方法第1章
具体内容
• 第一章 绪论 • 第二章 基本概念和理论基础 • 第三章 线性规划 • 第四章 最优化搜索算法结构与一维搜索 • 第五章 无约束最优化方法 • 第六章 约束最优化方法
路漫漫其悠远
教材及主要参考书目
《最优化计算方法》陈开周编，西电出版社 《最优化理论与方法》袁亚湘等编，科学出版社 《最优化理论与算法》陈宝林编，清华大学出版社 《数学规划讲义》马仲蓄等编，人大出版社 《实用线性规划》D.M希梅尔布劳著 《无约束最优化计算方法》邓乃杨等编
可能的方案 追求的目标
最优化就是从所有可能的方 案中选择最合理的一种以达 到最优目标的学科
后者是前者的函数. 如果第一要素与时间无关就称为静态最优化问题，否则 称为动态最优化问题。
本课程主要讨论静态最优化问题。
路漫漫其悠远
历史与现状
• 公元前500年，古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方 形长与宽的最佳比例为1.618,称为黄金分割比。其倒数 至今在优选法中仍得到广泛应用。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是 用约束的数学函数形式来表示的。 目标函数
其作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效 率，即系统追求的目标。
路漫漫其悠远
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类 无约束最优化问题 约束最优化问题
• 等式约束优化问题
性的。
根据函数性质分类 动态与静态 随机与确定 单目标与多目标
路漫漫其悠远
优化模型的分类
解法的分类 解析方法:利用函数的分析性质去构造迭代公式，使之收敛
到极值点。 直接方法：按一定的数学原理，用尽量少的计算量，直接比
较函数值的大小。
工程优化方法第1章
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
工程优化方法第1章
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
设 f: D→ R 1( D R)n (D－定义域) (1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 可微; (3) x 为f(x)的极值点;
则: f x 0
工程优化方法第1章
Th3(充分条件) ： 设 f: D→ R(1 D )Rn(D－定义域)
(1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 处二次可微;
2 f
x12
2 f x2x1
2 f
x
n
x1
2 f x1x2
2 f x22
2 f x1x3 2 f x2x3
2 f
2 f
xnx2 xnx3
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
第一章 最优化问题概述
43
黄金分割法
若第一次选取的试点为x1<x2,则下一步保留的 区间为[a,x2]或[x1,b],两者的机会是均等的. 因此我们选取试点时希望x2-a=b-x1. 设x1=a+p(b-a),则x2=a+(1-p)(b-a). x2 x1 a
26
可行方向
定义1.2.2(可行方向) 已知区域 , x k∈ D , 对于向量pk≠0,若存在实数b >0, 使得对任意的 a∈(0,b ),有:xk+apk∈D, 则称pk为点xk处关于区域D的可行方向. 对于D的内点(存在邻域包含于D),任意方向可 行,对于边界点(任意邻域既有D的点也有不在D 中的点),则有些方向可行,有些方向不可行. 若下降方向关于域D可行,则称为可行下降方向.
29
收敛速度
定义1.2.3 设序列{xk}收敛于x*,而且
若0<b<1,则称{xk}为线性收敛的,称b为收敛比;
若b=0,则称{xk}为超线性收敛的.
定义1.2.4 设序列{xk}收敛于x*,而且
则称{xk}为p阶收敛.
30
终止准则
对于一种算法,应该有某种终止准则,当某次迭代 满足终止准则时,就停止迭代.常用的终止准则有:
21
最优化问题的分类
根据数学模型中有无约束函数分为有约束的 最优化问题和无约束的最优化问题. 根据目标函数和约束函数的函数类型分类:线 性最优化问题,非线性最优化问题,二次规划, 多目标规划,动态规划,整数规划,0-1规划.
22
§1.2 最优化问题的一般算法
23
迭代算法
迭代算法 选取一个初始可行点x0∈D,由这个 初始可行点出发,依次产生一个可行点列: x1,x2,· · · ,xk,· · · , 记为{xk},使得某个xk恰好是问题的一个最优解, 或者该点列收敛到问题的一个最优解x*. 下降算法 在迭代算法中一般要求 f(xk+1)≤f(xk).
最优化与最优控制
0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn)源自2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
npjiangb@
• 2.2 多元函数无约束的极小化 一、Hesse矩阵
设f
: Rn
R1 ,
X
0
Rn
, 如果f在点X
处对于自变量
0
X的各分量的二阶偏导数 2 f ( X 0 ) (i, j 1,2,, n) xix j
都存在，
则
称
函数f在
点X
处
0
二阶
可
导，
并且称矩阵
2
f (X x12
其中 N x * x x x * , 0 。 同样有：严格局部最优解。若 f x * f x
npjiangb@
定义 范数： 在 n 维实向量空间 R n 中，
定义实函数 x , 使其满足以下三个条件：
（１）对任意 x R n 有 x 0 , 当且仅当
dt
t0
• 五 终端控制问题
J Q[x(t f ), t f ]
• 六 非线性系统的最优控制
npjiangb@
• 1.5 最优化问题的解法
• 解析法：利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛 到最优解
• 直接法：它对函数的解析性质没有要求，而是根据一定 的数学原理来确定
最优化方法期末总结
最优化方法期末总结随着现代科学技术的发展，优化问题的研究日益深入。
在实际生活中，我们会遇到很多需要从众多方案中找到最好方案的问题，比如最小化成本、最大化收益、最小化能耗等等。
优化方法就是为了解决这些问题而开发的一系列数学理论和算法。
本次期末总结主要围绕最优化方法的基本概念、核心算法以及应用领域展开。
下面我将从定义、基本概念、常见算法以及实际应用等几个方面进行总结。
一、最优化方法的定义和基本概念1. 最优化问题的定义：最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找某个目标函数最优解的问题。
其中目标函数可以是最大值或最小值，约束条件可以是线性或非线性。
2. 目标函数和约束条件：目标函数是优化问题中需要优化的目标，可以是线性或非线性函数。
约束条件是指在解决优化问题过程中需要满足的条件，可以是等式或不等式。
3. 最优解和可行解：最优解指的是目标函数取得最优值时对应的解，可行解指的是在约束条件下满足一定条件的解。
4. 局部极值和全局极值：局部极值是指在某个局部范围内找到的最优解，全局极值是指在整个解空间内找到的最优解。
局部极值不一定是全局极值。
二、常见的最优化算法1. 暴力搜索法：暴力搜索法是最简单也是最直接的方法，它通过穷举所有解来找到最优解。
由于穷举所有解的时间复杂度很高，因此只适用于解空间较小的问题。
2. 数学优化方法：数学优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等，它们通过建立数学模型来求解最优解。
这些方法通常利用数学理论和计算机算法进行求解，效果较好。
3. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代算法，它通过不断改变解的值来逼近最优解。
具体来说，它利用目标函数的梯度信息来确定下一步的移动方向，然后沿着梯度的反方向更新解的值。
4. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它将解表示为一组染色体，并通过交叉、变异等操作来产生新的解，然后根据适应度函数的评估来选择优秀的解。
5. 粒子群优化算法：粒子群优化算法是一种模拟鸟群或鱼群等集体行为的优化算法。
最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。
定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。
分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。
目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。
目标函数和约束条件的数学表达。
03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。
梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。
混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。
模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。
进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。
02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。
数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。
单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。
单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。
线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。
生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。
配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。
投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。
最优化方法全部ppt课件
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
最优化方法教案
第一章最优化问题及数学预备知识最优化分支：线性规划，整数规划，几何规划，非线性规划，动态规划。
又称规划论。
应用最优化方法解决问题时一般有以下几个特点：1. 实用性强2. 采用定量分析的科学手段3. 计算量大，必须借助于计算机4. 理论涉及面广应用领域：工业，农业，交通运输，能源开发，经济计划，企业管理，军事作战……。
§1.1 最优化问题实例最优化问题：追求最优目标的数学问题。
经典最优化理论：（1） 无约束极值问题：),,,(opt 21n x x x f（),,,(m in 21n x x x f 或),,,(m ax 21n x x x f ）其中，),,,(21n x x x f 是定义在n 维空间上的可微函数。
解法（求极值点）：求驻点，即满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='0),,(0),,(0),,(11121n x n x n x x x f x x f x x f n并验证这些驻点是否极值点。
（2） 约束极值问题：),,,(opt 21n x x x fs.t. )(,,2,1,0),,,(21n l l j x x x h n j <==解法：采用Lagrange 乘子法，即将问题转化为求Lagrange 函数),,(),,,(),,;,,,(1121121n j j lj n l n x x h x x x f x x x L λλλ∑=+=的无约束极值问题。
近代最优化理论的实例：例1 (生产计划问题) 设某工厂有3种资源B 1，B 2，B 3，数量各为b 1，b 2，b 3，要生产10种产品A 1，…，A 10 。
每生产一个单位的A j 需要消耗B i 的量为a ij ，根据合同规定，产品A j 的量不少于d j ，再设A j 的单价为c j 。
问如何安排生产计划，才能既完成合同，又使总收入最多？（线性规划问题）数学模型：设A j 的计划产量为 j x ，z 为总产值。
《最优化方法》课程教学标准
《最优化方法》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《最优化方法》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的课程之一，它与工农业生产等实际问题紧密联系。
本课程的目的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等其他数学科学的知识，来对各种实际问题建立优化模型，并构造优化算法，使学生学会和掌握本课程的基本优化模型、基础理论和方法，为他们解决实际问题提供思想与方法；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本优化方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第六学期或第七学期。
这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析等课程，这是学习《最优化方法》课程必要的基础知识。
同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决优化问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由孙文瑜、徐成贤和朱德通编写的、高等教育出版社2004年出版的《最优化方法》一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、最优化方法，施光燕、董加礼，高等教育出版社，19992、最优化理论与算法，陈宝林，清华大学出版社，1989第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章基本概念主要介绍优化问题的基本模型、凸集和凸函数的概念和性质、最优性条件及最优化方法概述。
本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）：§1.1最优化问题简介§1.2凸集和凸函数§1.3 最优性条件§1.4 最优化方法概述第二章线性规划本章介绍线性规划的基本性质及其对偶理论，求解线性规划的单纯形方法和对偶单纯形方法以及内点算法。
最优化方法 第二版 孙文瑜 部分课后答案
0 的边界点；
2. 考虑下述约束最优化问题
min x1
s.t.
x21 + (x2 − 2)2 x21 1,
3,
画出问题的可行域和目标函数的等位线，并由此确定问题的所有局部最优解和全局最优解.
解: 可行域和等位线如下
1
x2
(1,2 2)
( 3,2)
(0,2)
3 1
(1,2 2)
1 3 x1
全等局位最线优：解f (x：1)x1==k；−√局3部, x最2 =优2解. ：x1
T = {x|f (x) α}
为函数 f (x) 关于实数 α 的水平集. 证明对任意实数 α，集合 T 是凸集. 证: 对于 ∀x1, x2 ∈ T ，根据 T 的定义则有 f (x1) α, f (x2) α. 由于 D 是凸集，则对于 ∀λ ∈ [0, 1]，必 有
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ D 又由于 f (x) 是 D 上的凸函数，则有
f (λx∗ + (1 − λ)y) λf (x∗) + (1 − λ)f (y) λf (x∗) + (1 − λ)f (x∗) = f (x∗)
5
这表明在 x∗ 的任意小的邻域内都存在函数值小于 f (x∗) 的可行点，这与 x∗ 是局部最优解相矛盾，则 x∗ 是一个全局最优解. 再证 x∗ 是唯一的：由于目标函数是严格凸的，设 x∗ ̸= y∗ 都是全局最优解，则 f (x∗) = f (y∗). 由严格凸 函数的定义，而 ∀λ ∈ (0, 1)，有
λx1 + (1 − λ)y1 + λx2 + (1 − λ)y2 = λ(x1 + x2) + (1 − λ)(y1 + y2) λ+1−λ=1
浅谈最优化方法在数学建模中的应用
clf.fit(X_train, y_train)
#在测试集上评估模型
score = clf.score(X_test, y_test)
print("Accuracy:", score)
案例分析让我们以一个简单的分类问题为例来分析最优化方法的应用。假设我 们有一个简单的二分类问题，我们希望通过建立一个分类器来预测样本的类别。 我们可以使用Scikit-learn中的SGDClassifier类来实现梯度下降法，该类使 用了随机梯度下降法来最小化损失函数，进而求解最优分类器。
最优化方法在数学建模中的优点 和不足
优点： 1、能够找到问题的最优解，提高决策效率和准确性； 2、可以处理多目标、多约束条件的问题，具有广泛的应用范围；
3、可以通过数学软件和算法实现自动化求解，降低人力成本。 不足： 1、某些情况下，最优化问题可能没有可行解或者最优解，需要谨慎处理；
2、最优化方法的效率取决于问题的复杂性和规模，对于大规模、高维度的问 题，求解时间可能较长；
三、案例分析
以一个简单的投资组合优化问题为例，说明最优化方法在数学建模中的应用。 假设投资者有10万元资金可用于投资，共有5只股票可供选择。投资者希望在 风险可控的情况下，最大化收益。为此，我们需要建立一个数学模型来描述这 个问题。
首先，我们需要确定投资组合中每种股票的投资比例。设x1,x2,x3,x4,x5分 别为五种股票的投资比例，则有以下限制条件： xi>=0, i=1,2,3,4,5 （1） xi<=1, i=1,2,3,4,5 （2） sum(xi)=1 （3）
在这个例子中，我们使用了Iris数据集进行训练和测试。首先，我们使用 train_test_split函数将数据集划分为训练集和测试集。然后，我们使用 SGDClassifier类来建立模型并训练。最后，我们使用测试集来评估模型的性 能。通过这个例子，我们可以看到最优化方法在数学建模中的应用以及 Scikit-learn的方便之处。
最优化方法与工程数值计算
最优化方法与工程数值计算最优化方法与工程数值计算随着计算机技术的不断发展，数值计算在工程领域中变得越来越重要。
而在数值计算中，最优化方法被广泛应用于解决实际问题中的优化问题。
本文将介绍最优化方法以及它在工程数值计算中的应用。
一、最优化方法的基本概念最优化方法是指在满足一定约束条件下，使某个目标函数取得最大值或最小值的方法。
最优化问题可以用数学模型来描述，具体形式如下：$$\min_{x\in D} f(x)$$其中 $x\in R^n$，$f(x)$ 是目标函数，$D$ 是定义域。
二、最优化方法的分类根据约束条件的不同，最优化方法可以分为无约束优化和有约束优化两种。
1. 无约束优化无约束优化是指在不受任何约束条件的情况下，使目标函数取得最大值或最小值的问题。
最常用的方法有梯度下降法、黄金分割法、牛顿法等。
梯度下降法是一种机器学习中常用的优化方法，其基本思想是以当前点的负梯度方向作为搜索方向，通过迭代逐步接近极小值点。
该方法在优化函数平稳的区域表现较好，但在函数存在局部极小值的情况下容易陷入局部最优解。
2. 有约束优化有约束优化是指在受到一定约束条件的情况下，使目标函数取得最大值或最小值的问题。
最常用的方法为拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法是在目标函数外加约束条件的前提下，将其转化为一个无约束优化问题，然后引入拉格朗日乘子，求得目标函数的极值。
该方法适用于约束条件为等式的情况。
三、最优化方法在工程领域中的应用最优化方法在工程领域中有广泛的应用。
例如，在机械设计中，最优化方法可用于优化结构、减少重量、降低成本等；在电力系统中，最优化方法可用于计算电网的输电能力，以及优化功率系统的运行参数；在化学工程中，最优化方法可用于优化生产过程，提高化学效率等。
最优化方法的应用与工程数值计算息息相关，因为往往需要使用最优化方法来求解实际工程问题中的最优解。
同时，由于实际工程问题往往存在多个约束条件，这就需要使用带约束的最优化方法进行求解。
算法中的最优化方法与实现
算法中的最优化方法与实现最优化方法是在算法设计和实现中常用的技术手段之一，旨在寻找最佳的解决方案。
在计算机科学和运筹学等领域，最优化方法被广泛应用于解决各种问题，如优化模型、图像处理、机器学习等。
本文将介绍最优化方法的基本概念和常见的实现技术。
一、最优化方法的基本概念最优化方法是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数取得最大或最小值的一种数学技术。
最优化方法主要包括两种类型：无约束最优化和约束最优化。
无约束最优化方法是在没有约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的解。
而约束最优化方法则需要考虑一定的约束条件下，寻找满足约束条件的最优解。
在最优化方法中，常用的数学工具有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、线性规划、非线性规划等。
其中，梯度下降法是最常用的一种方法，通过迭代的方式不断调整解的数值，以逐步优化目标函数的取值。
牛顿法是一种基于泰勒展开的迭代方法，通过二阶导数信息来寻找最优解。
拟牛顿法则是对牛顿法的改进，通过近似计算Hessian矩阵的逆来加速计算过程。
线性规划和非线性规划则是在一定的约束条件下，寻找使目标函数最优的线性或非线性方程组的解。
二、最优化方法的实现技术在实现最优化方法时，需要考虑以下几个方面的技术手段：1.模型建立：首先需要将实际问题抽象成数学模型。
通过定义目标函数和约束条件，将问题转化为数学优化模型。
在模型建立过程中，需要考虑问题的特性和限制，选择适当的数学表达方式。
2.选择合适的算法：根据问题的特点和规模，选择合适的最优化算法。
不同的算法适用于不同类型的问题，例如梯度下降法适用于连续可微的目标函数，而线性规划适用于线性约束条件下的优化问题。
3.算法实现：将选择的算法转化为可执行的代码。
在实现过程中，需要考虑算法的复杂度和效率，选择合适的数据结构和算法优化技巧，以提高算法的执行速度和效果。
4.参数调优：在实际应用中，往往需要对算法的参数进行调优。
通过实验和验证，对算法参数进行调整，以达到最佳的优化效果。
第1章 最优化方法的一般概念
第1章最优化方法的一般概念最优化问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目的，寻找一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优1控制系统。
针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。
1.1 目标函数、约束条件和求解方法根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，给出约束条件和目标函数最优化方法解决实际工程问题的步骤：2（或性能指标）；对所建立的模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化求解方法；根据最优化方法的算法，列出程序框图并编写程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等做出评价。
目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。
1．目标函数：就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数。
该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果就表现为目标函数取极值。
32．约束条件：在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。
3．求解方法：是获得最佳结果的必要手段。
该方法使目标函数取得极值，所得结果称为最优解。
4解：①目标函数：122max (cos )sin S x x x ②约束条件：a x x 21212(0,0)x x （非线性）（线性）说明：5这是一个非线性带等式约束的静态最优化问题。
这类问题有时可以方便地将等式约束条件带入到目标函数中，从而将有约束条件的最优化问题转换为无约束条件的最优化问题，以便求解。
例如：将例1-1转换为无约束条件的最优化问题，目标函数变为：sin )cos 2(max 222x x x a S例1-2（P2）（※）仓库里存有20m 长的钢管，现场施工需要100根6m 长和80根8m 长的钢管，问最少需要领取多少根20m 长的钢管？解：用一根20m 长的钢管，截出8m 管和6m 管的方6法只有三种：设x 1为一根20m 管截成两根8m 管的根数；x 2为一根20m 管截成一根8m 管和两根6m 管的根数；x 3为一根20m 管截成三根6m 管的根数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1章最优化方法的一般概念
最优化问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目的，寻找一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优1
控制系统。
针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。
1.1 目标函数、约束条件和求解方法
根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，给出约束条件和目标函数最优化方法解决实际工程问题的步骤：
2
（或性能指标）；
对所建立的模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化求解方法；
根据最优化方法的算法，列出程序框图并编写程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等做出评价。
目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。
1．目标函数：就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数。
该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果就表现为目标函数取极值。
3
2．约束条件：在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。
3．求解方法：是获得最佳结果的必要手段。
该方法使目标函数取得极值，所得结果称为最优解。
4
解：①目标函数：
122max (cos )sin S x x x ②约束条件：
a x x 21212(0,0)x x （非线性）（线性）说明：5
这是一个非线性带等式约束的静态最优化问题。
这类问题有时可以方便地将等式约束条件带入到目标函数中，从而将有约束条件的最优化问题转换为无约束条件的最优化问题，以便求解。
例如：将例1-1转换为无约束条件的最优化问题，目标函数变为：
sin )cos 2(max 222x x x a S
例1-2（P2）（※）仓库里存有20m 长的钢管，现场施工需要100根6m 长和80根8m 长的钢管，问最少需要领取多少根20m 长的钢管？
解：用一根20m 长的钢管，截出8m 管和6m 管的方6
法只有三种：设x 1为一根20m 管截成两根8m 管的根数；x 2为一根20m 管截成一根8m 管和两根6m 管的根数；x 3为一根20m 管截成三根6m 管的根数。
目标是领取数目最少的20m 管进行分割，得到100根6m 长和80根8m 长的钢管，故：
①目标函数：
②约束条件：
321min x x x n ,80221x x （线性）
7
说明：这是一个带有不等式约束的静态最优化问题。
它的目标函数和约束条件都是线性的，可用线性规划的方法求解此类问题。
3,2,1,0,1003232i x x x i （线性）
A (0,1)
8
()2t t
1.2 静态最优化问题与动态最优化问题1．静态最优化问题：就是选择系统的最优参数使目标函数取极值。
静态最优化问题的解不随时间而变化。
系统的数学模型是代数方程。
29
．动态最优化问题：动态最优化问题的目标函数的自变量是函数（一般是时间的函数）。
动态最优化问题的解随时间而变化。
系统的数学模型是微分方程或差分方程。
动态最优化问题习惯上又称为最优控制问题，即选择系统最优的运动轨线，使泛函形式的目标函数取极值。
3．静态最优化问题和动态最优化问题的求解方法: 1）解决静态最优化问题（求函数极值）可以用线性规划和非线性规划方法。
2）解决动态最优化问题（求泛函极值）可采用变分法、最大（小）值原理和动态规划等方法。
10
1.3 线性规划和非线性规划
1. 线性规划问题：该类问题的目标函数和约束线性规划和非线性规划是静态最优化问题的两个分支:
11
条件都是变量的线性函数。
2.非线性规划问题：该类问题的目标函数和约束条件中含有变量的非线性函数。
1.4 最优化方法在控制领域中的应用
例1-4（P4）参数估计
参数估计应理解为系统结构已知的条件下，用试验方法所取得的数据来确定系统动12
力学模型中的参数。
即参数估计就是已知系统结构的条件下，经过对系统输入输出的观测，估计出系统参数的最优值，使数据拟合的残差平方和最小。
这是最优化方法在控制领域中的很常见的一种应用。
单输入131
k
例1-4（P5）最小方差控制
在随机控制理论中，使有随机噪声作用的被控系统的输出方差最小的控制策略称为最小方差控制，最小方差控制方式可应用于许多工业过程控制中。
14
假定被控对象的输出、控制输入和随机干扰之间的关系由可控自回归滑动平均(CARMA)时间序列模型来描述：
)()1()()()1()()
()1()(1101r k e c k e c k e m d k b d k u b d k u b n k y a k y a k y r m n 式中：
15
y (k ) —k 时刻的输出；
u (k ) —k 时刻的控制输入；
d —响应滞后拍数，d ≥1；
{e (k )}—零均值高斯白噪声序列;
—系统中的随机过程干扰)()1()()(1r k e c k e c k e k w r 目标函数为： 2
min [()]()J u k E y k 约束条件
作业：
某项工程需成套横截面相同且长度不同的钢梁，每一套由7根2米长与2根7米长的钢梁组成。
这些钢梁是由15米长的钢坯截下的，现生产10016套钢梁，问应如何下料使用料最省，建立这一问题的数学模型。