蝴蝶定理与燕尾定理(同名5564)

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．

O

F

E D

C

B

A

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

A B

C

D

O b

a S 3

S 2

S 1S 4

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +． 等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

b

a

S 2S 1

D

C B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

如图，22S =，34S =，求梯形的面积．

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．

35

25O

A

B

C

D

梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面

积的2

3

，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．

O

A B

C D

(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且3

5

ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？

A

B

C

D

O

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是2

9cm ，问三角形AOD 的面积是多少？

A B

C

D

O

如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．

H

G F

E

D

C

B A

如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．

【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．

A B

C

D

E

F

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．

A

D

如图，在长方形ABCD中，6

AB=厘米，2

==，求阴影部分的面积．

AD=厘米，AE EF FB

D

(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，:3:2

BC CE=，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．

B

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

B

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

B

如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF

∆的面积是10平

∆的面积是5平方厘米，CED

方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

F

A

B C

D

E

10

5

(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．

?

8

5

2O A B

C

D

E

F

(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．

A

B

C

D

E

O

燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D

在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积

.

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2

200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且

:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．