第七章解析几何与微分几何SECTION5.
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2
r y
2 2
x y
2
r x
X———，y
x y
反演具有性质：
不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
通过反演中心的一条直线变为它自己.不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
反演圆变为它自己.
与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.
如果两条曲线C1,C2交于一点M，则经过反演后的曲线
方程与图形
公式与说明
两个圆的交角
Cix2+y2+2mix+2niy+qi= 0
C2x2+y2+2m2X+2n2y+q2= 0
两个圆的交角是指它们在交
cos
2m1m22门小2q1q2
22［「2 2
niqivm2n?q?
CCi+C2= 0(为参数)或(+1)(x2+y2)+2( mi+ +
m2)x
2(ni+ n2)y+(qi+q2)= 0
［圆的方程、圆心与半径］
方程与图形
x2+y2= R2
x Rcost
y Rs int
（参数方程，t为动径OM与X轴正方向的夹角）
(x a)2+(y
或x a
y b
(参数方程，
b)2= R2
Rcost
Rsi nt
t为动径
OM
与x轴正方向的夹角)
2 2
x+y+2mx+2ny+q= 0
2 , 2 .
m+n > q
从点P作两个圆Ci和C2的切线，具有相等切线长 的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共 圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴（共 三个）交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其 根心在无穷远处.
(c)
［反演］设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M与它对 应.使得满足下列两个条件：
（a）如果Ci和C2相交于两点Mi,M2，则束中一 切圆都通过两交点Mi,M2，它们的根轴就是它 们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系（图（a））.
（b）如果Ci和C2切于一点M，则束中一切圆都在 一点M相切，根轴就是在点M的公切线（图（b））.
（C）如果Ci和C2不相交，则束中一切圆都不相交， 根轴也与圆束中一切圆都不相交（图（C））.
Ci, C2必交于M的反演点
如果两条曲线Ci, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1,C2必在M的反演点
M相切.
9两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.
椭圆
1.椭圆的基本元素
主轴(对称轴)长 短
AB2a(a b 0)
CD 2b
占
八\、 椭圆中心 隹i)O, M, M共线，
(ii)OM OM=r2，
这种点M称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.由于M和M的关系是对称的，所以M也是M的反演点.因r2> 0，所以M和M都在O的同侧.M和M之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M x,y)的对应方程为
根轴方程为2(mi-m2)x+2(ni-
2伽
式中 表示两个圆Ci和C2的交角，因为公式中不包 含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.
两个圆Ci和C2正交条件为
2mim2+2nin2-qi-q2= 0
对（-I）的一个确定值，C表示一个圆.当 取 一切值（-I）时，C所表示的圆的全体，称为圆束.
=-I时，为一直线，称为两个圆Ci和C2的根轴.根 轴与Ci和C2的连心线垂直，束中任一圆C的圆心 在Ci和C2的连心线上，且分连心线的比等于.
径与长轴的夹角（锐角）分别为和，则
ai2+bi2=a2+b2
6椭圆上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.
7设MM,NN为椭圆的两共轭直径，通过M, M分别作直线平行于NN;又通过N, N分
别作直线平行于MM，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab（图7.5）.
4.椭圆各量计算公式
2
+2 (mcost+n sint)+q
=0 (极坐标方程)
2
20cos(0)
=R2(极坐标方程)
§5二次曲线
圆心与半径
圆心
半径
G(0,0)
r=R
02
圆心
半径
圆心
半径
圆心
半径
G(a, b)
r = R
G(-m, n)
G(0,0)
r = R
2 2
x2+y2= 2Rx或=2Rcos
(极坐标方程)
圆心
半径
G(R, 0)
r = R
2 2
x2+y2= 2Ry
或=2Rsin
（极坐标方程）
圆心
半径
G(0,R)
r = R
［圆的切线］圆x2+y2=R2上一点M(x0, y0)的切线方程为
X0X+y0y=R2圆x2+y2+2mx+2ny+q= 0上一点M(x0, y0)的切线方程为
X0X+y0y+m(x+X0)+n(y+y0)+q= 0［两个圆的交角、圆束与根轴］
F1, F2
F1F22c, c
-1
a
£,21
a
b2
—（等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H）
a
线MN把内角（即/F1MF2）平分（图7.3）.
如果椭圆的切线（MT）的斜率为k,则其方程为
式中正负
5椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的 弦平分（图7.4）
如果两共轭直径的长分别为2a1和2b1,两直
2x
2a
算公式
［曲率半径］
R
3
(叩2尸
P
ab sin3
式中r1, r2为焦点半径,p为焦点参数,角•特别，顶点的曲率半径
b2
RaRbP—
a
为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹
［弧长］
x
“arccos22_
^= aaJ1 e cos t dt
0
a2,,arcsi n_
xl1
2 2
e sin t dt
r y
2 2
x y
2
r x
X———，y
x y
反演具有性质：
不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
通过反演中心的一条直线变为它自己.不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
反演圆变为它自己.
与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.
如果两条曲线C1,C2交于一点M，则经过反演后的曲线
方程与图形
公式与说明
两个圆的交角
Cix2+y2+2mix+2niy+qi= 0
C2x2+y2+2m2X+2n2y+q2= 0
两个圆的交角是指它们在交
cos
2m1m22门小2q1q2
22［「2 2
niqivm2n?q?
CCi+C2= 0(为参数)或(+1)(x2+y2)+2( mi+ +
m2)x
2(ni+ n2)y+(qi+q2)= 0
［圆的方程、圆心与半径］
方程与图形
x2+y2= R2
x Rcost
y Rs int
（参数方程，t为动径OM与X轴正方向的夹角）
(x a)2+(y
或x a
y b
(参数方程，
b)2= R2
Rcost
Rsi nt
t为动径
OM
与x轴正方向的夹角)
2 2
x+y+2mx+2ny+q= 0
2 , 2 .
m+n > q
从点P作两个圆Ci和C2的切线，具有相等切线长 的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共 圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴（共 三个）交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其 根心在无穷远处.
(c)
［反演］设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M与它对 应.使得满足下列两个条件：
（a）如果Ci和C2相交于两点Mi,M2，则束中一 切圆都通过两交点Mi,M2，它们的根轴就是它 们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系（图（a））.
（b）如果Ci和C2切于一点M，则束中一切圆都在 一点M相切，根轴就是在点M的公切线（图（b））.
（C）如果Ci和C2不相交，则束中一切圆都不相交， 根轴也与圆束中一切圆都不相交（图（C））.
Ci, C2必交于M的反演点
如果两条曲线Ci, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1,C2必在M的反演点
M相切.
9两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.
椭圆
1.椭圆的基本元素
主轴(对称轴)长 短
AB2a(a b 0)
CD 2b
占
八\、 椭圆中心 隹i)O, M, M共线，
(ii)OM OM=r2，
这种点M称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.由于M和M的关系是对称的，所以M也是M的反演点.因r2> 0，所以M和M都在O的同侧.M和M之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M x,y)的对应方程为
根轴方程为2(mi-m2)x+2(ni-
2伽
式中 表示两个圆Ci和C2的交角，因为公式中不包 含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.
两个圆Ci和C2正交条件为
2mim2+2nin2-qi-q2= 0
对（-I）的一个确定值，C表示一个圆.当 取 一切值（-I）时，C所表示的圆的全体，称为圆束.
=-I时，为一直线，称为两个圆Ci和C2的根轴.根 轴与Ci和C2的连心线垂直，束中任一圆C的圆心 在Ci和C2的连心线上，且分连心线的比等于.
径与长轴的夹角（锐角）分别为和，则
ai2+bi2=a2+b2
6椭圆上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.
7设MM,NN为椭圆的两共轭直径，通过M, M分别作直线平行于NN;又通过N, N分
别作直线平行于MM，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab（图7.5）.
4.椭圆各量计算公式
2
+2 (mcost+n sint)+q
=0 (极坐标方程)
2
20cos(0)
=R2(极坐标方程)
§5二次曲线
圆心与半径
圆心
半径
G(0,0)
r=R
02
圆心
半径
圆心
半径
圆心
半径
G(a, b)
r = R
G(-m, n)
G(0,0)
r = R
2 2
x2+y2= 2Rx或=2Rcos
(极坐标方程)
圆心
半径
G(R, 0)
r = R
2 2
x2+y2= 2Ry
或=2Rsin
（极坐标方程）
圆心
半径
G(0,R)
r = R
［圆的切线］圆x2+y2=R2上一点M(x0, y0)的切线方程为
X0X+y0y=R2圆x2+y2+2mx+2ny+q= 0上一点M(x0, y0)的切线方程为
X0X+y0y+m(x+X0)+n(y+y0)+q= 0［两个圆的交角、圆束与根轴］
F1, F2
F1F22c, c
-1
a
£,21
a
b2
—（等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H）
a
线MN把内角（即/F1MF2）平分（图7.3）.
如果椭圆的切线（MT）的斜率为k,则其方程为
式中正负
5椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的 弦平分（图7.4）
如果两共轭直径的长分别为2a1和2b1,两直
2x
2a
算公式
［曲率半径］
R
3
(叩2尸
P
ab sin3
式中r1, r2为焦点半径,p为焦点参数,角•特别，顶点的曲率半径
b2
RaRbP—
a
为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹
［弧长］
x
“arccos22_
^= aaJ1 e cos t dt
0
a2,,arcsi n_
xl1
2 2
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