考试课后题答案

2 二 证明题

2. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为⎰=

v

dv x t x t p ,

,,),()(

ρ利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇t J ρ 证明的变化率为⎰=v

dv t x J dt p

d ,,),(

解：

⎰=v

dv x t x t p ,,,),()(

ρ (T 就是方向符号)

,x 与时间无关，取的)(t p

一个分量为

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅⋅-=⋅⋅∇+⋅∇-=⋅∇-====v

i s

i i v

i i v i i v i i v i i i i v

i i dv J s d J x dv J x dv J x dv J x dv t x x t p

dt t dp dv x t x t p ,

,

,,,

,,,,,,,,,,

,

,)()()(),()()(),()( ρρ（p 上的乱码为p 上一个点，rou 也是，dv 后都有一小撇）

考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。s d J x s

i i

⋅⋅⎰)(,=0

所以 ⎰⋅=v

i i dv J dt t dp ,)

(

故得 ⎰=v

dv t x J dt p

d ,,),(

3.证明：

（1） 两种介质的分界面上不带自由电荷时，电力线的曲折满足

12

1

2

tan tan εεθθ=

，其

中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹

角.

（2） 当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电力线曲折满足

12

1

2

tan tan σσθθ=

，其中2,1,σσ分别为两种介质的电导率。

解：（1）考虑到界面上无自由电荷，故知：

12

122

222

2111112

221112

2112112221121tan tan cos sin cos sin sin sin 0

)(cos cos εεθθθεθθεθεεθθθθ=======-⨯==即得故

即且即E E E E E D E D E E E E E E n D D D D t t n n

（2）一直导电介质内流有稳恒电流故

221121cos cos 0θθJ J J J J n n ===⋅∇即可知

又知稳恒电流的电场与静电场之边界条件相同，故

12

12

2

211122

22111211121tan tan sin cos sin cos sin sin σσθθθθσθθσσσθθ======即故得

且即E J E J E E E E t t

10.设A 和ϕ是满足洛伦兹规范的失势和标势。引入一矢量函数(,)Z x t （即赫芝势），使Z ϕ=-∇，证明2

1Z A c t

∂=

∂； （字母上边的均为方向符号，其中g 为称号） 证明：在洛伦兹规范 2

10A c t

ϕ

∂∇+=∂ （1） 下A 和ϕ遵从达朗贝尔方程：

22

0221A A J c t μ∂∇-=-∂，22

0221/c t

ϕϕρε∂∇-=-∂ （2）

将Z ϕ=-∇ （3） 代入（1）式得2

1(Z

A c t

∂∇-

∂）=0 （4） 因为（1）式对任意点任意时刻都成立，故方程（4）对任意点任意时刻也成立，因此括号内两个矢量最多只相差一个无散场，令其为0，便有21Z

A c t

∂=∂ （5）

三 计算题

1 有一内外半径分别为r 1和r 2的空心介质球，介质的介电常数为ε，使介质内均匀带静止电荷f ρ，求

（1） 空间各点的电场

（2） 极化体电荷和极化面电荷分布 解：（1）空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内，电场具有球对称性分布，利用高斯定理可解得

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨<<<->=)

(0)(3)()(31213

0313

23012r r r r r r r r r r r

E f f ερε （3） 极化体电荷和极化面电荷分布：

在（)21r r r <<范围内存在极化体电荷p ρ

P p ⋅-∇=ρ E E P r e

00)1(εεεχ-== ε

ρf E =⋅∇ ε

ρεεεερf

r p E )()1(00--=⋅∇--=∴ )(21r r r <<

或f p ρε

ερ)1(0

-

-= 在r=r 2 球面上的极化面电荷p σ (前边是r=r2)

2012)1()(2

E n P P n r p

εεσ-⋅-=-⋅-=

)

()1(3)()

(3)()1(3)(20

2

2

3

1323

2

3

13

20

3

2

3

1322r r r r r r r r r r

r n r r r r E f

f

r p f =-

-=

----=∴-=⋅-=ε

ερερεεσερ

在r=r 1的球面上的极化面电荷p σ (前边是r=r1)

00

)(1

2,2,02,33,2,

=∴===-⋅-==p r r e p E E P P P P n σεχσ

2.内外半径分别为r 1和r 2的无穷长中空导体圆柱，沿向流有稳恒自由电流J f ，导体的磁导

率为。求磁感应强度和磁化电流。

解：沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流J f 所产生的磁感应强度具有轴对称性，因而

可应用安培环路定律求B 三个不同区域的B

可分别算出