三次函数的性质与应用

三次函数的性质及应用蔚县一中 苏翠林三次函数的一般形式为)、、、,0()(23R d c b a a d cx bx ax x f ∈≠+++=,全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念。

三次函数的导数为二次函数 ,因此 ,三次函数交汇了函数、不等式、方程等众多知识点以它为载体的试题 ,背景新颖独特 ,选拔功能强 。

如果学生对三次函数的图象、性质以及三次方程根的情况有所了解，那就更加得心应手了。

一、三次函数的图象1、学生对以下两个三次函数的图象比较熟悉y yx2、d cx bx ax x f +++=23)(的图象有以下四种情况0,0≤∆>a 0,0>∆>a 0,0≤∆<a 0,0>∆<a 图1 图2 图3 图4二、三次函数的性质1、定义域：R2、值域：R3、单调性：易证：三次函数）（0)(23>+++=a d cx bx ax x f ，导函数为二次函数)0(23)(2/>++=a c bx ax x f ，导函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-。

(1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数（图1）；(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=（图2）。

三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（a<0）的情况为图3、图44、极值：三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ,(1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值（图1）；(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值（图2）。

三次函数)0()(23<+++=a d cx bx ax x f ,(1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值（图3）；(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极小值，在2x x =处取得极大值（图4）.5、对称性：函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（--b a f ba 33，()）。

证明：设函数f x ax bx cx d a ()()=+++320≠的对称中心为（m ，n ）。

按向量a m n →=--()，将函数的图象平移，则所得函数y f x m n =+-()是奇函数，所以f x m f x m n ()()++-+-=20化简得：0)3(233=-+++++n d cm bm am x b ma上式对x R ∈恒成立，故 30ma b +=，得m b a =-3， n am bm cm d f b a =+++=-323()。

所以，函数y ax bx cx d a =+++320()≠的对称中心是（--b a f b a 33，()）。

可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝f x '()的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

三、三次方程)0(023>=+++a d cx bx ax 实根的个数分析：函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图象与x 轴有几个交点，方程便有几个根。

1、当△=01242≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

2、当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，由图象可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。

此时：若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在xyy轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根（如图5、6）。

图5 图6若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根（如图2）。

若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等（如图7、8）。

图7 图8 下面让我们来体会一下如何应用三次函数的图象、性质以及三次方程根的情况快速、准确地解答问题。

例1、设f x '()是函数f(x)的导函数，y f x ='()的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能是（ ）y x1x O 2xy 1x O 2x xA BC D解：根据图象特征，不妨设)(x f 是三次函数。

则y f x ='()的图象给出了如下信息：①a >0；②导方程两根是0，2，（)(x f 对称中心的横坐标是1）； ③在（0，2）上f x '()<0；在（－∞，0）或（2，+∞）上f x '()>0。

由①和性质1可排除B 、D ；由③和性质1确定选C 。

例2、已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围？ 解：求函数f （x ）的导数：f x '()=3ax 2+6x －1.（ⅰ）当f x '()＜0（x ∈R ）时，f （x ）是减函数.3ax 2+6x －1＜0（x ∈R ）a ＜0且Δ=36+12a ＜0a ＜－3.所以，当a ＜－3时，由f x '()＜0，知f （x ）（x ∈R ）是减函数； （ⅱ）当a =－3时，f （x ）=－3x 3+3x 2－x +1=－3（x －）3+, 由函数y =x 3在R 上的单调性，可知当a =－3时，f （x ）（x ∈R ）是减函数；（ⅲ）当a ＞－3时,在R 上存在一个区间，其上有f x '()＞0， 所以，当a ＞－3时，函数f （x ）（x ∈R ）不是减函数.综上，所求a 的取值范围是（－∞，－3］.根据以上三次函数性质，我们就可以这样解解：若a=0，13)(2+-=x x x f 为二次函数，在R 上不是减函数；若a ≠0，13)(23+-+=x x ax x f 为三次函数，在R 上是减函数，只须a<0且9+3a ≤0，即a ≤-3综上，a 的取值范围是a ≤-3例3：设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+。

(Ⅰ)求()f x 的极值；(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．标准答案是这样的：解：（I ）f x x x '()=--3212 若f x '()=0，则x =-131，当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况如下表：所以f(x)的极大值是a f +=-275)31(，极小值是f a ()11=-（II ）函数f x x x x a x x a ()()()=--+=-++-322111由此可知x 取足够大的正数时，有f x ()>0，x 取足够小的负数时有f x ()<0，所以曲线y f x =()与x 轴至少有一个交点。

结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值5270+<a ，即a ∈-∞-()，527时，它的极小值也小于0，因此曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点，它在()1，+∞上；当f(x)的极小值a ->10，即a ∈+∞()1，时，它的极大值也大于0，因此曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点，它在()-∞-，13上 所以当a ∈-∞-+∞()()，，5271 时，曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点。

如果熟悉三次函数的图象及性质，我们就可以这样解：解：（Ⅰ）123)( 2--=x x x f ，若f x '()=0，则x=错误！未找到引用源。

因为三次项系数1为正，错误！未找到引用源。

，结合图象，)(x f 的极大值是a f +=-275)31(，极小值是f a ()11=-（Ⅱ）结合图象，曲线()y fx =与x 轴仅有一个交点．只须5270+<a 或a ->10，所以当a ∈-∞-+∞()()，，5271 时，曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点。

（也可以直接用1()(1)03f f -⋅>，）例4、试求函数663)(23-+-=x x x x f 图象的对称中心。

方法一：可化为0030)()()(y x x B x x A x f +-+-=的形式，读出对称中心（00y x ，）。

方法二：用结论（函数)(x f ，对于定义域内的任意x ，都有b x a f x a f 2)()(=-++成立的充要条件是函数)(x f 的图象关于点),(b a 对称），根据多项式恒等求出对称中心),(b a 。

方法三：（用于选择题，填空题或者检验答案的正确性）套用公式（--b a f b a 33，()）即（1，-2）。

纵观以上事例，只要我们了解了三次函数的图象、性质以及三次方程根的情况，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。

尽管高中教学强调利用导数解决这类问题，但我们了解了这些知识，就会拓宽解题思路，而且有利于知识的系统性，有利于高中数学和高等数学的衔接。