讲不定积分与定积分的各种计算方法
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
定积分和不定积分的计算方法总结
6. 求不定积分
解：
(e2x ex 1)
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7. 已知
x2 dx A x 1 x2 B dx
1 x2
1 x2
求A,B.
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 A 1 x2 Ax2 B
1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2 1 x2
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 证明 提示:
(P191题4)
2. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx
1
(
(3232))x2dxadxx
a
x
ln
a
dx
1
ln
2 3
d (32) x 1 (32)2 x
arctan(
2 3
)x
C
ln 2 ln3
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利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1）三角代换
2）根幂代换
3）倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）
8. 降幕法
二、定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
四、定积分的估值及其不等式的应用
4. 等价无穷小
1.不计算积分，比较积分值的大小
1) 比较定理：若在同一区间［a,b ］上，总有
f(x)>=g(x )则力⑴必』》叫x
2) 利用被积函数所满足的不等式比较之
a)
smx /
b)当 0<x<兀/2 时，2 兀< 'V <1
估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在［a,b ］上连续，且其最大
值为M ，最小值为m 则
3.具体函数的定积分不等式证法
1) 积分估值定理
2) 放缩法
3) 柯西积分不等式
［j f(x)g(x)dx *2
rb rb
< I (/(x)) * 2dx 5(x)%2dx
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2. M(b-a)<='丿㈤处
v=M(b-a)
四、定积分的估值及其不等式的应用
2）积分中值定理
3）常数变易法
4）利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法。
不定积分与定积分的计算方法
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。
不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。
本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。
不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。
常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。
定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。
常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。
三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。
1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。
常见求定积分与不定积分的方法11
宜宾学院11级毕业论文常见求定积分与不定积分的方法学院: 数学学院年级: 11级励志班学号: 110203001姓名: 丁云红专业: 数学与应用数学指导老师: 刘金兴二零壹伍年六月目录摘要 (2)关键词 (2)前言 (2)1.定积分 (2)1.1定义 (2)1.2方法 (3)1.2.1定义法 (3)1.2.2定积分法则 (3)1.2.3定积分区间性质求解定积分 (4)1.2.4积分中值定理 (6)1.2.5牛顿—莱布尼茨公式 (7)1.2.6定积分换元积分法 (8)1.2.7定积分分部积分法 (11)2.不定积分 (13)2.1定义 (13)2.2性质 (13)2.3方法 (14)2.3.1不定积分公式法 (14)2.3.2不定积分换元积分法 (16)2.3.3不定积分分部积分法 (20)2.3.4有理数和可化为有理数的不定积分求解方法 (22)参考文献 (28)摘要本文介绍了定积分与不定积分的概念性质，主要总结了求解定积分与不定积分常见的方法：积分基本法则、积分中值定理、牛顿—莱布尼茨公式、直接积分法、换元法、分部积分法，并结合实际例题加以说明，以便于在解题时能快速选择出最佳的解题方法。
关键词 定积分，积分法，换元法，分部积分法前言微积分是高等数学中非常重要的一个知识部分，其中定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题，定积分和不定积分的计算也是大学生要学习的基础数学知识，是要学习和掌握的．众所周知，在学习数学计算时不但追求准确性，还有快速性.同样的对于一个积分的计算，我们首先要求要有准确性，其次是要有快速性，而这两个目的的实现就需要正确的方法和巧妙的技巧．本文主要以求解定积分和不定积分的各种常见方法为主线，对其进行分别概述以及相应的举例说明，从而得出对于面对不同的题型时运用合适的方法来快速解决问题.1.定积分1.1定义设)(x f 是定义在闭区间[]b a ,上的一个有界函数，对于[]b a ,的任意取分点{}n i i x 0=，作成一种划分b x x x x a P n =<<<<= 210:，并任意取点[]i i ix x ,1-∈ξ.记小区间[]i i x x ,1-的长度为1--=∆i i i x x x ，并令)(max 1i ni x ∆=≤≤λ，若当0→λ时，极限i ni i x f ∆∑=→1)(lim ξλ存在，且极限值即与划分P无关，又对i ξ的取法无关，则称)(x f 在[]b a ,上Riemann可积。
定积分与不定积分的计算方法与应用
定积分与不定积分的计算方法与应用积分是微积分的重要概念之一，分为定积分和不定积分。
它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分和不定积分的基本概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、定积分的概念与计算方法定积分是对连续函数在一个闭区间上求和的极限过程。
为了更好地理解定积分的概念，我们以一个具体的例子开始。
假设有一辆以恒定速度行驶的汽车，我们希望计算在一个特定时间段内汽车行驶的总路程。
这个问题可以通过定积分来解决。
首先，我们将时间段划分成许多小的时间段，每个小时间段的长度为Δt。
然后，我们假设在每个小时间段Δt内，汽车的速度保持不变。
因此，每个小时间段内汽车行驶的路程可以表示为速度乘以时间，即v(Δt)。
将所有小时间段内的路程累加起来，就可以得到总路程。
当Δt 趋近于0时，这个累加过程就变成了定积分。
定积分的计算公式为：∫abf(x)dx = limΔt→0 Σf(x)Δt其中，a和b分别表示积分的上下限，f(x)表示被积函数。
具体的计算方法有很多种，常见的有换元法、分部积分法、简单替换和直接计算等。
根据被积函数的形式和计算的难易程度，我们可以选择不同的计算方法。
二、不定积分的概念与计算方法不定积分是对函数的积分，是定积分的逆过程。
不定积分可以看作是具有一定自由度的积分，在计算中引入一个常数项。
不定积分的计算方法主要有几种常见的技巧。
其中，最基本的方法是反复使用导数的基本性质。
即在求解不定积分时，我们通过寻找某个函数的导数为被积函数来求解不定积分。
例如，如果被积函数为f(x)，我们需要找到一个函数F(x)，它的导数等于f(x)，即F'(x) = f(x)。
那么不定积分∫f(x)dx就可以表示为∫F'(x)dx = F(x) + C。
这里，C表示常数项，它表示对于不定积分的任意一个解，我们可以通过改变常数项的大小得到其他的解。
三、定积分和不定积分的应用定积分和不定积分在实际问题中有着广泛的应用。
讲不定积分与定积分的各种计算方法
泰山学院信息科学技术学院教学设计数值剖析教研室课程名称高等数学研究讲课对象讲课题目第八讲不定积分与定积分地各样计算方法课时数2教学设计经过教学设计使学生掌握不定积分与定积分地各样计算方法 .目地重1 不定积分地观点点不定积分地计算2难点3 定积分地计算第八讲不定积分与定积分地各样计算方法1.不定积分1.1不定积分地观点原函数；原函数地个数；原函数地存在性；定积分；一个重要地原函数.1.2不定积分地计算教(1> 裂项积分法； (2> 第一换元积分法； (3> 第二换元积分法学提(4> 分部积分法纲2.定积分(1> 基本积分法；(2> 切割地区办理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3> 利用函数地奇偶性化简定积分(4>一类定积分问题教教学设计过程与内容案后记第八讲不定积分与定积分地各样计算方法一、不定积分1不定积分地观点间原函数：若在区间原函数地个数:若上地原函数；若可见,若,则上 F ( x) f (x) ,则称 F ( x) 是地一个原函数是在区间上地一个原函数,则对,也是在区间上地原函数,则必有地全体原函数所成会合为{│Ｒ}...都是在区原函数地存在性:连续函数必有原函数.不定积分：地带有随意常数项地原函数称为地不定积分.记作 f ( x)dxf ( x) 在区间上连续 , a I ,则x一个重要地原函数：若 f (t) dt 是地一个原函数 .a2不定积分地计算(1> 裂项积分法例 1：x 41dx x412dx (x 212)dxx 21x21x21x3x 2 arctan x C .3例 2：dx cos2x sin 2 x dx(csc2x sec2 x)dxcos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x例 3：dx( x21)x2dx dx dx1arctan x C2 ( x21)x2 ( x21)x2 1 x xx2(2> 第一换元积分法有一些不定积分 , 将积分变量进行适合地变换后 , 便可利用基本积分表求出积分 . 比如 , 求不定积分 cos 2xdx ,假如凑上一个常数因子2,使成为cos 2xdx 12 xdx11cos x cos2xd 2x sin 2x C 222例 4：3dx d x2d x2arctan x C x 1 x2x211x例 5：dx1 d 111 d1x 2 1 x2 1 x2x x1x12x22121111211 d1 d 122x2x x 11x11 2 12例 6：arctan xx(1dxx)2221C11xCxarctan x t x arctant 2 1 x d x21 t 2dt2 arctant d (arctant ) (arctgt ) 2 c (arctg x )2 c .(3> 第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分, 代换方法以下：被积函数包括n ax b ,办理方法是令n ax b t,x1(t n b) 。
定积分与不定积分的计算方法
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定义：牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的联系公式，表示定积分等于不定积分的一个 原函数在积分上下限之间的差值。
添加标题
公式形式：∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中∫baf(x)dx表示定积分，F(x)是f(x)的一个原函数，F(b) 和F(a)分别是F(x)在b和a处的函数值。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定中间变量，并写出相应的等价变换； b. 利用不 定积分计算新变量的积分； c. 将新变量的积分还原为原变量的积分。
a. 确定中间变量，并写出相应的等价变换； b. 利用不定积分计算新变量的积分； c. 将新基础方法 之一，对于掌握不定积分的计算具 有重要意义。
定积分的计算方法
第二章
直接积分法
定义：直接积 分法是通过直 接计算积分来 求解定积分的
方法。
适用范围：适 用于被积函数 容易积分的情
况。
计算步骤：首 先将被积函数 进行不定积分， 然后利用不定 积分与定积分 的联系，求出 定积分的值。
添加标题
应用范围：牛顿-莱布尼茨公式适用于任何在区间[a,b]上连续的函数f(x)，只要该函数有一个原函 数。
添加标题
意义：牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的基本公式之一，它建立了定积分与不定积分之间的联系， 使得定积分的计算可以通过求不定积分的方法来解决。
定积分与不定积分的转换关系
定积分与不定积分都是微积分的基本概念，它们之间存在密切的联系。 不定积分是求函数的原函数或反导数的过程，而定积分则是计算某一区间上函数的积分值。 定积分与不定积分之间可以通过微积分基本定理相互转换。 微积分基本定理将不定积分与定积分联系起来，通过不定积分可以计算定积分，反之亦然。
不定积分与定积分的运算
不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1不定积分的概念原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.原函数的个数: 若是在区间 上的一个原函数, 则对，都是在区间 上的原函数；若也是在区间 上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。
记作⎰dx x f )(一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰xa dt t f )(是的一个原函数。
1.2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：C x x x dx x x dx x x dx x x ++-=++-=++-=++⎰⎰⎰arctan 23)121(121113222424。
例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222 例3：222222(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。
例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =•=⎰⎰⎰C x +=2sin 21 例4：()3221C===+例5：11x x⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2112x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12211212C Cx ⎡⎤⎛⎫=-⋅++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t tx d x x dx x x xx t 21arctan 21arctan 2)1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t ax t b ax nn -==+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或;被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =;被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰解：令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而22a x dx -⎰=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知22sin cos xa x t t a -==所以22a x dx -⎰=2222arcsin 22a x a xa x C a -+⋅+=222arcsin 22a x x a x C a +-+例8:⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dtdt t t dt t x x dxxt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-++-=6361ln 216.(4)分部积分法当积分⎰)()(x dg x f 不好计算,但⎰)()(x df x g 容易计算时,使用分部积分公式:)()()()()()(⎰⎰-=x df x g x g x f x dg x f .常见能使用分部积分法的类型:(1)⎰dx e x x n ,⎰xdx x n sin ,⎰xdx x n cos 等,方法是把x x e x cos ,sin ,移到d 后面,分部积分的目的是降低x 的次数(2)⎰xdx x m n ln ,⎰xdx x m n arcsin ,⎰xdx x m n arctan 等,方法是把n x 移到d 后面,分部几分的目的是化去x x x arctan ,arcsin ,ln .例9:2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=⎰⎰⎰2222()x x x x x e xdx x e xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C-++例10:2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰211ln (ln 1)dx x x Cx x x -+=-++⎰例11: 23(16)arctan arctan (2)x xdx xd x x +=+=⎰⎰()33222arctan 1x x x x x dx x ++-=+⎰()322arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫+--=⎪+⎝⎭⎰()()32212arctan ln 12x x x xx C +-+++例12: ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos = ⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得 ⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 例13: ⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32 =⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec ,解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21. 以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧 例14 设函数)(x f 的一个原函数是,sin xx求⎰'dx x f x )(。
不定积分和定积分
不定积分和定积分1.简介微积分是高等数学的重要分支，分为微分学和积分学两部分。
其中，积分学主要包括不定积分和定积分两个部分。
不定积分是求函数的原函数，定积分是求曲线下的面积或空间体积。
本文将对不定积分和定积分进行阐述和比较。
2.不定积分2.1定义不定积分用符号$\int$表示，表示对一个函数进行求导后的反过程，称为原函数。
其中，被积函数为f(x)，不定积分表示为$\int f(x)dx$。
2.2基本公式在求不定积分时，需要掌握一些基本公式，如：$(k)'=0$，$(x^n)'=nx^{n-1}$，$(sinx)'=cosx$，$(cosx)'=-sinx$，$(e^x)'=e^x$，$(lnx)'=\dfrac1x$，$(tanx)'=sec^2x$等，还需要掌握不定积分的基本性质，如线性性、逆向加减法、逆向乘法、常数因子的提出和合并等基本规律。
2.3求解方法不定积分的求解方法比较灵活，可以通过换元、分部积分、凑微分等方法进行求解。
比如，对于有理函数，可以先进行分式分解，再分别求积分；对于无理函数，可以通过一些特殊方法实现求解。
3.定积分3.1定义定积分用符号$\int_a^bf(x)dx$表示，表示求解在x=a和x =b之间的曲线所围成的面积，其中被积函数为f(x)。
3.2基本公式在求定积分时，也需要掌握一些基本公式，如：$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$，$\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$等。
3.3求解方法定积分可以通过几何直观法、牛顿-莱布尼茨公式，定积分的性质、定积分的基本公式、变量代换法、分部积分法等方法进行求解。
4.不定积分与定积分的比较不定积分和定积分虽然都是微积分的重要部分，但是在应用中具有不同的作用。
不定积分主要用来确定函数的原函数，从而在一些复杂的函数计算中起到了重要的作用。
定积分公式和不定积分公式
定积分公式和不定积分公式定积分公式和不定积分公式数学中，积分是一个非常重要的概念。
根据积分的算法分类，可以分为定积分和不定积分两种类型。
在这两种类型之间，有着一系列的公式存在，下面将会对定积分公式和不定积分公式进行详细讨论。
一、定积分公式定积分公式是求解定积分时需要用到的一种数学公式。
在定积分的基础上，使用定积分公式可以极大的方便计算的过程，加快处理的速度。
常见的定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$$$\int \tan x dx=\ln |\sec x|+C$$$$\int \cot x dx=\ln |\sin x|+C$$（2）换元积分公式逆元未知法：$$\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$$公式法：$$\int f(x)dx=\int \frac{f(ax+b)}{a}dx$$二、不定积分公式不定积分公式是一个求解不定积分的方法。
使用不定积分公式可以把不定积分转化为已知函数与常数的和。
常见的不定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$（2）分部积分公式$$\int udv=uv-\int vdu,$$其中 $u$ 和 $v$ 分别为积分中的两个函数。
通过这样的分部积分，可以将一个较难求的积分，将其转化为两个较容易求的积分。
（3）三角代换公式$$\int R(\sin x,\cos x)dx$$此处，$R(\sin x,\cos x)$ 是一个使用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 组成的有理函数。
专题10：计算不定积分和定积分的方法和技巧
专题10 计算不定积分和定积分的方法和技巧(一) 不定积分(1) 三种主要的积分法 1）第一类换元法（凑微分法）若C u F u u f +=∫)(d )(，且)(x ϕ可导，则C x F x d x f x x x f +==′∫∫))(()())((d )())((ϕϕϕϕϕ2）第二类换元法设函数)(t x ϕ=可导，且,0)(≠′t ϕ又设C t F dt t t f +=′∫)()())((ϕϕ则C x F dt t t f dx x f +=′=−∫∫))(()()(()(1ϕϕϕ三种常用的变量代换(1) 被积函数中含有22x a −时，令,sin t a x =或;cos t a x = (2) 被积函数中含有22x a +时，令t a x tan =； （3）被积函数中含有22a x −时，令t a x sec =；3）分部积分法设)(),(x v x u 有连续一阶导数，则∫∫−=vdu uv udv【注】(1) 分部积分法常用于被积函数为两类不同函数相乘的不定积分;(2)分部积分法选择)(),(x v x u 的原则是∫vdu 比∫udv 好积， 设)(x p n 是n 次多项式，则形如∫∫∫xdxx x x x x e x nnxn αααcos )(p ,d sin )(p ,d )(p 的积分都是先把多项式以外的函数凑进微分号，然后分部积分； 形如∫∫∫xdxx x x x x x x nnnarcsin )(p ,d arctan )(p ,d ln )(p 的积分都是先把多项式函数凑进微分号，然后分部积分；形如∫∫xdx e x x e x x ββααcos ,d sin 的积分可连续两次将指数函数凑进微分号分部积分还原,求得原不定积分.(2) 三类常见函数的积分1）有理函数积分 ∫x x R d )(（1）一般方法（部分分式法）（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 ∫x x x R d )cos ,(sin （1）一般方法（万能代换） 令t x=2tandt t t t t t R x x x R 222212)11,12(d )cos ,(sin ++−+=∫∫ （2）特殊方法 （三角变形，换元，分部） 几种常用的换元法i)若),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=− 则 令;cos x u = ii)若),cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 则 令;sin x u =iii)若),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−− 则 令.tan x u =3) 简单无理函数积分 x dcx bax x R nd ),(∫++令 t dcx bax n=++,将其化为有理函数积分进行计算.【例1】=+∫dx x x x )1(arctan . ( C x +2)(arctan )【例2】._________2sin tan ln =∫dx x x【解】dx x x xdx x x ∫∫=cos sin 2tan ln 2sin tan ln∫∫==x xd x d x x tan ln tan ln 21tan tan 2tan lnC x +=2)tan (ln 41【例3】(2018年3) ._________1arcsin 2=−∫dx e e xx 【解】xx xx de e dx e e ∫∫−=−221arcsin 1arcsin∫−−−−−=2222)1(111arcsin xx x xx e e d e ee∫−−−=x x x e d e e 2211arcsinC e e e x x x +−−−=2211arcsin【例4】(2018年1,2)求不定积分dx e e xx 1arctan 2−∫【解】xx xx de e dx e e 221arctan 211arctan ∫∫−=− ∫−−−=dx e e e e x x xx 1411arctan 2122x x x x x de e e dx e e ∫∫−=−112x x x x de e de e ∫∫−+−=111C e e e x x x+−+−−=121)1(32 dx e e x x 1arctan 2−∫C e e e e xx x x +−+−−=1)2(611arctan 212【例5】(2003年2)∫+x x xe xd )1(2/32arctan 【解1】 设t x tan =，则∫∫∫=+==+t t t t t t x x x tt x d sin e d sec )tan 1(tan e d )1(e 22/322/32arctan又tdt e t e et t t t t tt cos sin d sin d sin e ∫∫∫−==∫−=t t tde t e cos sin,d sin e cos sin e ∫−−=t t t e t ttt故.)cos (sin e 21sin e C t t tdt t t+−=∫ 因此 C x xx x x x x x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=+∫22arctan 2/32arctan 111e 21d )1(e .12e )1(2arctan C xx x ++−=【解2】 ∫∫∫+−+=+=+x x xx x x x x x x x xx d )1(e 1e de 1d )1(e 2/32arctan 2arctan arctan 22/32arctan ∫+−+=x x x x x arctan 22arctan de 111e,d )1(e 1e 1e 2/32arctan 2arctan 2arctan ∫+−+−+=x x x xx x x xx移项整理，得.12e )1(d )1(e 2arctan 2/32arctan C x x x x x xx ++−=+∫【例6】 dx x x x ∫++)1(323 【解1】令11)1(3223++++=++x Cx B x A x x x由223)1()1(x Cx x B x Ax −=++++得 ⎪⎩⎪⎨⎧==+−=+301B B A C A解得.2,3,3==−=C B Adx x x x dx x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=++12331)1(3223C x xx x +++−−=1ln 23ln 3 【解2】【例7】dx x x x x∫−+−123【解1】由于)1)(1(1223+−=−+−x x x x x ,设111223+++−=−+−x CBx x A x x x x 则 )1)(()1(2−+++≡x C Bx x A x 由此解得 .21,21,21=−==C B A dx x x x dx dx x x x x ∫∫∫+−−−=−+−11211211223C x x x +++−−=arctan 21)1ln(411ln 212【解2】【例8】∫x x dx2cos sin【解】原式∫−=)sin (cos sin 22x x x dx)cos ,(sin )cos ,sin ((x x R x x R −=−∫−−−=)1cos 2)(cos 1(cos 22x x xd du u u u u ∫−−−+−−=)12)(1()12()1(22222∫∫−+−−=112222u duu du C u u u u ++−++−−=11ln 211212ln 21 C x x x x ++−++−−=1cos 1cos ln 211cos 21cos 2ln 21 (二) 定积分定积分的计算常用方法有以下五种 1）牛顿-莱布尼兹公式如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则)()(d )(a F b F x x f b a−=∫；2）换元积分法设)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(=t x ϕ满足以下条件： （1）a =)(αϕ,b =)(βϕ；（2）)(t ϕ在],[βα（或],[αβ）上具有连续导数，且其值域],,[b a R =ϕ则.d ))(d )(∫∫)(′(=βαϕϕt t t f x x f b a3）分部积分法设函数)(x u 和)(x v 在],[b a 上有连续一阶导数，则.d d ∫∫−=babab au v uv v u4）利用奇偶性和周期性(1) 设)(x f 为],[a a −上的连续函数(0>a )，则⎪⎩⎪⎨⎧=∫∫−.)(,d )(2)(,0d )(0为偶函数时为奇函数时，x f x x f x f x x f aa a(2) 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则对任给数a ，总有.d )(d )(0∫∫=+TT a ax x f x x f5）利用公式)]1,0[)(d )(sin 2d )(sin (2)奇1,32231偶,221231d cos d sin (1)02020上连续在（其中数的为大于数为正x f x x f x x f x n n n n n n n n n n x x x x πn n ∫∫∫∫=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−−==πππππ【例1】.___________sin ][cos 202222=+∫∫−−xdx dt e x xtππ【解】 2et −偶函数，则∫−x t t 0d e 2奇函数.原式∫=2π022d sin cos 2x x x.8πd sin )sin 1(22π022=−=∫x x x 【例2】（2012年1）∫=−2022dx x x x .【解1】 原式∫−−=202d )1(1x x x∫∫−==+=−2π2π2π0222πd cos 2d cos )sin 1(sin 1t t t t t t x 【解2】 原式∫−−=202d )1(1x x x∫−−+−=202d )1(1]1)1[(x x x ∫=−=2022πd 2x x x （几何意义） 【例3】.__________cos cos 042=−∫dx x x x π【解】 原式∫∫=−=π0042d sin |cos |2πd cos cos 2ππx x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∫∫ππππ220sin cos sin cos 2xdx x xdx x2π=【例4】（2013年1）计算,)(10dx xx f ∫其中.)1ln()(1dt t t x f x ∫+=【解】dx xx x f x x d x f dx x x f ∫∫∫+−==10101010)1ln(2)(2)(2)(dx x xx x x d x ∫∫+++−=+−=10101014)1ln(4)1ln(4π282ln 4−+−=【例5】计算定积分.cos 1202∫+πxdx【解】∫∫∫+=+=+202202202tan 2tan 4cos 14cos 1πππx x d x dx xdxππ22tan arctan 2420==x【例6】计算定积分∫−+202.dx e e xxx【解】令,2t x −=则,dt dx −=∫−+202dx e e xxx ∫+−=−202.2dt e e t t t ]2[21202202dx e e x dx e e xx xxx ∫∫−−+−++= ∫−+=202x x e e dx∫+=2022ee de xx==2arctan 1eee x 1arctan [arctan 1ee e − 【例7】计算定积分∫++102d 1)1ln(x x x【解】 du uudt t x x x u t t x ]tan 1tan 11ln[)tan 1ln(d 1)1ln(4440tan 102∫∫∫+−+=+=++−==πππdu u∫+=40tan 12lnπ∫+−=40)tan 1ln(2ln 4ππdu u 2ln 8π=【例8】（1995年3）设)(),(x g x f 在)0(],[>−a a a 上连续,)(x g 为偶函数,且)(x f 满足条件A x f x f =−+)()((A 为常数) 1) 证明∫∫−=a aadx x g A dx x g x f 0)()()(2) 利用1) 计算∫−22arctan |sin |ππdx e x x【证】（1）令t x −=，则∫∫−−−=a aa a t t g t f x x g x f d )()(d )()(,d )()(∫−−=a ax x g x f于是 ]d )()(d )()([21d )()(∫∫∫−−−−+=a a aaaa x x g x f x x g x f x x g x f.d )(d )()]()([210∫∫=−+=−a aax x g A x x g x f x f（2）令xx f e arctan )(=，|sin |)(x x g =，2π=a ，则)(x f 、)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−2,2ππ上连续，)(x g 为偶函数.又因为 0)e arctan e (arctan =′+−x x ，所以 .e arctan e arctan A xx =+−令0=x ，得A =1arctan 2，故2π=A ，即.2)()(π=−+x f x f于是，有.2d sin 2d |sin |2de arctan |sin |202022πππππππ===∫∫∫−x x x x x x x【例9】 设2)1arctan()(−=′x x f ,0)0(=f ,求∫10d )(x x f .【解】∫∫−=110)1()()(x d x f dx x fdx x x x f x 2110)1arctan()1()()1(−−−−=∫dx x x 21)1arctan()1(−−=∫∫=10arctan 21du u （令u x =−2)1(） ∫−=+−=102102ln 418121arctan 21πdu u u u u .【例10】 设)(x f 为非负连续函数，且∫=−x x dt t x f x f 04sin )()(，求)(x f 在2,0[π上的平均值. 【解】 令u t x =−，则∫∫=−x xu u f t t x f 0d )(d )(∫=xx u u f x f 04sin d )()(∫∫∫=2π002π04d sin d ]d )()([xx x x u u f x f∫⋅⋅=xu u f 022π2143)d )((212π ∫=2π02π321d )(x x f则)(x f 在]2,0[π上的平均值为πππ232)(20=∫dxx f 思考题1.求下列不定积分1)dx x x x ∫−−−2152 2)dx x x x ∫++)1(232 3)dx x x x x ∫++−+)1()1(6322 4)∫−422x x dx5)∫++x x dxcos sin 1 6)∫xdx x arcsin7)x xx e x d cos 1)sin 1(∫++ 8)∫.arccos arcsin xdx x2.计算下列定积分 1)dx x x∫−10221 2)dx x x x ∫−62263)∫209sin πxdx x 4)dx e xx∫−+2221sin ππ5)∫20sin ln πxdx6),)(102dx x f x ∫其中.1)(14dt t x f x∫+=7)∫10)(dx x f 其中.sin )(12dt tt x x f x∫= 答案1.求下列不定积分1) C x x +−++2ln 31ln 2 2) C x x x +++−arctan 3)1ln(ln 223) C x x x x ++++−−−−)1ln(131ln 22 4)C x x x +−+−22arctan 41442 5) C x++2tan1ln 6) C x x x x x +−+−22141arcsin 41arcsin 27) C xe x+2tan11 8) C x x x x x x x x ++−−−+2arcsin 1arccos 1arccos arcsin 222.计算下列定积分 1) .16π 2) .8405π 3) .315128π 4) .4π 5) .2ln 2π− 6) .16π 7) )221(181−8) )11(cos 41−。
不定积分与定积分的各种计算方法
不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分的计算方法：1.初等函数不定积分法：基于已知的初等函数的不定积分公式，例如导数的逆运算。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数、对数函数等，都存在常用的不定积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n(n≠-1)，不定积分的结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为任意常数。
2.换元法：也称为反链式法或u-替换法，通过引入新的变量替换积分变量，以简化积分表达式。
这种方法需要根据被积函数的特点选择适当的替换变量。
例如，对于含有根式的积分，可以通过引入新的变量将积分化为有理函数积分。
3.分部积分法：也称为积化和差减法，将积分运算转换为两个函数的乘积的积分运算，通常用于乘积的积分。
根据乘积法则，可以将积分转化为函数间的和差表达式，从而得到一个更容易求解的积分。
4.特殊函数的不定积分：一些特殊函数的不定积分需要特殊的处理，例如三角函数的不定积分、反三角函数的不定积分等。
这些特殊函数的不定积分可以通过使用特殊的积分公式或者简化技巧进行计算。
5.利用递推关系：在一些情况下，可以通过利用函数的递推关系进行不定积分的计算。
例如，对于多项式函数f(x)=(x-a)^n，可以通过多次使用求导的反向应用从高阶幂递推到低阶幂。
二、定积分的计算方法：1.几何与图形面积法：定积分可以解释为曲线与坐标轴之间的面积或图形的面积。
根据几何图形的特点，可以使用几何图形的面积公式计算定积分的值，例如长方形面积公式、三角形面积公式等。
2.定积分的性质：定积分具有一些重要的性质，例如线性性、区间可加性、区间可减性等。
利用这些性质，可以将复杂的函数表示为若干个简单的函数之和或差，从而进行定积分的计算。
3.换元法：与不定积分类似，定积分也可以通过引入新的变量来简化积分表达式。
需要注意的是，换元法在定积分中还需要考虑积分上下限的转换。
4.分部积分法：与不定积分类似，定积分也可以使用分部积分法进行计算。
8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法
(1) , , 等,方法是把 移到d后面,分部积分的目的是降低x的次数
(2) , , 等,方法是把 移到d后面,分部几分的目的是化去 .
例9:
例10:
例11:
例12: =
，
解得 .
例13:
=
= ,
解得 .
【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧
原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。
1.2不定积分的计算
(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法
(4)分部积分法
2.定积分
(1)基本积分法；
(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数
(3)利用函数的奇偶性化简定积分
(4)一类定积分问题
计算?xx?2dx036解?xx?2dx?03?20x2?xdx??32xx?2dx?83例18计算?maxx1?xdx01310解?maxx1?xdx?21?xdx?0?112xdx?453利用函数的奇偶性化简定积分??0fxdx??afxdx???0当fx是奇函数当fx是偶函数?1a?a例19计算?x?1?x22dx?1解?x?1?x22dx?1dx?2??1?1111?12x1?xdx202例20计算?x?xe?11?xdx解?x?xe?11?xdx?xe?11?xdx??1?1xe?xdx?0?2?xe01?xdx?2?4e2x?1?例21计算?4?esin1?exx?4dx分析被积函数即不是奇函数又不是偶函数无法利用函数的奇偶性化简
【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。
不定积分、定积分及其应用-不定积分的计算方法1
第3章 不定积分、定积分及其应用第2讲不定积分的计算方法 - - -换元法主讲教师 |引 言利用基本积分公式与不定积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的. 因此，有必要进一步研究不定积分的求法.本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法.换元法分为两种类型，即第一换元积分法（凑微分法）和第二换元积分法.本节内容01 第一换元积分法02 第二换元积分法Ὅ定理3.2故结论成立.证明该公式称为第一换元公式．Ὅ例1解=15sin ᵆ+ᵃ,∫cos5ᵆd ᵆ15Ὅ例2解=1ᵄe ᵆ+ᵃ,Ὅ例3解Ὅ例4解Ὅ例5解例6解注本节内容01 第一换元积分法02 第二换元积分法常用的第二换元积分法有以下3种情形.（1）三角代换：涉及到三角函数的相关公式形式时经常使用通常含有根号形式.三角代换包括弦代换、切代换、割代换3种.（2）无理代换：被积函数中含有无理式时使用.（3）倒数代换：被积函数是分式形式时经常使用.三角代换之弦代换变量还原时，常借助辅助直角三角形．三角代换之切代换变量还原时，常借助辅助直角三角形．三角代换之割代换变量还原时，常借助辅助直角三角形．无理代换倒数代换倒数代换是针对被积函数含分式的情形进行，目的是简化被积函数。
Ὅ例7解Ὅ例8解Ὅ例9解因此Ὅ例10解tx x 2-a 2Ὅ例11解a tx x 2+a 2学海无涯，祝你成功！。
不定积分与定积分的概念与计算方法
不定积分与定积分的概念与计算方法概念介绍在微积分中，积分是一个重要的概念，它分为不定积分和定积分两种形式。
不定积分也被称为原函数，而定积分则是对某个函数在某个区间上求和的结果。
本文将对这两种积分的概念进行详细介绍，并探讨它们的计算方法。
不定积分不定积分是对函数的积分运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分记作∫f(x)dx。
其中∫称为积分号，f(x)为被积函数，dx表示对自变量x进行积分。
不定积分的结果是一个新函数，被称为原函数或不定积分。
即∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为原函数，C为常数。
不定积分的计算方法多种多样，常用的有换元积分法、分部积分法和特殊函数积分法。
换元积分法是通过变量代换将被积函数转化为另一种形式，以便进行简化。
分部积分法是通过将被积函数分解为乘积的形式，再进行积分运算。
特殊函数积分法是根据特定函数的性质，采用相应的积分公式来计算。
定积分定积分是对函数在某个特定区间上的积分运算。
给定一个函数f(x)，定义域为[a,b]，定积分记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分的结果是一个数值。
它表示函数f(x)在区间[a,b]上的累积和，也可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。
定积分可以用于计算函数的平均值、曲线长度、曲线下面积等。
定积分的计算方法主要有基本定积分法和换元积分法。
基本定积分法是根据函数的特性，采用不同的积分公式来计算。
换元积分法也可以用于定积分的计算，通过变量代换将被积函数进行简化，再进行求解。
计算方法示例为了更好地理解不定积分与定积分的计算方法，以下分别给出一个例子。
不定积分示例：求函数f(x) = 2x的不定积分。
解：根据不定积分的定义，∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为原函数，C为常数。
对于函数f(x) = 2x，它的不定积分为∫2xdx = x^2 + C，其中C为常数。
定积分示例：计算函数f(x) = x在区间[0,1]上的定积分。
专题10计算不定积分和定积分的方法和技巧
专题10计算不定积分和定积分的方法和技巧不定积分和定积分是微积分中非常重要的概念和技巧。
不定积分是指对一个函数进行积分运算得到的一个函数，而定积分是指对一个函数在一个特定区间内的积分结果。
在计算不定积分和定积分时，有一些常见的方法和技巧可以帮助我们更快更准确地得到结果。
1.换元法（变量代换法）：当被积函数中存在复杂的函数关系时，可以通过变量代换将原函数转化为一个更简单的函数，从而求得积分。
常见的变量代换包括正弦、余弦、指数、对数等。
2. 分部积分法：如果被积函数是两个函数的乘积，可以通过应用分部积分公式将积分化简。
分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v分别表示原函数中的两个因子。
3. 微分运算法：如果被积函数可以表示为一个函数的导数，则可以通过微分运算来求取积分。
例如，对于f'(x)，∫f'(x)dx=f(x)+C，其中C为常数。
4. 常见函数的不定积分公式：对于一些常见的函数，有相应的不定积分公式。
例如，∫x^n dx = （x^(n+1))/(n+1) + C（n≠-1）；∫1/x dx = ln，x，+C。
1.划分区间法：如果被积函数在一个区间内存在不连续点，可以将该区间划分为多个子区间，然后分别计算每个子区间内的积分，最后将结果求和得到整个区间的积分。
2.奇偶性法：如果被积函数在一个区间上具有奇偶性，可以根据奇偶性简化积分运算。
偶函数在对称区间上的积分等于对称区间的一半，奇函数在对称区间上的积分等于0。
3.转化为参数方程法：对于一些复杂或特殊的函数，可以将其转化为参数方程，并通过参数方程进行积分运算。
例如，将球坐标系下的积分转化为对球坐标的参数积分。
4.数值积分法：对于无法求出解析解的积分，可以采用数值积分的方法进行近似计算。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
总结：计算不定积分和定积分的方法和技巧是微积分学习的重中之重。
其中，不定积分可以通过换元法、分部积分法、微分运算法和常见函数的不定积分公式求取；而定积分可以通过划分区间法、奇偶性法、转化为参数方程法和数值积分法求取。
定积分与不定积分
定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，分为定积分和不定积分。
在数学和物理学等领域中，积分广泛应用于求解曲线下面的面积、求解变化率、求解平衡点等问题。
在本文中，我们将详细讨论定积分和不定积分的概念、性质以及求解方法。
一、定积分定积分是指对于一个函数在给定区间上的积分结果是一个确定的数值。
它常常用于求解曲线下面的面积。
在数学中，定积分可以通过黎曼和牛顿-莱布尼茨公式来进行计算。
黎曼和公式可以用如下形式表示：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δx其中，f(x)是被积函数，[a,b]是积分区间，xi是取自积分区间的一个点，Δx是每一小段区间的长度。
牛顿-莱布尼茨公式表示为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数。
从这两个公式可以看出，定积分的结果是一个数值，并且与所选取的具体积分区间无关。
定积分还具有求解变化率、求解物体质量等方面的应用。
二、不定积分不定积分是指对于一个函数求出它的原函数，也称为不定积分。
不定积分的结果通常表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
不定积分解决的是反导数问题。
不定积分与定积分的关系可以用牛顿-莱布尼茨公式来表示。
定积分就是不定积分的上下限差：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|[a,b]这意味着通过求解不定积分，我们可以求出定积分的值。
不定积分可以利用换元法、分部积分法等方法来求解。
其中，换元法是指通过换一种变量的表示方式，来简化积分形式。
分部积分法则是指求导运算和积分运算之间的一个关系，可以将一个复杂的积分转化为一个或多个简单的积分。
三、定积分与不定积分的性质1.线性性质：定积分和不定积分都具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2.区间可加性：定积分具有区间可加性，即对于[a,b]和[b,c]，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
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泰山学院信息科学技术学院教案
第八讲 不定积分与定积分地各种计算方法
一、不定积分
1不定积分地概念
原函数：若在区间 上)()(x f x F =',则称)(x F 是地一个原函数.
原函数地个数: 若是在区间上地一个原函数, 则对,
都是在区
间上地原函数；若
也是
在区间上地原函数,则必有
.
可见,若
,则
地全体原函数所成集合为{
│
Ｒ}.
原函数地存在性: 连续函数必有原函数.
不定积分：地带有任意常数项地原函数称为地不定积分.记作
⎰dx x f )(
一个重要地原函数：若)(x f 在区间上连续,I a ∈,则
⎰
x a
dt t f )(是地一个
原函数.
2不定积分地计算 (1>裂项积分法
例1：dx x x dx x x dx x x )1
21(1211122
242
4⎰⎰⎰++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23
3
. 例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x
x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222
22222 例3：22
22
22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰
(2>第一换元积分法
有一些不定积分,将积分变量进行适当地变换后,就可利用基本积分表求出积分.例如,求不定积分cos 2xdx ⎰
,如果凑上一个常数因子2,使成为
()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =
•=⎰⎰⎰C x +=2sin 2
1
例4：
()()()
2
3222arctan 111dx d x d x
x C
x x x x ===++++⎰⎰⎰
例5：
2
2
22111111111dx
d d
x x x
x
x x x ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰⎰
⎰
2211
12
11d x x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰12
22
111112d x x -⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰
1
2
2
2
1112112C C
x x ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
=-⋅++=-++⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t t
x d x x dx x x x x t 2
1arctan 21arctan 2)
1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.
(3>第二换元积分法
第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分,代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,
b t a
x t b ax n
n -=
=+。
被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或。
被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =。
被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =。
例7：计算
()220a x dx
a ->⎰
【解】令sin ,,arcsin ,2
2x
x a t t t a x a a
π
π
=-
≤≤
=-≤≤则,且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而
22a x dx -⎰=()2
2
2
cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰
=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C
⎛⎫
++=++ ⎪⎝⎭。