题组层级快练64

题组层级快练(六十四)21.已知椭圆x 2+y =a 2(a>0)与以A(2,1), B(4,3)为端点的线段没有公共点，贝U a 的取值范围是( ) A . 0<a^2 B . 0<a<3或 a 』 2 2 C . a 号或a>乎 答案 B 解析椭圆恰好经过 A 与椭圆恰好经过B 是临界，将A , B 两点代入解，a = 竽,a = ，由数形结 合知，B 正确. 2 •设抛物线 y 2 = 8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线I 与抛物线有公共点，则直线 I 的斜率 的取值范围是( A . [ - 2，2]B . [ - 2,2]C . [ - 1,1] 答案 CD . [ - 4,4]解析设直线方程为 与抛物线有一个交点.当2 3 .设P 是椭圆25+y y = k(x + 2)，与抛物线联立方程组，整理，得 ky 2- 8y + 16k = 0•当k = 0时，直线 k z 0 时，由 △= 64- 64k 2> 0，解得一 K k < 1 且 k ^ 0•综上一 K k < 1. 2 =1上一点，M , N 分别是两圆(x + 4)2 + y 2= 1和(x -4)2+ y 2= 1上的点，贝U |PM| + |PN|的最小值、最大值分别为( ) A . 9,12 C . 8,12 答案 C 解析B . 8,11D . 10,12肿POrH9如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|+ |PB| = 2a = 10,连接PA , PB 分别与圆相交于 M , N 两点，此时|PM|+ |PN|最小，最小值为|PA|+ |PB|-2R = 8;连接PA ,PB 并延长，分别与圆相交于 M , N 两点，此时|PM|+ |PN|最大，最大值为|PA|+ |PB|+ 2R = 12,即最小值和 最大值分别为8,12. 4.已知A , B , C 三点在曲线y = .x 上，其横坐标依次为 1, m,4(1<m<4)，当△ ABC 的面积最大时，m 等于() B.C.5D.31 1 — |m — 3 m + 2| =2|AC| d =2 • 10 -—不— =*|m -3 , m + 2|.3•••1<m<4，二 1< m<2，当且仅当.m =目时， 9S ^ABC 取最大值，二m = 4，「・B 正确.5. （2015河南安阳第一次调研）抛物线y 2= 2px （p>0）的焦点为F ,已知点A , B 为抛物线上的两个动点,且满足/ AFB = 90°过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为N ,则的最大值为（）AB|A. C . 1 D. 3答案 A解析 设准线为I ，过A 作AQ 丄I , BP 丄I ，设|AF|= a , |BF|= b ,由抛物线定义，得|AF|= |AQ|, |BF| =|BP|.在梯形 ABPQ 中，2|MN|= |AQ|+ |BP| = a + b ,由勾股定理，得|AB|2= a 2 + b 2 = (a + b)2 — 2ab •又的最大值为-2，故选A.由 m>0，得 m + 2>2.二 0< ~<r ,—^^>—T ,- 1—，即 e 2>1. m + 2 2' m + 22' m + 2 2' 2答案解析 A(1,1), C(4,2)，直线 AC 方程为 x — 3y + 2 = 0. 设点 B 到直线 AC 的距离为d.…S ^ABC = B. ab w (~2~)2,所以(a + b)2— 2ab 》(a + b)2—f，得到ABp^（a + b ）,所以警債AB|1f2(a+b)=^2,即JMNJ2 2 ' T a+ b|AB|6. （2015河南郑州质检 ）已知椭圆 C 1：2 2'=1与双曲线C 2： m +有相同的焦点, 则椭圆C 1的离心率6的取值范围为答案 _22<e 1<1解析•••椭圆6：2J 1,n••• a 2= m + 2, b 2=— n , c 2= m + 2+ n , e ?== 1 +m + 222曲线 C 2： - + y = 1 ,二 a 2 = m , b 2 = — n , c 2= m — n.由题意可得 m + 2 + n = m — n ,贝U n =— 1.「. e 1= 1 —1 m + 2而 0«1<1, • ~22<e 1<1.APB 的面积的最大值为二 d = • (S A APB )max = ~X3 5X^-5= 272X 2&已知椭圆2 + y 2=1的左焦点为F , O 为坐标原点. (1)求过点O , F ，并且与直线l : x =— 2相切的圆的方程; (2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A , B 两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围.答案(1)(x + 2)2+ (y ± 2)2= 9 (2)( — 2, 0) 解析 ⑴•/ a 2= 2, b 2= 1,「. c = 1, F( —1,0).1•••圆过点O , F ，•圆心M 在直线x = — 2上.3+ t 2 = 2 解得 t = ± 2.•••所求圆的方程为(x + 2)2+ (y ± 2)2= 4 ⑵设直线 AB 的方程为y = k(x + 1)(k z 0), 整理，得(1+ 2k 2)x 2 + 4k 2x + 2k 2— 2 = 0, •••直线AB 过椭圆的左焦点 F 且不垂直于•••方程有两个不等实根.1 x 0=2(X 1 + X 2)= — 2k 2+ 1 ,ky 0=k(x 0+1)=2^+7.由 |OM|=r ，得"(—1 227.已知直线I : y = 2x — 4交抛物线y = 4x 于A ,B 两点，在抛物线 AOB 这段曲线上有一点 卩，则厶答案 27~4解析 由弦长公式知|AB|= 3 . 5,只需点P 到直线 AB 距离最大就可保证△ APB 的面积最大.设与 I 平行的直线y = 2x + b 与抛物线相切，解得104 -2 代入+ y 2= 1.x 轴,如图，设 A(X !, %), B(X 2, y 2), AB 中点1 4一_4 k 2 则 x 1 + X 2=— 2k 2 + 1，2k 2N(x o , y o ),••• AB 的垂直平分线 NG 的方程为 1y — y o =— k (x —x o ) •2 . 22kk令y =0，得 x G = X o + ky o = —k 2 112?71 =—2+E . 1k z 0, •— 2<X G <0・1•点G 横坐标的取值范围为(一2，0).9. (2015北京房山期末)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为 冷，且抛物线y 2= 4 2x 的焦点是 椭圆M 的一个焦点.(1)求椭圆M 的方程；⑵设直线I 与椭圆M 相交于A , B 两点，以线段 OA , OB 为邻边作平行四边形 OAPB ，其中点P 在椭 圆M 上，O 为坐标原点.求点 O 到直线I 的距离的最小值.2 2 答案⑴乡+ 2 =1⑵于解析(1)由题意，抛物线的焦点为(2, 0),2 2设椭圆方程为x +古=1(a>b>0). 则 c = .2,由，得 a = 2，所以 b 2= 2.2 2所以椭圆M 的方程为片+》=1. (2)当直线I 斜率存在时，设直线方程为y = kx + m ,则由$y = kx + m , 2 2x V , 一+^=1 , 討 2 '消去 y , 得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2— 4= 0.△= 16k 2m 2— 4(1 + 2k 2)(2m 2— 4) = 8(2 + 4k 2— m 2)>0•① 设A , B , P 点的坐标分别为 g y 1), (X 2, y 2), (X 0, y °),则 4km x 0= x 1 + x 2=—1 + 2k 2,y 0= y 1 + y 2 = k(X 1 + X 2) + 2m =2m2 1 + 2k ?2 2由于点P 在椭圆M 上，所以罗+罗=1. 从而 4k 2m 2 2m 2 _1 + 2k2 2+ 1 + 2k 2 2=化简，得2m 2 = 1 + 2 k 2，经检验满足①式.又因为点O 到直线I 的距离为d =.1：\「12+ k 2 =.当且仅当k = 0时等号成立.2 2 .10.已知椭圆M : x + y 2= 1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周 a b3长为6 + 4 2.(1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 + 4 2,所以2a + 2c = 6 + 4 2.又|m| 1- "1—匕.当直线 l 无斜率时，由对称性知，点 P 一定在x 轴上,从而点 P 的坐标为(-2,0)或(2,0), 直线I 的方程为x = ±1，所以点O 到直线I 的距离为1.所以点 O 到直线I 的距离最小值为(1)求椭圆 M 的方程;(2)设直线 值.I 与椭圆M 交于A , B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 6求厶ABC 面积的最大答案2(1)x9+y 2=1 ⑵鲁 解析 椭圆的离心率为字 3 ，即c =爭所以c =竽a .所以 a = 3, c = 2 2，故 b 2= a 2— c 2= 1.2椭圆M 的方程为倉+ y 2= 1. ⑵方法一：不妨设直线BC 的方程为y = n(x — 3), (n>0),则直线AC 的方程为y = — +x -3).由丫 y=n(x —3)1x 2 得(1+ n 2)x 2 — 6n 2x + 9n 2— 1 = 0.、6+ y 2=， ' 设 A(X 1, y 1), B (X 2, y 2), 281n — 9十 因为3x 2= 2~~，所以9n + 1_27n 2— 3x 2=9n 2 + 1 .2同理可得x 1=話少.所以 |BC =1+ 1, , 1 1 2n +1 S ^ABC — 2|BC | A C|=1 2 64. n +1 + 亍则S =无T 」6T 8当且仅当t =8时取等号. t + 64 t +64 3所以△ ABC 面积的最大值为3.8方法二：不妨设直线 AB 的方程x = ky + m （m 丰3）.x = ky + m , 由S x ! y 2= 1消去x ,I? + y = 1,设 A(x i , y i ), B (X 2, y 2),因为以AB 为直径的圆过点 C （3,0），所以CA CB = 0.ff由 CA = (x 1—3, y 1), CB = (x 2—3, y 2),得区一3)(X 2 — 3) + y 1y 2= 0.将 x 1= ky 1 + m , x 2= ky 2+ m 代入上式， 得(k 2+ 1)y 1y 2+ k(m — 3)"+ y ?) + (m — 3)2= 0. 12将①代入上式，解得吩¥或吩3（舍）.12 12 1所以m =~5（此时直线AB 经过定点D （y , 0），与椭圆有两个交点），所以S A ABC =?|DC|y 1 — y 2| =2 x 討(y 1 + y 2( — 4y 1y 2 =訂所以当t =288 € （0，9】时，S A ABC 取得最大值8-24 +卜X 双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右 顶点，而C 2的左、右顶点分别是 C i 的左、右焦点. （1）求双曲线C 2的方程；⑵若直线I : y = kx + .2与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且I 与C 2的两个交点A 和B ,f f满足OA OB<6（其中O 为原点），求实数k 的取值范围.2 答案（吩—y 2= 1得(k 2 + 9)y 2 + 2kmy + m 2— 9 = 0. 2 km则有 y 1+ y 2=—k ? + g , m 2 — 9 y 1y 2=k +9 .①25 k 2 + 9 211. （2015沧州七校联考）已知椭圆C i 的方程为t 2 +1.贝U S A ABC =4195 V 3 11 J T95 八(2)k € (- 1U (--3, - 2)U (2，亍)u (-y^ , 1)2 2解析 (1)设双曲线C 2的方程为X 2— y 2= 1,则c 2= 4且a 2= 4— 1 = 3,再由a 2+ b 2= c 2，得b 2= 1.a b2故C 2的方程为3 — y 2= 1.2NX⑵将 y = kx + _2代入 4 + y 2= 1,得(1 + 4k 2)x 2 + 8 2kx + 4= 0. 由直线I 与椭圆G 恒有两个不同的交点，得△1 = (8国2k 2- 16(1 + 4k 2) = 16(4k 2— 1)>0，即 k 2#.①2将 y = kx + 2代入X - y 2= 1，得(1 -3k 2)x 2— 6 2kx — 9= 0.3 由直线I 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ,B ，得[1 —3“ 0, *△ = (— 6羽k 2 + 36(1 — 3k 2 尸 36(1 — k 2 >0. 即 k 2^ 1，且 0<k 2<1.②由OA OB<6，得 X A X B + y A y B <6.而X A X B+y Ay B = X A X B+(kx A +2)(kx B +.2)=(k 2+ 1)X A X B + ,2k(X A + X B )+ 2 =(k 2+ 1)1—+2k16—S 2 +2=罟.15k 2—13 即 3k 2— 1 >0.解此不等式，得 k 2>15或 k 2<g.③1 ,2 1 十 13 ,2 , 4<k <3或 亦 <k <1.故k 的取值范围为（一1,— 1簣）U （ — 3, 15 31 1 3设 M(—2，t),则圆半径 r =|(—2)—(— 2)|= 2设 A(X A , y A ), B(X B , y B )，贝U X A + x B = 1—k2, —9X A X B= 1—3?.1 1 3195—9 u (2，可)u (廿,1)-由①②③式，得。