圆锥曲线极点极线问题
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（II）如图，直线 和 上显然是椭圆 的两条切线，由题意点 在直线 和 上，MN即是由E点生成的椭圆的极线.因此直线MN的方程为
MN的方程求出后剩下工作属常规计算.
设G、H分别是直线MN与渐近线 及 的交点，
由方程组
解得
故
因为点E在双曲线 所以
分析：如果是常规方法求直线MN的方程，只能是观察：由题意点 在直线 和 上，因此有 故点M、N均在直线 上，因此直线MN的方程为 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.
（I）证明 为定值；
（II）设 的面积为S，写出 的表达式，并求S的最小值。
（21）（本小题满分13分）
设 ，点 的坐标为（1,1），点 在抛物线 上运动，点 满足 ，经
过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足
,求点 的轨迹方程。
（20）（本小题满分13分）
点 在椭圆 上， 直线 与直线 垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 .
题4、已知椭圆C的离心率 ，长轴的左右端点分别为 ， 。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆C交于P、Q两点，直线 与 交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解法一：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 。…………………1分
∵ ， ，∴ ， 。………………4分
（I）证明:点 是椭圆 与直线 的唯一交点；
（II）证明: 构成等比数列。
我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时，一定会站在一个比较高的位置出发，比较新颖的角度来考虑.而往往他们能够一眼看穿的结论、一招制敌的办法却不为高中同学所熟知.所以，如果我们能够了解一些圆锥曲线的极点极线知识，可以帮助我们快速知道结论，从而指明解题的方向.
记 ，则 。……………6分
的方程是 的方程是 ……7分
由 得 …………………9分
即
………………………………12分
这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。………………13分
2006高考全国卷（21）（本小题满分为14分）
已知抛物线 的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用
刘定勇
（安徽省宁国中学，242300）
圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.
文[1]给出了两个较为简洁的结论：
命题1椭圆 ，点 对应的极线 .
双曲线 ，点 对应的极线 .
∴椭圆 的方程为 。………………………………………5分
（Ⅱ）取 得 ，直线 的方程是
直线 的方程是 交点为 …………7分,
若 ，由对称性可知交点为
若点 在同一条直线上，则直线只能为 。…………………8分
以下证明对于任意的 直线 与直线 的交点 均在直线 上。事实上，由 得 即 ，
记 ，则 。…………9分
设 与 交于点 由 得
设 与 交于点 由 得 ………10
，……12分
∴ ，即 与 重合，这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。13分
解法二：（Ⅱ）取 得 ，直线 的方程是 直线 的方程是 交点为 …………………………………………7分
取 得 ，直线 的方程是 直线 的方程是 交点为 ∴若交点 在同一条直线上，则直线只能为 。……………8分
参考文献：
1王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景பைடு நூலகம்解法[J].中学数学教学，2006（6）
2梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983
精心搜集整理，只为你的需要
以下证明对于任意的 直线 与直线 的交点 均在直线 上。事实上，由 得 即 ，记 ，则 。………………9分
的方程是 的方程是 消去 得 …①以下用分析法证明 时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明 即证 即证 ………………②∵ ∴②式恒成立。这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。
解法三：（Ⅱ）由 得 即 。
题2、（2010重庆文21）已知以原点 为中心， 为右焦点的双曲线 的离心率 .
（Ⅰ）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题图，已知过点 的直线 ： 与过点 （其中 ）的直线 ： 的交点 在双曲线 上，直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 、 两点，求 的值.
解析：（I）C的标准方程为
C的渐近线方程为
解析：第一个问题，依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 .
第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为 在椭圆 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 并不经过 .还有学生看到 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.
事实上， 是 对应的极线， 在椭圆 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.
（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T的坐标为
直线 ，与椭圆联立得
直线 ，与椭圆联立得
当 时，直线MN方程为：
令 ，解得： .此时必过点D（1，0）；
当 时，直线MN方程为： ，与x轴交点为D（1，0）.
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.
分析：怎么样目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.
如果知道点T的坐标为 ，事实上T的轨迹是 ，可以看成是一条极线： ，所以它一定过定点D（1，0）.
题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（ ）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, .
（Ⅰ）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（Ⅱ）设 ，求点T的坐标；
（Ⅲ）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.
解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.
抛物线 ，点 对应的极线 .
命题2圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.
以上结论在文[2]中有证明.
如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：
题1、（2010湖北文15）.已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线 与椭圆C的公共点个数_____.
MN的方程求出后剩下工作属常规计算.
设G、H分别是直线MN与渐近线 及 的交点，
由方程组
解得
故
因为点E在双曲线 所以
分析：如果是常规方法求直线MN的方程，只能是观察：由题意点 在直线 和 上，因此有 故点M、N均在直线 上，因此直线MN的方程为 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.
（I）证明 为定值；
（II）设 的面积为S，写出 的表达式，并求S的最小值。
（21）（本小题满分13分）
设 ，点 的坐标为（1,1），点 在抛物线 上运动，点 满足 ，经
过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足
,求点 的轨迹方程。
（20）（本小题满分13分）
点 在椭圆 上， 直线 与直线 垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 .
题4、已知椭圆C的离心率 ，长轴的左右端点分别为 ， 。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆C交于P、Q两点，直线 与 交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解法一：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 。…………………1分
∵ ， ，∴ ， 。………………4分
（I）证明:点 是椭圆 与直线 的唯一交点；
（II）证明: 构成等比数列。
我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时，一定会站在一个比较高的位置出发，比较新颖的角度来考虑.而往往他们能够一眼看穿的结论、一招制敌的办法却不为高中同学所熟知.所以，如果我们能够了解一些圆锥曲线的极点极线知识，可以帮助我们快速知道结论，从而指明解题的方向.
记 ，则 。……………6分
的方程是 的方程是 ……7分
由 得 …………………9分
即
………………………………12分
这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。………………13分
2006高考全国卷（21）（本小题满分为14分）
已知抛物线 的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用
刘定勇
（安徽省宁国中学，242300）
圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.
文[1]给出了两个较为简洁的结论：
命题1椭圆 ，点 对应的极线 .
双曲线 ，点 对应的极线 .
∴椭圆 的方程为 。………………………………………5分
（Ⅱ）取 得 ，直线 的方程是
直线 的方程是 交点为 …………7分,
若 ，由对称性可知交点为
若点 在同一条直线上，则直线只能为 。…………………8分
以下证明对于任意的 直线 与直线 的交点 均在直线 上。事实上，由 得 即 ，
记 ，则 。…………9分
设 与 交于点 由 得
设 与 交于点 由 得 ………10
，……12分
∴ ，即 与 重合，这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。13分
解法二：（Ⅱ）取 得 ，直线 的方程是 直线 的方程是 交点为 …………………………………………7分
取 得 ，直线 的方程是 直线 的方程是 交点为 ∴若交点 在同一条直线上，则直线只能为 。……………8分
参考文献：
1王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景பைடு நூலகம்解法[J].中学数学教学，2006（6）
2梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983
精心搜集整理，只为你的需要
以下证明对于任意的 直线 与直线 的交点 均在直线 上。事实上，由 得 即 ，记 ，则 。………………9分
的方程是 的方程是 消去 得 …①以下用分析法证明 时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明 即证 即证 ………………②∵ ∴②式恒成立。这说明，当 变化时，点 恒在定直线 上。
解法三：（Ⅱ）由 得 即 。
题2、（2010重庆文21）已知以原点 为中心， 为右焦点的双曲线 的离心率 .
（Ⅰ）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题图，已知过点 的直线 ： 与过点 （其中 ）的直线 ： 的交点 在双曲线 上，直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 、 两点，求 的值.
解析：（I）C的标准方程为
C的渐近线方程为
解析：第一个问题，依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 .
第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为 在椭圆 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 并不经过 .还有学生看到 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.
事实上， 是 对应的极线， 在椭圆 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.
（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T的坐标为
直线 ，与椭圆联立得
直线 ，与椭圆联立得
当 时，直线MN方程为：
令 ，解得： .此时必过点D（1，0）；
当 时，直线MN方程为： ，与x轴交点为D（1，0）.
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.
分析：怎么样目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.
如果知道点T的坐标为 ，事实上T的轨迹是 ，可以看成是一条极线： ，所以它一定过定点D（1，0）.
题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（ ）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, .
（Ⅰ）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（Ⅱ）设 ，求点T的坐标；
（Ⅲ）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.
解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.
抛物线 ，点 对应的极线 .
命题2圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.
以上结论在文[2]中有证明.
如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：
题1、（2010湖北文15）.已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线 与椭圆C的公共点个数_____.