三次函数的性质与应用
三次函数的性质及应用
蔚县一中 苏翠林
三次函数的一般形式为)、、、,0()(23R d c b a a d cx bx ax x f ∈≠+++=,全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念。三次函数的导数为二次函数 ,因此 ,三次函数交汇了函数、不等式、方程等众多知识点以它为载体的试题 ,背景新颖独特 ,选拔功能强 。如果学生对三次函数的图象、性质以及三次方程根的情况有所了解，那就更加得心应手了。
一、三次函数的图象
1、学生对以下两个三次函数的图象比较熟悉
y y
x
2、d cx bx ax x f +++=23)(的图象有以下四种情况
0,0≤?>a 0,0>?>a 0,0≤?? 二、三次函数的性质 1、定义域：R 2、值域：R 3、单调性： 易证：三次函数）（0)(23>+++=a d cx bx ax x f ，导函数为二次函数)0(23)(2/>++=a c bx ax x f ，导函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-。 (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数（图1）； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在 ),(21x x 上为减函数，其中a ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=（图2）。 三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（a<0）的情况为图3、图4 4、极值： 三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值（图1）； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值（图2）。 三次函数)0()(23<+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值（图3）； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极小值，在2x x =处取得极大值（图4）. 5、对称性： 函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（--b a f b a 33，()）。 证明：设函数f x ax bx cx d a ()()=+++320≠的对称中心为（m ，n ）。 按向量a m n →=--()，将函数的图象平移，则所得函数 y f x m n =+-()是奇函数，所以 f x m f x m n ()()++-+-=20 化简得：0)3(233=-+++++n d cm bm am x b ma 上式对x R ∈恒成立， 故 30ma b +=，得 m b a =-3， n am bm cm d f b a =+++=- 323()。 所以，函数y ax bx cx d a =+++320()≠的对称中心是（--b a f b a 33，()）。 可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝f x '()的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 三、三次方程)0(023>=+++a d cx bx ax 实根的个数 分析：函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图象与x 轴有几个交点， 方程便有几个根。 1、当△=01242≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 2、当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，由图象可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时：若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x y y 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根（如图5、6）。 图5 图6 若0)()(21 若0)()(21=?x f x f ，即 )(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等（如图7、8）。 图7 图8 下面让我们来体会一下如何应用三次函数的图象、性质以及三次方程根的情况快速、准确地解答问题。 例1、设f x '()是函数f(x)的导函数，y f x ='()的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能是（ ） y x 1x O 2x y 1x O 2x x A B C D 解：根据图象特征，不妨设)(x f 是三次函数。则y f x ='()的图象给出了如下信息： ①a >0； ②导方程两根是0，2，（)(x f 对称中心的横坐标是1）； ③在（0，2）上f x '()<0；在（－∞，0）或（2，+∞）上f x '()>0。 由①和性质1可排除B 、D ；由③和性质1确定选C 。 例2、已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围？ 解：求函数f （x ）的导数：f x '()=3ax 2+6x －1. （ⅰ）当f x '()＜0（x ∈R ）时，f （x ）是减函数. 3ax 2+6x －1＜0（x ∈R ） a ＜0且Δ=36+12a ＜0 a ＜－3. 所以，当a ＜－3时，由f x '()＜0，知f （x ）（x ∈R ）是减函数； （ⅱ）当a =－3时，f （x ）=－3x 3+3x 2－x +1=－3（x －）3+, 由函数y =x 3在R 上的单调性，可知 当a =－3时，f （x ）（x ∈R ）是减函数； （ⅲ）当a ＞－3时,在R 上存在一个区间，其上有f x '()＞0， 所以，当a ＞－3时，函数f （x ）（x ∈R ）不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（－∞，－3］. 根据以上三次函数性质，我们就可以这样解 解：若a=0，13)(2+-=x x x f 为二次函数，在R 上不是减函数； 若a ≠0，13)(23+-+=x x ax x f 为三次函数，在R 上是减函数， 只须a<0且9+3a ≤0，即a ≤-3 综上，a 的取值范围是a ≤-3 例3：设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+。 (Ⅰ)求()f x 的极值； (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点． 标准答案是这样的： 解：（I ）f x x x '()=--3212 若f x '()=0，则x =-1 31， 当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况如下表： 所以f(x)的极大值是a f +=-275)31(，极小值是f a ()11=- （II ）函数f x x x x a x x a ()()()=--+=-++-322111 由此可知x 取足够大的正数时，有f x ()>0，x 取足够小的负数时有f x ()<0，所以曲线y f x =()与x 轴至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值5270+ 当f(x)的极小值a ->10，即a ∈+∞()1，时，它的极大值也大于0，因此曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点，它在 ()-∞-，13上 所以当 a ∈-∞-+∞()()，，5271 时，曲线y f x =()与x 轴仅有一个交 点。 如果熟悉三次函数的图象及性质，我们就可以这样解： 解：（Ⅰ）123)( 2--=x x x f ，若f x '()=0，则x=错误！未找到引用源。 因为三次项系数1为正，错误！未找到引用源。，结合图象，)(x f 的极大值是a f +=-275)31(，极小值是f a ()11=- （Ⅱ）结合图象，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．只须5270+10，所以当 a ∈-∞-+∞()()，，5271 时，曲线y f x =()与x 轴仅有 一个交点。 （也可以直接用1()(1)03f f -?>，） 例4、试求函数663)(23-+-=x x x x f 图象的对称中心。 方法一：可化为0030)()()(y x x B x x A x f +-+-=的形式，读出对称中 心（00y x ，）。 方法二：用结论（函数)(x f ，对于定义域内的任意x ，都有b x a f x a f 2)()(=-++成立的充要条件是函数)(x f 的图象关于点),(b a 对称），根据多项式恒等求出对称中心),(b a 。 方法三：（用于选择题，填空题或者检验答案的正确性）套用公式（--b a f b a 33，()）即（1，-2）。 纵观以上事例，只要我们了解了三次函数的图象、性质以及三次方程根的情况，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。尽管高中教学强调利用导数解决这类问题，但我们了解了这些知识，就会拓宽解题思路，而且有利于知识的系统性，有利于高中数学和高等数学的衔接。 学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日 目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7) 函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格 专题一 函数图象与性质的综合应用 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( ) A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝－log 2x C ．y ＝3x D ．y ＝－1 x 2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1 a ＋1 ，则 ( ) A ．a <1 2且a ≠－1 B ．－10 D ．－10f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ????43＋f ???? －43的值为________． 7．已知函数f (x )＝? ??? ? x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)， 则不等式f (x )＋2>0的解集是________． 8．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为 ___________． 三次函数的性质及在高考中的应用 一、三次函数的常用性质 性质1：函数y ax bx cx d a =+++320()≠， 若a >0，当?≤0时，y ＝f(x)是增函数；当?>0时，其单调递增区间是(][)-∞+∞，，x x 12，单调递增区间是[]x x 12，； 若a <0，当?≤0时，y f x =()是减函数；当?>0时，其单调递减区间是(]-∞，x 2，[)x 1，+∞，单调递增区间是[]x x 21，。 推论：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，当?≤0时，不存在极大值和极小值；当?>0时，有极大值f x ()1、极小值f x ()2。 根据a 和?的不同情况，其图象特征分别为： 性质2：函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（--b a f b a 33，()）。 二、三次函数的性质在高考中的应用 高考试题对三次函数主要考查：函数图象的切线方程，函数的单调性，函数的极值，函数的最值，证明不等式，函数零点的个数等。 1.(2004重庆卷)设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =--> (1)求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; (2)若不等式12()()0f x f x +≤恒成立，求a 的取值范围。 2. (2008福建卷)已知函数321()23 f x x x =+-. (1)设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求 证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上； (2)求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值. 对数性凸函数的性质及应用 王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄 摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。 关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语： 凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏 根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根 引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性 质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实 际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果 的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文 规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强. 函数及其性质专题 A 组题 1. 已知函数()133x x f x ?? =- ??? ，则()f x （ ） A. 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333x x x x f x f x --?? ??-=-=-=- ? ??? ??，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x y ??= ??? 是减函数，根据增函数?减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 2.函数33()11f x x x =++-，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ） A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a --- 【解析】可验证函数()f x 满足()()f x f x -=，()f x 是偶函数，故选B . 3.已知函数21,0 ()cos ,0x x f x x x ?+>=?? ≤，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[)1,-+∞ 【解析】当0x ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，当0x >时，),1(1)(2+∞∈+=x x f ，故选.D 4.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是（ ） A ．增函数且最小值是-5 B ．增函数且最大值是-5 C ．减函数且最大值是-5 D ．减函数且最小值是-5 【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题()f x 在[7,3]--上递增，故在[7,3]--上， m i n ()( 7)(7)5f x f f =-=-=-，故选.A 5.若函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，则(3)(4)f f -=( ) A.1- B.1 C. 2- D. 2 【解析】因为函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，所以(3)(4)(2)(1)(1)f(2) 1.f f f f f -=---=-=-故选.A 6.函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【解析】当,x k k Z π≠∈时，()()f x f x -=且()lg |sin()|lg |sin |()f x x x f x ππ+=+==，故选.C 7. 已知函数f (x )恒满足()(2)f x f x =-，且当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f 1 ()2 - ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系( ) 三次函数的性质以及在高考中的应用 三次函数y ax bx cx d a =+++320()≠已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 函数y ax bx cx d a =+++320()≠的导函数为y ax bx c '=++322。我们不妨把方程3202ax bx c ++=称为原函数的导方程，其判别式?=-432()b ac 。若?>0，设其两根为 x b b ac a x b b ac a 12223333=---=-+-、，则可得到以下性质： 性质1：函数y ax bx cx d a =+++320()≠， 若a >0，当?≤0时，y ＝f(x)是增函数；当?>0时，其单调递增区间是(][)-∞+∞，，x x 12，单调递增区间是[]x x 12，； 若a <0，当?≤0时，y f x =()是减函数；当?>0时，其单调递减区间是(]-∞，x 2， [)x 1，+∞，单调递增区间是[]x x 21，。 （证明略） 推论：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，当?≤0时，不存在极大值和极小值；当?>0 时，有极大值f x ()1、极小值f x ()2。 根据a 和?的不同情况，其图象特征分别为： 图1 性质2：函数f x ax bx cx d a x m n ()()[]=+++∈32 0≠，，，若x m n 0∈[]，，且f x '()00=，则： f x f m f f n ()m a x {()()()}max =，，0； f x f m f x f n ()m i n {()()()}min =，，0。 （证明略） 性质3：函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（--b a f b a 33，()）。 摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题 Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem 函数性质综合运用（讲义） ?课前预习 1.填空： ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________． 特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点． ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________． 2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题： ①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x 的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______； ②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的 增大而增大；该二次函数有最___值，是______． ③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当 1＜x≤5时，y的取值范围为__________． 注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --，． ?知识点睛 a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移：左加右减，上加下减 将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示． y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个． 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1 B ．-1或5 C ．1或-3 D ．1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)， 当a -b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ． 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称 轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④ 凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which 《函数图象与性质的综合应用》教学设计 一、内容及其解析 1．内容：函数图象与性质的综合应用。 2．解析： （1）函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容。 （2）函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位。 (3)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质。 二、目标及其解析 1.目标：（1）能根据要求作图、识图、用图，（2） 会用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题。 2.解析： （1）作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律；识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视；用图，主要是数形结合思想的应用。 （2）利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，其实是考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题，特别是函数的最值问题，它是高考中的重要题型之一，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型。 三、问题与例题 问题1：函数有哪些性质，用这些性质可以解决哪些数学问题？ 题型一 函数求值 例1 已知f (x )＝????? 2t x (x <2)，log t (x 2－1) (x ≥2)， 若f (2)＝1，则f [f (5)]＝________. 设计意图：求解分段函数的函数值应注意验证自变量的取值范围．易错点是忽视自变量取值范围的限制。 变式训练1 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 009)＋f (－2 010)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 题型二 函数与不等式 三初探 随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质. 1 单调性 三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中a ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=. 证明 c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 当0≤? 即032 ≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数. (2) 当0>? 即032 >-ac b 时，解方程0)('=x f ，得 a ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---= 0)('>x f ?1x x <或2x x > ?)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数. ?<0)('x f 21x x x <+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值. 凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.360docs.net/doc/9c12980526.html,work Information Technology Company.2020YEAR 凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式 最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality). 函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications; 一、选择题 1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ????20152等于( ) A.3＋1 B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1 3．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ????13 C ．{x |x <0或x >4} D ．{x |0 1、不等式)2(log log )1()32()1(->---x x x x 成立的一个充分不必要条件是 （ ） （A ）2>x （B ）4>x （C ）21< 三次函数的图象与性质 河源市河源中学 钟少辉 三次函数()f x =32(0)ax bx cx d a +++≠是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。 已知三次函数：32(0)y ax bx cx d a =+++≠定义域(,)-∞+∞ 则232y ax bx c '=++ ， 62y ax b ''=+。由0y '=得 2320ax bx c ++= (1) 依一元二次方程根的判别式知： 1.1若24120b ac ?=-＞ ， 即23b ac ＞。则方程（1）必有两个不相等的实根12,x x ，即三次函数必有两个驻点12,x x （这里不妨设21x x ＞）， 且123()()y a x x x x '=--。由函数极值的判定定理则有： 1.a ＞0 当1(,)()0x x f x '∈-∞时,＞，()f x 单调递增。 当12(,)()0x x x f x '∈时,＜， ()f x 单调递减。当2(,)()0x x f x '∈+∞时,＞ ，()f x 单调递增。 驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上 取得极小值，且12,x =。 Ⅱ.0a ＜ 情况正好与I 相反，在此不再赘述。 由以上讨论知：1223b x x a +=-，而由0y ''= 得33b x a =-，因而：6()3b y a x a ''=+，当a>0， (,)3b x a ∈-∞- 时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹） 。(,)3b x a ∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。当 0a ＜， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3b x a ∈-+∞时，()0 f x ''＜曲线是（向下凹）。 所以，无论a 的正负，3x 为曲线拐点的横坐标，且12 32 x x x += 即：曲线拐点的横坐标为两极值点（或二驻点）连线的中点 通过以上的讨论知：三次函数3 2 y ax bx cx d =+++，当23b ac ＞时，其图形的一般形状见 图1。 图1 0a > 0a < 中文题目：凸函数的性质及其应用 英文题目：The Property and Applications of Convex Functions 完成人： 指导教师： 系（院）别：数学与信息科技学院 专业、班级：数学与应用数学0602班 完成时间：二〇一〇年六月 河北科技师范学院数信学院制 目录 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 凸函数的定义 (2) 2.2凸函数的运算性质 (2) 2.3 Jesen不等式 (2) 3 本文的主要结果 (3) 3.1 凸函数的连续性 (3) 3.2 凸函数的微分性质 (3) 3.3 凸函数的积分性质 (6) 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7) 结束语 (12) 参考文献 (12) 英文摘要 (13) 致谢 (13) 凸函数的性质及其应用 (河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班) 指导教师： 摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。 关键词: 凸函数；不等式；证明 1 引言 凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、 多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】 。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有 着十分重要的作用【4】 。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是 最重要的【7】 。 凸函数的定义,最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念 已在许多数学分支中得到了广泛应用【8】 。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在 现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用【10】 。由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选 择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了【11】 。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。 2 预备知识 2.1 凸函数的定义 定义1 【10】 设()f x 在区间I 内有定义,如果对任意的1x , 2x ∈I , (1x ≠2x ) ,总有 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+ , 则称函数()f x 是区间I 内的凸函数,并称()f x 在I 内的图形是向下凸的;如果对任意的1212,()x x I x x ∈≠,对(0,1)λ?∈,总有 12 12[(1)](1)()() f x x f x f x λλλλ-+>-+, 则称函数()f x 是区间I 内的凹函数,并称()f x 在I 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹） 函数。 定义2 【 10】 设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1212,()x x x x ≠ ,恒有凸函数的性质与应用
专题一 函数图象与性质的综合应用
三次函数的性质及在高考中的应用(附解答)
对数性凸函数的性质及应用解读
函数性质综合应用专题
高三数学三次函数的性质以及在高考中的应用
凸函数的性质及其应用
函数性质综合运用(讲义)
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
函数图象与性质的综合应用
三次函数的三大性质初探
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
函数凹凸性的性质判定及应用
函数的性质综合应用
函数性质综合应用1
三次函数的图象与性质
凸函数的性质及其应用