讲不定积分与定积分的各种计算方法

泰山学院信息科学技术学院教案

第八讲 不定积分与定积分地各种计算方法

一、不定积分

1不定积分地概念

原函数：若在区间 上)()(x f x F =',则称)(x F 是地一个原函数.

原函数地个数: 若是在区间上地一个原函数, 则对,

都是在区

间上地原函数；若

也是

在区间上地原函数,则必有

.

可见,若

,则

地全体原函数所成集合为{

│

Ｒ}.

原函数地存在性: 连续函数必有原函数.

不定积分：地带有任意常数项地原函数称为地不定积分.记作

⎰dx x f )(

一个重要地原函数：若)(x f 在区间上连续,I a ∈,则

⎰

x a

dt t f )(是地一个

原函数.

2不定积分地计算 (1>裂项积分法

例1：dx x x dx x x dx x x )1

21(1211122

242

4⎰⎰⎰++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23

3

. 例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x

x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222

22222 例3：22

22

22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰

(2>第一换元积分法

有一些不定积分,将积分变量进行适当地变换后,就可利用基本积分表求出积分.例如,求不定积分cos 2xdx ⎰

,如果凑上一个常数因子2,使成为

()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =

•=⎰⎰⎰C x +=2sin 2

1

例4：

()()()

2

3222arctan 111dx d x d x

x C

x x x x ===++++⎰⎰⎰

例5：

2

2

22111111111dx

d d

x x x

x

x x x ⎛⎫

=-=-= ⎪⎝⎭

++⎛⎫+ ⎪⎝⎭

⎰⎰

⎰

2211

12

11d x x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰12

22

111112d x x -⎡⎤

⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰

1

2

2

2

1112112C C

x x ⎡⎤⎛⎫

⎛⎫

=-⋅++=-++⎢⎥ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t t

x d x x dx x x x x t 2

1arctan 21arctan 2)

1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.

(3>第二换元积分法

第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分,代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,

b t a

x t b ax n

n -=

=+。 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或。 被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =。 被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =。 例7：计算

()220a x dx

a ->⎰

【解】令sin ,,arcsin ,2

2x

x a t t t a x a a

π

π

=-

≤≤

=-≤≤则,且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而

22a x dx -⎰=()2

2

2

cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰

=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C

⎛⎫

++=++ ⎪⎝⎭