积分中值函数平均值

发射宇宙飞船所作的功等于飞船飞行时的动能，有
mgR 1mv2 2
r
mH
v 2gR 29.863 7113 0
R
1.12(km /s)
这就是第二宇宙速度．
Mo
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
二、液体的压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ， 这里 是水的密度．若有一面积为 A 的平面薄板水平 地放置在水深为 h 处，则该薄板一侧所受的水压力为 F pA．
取x为积分变量，积分区间是 [0, R], 在积分区间上任取小区间[ x, x dx]，
小矩形片上各处的压强近似相等
px
小 矩 形 片 的 面 积 为 2 R2x2d.x
o
x
xdx
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
一端侧面的压力元素为
dF2x R2x2dx
一端侧面上所受的压力
F R2x R2x2dx 0 RR 2 x 2 d (R 2 x 2 ) 0
a
薄板一侧所受的压力
A(3a,0)
F 3ax(6a2x)dx 2a
x
7[3aa 3x.223x3]32aa
3
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
三、函数的平均值
实例：用某班所有学生身高的算术平均值来描述这 个班学生身高的概貌.
yy1y2yn n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
问题：求气温在一昼夜间的平均温度（气温的变 化是连续的）.
即
y6a2x
2a B(2a,2a)
a
A(3a,0)
以x为积分变量 ，积分区间[是 2a,3a]. x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在[2a,3a]上任取小 [x,x区 d间 x],
面积元素 dA (6a2x)d,x
o
y
压力元素
2a
dF x(6a2x)dx
2a B(2a,2a)
32
R2x2 30R
2
3
R3.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 5] 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直
地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且
该边到水面的距离恰好等于该边的边长，求薄板一侧所
受的压力．
解 建立坐标系如图所示，
o
y
直线AB的方程
2a
y0 x3a , 2a0 2a3a
一元函数积分学
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中
有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与 物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力F 对物体所作的功为W F s .
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，那 么就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
abkr2qdr
kq
1 r
b a
kq
1 a
1b.
若要考虑将单位电荷移到无穷远处，则所须功为
பைடு நூலகம்
w
kq
a r2dr
kq
1 r a
kq a
.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 2] 一圆柱形 蓄水池高为 5 米，底半 径为 3 米，池内盛满了 水.问要把池内的水全 部吸出，需作多少功？
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F 对
它所作的功．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
解 取r为积分变量， q
积分区间是 [a,b],
• o
a• r1 r dr b r
在[a,b]上任取小区间[r, r dr],
得功元素 dw kr2qdr,
所求功为 w
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
【授课时数】
总时数：2 学时。
【学习目标】
1、会求变力沿直线所作的功、液体静压力； 2、会用定积分求连续函数的平均值。
【重、难点】
重点：用元素法求变力沿直线所作的功和液体的
静压力，由定积分的元素法引出。
难点：正确使用定积分的元素法求变力沿直线所
作的功和液体的静压力，由实例讲解方法。
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
用元素法求一个量的一般步骤：
1）选取一个积分变量，确定积分区间；
2）在积分区间上任取一小区间，以直代曲， 得所求量的微分元素（简称微元）；
3）在积分区间上对微元求定积分，得所求量.
这种方法通常叫做元素法（或微元法）．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 1] 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作
用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场
中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小
为
F
k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点
处压强 p 不相等，那么平板一侧所受的水压力就不
能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 4] 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设
桶的底半径为 R，水的密度为 ，计算桶的一端侧面上所受
的压力．
解 在一端侧面建立坐标系如图，
入手点：连续函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值.
讨论方法：分割、求和、取极限.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
（1）分割：把 区 间 [ a ,b ] 分 成 n 等 分
解 建立坐标系如图，
取x为积分变量，x[0,5]
点击图片任意处播放\暂停
o
x xdx
取 任 一 小 区 间 [x,xd],x
5
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
这一薄层水的质量为 32dx
功元素为 dw gx32d,x
d w 9.8x130 3 2dx
即 dw8.82104xdx
H R
GrM2 mdrGMmR1
1 H
使飞船脱离地球引力场，即相当于
把飞船发射到无穷远处，所需作功
WlimGMm 11 GMm
H R H
R
r
mH R
Mo
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在地球表面地球对物体的引力就是重力
即
mg
GMm R2 ,
则有 mgR GMm,
R
因而 WmgR.
o
x xdx
5
x
w 58.82104xdx
0
8.82104
x2 2
5
0
3.462106 (J)．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例3] 使宇宙飞船脱离地球引力的速度叫第二宇宙 速度，计算第二宇宙速度.
解 与例1类似，克服地球引力把飞船从地面R处发
发射到距地心H处需作的功
WH