方波的傅里叶分解 第一章用2

n 1
直流分量
(an cosn t bn sin n t )
n0

2 式中， ；T为周期；a0 、an、bn 为待定系数 T
直流分量
1 T a0 f ( t ) d ( t ) T 0 2 T an f (t ) cos ntd (t ) T 0 2 T bn f ( t ) sin n td ( t ) T 0
第二步 对各种频率的谐波分量单独计算：
1.
直流分量 IS0 作用
R 20Ω
I S 0 78.5A
对直流，电容相当于断 路；电感相当于短路。所 以输出的直流分量为：
IS 0
C
L
u0
U 0 RI S 0 20 78 .5 10 1.57 mV
6
R
I S0
u0
2. 基波 作用
ui (0) 5 V
的响应
UO (0) 0 V
2、一次谐波分量
ui (1) 10 sin t V 的响应
该一次谐波分量作用时，容抗、阻抗分别为
1 1 XC 15.92 6 C 200 3.14 100 10 Z R jX C 1000 j15.92 1000
角频率
Im 157 78 .5μ A 直流分量 I 0 2 2
2 2 3.14 6 10 rad/s 6 T 6.28 10
电流源各频率的 谐波分量为：
iS
Im
t
T/2 T
I S 0 78.5
A
6
is1 100sin 10 t A 100 6 is 3 sin 3 10 t A 3 100 6 is 5 sin 5 10 t A 5
【例5.3.1】 RC串联电路如图示，已知
。 +
ui 5 10 sin tV , R 1 K C 100 F 200 rad s
试求
ui
。
C
R
uo
。 +
-。
uo
解： 第一步：已知输入含有直流和一次谐波分量 第二步：计算各谐波分量的响应 1、直流分量
20Ω R
100 6 is 3 sin 3 10 t A 3
1 1 6 12 3C 3 10 100010 0.33K
is 3
C L
u3
3 L 3 10 10 3kΩ
6 3
( R jXL 3)( jXC 3) Z (31 ) R j ( XL 3 XC 3) 374 .5 89.19
t
I S0
is1 is3 is5
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5 is5 I S0 is1 is 3
代入已知数据： I
m
157A,T 6.28μ s 得：
2 1.57 基波最大值 I1m 100μ A 3.14 1 I1m 3 3.3 μ A 三次谐波最大值 I 3 m 3 1 I 1m 2 0 μ A 五次谐波最大值 I 5 m 5 2I m
1.正弦、余弦信号一个周期内的积分为0

T
0 T
sin ntd (t ) 0 cos ntd (t ) 0
（
n 为整数）
0
2、正弦、余弦的平方一个周期内的积分为
T sin n td ( t ) 0 2 （ T T 2 0 cos ntd (t ) 2
T 2
T 0 T 0 T 0
试求该二端网络的平均功率P
解：
P P0 U n I n cos n U 0 I 0 U1I1 cos1 U 3 I3 cos3
n 0

U1m I1m U 3m I 3m U0 I0 cos1 cos 3 2 2 2 2 100 50 100 25 cos 0 (45 ) 2 2 30 10 cos (30 ) (60 ) 2 2 2500 1767 .8 129.9 4397 .7W
2
有效值的计算
利用三角函数的正交性得：
U U U 2 n 1
2 0 2 0 2 1

2 nm
U U U
2 2
结论：周期函数的有效值为直流分量及
各次谐波分量有效值平方和的方根。
非正弦周期交流电路 平均功率的计算
u(t ) U 0 U nm sin(nt n )


不是正弦波 按周期规律变化
半波整流电路 的输出信号
交直流共存电路
+ V
Es
计算机内的时钟脉冲信号
T
t
§5.1周期信号的傅立叶级数(Fourier series)
非正弦周期函数的傅立叶三角函数展开式为
f (t ) f (t T ) a0 (an cosn t b sin n t )
2 n 2 ，n n
周期性方波的分解
t
直流分量 基波
t
三次谐波 五次谐波
t
七次谐波
t
周期性方波的分解
直流分量 +基波
直流分量
常见非正 弦周期信 号的傅立 叶展开式 见P136
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
§4.2非正弦周期交流信号的平均 值、有效值、平均功率的计算 数学知识
三角函数的正交性
X L R
X L XC L 50k R RC
is1 100sin 10 t μ A
6
Z (1) 50KΩ
20Ω
R L
I Z ( ） U 1 1 1 6 100 10 50 2 5000 mV 2
u1=5000sin106t
is1
C
u1
3. 三次谐波 作用

4.166sin(5t 89.53 ) mV

【例5.3.3】交、直流共存的电路
解题要点：交、直流分别计算；瞬时值结果迭加 R1 C1 10μ 2k R
已知： E=12 V
i1
+ _
4k
+
2
E
1
e
R3 4k
e 40 2 sin 1000 t mV
R4 4k 10μ C2
_
u4
求：
i1 ？ u4 ？
n 1

i(t ) I 0 I nm sin(nt n n )
n 1
T

1 P T

0
u idt
利用三角函数的正交性，整理后得：
P U 0 I 0 U n I n cos n
n 1

( n nu ni )
P0 P1 P2 ......
(1) 直流电源作用
R1 C1
(E1作用，e 短路)
i1
+ _
4k
10μ 2k R2
E
1
e
R3
4k
+
E1 I '1 R1 R2 R3 12 1.2 (mA) 10
_
R4
4k
10μ
C2
u4
U ' 4 0V
直流通路
(2) 交流电源作用 （e 作用，E1 短路）
R1
C1
10μ
2k +
i"
1
X C1 X C 2 1 1000 10 106 100




注：
n nu ni
§4.3 非正弦周期交流电路的
谐波分析法
1. 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号； 2. 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别计算。（注意对交流各谐波的 XL、XC不同， 对直流C 相当于开路、L相于短路。） 3. 将以上计算结果，用瞬时值迭加。
20Ω
100 6 is 5 sin 5 10 t A 5
R
is3
C L
u
1 1 6 12 5C 5 10 100010
3
0.2(KΩ)
5 L 5 10 10 5kΩ
6 3
( R jXL 5)( jXC 5) Z (51 ) R j (5 XL 5 XC 5) 208 .3 89.53
n 1

则其平均值为：
正弦量的 平均值为0
U AV
1 T

T
0
u(t )dt U 0
直流分量
同理
I AV
1 T
Βιβλιοθήκη Baidu
T
0
i(t )dt I0
非正弦周期函数的有效值
若
u(t ) U 0 U nm sin(nt n )
n 1

则有效值:
1 T 2 U u t d (t ) T 0 1 T U 0 U nm sin nt n d (t ) T 0 n 1

100 6 is 3 sin 3 10 t 3 Z (31 ) 374 .5 89.19
I Z (3 ) U 3 S3 1 10 33.3 374.5 89.19 2 12.47 89.2 mV 2
6
4. 五次谐波 作用
输出电压的幅值相量为
U (1) I R R im 10 V U 0m m Z
第三步 各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
uo 10sin t V ui
【例5.3.2】 方波信号激励的电路
iS
Im
T/2 T
R
t
iS
C
u
L
已知：
R 20、 L 1mH、C 1000 pF I m 157 μ A、 T 6.28S
n 为整数）
k n
3. 三角函数的正交性

cosnt sin ktd (t ) 0 cosnt cosktd (t ) 0 sin nt sin ktd (t ) 0
非正弦周期函数的平均值
若
u(t ) U 0 U nm sin(nt n )
第5章 非正弦周期信号电路
内容提要：
本章主要内容有周期信号的傅立叶级数； 非正弦周期交流信号的平均值、有效值的计算； 平均功率以及谐波分析法。 基本要求： 1、了解非正弦周期交流信号及谐波的概念 2、理解和掌握非正弦周期信号有效值，非正弦周 期交流信号电路的谐波分析法及平均功率的计算。
非正弦周期交流信号的特点:
U 0 1.57 mV
5000 U mV 1 2
12 . 47 U3 89.2 mV 2 4.166 U5 89.53 mV 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000sin t 12.47 sin(3t 89.2 )
is 5
Z (51 ) 208.3 89.53

100 sin 5 10 6 t A 5
I Z (5 ) U 5 5s 1 20 10
6
2
208.3 89.53

4.166 89.53 mV 2
第三步 各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
结论：
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
【例5.2.1】已知一个二端网络
u(t ) 100 100cost + i 30cos(3t 30 ) u _
二 端 网 络
i(t ) 25 50cos(t 45 ) 10cos(3t 60 )

R
is1 100sin 10 t μ A
6
20Ω
1 1 6 12 1C 10 100010
1
is1
L 1mH
C
L
u
1k
1 L 10 10 1k
6 3
C 1000pF
10 rad /s
6
( R jX L ) ( jX C ) Z (1 ) R j( X L X C )
求出a0、an、bn便可得到原函数 f (t ) 的 展开式。 为了与正弦量一般表达式对应，常将 f (t ) 记为
f (t ) A0 An sin(nt n )
n 1

谐波分量
an 式中， An a b arctan A0 a0 ， b n
求：
u
第一步：将激励信号展开为傅里叶级数
is 的展开式为（查表知）
iS I 0 AKm sin(kt K )

iS
Im
T/2 T
I m 2I m 1 (sin t sin 3t 2 3 1 t sin 5t ) 5
K 1
等效电源
iS
Im
T/2 T