VAR模型讲义

第8章 VAR 模型与协整

8.1 向量自回归（VAR ）模型

1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

8.1.1 VAR 模型定义

VAR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y 1t ，y 2t 之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y 1, t = f (y 1, t -1, y 1, t -2, …) y 2, t = f (y 2, t -1, y 2, t -2, …)

则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR 模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N ，一个是最大滞后阶数k 。

以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的VAR 模型为例， y 1, t = ?1 + ?11.1 y 1, t -1 + ?12.1 y 2, t -1 + u 1 t

y 2, t = ?2 + ?21.1 y 1, t -1 + ?22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ? IID (0, ? 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是，

??????t t y y 21=??????21μμ+?

????1.221.211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +??

????t t u u 21 (8.2) 设， Y t =??????t t y y 21, ? =???

???21μμ, ?1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =??

????t t u u 21, 则， Y t = ? + ?1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的VAR 模型表示如下：

Y t = ? + ?1 Y t -1 + ?2 Y t -2 + … + ?k Y t -k + u t , u t ? IID (0, ?) (8.4) 其中，

Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )'

? = (?1 ?2 … ?N )'

?j =?

??????

?j NN j

N j N j N j

j N j

..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ

, j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',

Y t 为N ?1阶时间序列列向量。 ?为N ?1阶常数项列向量。?1, … , ?k 均为N ?N 阶参数矩阵，u t ? IID (0, ?) 是N ?1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t 是不相关的，所以可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

VAR 模型的特点是：

（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR 模型中；②确定滞后期k 。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。

（2）VAR 模型对参数不施加零约束。（参数估计值有无显着性，都保留在模型中）

（3）VAR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR 模型中都不存在。

（4）VAR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个VAR 模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 ? 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束VAR 模型的应用之一是预测。由于在VAR 模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

西姆斯（Sims ）认为VAR 模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR 模型。

8.1.2 VAR 模型的稳定性特征

现在讨论VAR 模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR 模型中某一个方程的新息（innovation ）过程上时，随着时间的推移，分析这个冲击是否会逐渐地消失。如果是逐渐地消失，系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。

下面分析一阶VAR 模型

Y t = ? + ?1 Y t -1 + u t (8.5)

为例。当t = 1时，有

Y 1 = ? + ?1 Y 0 + u 1 (8.6)

当t = 2时，采用迭代方式计算，

Y 2 = ? + ?1 Y 1 + u 2 = ? + ?1 (? + ?1 Y 0 + u 1) + u 2

= (I + ?1) ? + ?12 Y 0 + ?1 u 1 + u 2 (8.7) 当t = 3时，进一步迭代，

Y 3 = ? + ?1 Y 2 + u 3 = ? + ?1 [(I + ?1) ? + ?12 Y 0 + ?1 u 1 + u 2] + u 3

= (I + ?1 + ?12) ? + ?13 Y 0 + ?12 u 1 + ?1 u 2 + u 3 (8.8)

… …

对于t 期，按上述形式推导

Y t = (I + ?1 + ?12 + … + ?1t -1) ? + ?1t Y 0 +

∑-=10

1t i i

Πu t -i (8.9)

由上式可知，?10 = I 。通过上述变换，把Y t 表示成了漂移项向量?、初始值向量Y 0和新息向量u t 的函数。可见系统是否稳定就决定于漂移项向量?、初始值向量Y 0和新息向量u t 经受冲击后的表现。

假定模型是稳定的，将有如下3个结论。

（1）假设t = 1时，对? 施加一个单位的冲击，那么到t 期的影响是

(I + ?1 + ?12 + … + ?1t -1)

当t ?? 时，此影响是一个有限值，(I - ?1) -1。

（2）假设在初始值Y 0上施加一个单位的冲击。到t 期的影响是 ?1t 。随着t ??，?1t ? 0，影响消失（因为对于平稳的VAR 模型，?1中的元素小于1，所以随着t ??，取t 次方后，?1t ? 0）。

（3）从∑-=1

1t i i

Πu t -i 项可以看出，白噪声中的冲击离t 期越远，影响力就越小。∑-=1

1t i i Π=(I - ?1) -1，称作长

期乘子矩阵，是对∑-=1

1t i i Πu t -i 求期望得到的。

对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同理，含有单位根的VAR 模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击时，VAR 模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。

平稳变量构成的一定是稳定（stability ）的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳（nonstationary ）变量（存在协整关系）构成。

8.1.3 VAR 模型稳定的条件

VAR 模型稳定的充分与必要条件是?1（见 (8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。

1．先回顾单方程情形。以AR(2)过程

y t = ?1 y t -1 + ?2 y t -2 + u t (8.11)

为例。改写为

(1- ?1 L - ?2 L 2) y t = ?(L ) y t = u t (8.12)

y t 稳定的条件是?(L ) = 0 的根必须在单位圆以外。

2．对于VAR 模型，用特征方程判别稳定性。以 (8.3) 式，Y t = ? + ?1 Y t -1 + u t ，为例，改写为

(I - ?1 L ) Y t = ? + u t (8.13)

其中A (L ) = (I - ?1 L )。VAR 模型稳定的条件是特征方程 | ?1 - ? I | = 0的根都在单位圆以内。特征方程 | ?1 - ? I | = 0的根就是?1的特征值。

例8.1 以二变量（N = 2），k = 1的VAR 模型为例分析稳定性。

??????t t y y 21=??????8/54/12/18/5??????--1,21,1t t y y +???

??t t u u 21 (8.14) 其中 ?1 =???

???8/54/12/18/5 特征方程

| ?1 - ? I | = ??????-??????λλ008/54/12/18/5= ??

????--λλ

8/54/12/18/5= 0 即

(5/8 - ?)2 – 1/8 = (5/8 - ?)2 –2)8/1(= (0.978 - ?) (0.271 - ?) = 0 (8.15)

得 ?1 = 0.9786, ?2 = 0.2714。?1，?2是特征方程 | ?1 - ? I | = 0的根，也是?1的特征值。因为?1 = 0.978, ?2 = 0.271，都小于1，所以对应的VAR 模型是稳定的。

3．VAR 模型的稳定性也可以用相反的特征方程（reverse characteristic function ），| I – L ?1 | = 0判别。即保持VAR 模型平稳的条件是相反的特征方程 | I - L ?1| = 0的根都在单位圆以外。

例8.2 仍以VAR 模型(8.14) 为例，相反的特征方程

| I - L ?1| = ??????-??????L L L L )8/5()4/1()2/1()8/5(1001= ??

????----L L L L )8/5(1)4/1()2/1()8/5(1 = (1- (5/8) L )2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L ) (1-0.27 L ) = 0 (8.16)

求解得

L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690,

因为L 1，L 2都大于1，所以对应的VAR 模型是稳定的。

注意：

（1）特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，? = 1/L 。

（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 ?(L ) = 0的根描述模型的稳定性；而在VAR 模型中通常用特征方程 | ?1 - ? I | = 0的根描述模型的稳定性。即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程?(L ) = 0的根都要在单位圆以外。VAR 模型稳定的条件是，相反的特征方程| I – L ?1 | = 0的根都要在单位圆以外，或特征方程 | ?1 - ? I | = 0的根都要在单位圆以内。

4．对于k >1的k 阶VAR 模型可以通过友矩阵变换（companion form ），改写成1阶分块矩阵的VAR 模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。

给出k 阶VAR 模型，

Y t = ? + ?1 Y t -1 + ?2 Y t -2 + … + ?k Y t -k + u t (8.17)

再给出如下等式，

Y t -1 = Y t -1 Y t -2 = Y t -2 …

Y t -k +1 = Y t - k +1

把以上k 个等式写成分块矩阵形式，

1121?+---????????????????NK k t t t t Y Y Y Y =1?????????????????NK 000 μ+NK NK k k ?-????????

????????000

000000I

I I ΠΠΠΠ 12

11321?----????????????????NK k t t t t Y Y Y Y +1

?????????

????????NK t 000 u (8.18) 其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令

Y t = (Y t -1 Y t -2 … Y t -k +1) 'NK ?1 A 0 = (? 0 0 … 0) 'NK ?1

A 1 =NK

NK k k ?-????

???

????????000

000

000I

I I ΠΠΠΠ 12

U t = (u t 0 0 … 0) ' NK ?1

上式可写为

Y t = A 0 + A 1 Y t -1 + U t (8.19)

注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体字母表示。k 阶VAR 模型用友矩阵表示成了1阶分块矩阵的VAR 模型。

例如，2变量2阶VAR 模型的友矩阵变换形式是

??????-1t t Y Y =??????0μ+??????0I

∏∏??????--21t t Y Y +??

???0t u (8.20) 其中等式的每一个元素（项）都表示一个4?1阶向量或4?4阶矩阵。例如，2变量3阶VAR 模型的友矩阵变换形式是

??????????--21t t t Y Y Y =??????????00μ+????

??????00

321∏∏∏??????????---321t t t Y Y Y +????

?????00t u (8.21) 其中等式的每一个元素（项）都表示一个6?1阶向量或6?6阶矩阵。

VAR 模型的稳定性要求A 1的全部特征值，即特征方程 | A 1 - ? I | = 0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程 | I - L A 1| = 0的全部根必须在单位圆以外。

注意：特征方程中的A 1是Nk ?Nk 阶的。特征方程中的I 也是Nk ?Nk 阶的。以2阶VAR 模型的友矩阵变换为例，

| I - L A 1| =??

?-??????000I

I I 21

∏∏L =

I L L L ---2

1∏∏

= ?1- L ?1 - L 2 ?2 ? = 0 (8.22)

的全部根必须在单位圆以外。

以3阶VAR 模型的友矩阵变换为例，

| I - L A 1| =????

?????-??????????00

00000000

∏∏∏L I I I =I

I LI

L L L --∏-∏-∏-0013

= | I - L ?1 - L 2 ?2 - L 3 ?3 | = 0 (8.23)

的全部根必须在单位圆以外。因此，对于k 阶VAR 模型的友矩阵变换形式，特征方程是，

| I - ?1 L - ?2 L 2 - … - ?k L k | = 0 (8.24) 例8.3 用以具体数字为系数的2变量、2阶VAR 模型做进一步说明。有

Y t = ? + ?1 Y t -1 + ?2 Y t -2 + u t

其中，

?1 = ??????16/34/316/58/5, ?2 =??

???---4/34/14/18/1 友矩阵变换形式是

??????????-1t t Y Y =????

??????0μ+??????0I

21∏∏????????

??--21t t Y Y +????

?????0t u (8.25) 或 ???????????????????? ?????? ??--121121t t t t y y y y =?????????

??????????? ?????? ??0021μμ+?????

???

????

?????

???

?????

? ?????? ??---????

??000010014/34/14/18/116/34

/316/58

/5???????????????????? ?????? ??----22211211t t t t y y y y +???????

???????????? ?????? ??0021t t u u (8.26) 或 Y t = A 0 + A 1 Y t -1 + U t (8.27)

因为A 1的阶数为4?4（注意，因为N =2，k =2，所以A 1的阶数为4?4），所以有4个特征根。特征方程是

| A 1 - ? I | =?

???

?????-????????????---1000010000100001001000014/34/116/34/34/18/116/58/5λ =?

???

?????-------λλλλ

010

0014/34/116/34/34/18/116/58/5= 0 (8.28) 4个根见下表：

根模 ?1 = 1.000 1.000 ?2 = 0.947

0.947 ?3 = 0.380-0.144 i 0.406 ?4 = 0.380-0.144 i

0.406

尽管有3个根在单位圆内，因为有一个根为1，落在单位圆上，所以平稳性条件未能得到满足。

8.1.4 VAR 模型的脉冲响应函数和方差分解

由于VAR 模型参数的OLS 估计量只具有一致性，单个参数估计值的经济解释是很困难的。要想对一个VAR 模型做出分析，通常是观察系统的脉冲响应函数和方差分解。

（1）脉冲响应函数。

脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。

对于如下VAR 模型，y 1, t 表示GDP ，y 2, t 表示货币供应量， y 1, t = ?1 + ?11.1 y 1, t -1 + ?12.1 y 2, t -1 + u 1 t

y 2, t = ?2 + ?21.1 y 1, t -1 + ?22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1)

在模型（8.1）中，如果误差u 1t 和u 2t 不相关，就很容易解释。u 1t 是y 1, t 的误差项；u 2t 是y 2, t 的误差项。u 2t 的脉冲响应函数衡量当期一个标准差的货币冲击对GDP 和货币存量的当前值和未来值的影响。

对于每一个VAR 模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。具体方法是对于任何一个VAR(k )模型都可以通过友矩阵变换改写成一个VAR(1)模型（见8.1.3节）。

Y t = A 1 Y t -1 + U t (I - L A 1) Y t = U t Y t = (I - L A 1)-1 U t

= U t + A 1U t-1 + A 12 U t-2 + …+ A 1s U t-s + …

这是一个无限阶的向量MA(∞)过程。或写成，

Y t+s = U t+s + A 1U t+s -1 + A 12 U t+s -2 + …+ A 1s U t + …

Y t+s = U t+s + ?1U t+s -1 + ?2 U t+s -2 + …+ ?s U t + … (8.29)

其中

?1 = A 1, ?2 = A 12, …, ? s = A 1 s ,

显然，由 (8.29)式有下式成立， ? s =

t U Y ??+ ? s 中第i 行第j 列元素表示的是，令其他误差项在任何时期都不变的条件下，当第j 个变量对应的误差项u j t 在t 期受到一个单位的冲击后，对第i 个内生变量在t+s 期造成的影响。

把? s 中第i 行第j 列元素看作是滞后期s 的函数

j s t i u y ??+,, s = 1, 2, 3, …

称作脉冲响应函数（impulse-response function ），脉冲响应函数描述了其他变量在t 期以及以前各期保持不变的前提下，y i, t +s 对 y j, t 时一次冲击的响应过程。

对脉冲响应函数的解释出现困难源于误差项从来都不是完全非相关的。当误差项相关时，它们有一个共同的组成部分，不能被任何特定的变量所识别。为处理这一问题，常引入一个变换矩阵M 与u t 相乘，

v t = M u t ? (0, ?)

从而把u t 的方差协方差矩阵变换为一个对角矩阵?。现在有多种方法。其中一种变换方法称作乔利斯基（Cholesky ）分解法，从而使误差项正交。

原误差项相关的部分归于VAR 系统中的第一个变量的随机扰动项。在上面的例子里，u 1 t 和u 2t 的共同部分完全归于u 1t ，因为u 1t 在u 2 t 之前。

虽然乔利斯基分解被广泛应用，但是对于共同部分的归属来说，它还是一种很随意的方法。所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数。因此在解释脉冲响应函数时应小心。

对于每一个VAR 模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。

Y t = ? + u t + ?1 u t -1 + ?2 u t -2 + … (8.29)

对于u t 中的每一个误差项，内生变量都对应着一个脉冲响应函数。这样，一个含有4个内生变量的VAR 将有16个脉冲响应函数。要得到VAR 模型的脉冲响应函数，可以在VAR 的工具栏中选择Impulse 功能健。

（2）方差分解。

另一个评价VAR 模型的方法是方差分解。VAR 的方差分解能够给出随机新息的相对重要性信息。EViews 对于每一个内生变量都计算一个独立的方差分解。3个变量的VAR 跨时为10的方差分解如下图。

S.E.所对应的列是相对于不同预测期的变量的预测误差。这种预测误差来源于新息的当期值和未来值。其他的几栏给出关于源于某个特定的新息所引起的方差占内生变量总方差的百分比。向前一个时期，一个变量的所有变动均来自其本身的新息。因此第一个数字总是100%。同样，方差分解主要取决于方程的顺序。

8.1.5 VAR 模型滞后期k 的选择

建立VAR 模型除了要满足平稳性条件外，还应该正确确定滞后期k 。如果滞后期太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。正如在第4章介绍ADF 检验的原理一样，在VAR 模型中适当加大k 值（增加滞后变量个数），可以消除误差项中存在的自相关。但从另一方面看，k 值又不宜过大。k 值过大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计量的有效性。下面介绍几种选择k 值的方法。

1．用LR 统计量选择k 值。LR （似然比）统计量定义为，

LR = - 2 (log L (k ) - log L (k +1) ) ?)(22N χ (8.34)

其中log L (k ) 和log L (k +1) 分别是VAR(k ) 和 VAR(k +1) 模型的极大似然估计值。k 表示VAR 模型中滞后变量的最大滞后期。LR 统计量渐近服从)(22N χ分布。显然当VAR 模型滞后期的增加不会给极大似然函数值带来显着性增大时，即LR 统计量的值小于临界值时，新增加的滞后变量对VAR 模型毫无意义。应该注意，当样本容量与被估参数个数相比不够充分大时，LR 的有限样本分布与LR 渐近分布存在很大差异。 2．用赤池（Akaike ）信息准则 (AIC ) 选择k 值。

AIC = log ????

∑=T

u T

t t 12?+T

2 (8.35) 其中t u

?表示残差，T 表示样本容量，k 表示最大滞后期。选择k 值的原则是在增加k 值的过程中使AIC 的值达到最小。

EViews 3.0的计算公式是

AIC = -2???

??T L log +T

2 3．用施瓦茨（Schwartz ）准则 (SC ) 选择k 值。

SC = log ????

?∑=T

u T

t t 12?+T

klogT

(8.36) 其中t u

?表示残差，T 表示样本容量，k 表示最大滞后期。选择最佳k 值的原则是在增加k 值的过程中使SC 值达到最小。

EViews 3.0的计算公式是

SC =-2??

??T L log +T T

log k 8.1.6格兰杰非因果性检验

VAR 模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（Granger ）非因果性定义如下：

格兰杰非因果性：如果由y t 和x t 滞后值所决定的y t 的条件分布与仅由y t 滞后值所决定的条件分布相同，即

?( y t ? y t -1, …, x t -1, …) = ?( y t ? y t -1, …), (8.37) 则称x t -1对y t 存在格兰杰非因果性。

格兰杰非因果性的另一种表述是其他条件不变，若加上x t 的滞后变量后对y t 的预测精度不存在显着性改善，则称x t -1对y t 存在格兰杰非因果性关系。

为简便，通常总是把x t -1 对y t 存在非因果关系表述为x t （去掉下标 -1）对y t 存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。在实际中，除了使用格兰杰非因果性概念外，也使用“格兰杰因果性”概念。顾名思义，这个概念首先由格兰杰（Granger 1969）提出。西姆斯（Sims 1972）也提出因果性定义。这两个定义是一致的。

根据以上定义，x t 对y t 是否存在因果关系的检验可通过检验VAR 模型以y t 为被解释变量的方程中是否可以把x t 的全部滞后变量剔除掉而完成。比如VAR 模型中以y t 为被解释变量的方程表示如下：

y t =

∑=-k i i t i y 1

α+∑=-k

i i t i x 1

β+ u 1 t (8.38)

如有必要，常数项，趋势项，季节虚拟变量等都可以包括在上式中。则检验x t 对y t 存在格兰杰非因果性的零假设是

H 0: ?1 = ?2 = …= ?k = 0

显然如果（8.24）式中的x t 的滞后变量的回归参数估计值全部不存在显着性，则上述假设不能被拒绝。换句话说，如果x t 的任何一个滞后变量的回归参数的估计值存在显着性，则结论应是x t 对y t 存在格兰杰因果关系。上述检验可用F 统计量完成。 F =

)

()(kN T SSE k

u u --SSE SSE r (8.39)

其中SSE r 表示施加约束（零假设成立）后的残差平方和。SSE u 表示不施加约束条件下的残差平方和。k 表示最大滞后期。N 表示VAR 模型中所含当期变量个数，本例中N = 2，T 表示样本容量。在零假设成立条件下，F 统计量近似服从F ( k , T - k N ) 分布。用样本计算的F 值如果落在临界值以内，接受原假设，即x t 对y t 不

存在格兰杰因果关系。

例：（file: stock）以661天（）的上海（SH）和深圳（SZ）股票收盘价格综合指数为例，

滞后10期的Granger因果性检验结果如下：（当概率小于0.05时，表示推翻原假设）

上表中概率定义为，

P(F>1.36) = 0.19316

图示如下：

P(F>23.44) = 0.00000

因为F值（1.36）落在原假设接受域，所以原假设“上海股票价格综合指数对深圳股票价格综合指数不存在Granger因果关系”被接受。

因为F值（23.44）落在原假设拒绝域，所以原假设“深圳股票价格综合指数对上海股票价格综合指数不存在Granger因果关系”被推翻。

用滞后1?10期的检验式分别检验，结论都是深圳股票价格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原因，但上海股票价格综合指数不是深圳股票价格综合指数变化的原因，

EViews操作方法是，打开数剧组窗口，点View键，选Granger Causility。在打开的对话窗口中填上滞后期（下面的结果取滞后期为10。），点击OK键。

VAR模型的EViews估计步骤。

点击Quick, 选Estimate VAR功能。

输出结果如下（部分）:

8.2 VAR模型与协整

如果VAR模型

Y t = ?1 Y t-1 + ?2 Y t-1+ … + ?k Y t-k + u t, u t? IID (0, ?) (8.40)

的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。

?Y t = ?1*?Y t-1 + ?2*?Y t-2+ … + ?k*?Y t-k + u t* (8.41)

然而，当这些变量存在协整关系时，这种建模方法不是最好的选择。如果Y t? I(1)，且非平稳变量间存在协整关系。那么非平稳变量的由协整向量组成的线性组合则是平稳的。这时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。建立单纯的差分VAR模型将丢失重要的非均衡误差信息。因为变量间的协整关系给出了变量间的长期关系。同时用这种非均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平稳的VAR模型。从而得到一类重要的模型，这就是向量误差修正模型。

下面推导向量误差修正（VEC）模型的一般形式。

对于k = 1的VAR模型，Y t = ?1 Y t-1 + u t，两侧同减Y t-1，得

? Y t= (?1 –I )Y t-1 + u t(8.42) 对于k=2的VAR模型，Y t = ?1 Y t-1 + ?2 Y t-2 + u t，两侧同减Y t-1，在右侧加、减?2 Y t-1，并整理得? Y t= (?1 + ?2 - I ) Y t-1 - ?2 ?Y t-1 + u t(8.43)

对于k=3的VAR模型，Y t = ?1 Y t-1 + ?2 Y t-2 + ?3 Y t-3 + u t，两侧同减Y t-1，在右侧加、减?2 Y t-1和?3 Y t-1并整理得

?Y t= (?1 + ?2 + ?3 - I ) Y t-1 - ?2 Y t-1 - ?3 Y t-1 + ?2 Y t-2 + ?3 Y t-3 + u t

= (?1 + ?2 + ?3 - I ) Y t -1 – ?2 ?Y t -1 - ?3 Y t -1 + ?3 Y t -3+ u t 在右侧加、减 ?3 Y t -2并整理得

?Y t = (?1 + ?2 + ?3 - I ) Y t -1 - ?2 ?Y t -1 - ?3 Y t -1 + ?3 Y t -2 - ?3 Y t -2 + ?3 Y t -3+ u t = (?1 + ?2 + ?3 - I ) Y t -1 - ?2 ?Y t -1 - ?3 ?Y t -1 - ?3 ?Y t -2 + u t

= (?1 + ?2 + ?3 - I ) Y t -1 – (?2 +?3 ) ?Y t -1 - ?3 ?Y t -2 + u t (8.44)

对于k 阶VAR 模型，Y t = ?1 Y t -1 + ?2 Y t -2 + … + ?k Y t-k + u t ，利用k =1, 2, 3的VAR 模型的推导规律，见(8.42) - (8.44)式，其向量误差修正模型（VEC ）的表达式是

?Y t = (?1 +?2 +…+?k - I ) Y t -1- (?2 +?3 +…+?k ) ?Y t -1- (?3 +…+?k ) ?Y t -2 -…- ?k ?Y t - (k -1) +u t

(8.45) 令 ?j = -∑+=k

j i i 1

∏, j = 1, 2, …, k -1，

? = - ?0 - I =∑=k

i i 1

∏- I = ?1 + ?2 + … + ?k - I ， (8.46)

则上式写为

?Y t = ? Y t -1 + ?1 ?Y t -1 + ?2 ?Y t -2 + … + ?k -1 ?Y t - (k -1) + u t (8.47)

这是向量误差修正模型（VEC ）的一般表达式。? 称为压缩矩阵（影响矩阵）。? 是全部参数矩阵的和减一个单位阵。? 为多项式矩阵，其中每一个元素都是一个多项式。运算规则于一般矩阵相同。滞后期的延长不影响对协整向量个数的分析。

根据Granger 定理，向量误差修正模型（VEC ）的表达式是

A ?(L ) (1- L ) Y t = ? ? ' Y t -1 + d (L ) u t (8.48)

其中A ?(L ) 是多项式矩阵A (L )分离出因子(1- L )后降低一阶的多项式矩阵，d (L )是由滞后算子表示的多项式矩阵。

上式与 (8.47) 式完全相同。其中

A ?(L ) (1- L ) Y t = A ?(L ) ?Y t = ?Y t - ?1 ?Y t -1 - ?2 ?Y t -2 - … - ?k -1 ?Y t - (k -1) d (L ) u t = u t

在这里d (L ) 退化为单位阵。

若Y t ? CI(1, 1)，比较 (8.47) 和 (8.48) 式必然有

? = ? ? '

其中?是协整矩阵，? 是调整系数矩阵。? 和? 都是N ?r 阶矩阵。表示有r 个协整向量，?1, ?2 … , ?r ，存在r 个协整关系。因为Y t ? I(1)，所以 ?Y t ? I(0)。从模型 (8.45) 变换为模型 (8.47) 称为协整变换。压缩矩阵 ? 决定模型 (8.47) 中是否存在，以及以什么规模存在协整关系。因为 ?Y t ? I(0)，所以除了? Y t-k ，模型 (8.47) 中各项都是平稳的。而对于? Y t-k 有如下三种可能。

1．当Y t 的分量不存在协整关系，?的特征根为零，? = 0。

2．若rank (?) = N （满秩），保证 ? Y t-k 平稳的唯一一种可能是Y t ? I(0)。 3．当Y t ? I(1)，若保证 ? Y t-k 平稳，只有一种可能，即Y t 的分量存在协整关系。 ? 'Y t ? I(0)

VEC 模型是带有误差修正机制的关于?Y t 的VAR 模型。增加?Y t -1滞后项的目的是吸收u t 中的自相关成分，使其变为白噪声。没有这些项，等于丢掉了动态成分。

假定Y t ? I(1) 具有一般性。如果某个变量的单整阶数高于1，可通过差分取其相应单整阶数为1的序列加入模型。上式也可以加入位移项与趋势项。

若 ? = ? ? ' 成立，且存在r 个协整关系，则? Y t-1的一般表达式是

? Y t-1 = ? ? 'Y t-1 = r

N Nr N r r ???????? ??αααα

αα 1221

111N

r rN

r N ??????

??ββ

ββ 11111

1,1,21,1?---???

??? ??N t N t t y y y = r

N Nr

N r r ???????? ??αααα

αα 1

221

1111

1,1,111,11,111......?----??

? ??++++r t N rN t r t N N t y y y y ββββ

= 1

1,1,111,11,11111,1,1111,11,11111)...()...()...()...(?--------??

? ??++++++++++++N t N rN t r Nr t N N t N t N rN t r r t N N t y y y y y y y y ββαββαββαββα

(8.49)

为便于理解，现在以N =2, k =1的VEC 模型为例，说明VEC 模型中的协整关系。例8.4 有VEC 模型 ? y 1, t = -21( y 1, t -1 –8

y 2, t -1) + u 1 t (8.50) ? y 2, t =

21( y 1, t -1 –8

y 2, t -1) + u 2 t (8.51) 看(8.50)式，令误差修正项 [y 1, t -1 – (1/8) y 2, t -1] = v 1, t -1。当v 1, t -1增加，系统偏离了均衡点，y 1, t -1 > (1/8) y 2, t -1，因为调整系数为负（- 1/2），在t 期将导致 ? y 1, t 减小，也即y 1, t 减小。从而使y 1, t 移向均衡点。反之亦然。把 (8.51) 式改写如下，

? y 2, t = -

( y 2, t -1 – 8 y 1, t -1) + v 2 t 误差修正机制的解释与上类似。

把 (8.50)，(8.51) 写成矩阵形式。 ????????t t y y ,2,1=??

????--16/12/116/12/1??????--1,21,1t t y y +??

???t t u u 21= ? Y t -1 + u t (8.52) 现在分析矩阵?。因为 ? ? ? =??

???--16/12/116/12/1= 0，?是降秩的。为求 ? 的特征值，解如下特征方程， | ? - ? I | = ??????-??????--λλ0016/12/116/12/1= ??

?---λλ

16/12

/116/12/1

= 1/32 + 9/16? + ? 2 –1/32

= ? 2 + 9/16? = ? (? + 9/16) = 0 (8.53)

两个根是?1 = 0，?2 = - 9/16。

?1 = 0，说明 ? 是降秩的。一般来说，非零根的个数既是 ? 的秩。

? 有三种情形。（1）当 ? 完全降秩，即rank(?) = 0时，任意形式的 ? 通过适当线性变换，可以得到 ?

= 0。于是（8.52）式变为，

? Y t = u t

这是一阶差分形式的平稳的VAR 模型。说明Y t 中含有一个单位根。VAR 模型中没有协整向量。

现在讨论多于一个协整关系的情形。

例8.5 设三个变量的k = 1的误差修正模型如下，

? y 1, t = - (1/2) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1] + (1/4) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1]+ u 1 t ? y 2, t = (1/8) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1]– (5/8) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1]+ u 2 t ? y 3, t = (1/4) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1] + (3/8) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1]+ u 3 t 矩阵形式是

????

?????????t t t y y y ,3,2,1=

?????

?????--8/34/18/58/14/12/1??????--4/11008/11??????????---1,31,21,1t t t y y y +?

????t t t u u u 321 (8.54) ? = ? ? ' =??

???

?????--8/34/18/58/14/12/1??????--4/11008

/11=????

??????----32/332/114/132/564/418/116/116/52

/1 ? 的特征值是 -0.7928，-0.4416，0。存在两个协整关系。

注意：在第一个协整向量中，y 3, t 的系数被约束为零。在第二个协整向量中，y 1, t 的系数被约束为零。这说明两个均衡关系是不一样的，可识别的。

例8.6 设k = 2的VAR 模型

???t t y y 21 = ??????16/34/316/18/5??????--1,21,1t t y y +?????

?---4/34/14/18/1??????--2,22,1t t y y +???

???t t u u 21 与其相应的误差修正模型是，

???? ????t t y y ,2,1=?

?--16/12/116/12/1??????--1,21,1t t y y +??

????-4/34/14/18/1????????--1,21,1t t y y +??????t t u u 21 (8.55) = ??????-2/12/1(1 -81)??????--1,21,1t t y y +?

???-4/34/14/18/1????????--1,21,1t t y y +??????t t u u 21

= ??????-2/12/1 ( y 1, t -1 -81

y 2 t –1) +?

????-4/34/14/18/1????????--1,21,1t t y y +??

????t t u u 21 其中? = ??????--16/12/116/12/1=?

????-2/12/1(1 -81

) = ? ? '。若Y t ? CI(1, 1)，则协整向量是 (1 -8

) '。

8.3 存在单位根与? 降秩的关系。

下面分析VAR 模型中存在单位根与压缩矩阵?降秩的关系。以k = 1的VAR 模型为例，

Y t = ?1 Y t -1 + u t (8.56)

它的VEC 表达式是 ?Y t = ? Y t -1 + u t 。(8.56)式还可以写为

(I - ?1 L )Y t = A (L )Y t = u t (8.57)

其中A (L ) = (I - ?1 L )。VAR 模型，变量稳定的条件是?1的所有特征值的模都要比1小，或者说相反的特征方程的根应在单位圆以外。

根据矩阵运算规则，对于方阵A ，有A (L )-1 = adj (A (L ) )/ ? A (L ) ?，或

? A (L ) ? A (L )-1 = adj (A (L ) ) (8.58) 其中adj (A (L ) )是A 的伴随矩阵。用adj (A (L ) )左乘(8.57)式

adj (A (L ) )A (L )Y t = adj (A (L ) ) u t

把(8.58)式关系代入上式，得

? A (L ) ? Y t = adj (A (L ) ) u t (8.59)

其中? A (L ) ?是一个以滞后算子L 为变数的k 阶多项式（标量）。? A (L ) ? 与Y t 中每一个分量相乘。因为u t 是平稳的，如果Y t ? I (1)，? A (L ) ?就可以被分解为 (1- L ) ?A *(L ) ?。其中?A *(L ) ?是分解出因子(1- L )后，相应k -1阶多项式（标量）。单位根算子(1- L )将与Y t 中每一个变量相乘。

为了评价VEC 模型中协整向量的个数，需要考察? =∑=k

i i 1∏- I （见(8.46)式）非零特征值的个数，也即?

的秩。存在协整关系就意味着?降秩。

为了考察Y t 中是否含有单位根，需要计算 ? A (L ) ? = ? I -∑=k

i i 1

∏(L ) ? 的值。

注意：上面所说的协整向量个数与单位根个数的关系是，若存在单位根，则必有? A (1) ? = ? I -∑=k

i i 1

∏(1)

? = - ? ? ? = 0。所以如果VAR 模型中存在单位根，?一定是降秩的，而这意味着至少存在一个协整向量。

例8.4 一阶2变量VAR 模型如下：

Y t = ?1 Y t -1 + u t

其中 ?1 =??

??16/152/116/12/1

A (L ) = I - ?1 L = ????

??1001-??

???16/152/116/12/1 ? A (L ) ? = 1- (23/16)L + (7/16)L 2 = (1-7/16 L ) (1- L )

其中A *(L ) = (1-7/16 L )。上式显示存在两个根，一个是L =1，一个是L =7/16。

条件? A (1) ? = 0与单变量过程中的条件是一致的。? A (1) ? = 0，意味着? ? ? = 0，?降秩。把结论代入(8.59) 式，? A (L ) ? Y t = adj (A (L ) ) u t 。

(1-7/16 L ) (1- L ) Y t = (1-7/16 L ) (1- L )???

???t t y y 21= (1-7/16 L )??

??????t t y y 21

=???

??--L L L L 2/112/116/116/151??????t t u u 21=??

???-++-t t t t u L u L Lu u L 2121)2/11()2/1(16/1)16/151( 整理上式

????????t t y y 21= 7/16????????--1211t t y y +???

?-++-t t t t u L u L Lu u L 2121)2/11()2/1(16/1)16/151(

因为存在一个单位根，所以原变量的差分变量?Y t 写成的表达式是平稳的。 8.3 VAR 模型中协整向量的估计与检验

8.3.1 VAR 模型中协整向量的估计

此估计方法由Johansen 提出。假定条件是，u t ? IID (0, ?)。实际中这个条件比较容易满足。当u t 中存在自相关时，只要在VAR 模型中适当增加内生变量的滞后阶数，就能达到u t 非自相关的要求。此估计方法为极大似然估计法。

给定VAR 模型

Y t = ?1 Y t -1 + ?2 Y t -1 + … + ?k Y t -k + ?D t + u t , u t ? IID (0, ?) (8.60)

其中Y t 是N ?1阶列向量。D t 表示d ?1阶确定项向量（d 表示确定性变量个数）。用来描述常数项?、时间趋势项t 、季节虚拟变量（如果需要）和其他一些有必要设置的虚拟变量。? 是确定性变量D t 的N ? d 阶系数矩阵。其中每一行对应VAR

?Y t = ? Y t -1 + ?1 ?Y t -1 + ?2 ?Y t -2 + … + ?k -1 ?Y t - (k -1) + ?D t + u t (8.61)

其中 ?j =

∑+=k

j i i 1

∏, j = 1, 2, …, k -1，

? = ?0 - I =∑=k

i i 1

∏- I = ?1 + ?2 + … + ?k - I ，

正确地估计协整参数矩阵 ? 的秩r 非常重要。若r 被正确估计，则所有误差修正项都是平稳的。那么模型 (8.61) 中的所有项都是平稳的。参数估计量具有一致性。任何高估或低估r 值都会给参数估计与推断带来错误。当低估r 值时，将导致把余下的误差修正项并入模型的随机误差项U t 。而高估r 值将会把非协整向量带入协整参数矩阵中。N ?1阶的 ? Y t -k 将由I(0) 项（协整向量与变量的积）和I(1)项（非协整向量与变量的积）混合而成，从而导致回归参数估计量及其相应统计量的非正态性分布。当用t 检验临界值做显着性检验时就会得出错误结论。

估计的第一步是用样本数据Y t , (t = - k + 1, - k + 2, …, 0, 1, 2, …, T ) 确定协整参数矩阵 ? 的秩r 。对于任何r ? N 情形，模型 (8.61) 的零假设是

H 0: rk(?) ? r 或 ? = ? ? ' (8.62)

其中 ? 和 ? 是N ? r 阶矩阵。注意，这一步只能估计r ，无法估计 ? 和 ?，因为对VAR 模型 (8.61) 来说，

? 和 ? 是“过多参数”的，无法与r 同时估计。

接下来构造协整检验统计量LR ，估计协整向量个数r ，估计? 和 ?。把模型 (8.61) 看作数据生成系统，且0 ? r ? N , U t ? IID(0, ?) 成立，则对数似然函数是

logL (?1, …, ?k -1, ?, ? ? Y 1, …, Y T ) = -2TN log (2?) -2T log ? ? ? -∑=-T

t t t 1

1'2

u u Ω (8.63)

利用上式求关于 ? 的集中对数似然函数（见《计量经济分析》第274-277页），即把? 看作是给定值条件下的对数似然函数。

logL (?1, …, ?k -1, ? ? Y 1, …, Y T ) = C 0 -

T log ?Ω?? (8.64) 其中 Ω

? = ∑=T

t T

'??1t t u u

为便于书写，给出如下符号，

Z 0t = ?Y t Z 1t = Y t -1

Z 2t = (?Y t -1, ?Y t -2, …, ?Y t - (k -1), D t )'

? = (?1, ?2, …, ?k -1, ?)'

其中Z 0t 和Z 1t 是N ?1阶的，列向量Z 2t 是[N (k -1) + d ] ?1阶的，? 是N ? [N (k -1) + d ] 阶的。则 (8.61) 式

?Y t = ? Y t -1 + ?1 ?Y t -1 + ?2 ?Y t -2 + … + ?k -1 ?Y t - (k -1) + ?D t + u t (8.61)

改写为，

Z 0t = ? Z 1t + ? Z 2t +

u t (8.65)

对集中对数似然函数 (8.64) 求极大，就是对∑'??t t u u

求极小。则估计? 的OLS 正规方程是 ∑=T t 1

(Z 0t - ? Z 1t -Γ?Z 2t ) Z 2t ' = 0 [ 对照∑=--T

i t t t x x y 1

2211)??(ββ(x 2 t ) = 0 ]

其中Γ

?是对(8.65) 式中? 的估计。破括号、移项上式变为， ∑=T t 1

(Z 0t Z 2t ' ) = ? ∑

t 1

(Z 1t Z 2t ' ) +Γ

?∑=T

t 1

(Z 2t Z 2t ' )

则 T T

T T

用Γ

?= Z 0t -∑=T t 1(Z 0t Z 2t ' ) (∑=T t 1Z 2t Z 2t ' )-1

Z 2t – ? [Z 1t –∑=T t 1(Z 1t Z 2t ' ) (∑=T

t 1

Z 2t Z 2t ' )-1Z 2t ]

(8.67)

现在考虑如下回归（目的是把上式表达为以? 为参数的回归式），

Z 0t = ? Z 2t + u 0t (8.68)

则? 的OLS 估计量

Γ~

∑=T t 1

(Z 0t Z 2t ' ) (∑

t 1

Z 2t Z 2t ' )-1 (8.69)

若u 0t 的估计量用R 0t 表示，则

R 0t = Z 0t -∑=T

t 1

(Z 0t Z 2t ' ) (∑=T

t 1Z 2t Z 2t ' )-1 Z 2t (8.70)

考虑如下回归，

Z 1t = ? Z 2t + u 1t (8.71)

则? 的OLS 估计量

∑=T t 1

(Z 1t Z 2t ' ) (∑

t 1

Z 2t Z 2t ' )-1 (8.72)

若u 1t 的估计量用R 1t 表示，则

R 1t

= Z 1t -∑=T

t 1

(Z 1t Z 2t ' ) (∑=T

t 1Z 2t Z 2t ' )-1 Z 2t (8.73)

比较(8.67)，(8.70) 和 (8.73)式。

t u

?= Z 0t -∑T (Z 0t Z 2t ' ) (∑T Z 2t Z 2t ' )-1

Z 2t – ? [Z 1t –∑=T t 1(Z 1t Z 2t ' ] (∑=T

t 1

Z 2t Z 2t ' )-1Z 2t ] (8.67)

=t 1

Z 2t (8.70)

(8.70)式等号右侧两项是(8.67)式等号右侧第1，2项。(8.73)式等号右侧两项是(8.67)式等号右侧第3项中括号内部分。用R 0t 和R 1t 分别代替(8.67)式中相应部分，

t u

?= R 0t - ? R 1t 整理上式，

R 0t = ? R 1t +t u

? (8.74) 上式表示残差R 0t 对R 1t 回归。R 0t 和R 1t 分别表示Z 0t , Z 1t 在排除Z 2t 影响以后的残差（见 (8.68) 和 (8.71)式）。比较 (8.74) 和 (8.65)式，

Z 0t = ? Z 1t + ? Z 2t + u t (8.65)

(8.74)式是排除Z 2t 影响以后的回归式。因为对数似然函数对? 是非约束的，所以可先排除Z 2t 的影响，进一步求R 0t 和R 1t 的关于Z 2t 的集中对数似然函数log (?)。（把Z 2t 当作给定值的似然函数）

logL(?) = C 0 -2T log ?T

-1

∑

=T t t 1

0(R - ? R 1t ) (R 0 t - ? R 1t )' ? (8.75) 其中C 0是常量。

如果 ? 是非约束的，则很容易计算 ? 的估计值。现在感兴趣的是在施加 ? = ?? ' 约束条件下求 (8.61) 式中 ? 的估计量。把约束条件? = ? ? ' 代入上式和(8.74) 式，

LogL (?, ?) = C 0 -2T log ? T

-1

∑

=T t t 1

0(R - ? ? ' R 1t ) (R 0 t - ? ? ' R 1t )' ? (8.76) R 0t = ? ? ' R 1t + t u

? (8.77) 先设定 ? 不变，通过R 0t 对 ? 'R 1t 回归估计α

?，从而进一步求关于α?的集中对数似然函数。α?的OLS 计算公式是，

?= ∑∑==T

t t t T

t t t 1

111

10)'

'()'()'

'(R R R R βββ=

∑∑==T

t t t T

t t t 1

111

10'''β

ββ

R R R R (8.78)

定义残差R 0 t 和R k t 的积矩量矩阵S i j 如下，

S i j = T

-1

∑=T

t jt it 1

'R R , i , j = 0, 1, (8.79)

则(8.78) 式表达为，

?= S 01 ? (? 'S 11 ? ) -1 (8.80) 用α

?代替(8.76) 式中的?，得 t

0?R = α?? ' R 1t ?的估计量，(8.76) 式中绝对值部分，? T

-1

∑=T

t t 1

0(R - ? ? ' R 1t ) (R 0 t - ? ? ' R 1t )' ?，的估计量表达为

?Ω?? = ? T -1∑=T

t t 10(R -α?? ' R 1t ) (R 0 t -α

?? ' R 1t )'? = ? T

-1

∑=T

t t 1

0(R R 0t ' -α

?? ' R 1t R 0t ' - R 0 t R 1t ' ?α?' +α?? ' R 1t R 1t ' ?α?' )' ? = ? S 0 0 -α

?? 'S 10 - S 01 ?α?' +α?? ' S 11 ?α?' ? (8.81) 用α

?的表达式 (8.80) 代换 (8.81) 式中的?，得 ?Ω

?? = ? S 00 - S 01 ? ( ? ' S 11 ? )-1 ? ' S 1 0 ? (8.82) 对集中对数似然函数 (8.76) 求极大，即对上式求极小。这种极小化是通过对N ? r 阶矩阵 ? 的取值来实现的。

依据拉奥 (Rao, 1973)，对于矩阵A , B , C 有如下关系存在。 C

B B

A ' = ? A ? ? C -

B ' A -1B ? = ?

C ? ? A - B C -1B ' ? (8.83)

移项

-1 ? C ?-1 ? A ? ? C - B ' A -1B ? 令A = S ? ' S 11 ?, 于是有

?Ω

?0 0 01? ' S 11 ? )-1 ? ' S 10 ? = ? ? ' S 11 ? ?-1 ? S 00 ? ? ? ' S 11 ? - ? ' S 10 S 00-1 S 01 ? ?

= ? ? ' S 11? ? -1 ? S 00 ? ? ? ' (S 11 – S 10 S 00-1 S 01) ? ? (8.84)

因为 ? S 00 ? 是常量，所以对关于 ? 的对数似然函数（8.76）求极大即是对 ? ? ' S 11 ? ?-1 ? ? ' (S 11 – S 10 S 00-1

S 01) ? ? 求极小（忽略? S 00 ?）。

把上述求极小问题再转化为设定 ? ' S 11 ? = I 条件下，通过对 ? ? ' (S 11 – S 10 S 00-1 S 01) ? ? 的极小化求 ? 的极大似然估计量。

根据典型相关理论，上述求极小问题可以转化为求广义特征值问题，

? ? S 11 – S 1 0 S 00-1 S 01 ? = 0, (8.85)

其中? 是关于S 11的S 10 S 00-1 S 01 的特征值。相应特征向量 v i , i = 1, …, r 则构成 ?，即 ? =（v 1 v 2 … v r ）（其

中v i 与r 个最大的特征值相对应，而r 值则由假设检验（8.62）确定。）

求出 ? 的极大似然估计量 β

? 后，其他参数的极大似然估计量都可求出。利用约束条件? ' S 11 ? = I ，由 (8.80) 式得，

?= S 01β?, (8.86) ∏

?=α?β?' (8.87) 由 (8.82) 式得，

?= S 00 - S 01 β?(β?'S 11β?)-1β?'S 1 0 = S 00 - S 01 β?β?' S 1 0 = S 00 -∏

?S 1 0. (8.88) Ω

?和∏?分别是 ? 和 ? 的一致估计量。由 (8.77) 式，? 的非约束估计量是

∏~

= S 01 S 11-1. (8.89)

由 (8.81) 式，? 的非约束估计量是

Ω~= S 00 -∏~

S 10. (8.90)

用D 表示关于S 11的S 1 0 S 00-1 S 01的按大小排列的特征值 1?λ? 2?λ? … ? N

λ?组成的对角矩阵，D r 表示前r 个特征值组成的对角矩阵。

依据 (8.84)式，因为有条件? ' S 11 ? = I ，并可证明D r =β

?'S 1 0 S 00-1 S 01β?，所以集中对数似然函数（去掉常数项）表示为，

logL (β?)r = -2

T log ? β?' (S 11- S 1 0 S 00-1 S 01

) β? ? -

T log ? β?'S 11β?-β?'S 1 0 S 00-1 S 01β? ? = -2T log ? I - D r ? = -2T

[∑

i log 1

(1 - ?i ) ] (8.91)

其中logL (β

?)r 表示约束对数似然函数。约束条件是零假设 (8.62) ，含有r 个协整向量。当对 ? 不施加约束时，即rk(?) ? N 时（保留N 个特征值），无约束集中对数似然函数是 logL (β?)u

= -2T log ? I - D ? = -2

T [∑=N

i log 1

(1 - ?i ) ] (8.92)

检验零假设 (8.62) 所用的统计量是 LR = - 2 (logL (β?)r - logL (β?)u

) = - T [

∑+=N

r i log 1

(1- ?i ) ], r = 0, 1, …, N - 1. (8.93)

LR 统计量 (8.94) 在零假设 0 ? r ? N 或“存在N - r 个单位根”成立条件下不服从?2分布。Johansen 证明LR 统计量渐近服从如下分布。

tr ??

???????????

????????????????

??-10110'10)'()()'()()'()(i d i i d i i i d i W W W W W W , (8.94)

其中tr (·) 表示迹，W (i ) 是N - r 维的Wiener 过程。上述统计量也称作迹统计量。该分布不能用解析的方法计算。用蒙特卡罗模拟方法得到的上述分布的百分位数表见8.3.4节。

8.3.2 VAR 模型中协整向量的检验

检验存在r 个协整向量，即（N – r ）个非协整向量，或者（N – r ）个单位根，可以表达为相应（N – r ）个特征值，?r +1, …, ?N ，为零。

上述 LR 检验是一个连续检验过程。

?Y t = ? Y t -1 + ?1 ?Y t -1 + ?2 ?Y t -2 + … + ?k -1 ?Y t - (k -1) + ?D t + u t (8.61)

(1) 首先从检验r = 0开始。意即在VAR 模型 (8.61) 中不存在协整向量（含有N 个单位根）。如果r = 0不能被拒绝（LR < 临界值），说明N 个变量间不存在协整关系。检验到此终止。不能建立VEC 模型。如果r = 0被拒绝（LR > 临界值），则应继续进行下面的检验。

(2) r ? 1。意即在VAR 模型 (8.61) 中存在1个协整向量（含有N -1个单位根）。如果r ? 1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r ? 1被拒绝，则应进一步作如下检验。

……

(3) r ? N –1。意即在VAR 模型 (8.61) 中存在N –1个协整向量（含有1个单位根）。如果r ? N –1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r ? N –1被拒绝，说明r =N 。

在检验过程中，比如r ? r *-1已经被拒绝，但r ? r *不能被拒绝，则结论是VAR 模型 (8.61) 中存在r *个协整向量。

（4）协整检验过程中的每一步检验都属于右单端检验。

例8.7 N = 3 的VAR 模型的3个特征根分别是?1 = 0.9, ?2 = 0.5, ?3 = 0.04。样本容量T = 100，临界值相应给出。见表8.1。练习协整向量个数的检验过程。首先检验r = 0。 LR = - T [

∑+=N r i log 1

(1- ?i ) ] = - 100∑=-3

)1log(i i λ

= -100 (-2.302-0.693-0.04) = 303.6 > 34.91（临界值）

接着检验r = 1。

LR = - 100∑=-3

2)1log(i i λ= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 > 19.96（临界值）

接着检验r = 2。

LR = - 100 Ln (1- ?3 ) = -100 (-0.04) = 4.082 < 9.24（临界值）

因为r ? 1已经被拒绝，但r ? 2未能被拒绝，所以结论是该VAR 模型中存在2个协整向量。表8.1 协整检验过程

零假设

N - r 特征值迹统计量 5%水平临界值 r = rk(? ) = 0 3 0.90 303.6 > 34.91 r = rk(? ) ? 1 2 0.50 73.30 > 19.96 r = rk(? ) ? 2

0.04

4.082 <

9.24

注：临界值取自附表1的b 部分。

8.3.3 VEC 模型中确定项的处理 1．常数项的处理

VEC 模型中常数项的位置可分3种情形讨论。位置不同，相应的协整检验用表也不同。

（1）常数项?完全属于协整空间。那么可以把?写成如下形式：

? = ? ?1

其中?是N ?1阶的，?是N ? r 阶的，?1是r ? 1阶的。以VAR 模型Y t = ? + ?1 Y t -1 + u t 为例，相应VEC 模型形式是

?Y t = ? ? ' Y t -1 +? ?1 + u t = ? (? ', ?1 )??

???-11t Y + u t (8.100)

（2）常数项 ? 的一部分进入协整空间，一部分属于数据空间（VAR 的常数项）。下面介绍怎样把? 分离成两部分。因为? 是N ? r 阶的，构造一个N ? (N – r ) 阶矩阵??，使? '?? = 0。? 与?? 正交。定义?? 的目的是要把? 分离成相互无关的两部分。

? = ? ?1 + ?? ?2 (8.101)

显然? ?1能进入协整空间（见(8.100)式）。?1属于协整空间的常数项。因为? 与?? 是正交，?? ?2不能进入协整空间。?2属于数据空间的常数项。

?Y t = ? + ? ? ' Y t -1 + u t = ? ?1 + ?? ?2 + ? ? ' Y t -1 + u t

= ?? ?2 + ? (? ', ?1 )??

???-11t Y + u t (8.102)

下面介绍?1，?2的求法。用 (? '?)-1? ' 左乘(8.101) 式，得

(? '?)-1? '? = (? '?)-1? '? ?1 + (? '?)-1? '?? ?2 = ?1 (8.103)

上式是 ?1的计算公式。

用 (??' ??)-1??' 左乘(8.101) 式，得

(??' ??)-1?? '? = (??' ??) –1 ??' ? ?1 + (??'??)-1??' ?? ?2 = ?2 (8.104)

上式是 ?2的计算公式。

例8.6 举例说明? 的位置。设N =2的VAR 模型如下 ??????t t y y ,2,1=?????

?-40/140/3+??????--16/12/116/12/1??????--1,21,1t t y y +??

???t t u u 21 (8.105) 先求?。变化上式，

??????t t y y ,2,1=?????

?-40/140/3+??????-2/12/1[]8/11-??????--1,21,1t t y y +??

???t t u u 21 (8.106) 因为 ? =??????-2/12/1，所以?? =??????--2/12/1，则 ? '?? =[]2/12/1-??????--2/12/1= 0。? =??

???-40/140/3。按（8.103）式，(? '?)-1? '? = ?1计算，

?1 = (? '?)-1? '? =()1

2/12/12/12/1-??

???????? ??--[]2/12

/1-??

???-40/140/3= 1/10 按（8.104）式，(??' ??)-1?? '? = ?2计算，

?2 = (?? '??)-1

?? '? =()1

2/12/12/12/1-??

???????? ??----[]2/12

/1--??

???-40/140/3= 1/20