用激光跟踪仪标定并联机床的理论探讨

用激光跟踪仪标定并联机床的理论探讨Ξ孙华德,陈五一,陈鼎昌(北京航空航天大学机械学院,100083)摘要:本文介绍了两种利用激光跟踪仪的测长功能标定并联机床的方法,第一种是将某一根杆固定不动,使动平台被动变化三个位姿,求得铰链点在动平台上的坐标,然后只固定杆长,使动平台被动移动,求出静平台的铰链点的实际坐标和初始杆长。

第二种方法是使动平台任意主动运动,根据测得的数据,用牛顿迭代法计算出动静平台上的铰链点位置和初始杆长。

本文只使用激光跟踪仪的测长结果,避免了角度测量带来的误差,标定结果更加准确。

关键词:并联机床;激光跟踪仪;标定;雅克比矩阵0　概述Stewart 平台是由D 1Stewar 作为航空模拟器提出的一种并联机构[1],它由一个运动的动平台和一个固定的静平台组成,两个平台之间用六根可主动伸缩的杆连接。

一般认为Stewart 平台具有结构简单、刚度好、定位精度高、系统的动态响应快等优良特性,特别适合于高精度、大载荷且对工作空间要求相对较小的场合,现已广泛应用于航空模拟器、航天器交会对接模拟器、体感模拟娱乐机、并联机床等领域[2][3]。

Stewart 平台用作并联机床进行加工时,一般在动平台上夹持刀具,控制动平台位姿以使刀具走出一定的轨迹。

加工需要很高的精度,所以要求并联机床有较高的制造和安装精度。

并联机床的基本结构如图1所示。

图1　S tewart 平台实物及示意图影响并联机床位姿精度的因素有:制造公差,安装误差,驱动杆运动误差。

有很多文献分析了它们对动平台位姿的影响[4][5][6],研究表明,并联机床动平台的位置和姿态误差受到驱动杆长度误差、动静平台铰点空间位置安装误差和铰链制造公差引起的铰点空间位置误差的直接影响。

它不是各误差源的简单线性叠加,而是同时具有不同程度的部分重叠或抵消,这也正是并联机构优于串联机构的优点之一[4],而且当各误差源不变时,动平台位置姿态误差还由于平台所处位置姿态的不同而不同。

1　使用激光跟踪仪标定并联机床在制造和安装过程中不可避免的存在着误差,所以标定是一个必须解决的问题。

已经有很多文献论述过标定问题[7][8][9],它们都是利用多个传感器得到并联机构各杆之间的角度和杆长,通过一定的算法解得动静平台六个铰链点的实际安装位置和初始杆长。

本文描述一种只利用激光跟踪仪的测长结果标定并联机床的方法。

(1)激光跟踪仪激光跟踪测长仪是将一个单频激光干涉仪安装在有两个互相垂直的旋转自由度的机构中心的仪器,其旋转中心的位置在测量时保持不变。

跟踪仪的反射靶是一个内部安装了角锥反射镜的球,角锥的顶点与球心重合。

用激光跟踪仪可以跟踪在空间运动的靶并测量靶的圆心在以跟踪仪旋转中心为原点的极坐标系中的极坐标,即原点到靶的中心的距离和两点连线的两个方向角。

因为角度测量的误差比较大,而且测量点距离原点越远,由极坐标计算的直角坐标误差就越大,所以本文的方法中只使用激光跟踪仪的测长结果。

(2)建立测量坐标系任何测量都需要一个基准,即一个测量装置要在某一个坐标系中工作,下面说明如何建立这个坐标系。

图2　测量坐标系的建立加工一个平面,在该平面上打三个定位孔,如图2(a )所示,我们将这个有三个定位孔的平面叫测量平台,测量时激光跟踪仪要安装在这三个定位孔上。

由于测量时实际测得的两点之间的距离是激光跟踪仪旋转中心到靶镜球心之间的距离,所以,首先要保证Ξ国家自然科学基金(59875004)和航空科学基金(99H51124)资助课题激光跟踪仪旋转中心在跟踪目标过程中空间位置不变,然后测量旋转中心的坐标。

如图2(a )所示,设激光跟踪仪放到测量平台上后,旋转中心为M 1、M 2、M 3,测量出它们在坐标测量机坐标系中各自的坐标,经过坐标转换,可以建立测量坐标系。

如图2(b )所示,以三坐标测量机作为最初的基准,测量平台上三个旋转中心到空间不在同一直线上的三个已知点的距离,求得旋转中心的坐标,建立测量坐标系。

有两个方法找到在坐标测量机坐标系里的三个点的坐标。

一、将靶镜通过靶镜座安装在三坐标测量机上,最初的靶镜中心作为基准坐标系的原点O (0,0,0),将靶镜依次沿坐标测量机的某两个坐标方向运动距离a 和b ,得到另外两个点A (a ,0,0)和B (a ,b ,0)。

二、将靶镜依次放在空间不在同一直线的三个点上,用三坐标机测量靶镜外球面上四个点的坐标,计算出球心坐标。

然后将激光跟踪测长仪先后放在三个定位孔上,分别检测到三个点O 、A 、B 的距离,经过计算得到当跟踪仪安装在三个定位孔上时,旋转中心M 1、M 2和M 3的坐标。

解方程组(1)就可以得到Mi 的坐标。

(x i -a 1)2+(y i -b 1)2+(z i -c 1)2=l 21(x i -a 2)2+(y i -b 2)2+(z i -c 2)2=l 22(x i -a 3)2+(y i -b 3)2+(z i -c 3)2=l 23(1)其中,(x i ,y i ,z i )是要求的Mi 的坐标,(a j ,b j ,c j )是计算的坐标时第j 次靶镜位置的测量结果,l j 是靶镜中心到激光跟踪仪旋转中心的距离。

最后根据M 1、M 2和M 3在坐标测量机坐标系中各自的坐标,经过坐标转换,重新建立测量坐标系,并得到M 1、M 2和M 3在测量坐标系中的坐标。

(3)两种标定方法①两步标定法a 1测量动平台上铰链点的位置。

固定并联机床的一根杆,使它既不伸缩,也不绕任何轴转动,即固定该杆在动平台上的铰链点在空间的位置。

将测量平台放到动平台前,激光跟踪仪安装到其中一个定位孔上。

动平台上安放好三个靶镜,并设其中一个为靶镜A 。

使动平台运动到某一位姿静止不动,用激光跟踪仪在三个定位孔上分别检测到三个靶镜的距离,由得到的数据可以计算出动平台上三个靶镜中点在测量坐标系中的坐标。

重复上述过程多次,选择靶镜A 的4个不在同一平面内的坐标。

由空间解析几何知,已知4个不共面的点P i (x i ,y i ,z i ),i =1,2,3,4,过这4点的球面方程是x 2+y 2+z2x y z 1x 21+y 21+z 21x 1y 1z 11x 22+y 22+z 22x 2y 2z 21x 23+y 23+z 23x 3y 3z 31x 24+y 24+z 24x 4y 4z 41=0(2)由此方程可以得到球心坐标。

所以,将上述四点代入式(2),就可计算出固定的杆在动平台上的铰链点在测量坐标系中的坐标。

由于可以用测得的数据计算出动平台在测量坐标系中的位姿,而该铰链点在测量坐标系中的坐标可知,所以在动平台上的位置也就可以计算出来了。

依次对每一根杆使用以上的方法,就可以测量出动平台上各铰链点的实际位置。

b 1测量静平台上铰链点的位置。

现在已知某根杆在动平台上的铰链点的坐标,每一次使该杆杆长不变的测量其实是测出了以该杆在静平台上的铰链为圆心,以固定杆长为半径的一个球上的点的坐标,所以圆心和半径都可以求出。

固定某一根杆的杆长,将该杆的角度变化四次,每次都用测得的数据计算出该杆在动平台上铰链点的空间坐标,代入式(2)可以计算出杆在静平台上的铰链点在测量坐标系中的坐标。

②一步标定法图3　一步标定法示意图如图3所示,在动平台上不在同一直线上的三点安放三个靶镜座P 1、P 2、P 3,座上各放一个靶镜,靶镜中心在测量坐标系中的坐标为(x ij ,y ij ,z ij ),i =1,2,3,代表三个镜座,j =1,2,…n ,代表动平台一系列各不相同的位姿。

计算出P 1、P 2、P 3在测量坐标系中各自的坐标,经过坐标转换,建立动平台坐标系,并设原点是O 。

可以计算出动平台坐标系相对于测量坐标系的旋转矩阵T j 和O 点在测量坐标系中的位置向量R j 。

设某杆在静平台上的铰链点是B ,B 在测量坐标系中的坐标是(m ,n ,q ),在测量坐标系中的位置向量是B ,在动平台上的铰链点是A ,A 点在动平台坐标系中的坐标是(a ,b ,c ),令,AB =L ,OA =r 则|AB|=|L |=l +l j ,其中l 是初始杆长,l j是每一次位姿变化后杆长与初始杆长之差,即杆长的变化量。

在图3中动平台在某一位姿j 下存在着如下的关系。

|T j r +R j -B |=l +l j(3)在这个关系中,由于T j 、R j 和l j 可以通过测量得到,所以有7个未知数,他们分别是a 、b 、c 、m 、n 、q 、l ,这些未知数可以在动平台运动足够多的位姿后,利用牛顿迭代法求出,得到某根杆在动静平台上的铰链点在测量坐标系中的坐标和初始杆长。

(4)测量误差由于测量存在误差,所以将以上两个方法描述的过程重复多次,得出多个铰链点的测量坐标值,这些坐标表示的点会形成一个集合,选择这个集合的质心作为真值。

虽然测量坐标系经过了精密的标定,但是在标定中所有的测量过程依然存在着误差,所有的误差都来源于三坐标机和激光跟踪仪的测量误差以及铰链的间隙,这些误差和间隙对标定结果的影响可以用雅克比矩阵表示。

下面以用激光测长结果求取测量平台上某一激光跟踪仪的旋转中心的坐标为例,说明如何得到测量误差对标定的影响。

解方程组(1),得到x i =f (a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2,a 3,b 3,c 3,l 1,l 2,l 3)y i =g (a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2,a 3,b 3,c 3,l 1,l 2,l 3)z i =h (a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2,a 3,b 3,c 3,l 1,l 2,l 3)(4)将式(4)两端取微分,得dx i d y i d z i=J K(5)其中,J 为测量点的雅克比矩阵,J =9f 9a 19f 9b 19f 9c 19f 9a 29f 9b 29f 9c 29f 9a 39f 9b 39f 9c 39f 9l 19f 9l 29f9l 39g 9a 19g 9b 19g 9c 19g 9a 29g 9b 29g 9c 29g 9a 39g 9b 39g 9c 39g 9l 19g 9l 29g 9l 39h 9a 19h 9b 19h 9c 19h 9a 29h 9b 29h 9c 29h 9a 39h 9b 39h 9c 39h 9l 19h 9l 29h 9l 3K 是测量误差向量K =[d a 1　d b 1　d c 1　d a 2　d b 2　d c 2　d a 3　d b 3　d c 3　d l 1　d l 2　d l 3]T由式(5)就可以得到测量误差对标定的影响。

(5)坐标系的重建标定后的机床的各点坐标是建立在测量坐标系上的,为了与习惯一致,将静平台各铰链点组成的空间多边形的中心作为静坐标系的中心,建立机床静坐标系,动平台各铰链点组成的空间多边形的中心作为动坐标系的中心,建立动平台坐标系,如图4所示。