高考数学精品系列专题复数、推理与证明(学生版)

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题13 复数、推理与证明（学生
版）
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读
考纲原文：
（1）合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. ②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. （2）直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.②了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.
（3）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
考纲解读：
考查复数的有关概念（纯虚数、模、共轭复数等）；考查复数的代数运算；注意复数相等的考查；对复数的几何意义也要掌握。

合情推理与演绎推理一般以填空题考查为主，类比推理多一些，常与其它知识结合（如立体几何、数列等）；证明一般不单独命题。

近几年考点分布
复数问题在高考中年年必有,从近几年的高考试题来看,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一步的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.
推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用。

推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现。

【考点pk】名师考点透析
考点一、复数的基本运算
2、复数的乘法与除法
复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把
换成一1，
再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式． 复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R 中整数指数幂的运算律，在复数集C 中仍然成立，即对任何
， ，
及
，有：
，
，
；
例2.已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i
z
=（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --
D ．2i -+
【名师点睛】：复数的最本质的运算方式是代数形式的运算，所以代数形式运算是试题考查的重点，其试题难度一般，试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力． 【备考提示】：本题主要考查了复数的基本运算，复数的四则运算是复数的一个重点考查热点，也是掌握复数的基础. 考点二 考查类比推理
例3观察下列等式： 1535522C C +=-，15973
99922C C C ++=+，
159131151313131322C C C C +++=-， 1591317157171717171722C C C C C ++++=+，………由以上等
式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，159
41
41414141n n n n n C C C C ++++++++
+= ．
w. 【名师点睛】：类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类
事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比。

【三年高考】10、11、12 高考试题及其解析
3．（2012天津理）i 是虚数单位,复数7=3i
z i
-+ （ ）
A ．2i +
B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i --
4．（2012上海文）若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则
（ ）
A ．3,2==c b .
B ．1,2-==c b .
C ．1,2-=-=c b .
D ．3,2=-=c b .
5 ．（2012上海理）若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则
（ ）
A ．3,2==c b .
B ．3,2=-=c b .
C ．1,2-=-=c b .
D ．1,2-==c b .
6 ．（2012陕西文理）设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b
a i
+为纯虚数”的( )[ A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9 ．（2012课标文）复数z =32i
i -++的共轭复数是 （ ）
A ．2i +
B ．2i -
C ．1i -+
D ．1i --
10 ．（2012江西文）若复数z=1+i (i 为虚数单位) z -
是z 的共轭复数 , 则2
z +z -
²的虚部为 （ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．2- 11 ．（2012湖南文）复数z=i(i+1)(i 为虚数单位)的共轭复数是 （ ）
A ．-1-i
B ．-1+i
C ．1-i
D ．1+i
12．（2012广东文）(复数)设i 为虚数单位,则复数34i
i
+= （ ）
A ．43i --
B ．43i -+
C ．43i +
D ．43i -
13．（2012福建文）复数2
(2)i +等于 （ ）
A ．34i +
B ．54i +
C ．32i +
D ．52i +
14．（2012北京文）在复平面内,复数103i
i
+对应的点坐标为 （ ）
A ．(1,3)
B ．(3,1)
C ．(1,3)-
D ．(3,1)-
15．（2012安徽文）复数z 满足:()2z i i i -=+;则z = （ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．i -1+3
D ．i 1-2
16 ．（2012新课标理）下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题:其中的真命题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p
B ．12,p p
C ．,p p 24
D ．,p p 34
19．（2012湖北理）方程2
6130x x ++=的一个根是
（ ）
A ．32i -+
B ．32i +
C ．23i -+
D ．23i +
20．（2012广东理）(复数)设i 为虚数单位,则复数
56i
i -= （ ）
A ．65i +
B ．65i -
C ．65i -+
D ．65i --
21．（2012福建理）若复数z 满足1zi i =-,则z 等于 （ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i +
22．（2012大纲理）复数131i
i -+=+ （ ）
A ．2i +
B ．2i -
C ．12i +
D ．12i -
23．（2012北京理）设,a b R ∈, “0a =”是 “复数a bi +是纯虚数”的 （ ）
A ．充分而不必要
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条
件
24．（2012安徽理）复数z 满足:()(2)5z i i --=;则z = （ ）
A ．22i --
B ．22i -+
C ．i 2-2
D ．i 2+2
25、（2012上海文）若)(sin sin sin 7727
*∈+++=N n S n n π
ππ ,则在10021,,,S S S 中,正数的
个数是 （ ）
A ．16.
B ．72.
C ．86.
D ．100.
26、（2012年高考（上海理））设251sin πn n n a =,n n
a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中,正数的个数是
A ．25.
B ．50.
C ．75.
D ．100. 27、（2012年高考（江西文））观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 （ ） A ．76 B ．80 C ．86 D ．92
3．（2012重庆理）若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则
a b +=__________________;
4．（2012上海理）计算:i
i
+-13=_______(i 为虚数单位).
5．（2012上海春）若复数z 满足||2(z i i -≤为虚数单位),则z 在复平面内所对应的图形
的面积为____.
6．（2012上海春）若复数z 满足1(iz i i =+为虚数单位),则z =_______.
7．（2012江苏）设a b ∈R ，,117i
i 12i
a b -+=-(i 为虚数单位),则a b +的值为____.
8．（2012湖南理）已知复数2
(3)z i =+ (i 为虚数单位),则|z|=_____. 9、（2012陕西文理）观察下列不等式
213122+
< 231151233
++<,
222111712344+++<
照此规律,第五个．．．
不等式为 。

将三角形数1,3, 6,10,记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个
新数列{}n b ,可以推测:(Ⅰ)2012b 是数列{}n a 中的第______项; (Ⅱ)21k b -=______.(用k 表示)
12、（2012福建文）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。

例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。

14、2012湖南文）对于N n *
∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯+
+⨯+⨯,
当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，
a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，
b n =1；否则b n =0.[（1）b 2+b 4+b 6+b 8=_ _；（2）记
c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___.
11年高考试题及解析
1、（福建文2）．i 是虚数单位，1＋i 3
等于
A ．i
B ．－i
C ．1＋i
D ．1－i
2、（四川理2）．复数1
i i -+=
（A ）2i -
（B ）1i 2
（C ）0 （D ）2i
3、（重庆理1）复数
234
1i i i i
++=- （A ）1122i -
- （B ）1122i -+ （C ）1122i - （D ）1122
i +
6、（课标卷文2）.复数=-i
i
215（ ） A i -2 B i 21- C i +-2 D i 21+-
7、（天津文1）．i 是虚数单位，复数3i
1i
+=-（ ）
． Ａ．12i + Ｂ．24i + Ｃ．12i -- Ｄ．2i -
8、（天津理1）．i 是虚数单位，复数13i
12i
-+=+（ ）
． Ａ．1i + Ｂ．55i + Ｃ．55i -- Ｄ．1i --
9、（江西理1）. 设i
i
z 21+=，则复数=_
z
A. i --2
B. i +-2
C. i -2
D.i +2
10、（广东文1）．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z = （ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 11、（广东理1）．设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=
A ．1+i
B ．1-i
C ．2+2i
D ．2-2i
12、（课标卷理1）.复数
212i
i
+-的共轭复数是 C （A ）35
i - （B ）35
i （C ）i - （D ）i
15、【命题意图】：本小题主要考查复数的运算及共轭复数的概念。

16、（浙江文2）.若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +⋅= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3
17、（浙江理2）.把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z += （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3
18、（江苏3）、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________
19、（湖南文２理1）．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则
Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=-
20、（湖北理1）.i 为虚数单位，则=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+2011
11i i
A.i -
B.1-
C.i
D.1
21、（福建理1）．i 是虚数单位，若集合{1,0,1}S =-，则
A ．i S ∈
B ．2
i S ∈
C ．3
i S ∈
D ．
2
S i
∈
22、(安徽文、理1) 设 i 是虚数单位，复数
ai
i
1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1
-2
(D) 12
25、（上海理19）．（本大题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z ．
26、（陕西理13）．观察下列等式 1=1 2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 ………
照此规律，第n 个等式为
27、（江西文6）.观察下列各式：则2
3
4
749,7343,72401===，…，则2011
7的末两位数
字为（ ）
A.01
B.43
C.07
D.49
28、（江西理7）.观察下列各式：5
5=3125，6
5=15625，7
5=78125，…，则2011
5的末四位
数字为
A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
29、（湖南文16）、给定*
k N ∈，设函数*
*
:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，
()f n n k =-
（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为
；
（2）设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 。

31、（四川理16）.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题：
①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；若f x （）为单函数，
121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）；
②若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；
③函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
32、（湖南理16）.对于*
∈N n ，将n 表示为
0112211022222⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=---k k k k k a a a a a n ，当0=i 时，1=i a ，当k
i ≤≤1时，i a 为0或1.记()n I
为上述表示中i a 为0的个数（例如：0211⨯=，
0122020214⨯+⨯+⨯=，故()01=I ，()24=I ），则（1）()=12I ；（2）
()=∑=127
1
2n n I .
2010年高考试题及解析
1、（2010湖南文数）1. 复数
2
1i
-等于 A. 1+I B. 1-i C. -1+i D. -1-i
2、（2010浙江理数）（5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是
（A ）2z z y -= （B ）2
2
2
z x y =+（C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+
4、（2010全国卷2理数）（1）复数2
31i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭
（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +
5、（2010陕西文数）2.复数z =1i
i
+在复平面上对应的点位于 (A)第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
6、（2010辽宁理数）(2)设a,b 为实数，若复数
11+2i
i a bi
=++，则 （A ）31,22a b == (B) 3,1a b == (C) 13
,22
a b == (D) 1,3a b ==
7、（2010江西理数）1.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ）
A.x=-1，y=1
B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1
D. x=1，y=2
8、（2010安徽文数）(2)已知2
1i =-，则i(13i )=
3i 3i (C)3i - (D)3i
12、（2010四川理数）（1）i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3
＝ （A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 13、（2010天津文数）(1)i 是虚数单位，复数31i
i +-= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 14、（2010天津理数）（1）i 是虚数单位，复数
1312i
i
-+=+
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i 15、（2010广东理数）2.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ） A ．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 16、（2010福建文数）i 是虚数单位,4
1i ()1-i
+等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
17、（2010全国卷1理数）(1)复数
3223i
i
+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i
18、18、（2010山东理数2）已知2(,)a i b i a b i +=+2a i
b i i
+=+（a,b ∈R ）
，其中i 为虚数单位，则a+b=
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 19、（2010安徽理1）、i 是虚数单位，
33i
i
=+ A 、
13412
i - B 、
13412i + C 、
1326
i + D 、
1326
i - 20、（2010湖北理数）1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z
i
+的点是 A ．E B.F C.G D.H
5.
【两年模拟】 2012年模拟试题
【四川省南充2012届高三月考】已知i 是虚数单位，且y i i x =-+)1)((，则实数x ,y 分别为（ ） A ．1x =-，1y =
B ．1x =-，2y =
C ．1x =，1y =
D ．1x =，
2y =
【四川省成都市2012届高三9月月考】复数1i i
+=（ ） A ．2i - B ．0 C ．12
i D ．2i
【四川省德阳市2012届第一次诊断】已知复数12122,1,z i z i z z z =+=-=⋅则在复平面上对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【陕西省长安2012届第一次考试理已知
),(2R b a i b i
i
a ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+
b a
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3
【安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理】复数
22i
i
+-表示复平面内的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2012届高三上学期联考理】i 是虚数单位，若
2(,)1i
a bi a
b R i
+=+∈+，则a b +的值是（ ） A 、 0 B 、1
2
C 、1
D 、2
【江苏省南京师大附中2012届高三12月检试题】若a ,b ∈R ，i 为虚数单位，且(a +i)i=b +i ，则a +b = ．
【哈尔滨市六中2012学年度上学期期末】 已知a 是实数，i
i
a -+1是纯虚数，则a = （） A.1 B.1- C.2 D.2- 【安师大附中2012届高三第五次模拟】复数
31i
i
--等于 （ ） A ．i 21+ B.12i - C.i +2 D.i -2
【广东省江门市2012年普通高中高三调研测试】复数i
i
z +-=22（i 是虚数单位）的虚部是 A ．i 54 B ．i 54- C ．54 D ．5
4-
【辽宁省沈阳四校协作体2012届高三上学期12月月考】复数i
i
z -+=131的共轭复数是
( )
A ．i 42+-
B ．i 42+
C ．i 21--
D ． i 21-
【银川一中2012届高三年级第二次月考】设复数z 满足i z i -=⋅2，则=z （ ） A.12i -+ B.12i -- C.12i + D.12i - 【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】复数21i
i
+的共轭复数为 （ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
【黑龙江省绥棱一中2012届高三期末】若复数
3()12a i
a R i
+∈-(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值是
A -2
B 4
C -6
D 6
【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +=（ ）
A.3i -
B.3i +
C.13i +
D.3
【四川省成都外国语学校2012届高三12月月考】已知i 为虚数单位，且复数
22)()1(i i m i m ⋅+++⋅为纯虚数，则实数m 的值是（ ）。

A. 0或1
B.1-
C. 0
D. 1 【江西省上饶县中学2012届高三上学期第三次半月考】若复数12(,)i
a R i a i
-∈+为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为____________。

【四川省江油中学高2012届高三第一次学月考试】已知复数满足()
31212i Z i +=+，则Z 等于( ) A ．3455i -
+ B ．3455i + C ．3455
i -- D ．
34
55
i - 【上海市南汇中学2012届高三第一次考试(月考)】（本题满分12分）本题有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知关于t 的方程220t t a -+=一个根为
1 3.()i a R +∈（1）求方程的另一个根及实数a 的值； （2）若
236x (0,)a
x m m x
+
≥-+∈+∞在上恒成立，试求实数m 的取值范围。

【浙江省宁波四中2012届高三上学期第三次月考理】已知数列*)(2N n n a n ∈=，把数列
}{n a 的各项排列成如图所示的三角形数阵。

记),(t s M 表示该数阵中第s 行的第t 个数，则
数阵中的2012对应于
A ．)16,45(M
B ．)26,45(M
C ．)16,46(M
D ．)26,46(M
【四川省德阳市2012届高三第一次诊断理】给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集） （ ） ①“若a,b ∈R,则0a b a b -=⇒=”类比推出“a,b ∈C,则0a b a b ->⇒=”
②“若a,b,c,d ∈R ，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，
则2=2,a b c d a c b d ++⇐==”；
③若“a,b ∈R,则0a b a b -=⇒>”类比推出“a,b ∈C,则0a b a b -=⇒>” 其中类比结论正确的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【广东省2012学年度第一学期期末】规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即
a b ab a b *=++，则函数()1f x x =*的值域是 ．
【广东省2012学年度第一学期期末】观察下列等式: 212
(1)1x x x x ++=++,
22234
(1)1232x x x x x x ++=++++,
2323456
(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,
242345678
(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,
由以上等式推测:对于n N *∈,若2
2
20122(1)n
n n x x a a x a x a x ++=++++,则
2a = .
【广东省江门市2012年普通高中高三调研测试】定义B A *、C B *、D C *、A D *的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是
A ．D
B *、D A * B ．D B *、
C A * C ．C B *、
D A * D ．D C *、D A * 【山东聊城市五校2012届高三上学期期末联考】某个命题与正整数有关，若当
)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当4n =时
该命题不成立，那么可推得 （ ）
A. 当5n =时，该命题不成立
B. 当5n =时，该命题成立
C. 当3n =时，该命题成立
D. 当3n =时，该命题不成立 【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】设函数()(0)2
x
f x x x =
>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78
x
f x f f x x ==+
43()(()),
1516
x
f x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得： 当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .
【四川省德阳市2012届高三第一次诊断理】我们把形如()
()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，
幂指函数在求导时，可以利用对法数：在函数解析式两边求对数得
()
ln ln ()
()ln ()x y f x x f x ϕϕ==，两边对x 求导数，得()
()ln ()(),()y f x x f x x y f x ϕϕ'''=+于是()
()
()
[()ln ()()
]()
x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+，运用此方法可以求得函数(0)x y x x =>在（1，1）处的切线方程是 。

【陕西省长安一中2012届高三开学第一次考试理】如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为 （ ）
A ．模块①，②，⑤
B ．模块①，③，⑤
C ．模块②，④，⑥
D ．模块③，④，⑤
【陕西省长安一中2012届高三开学第一次考试理】设函数)0(2
)(>+=
x x x
x f ,观察:
1()(),2x f x f x x ==
+
21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),
78x
f x f f x x ==+
43()(()),
1516
x
f x f f x x ==
+根据以上事实，由归纳推理可得：
当n N +
∈且2n ≥时，
1()(())n n f x f f x -== ．
【山西省太原五中2012届高三9月月考理】直线3x-4y+5=0经过变换⎩
⎨⎧='='y y x
x 23后，坐标没
变化的点为 ；
【陕西省宝鸡中学2012届高三上学期月考理】规定符号“*”表示一种两个正实数之间的
运算，即a *b=b a ab ++,a,b 是正实数，已知1k *=3,则函数x k x f *=)(的值域是 【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】已知a ，b ，c ∈R ＋
，若c
a ＋
b <
a
b ＋
c <
b
c ＋a
，
则a ，b ，c 的大小关系为
A ．c <a <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c <b <a
【安徽省望江县2012届高三第三次月考理】已知等差数列{}n a 中，有
111220
1230
10
30
a a a a a a ++
++++=
，则在等比数列{}n b 中，会有类似的结论
_____________。

【安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理】设sin ()x f x x =，则满足()()666
n n f f πππ
<+的最小正整数n 是
A 、7
B 、8
C 、9
D 、10
【江西省赣州市2012届上学期高三期末】已知
223344
22,33,44,33881515
+
=+=+=，若66
a a
t t
+
= (,a t 均为实数)，类比以上等式可推测,a t 的值，则a t += .
【辽宁省沈阳四校协作体2012届高三上学期12月月考】如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1
n
()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=
+，111236=+，111
3412
=+，…，则第10行第3个数（从左往右数）为 _________________.
【湖北省部分重点中学2012届高三起点考试】 设函数
123(1)()lg
x x x x x m m a
f x m
+++
+-+=，其中,a R m ∈是给定的正整数．．．．．．，且2m ≥。

如果不等式()(1)lg f x x m >-在区间[1,)+∞上有解，则实数a 的取值范围是 。

【江苏省南通市2012届高三第一次调研测试】根据下面一组等式：
1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,
s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=
…………
可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+=
．
【江苏省南通市2012届高三第一次调研测试】设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()
()f x g x x
=
，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 【四川省成都外国语学校2012届高三12月月考】如图：4321,,,l l l l 是同一平面内的四条平行直线，且每相领的两条平行直线间的距离都是h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形的边长为5，则h =（ ）。

A.
45 B.2
5
C.5
D.10 【四川省成都外国语学校2012届高三12月月考】若三个连续的两位数满足下列条件：①它们的和仍为两位数；②它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大；则
称这样的三个数为“三顶数”，则这样的“三顶数”的组数有（ ）组。

A.9 B.10 C.11 D.12 2011年模拟试题 一、选择题:[
1、（2011巢湖一检）复数
12i
i
-（i 为虚数单位）的虚部是( ) A.15i B.15- C.15i - D.15
5．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6. (2011承德期末)复数R i i a z ∈-+=)43)((，则实数a 的值是（ ） A ．43
- B ．4
3 C ．3
4 D ．34-
7．(2011东莞期末)已知()(1)x i i y +-=，则实数,x y 分别为 ( ) A ．1,1x y =-= B. 1,2x y =-= C ．1,1x y == D. 8．（广东省揭阳一中2011年高三一模理科）若复数20101,1i
z z i
+==-则（ ）
A ．—1
B ．0
C ．1
D ．(1)
i +1005
9．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)已知复数z 满足1
i
z -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为( )
A ．3i +
B ．11i 3
+ C ．
23 D ．43
10、(广东省江门市2011年高考一模文科)在复平面内，点A 、B 对应的复数分别是i 23+-、i 41-，则线段AB 的中点对应的复数是( )
A ．i 22--
B ．i 64-
C ．i --1
D ．i 32-
11、（广东省江门市2011年高考一模理科)已知集合
{}
是虚数单位 , , )1(|2i R a i a a x x A ∈-+==，若R A ⊆，则=a ( )
A ．1
B ．1-
C ．1±
D ．0
14、(2011·汕头期末)若复数2
(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 1
B. 2
C. 1或2
D. -1
15、(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科) 复数212i
i
+-的虚部是（ ） A ．0
B ．i
C ．1
D ．-1
16．(2011·南昌期末)已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i
z
=( ) A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+
17、(广东省东莞市2011年高三一模理科)复数1
1z i
=-的共轭复数．．．．
是（ ）
A.
1122
i + B.
11
22
i -
C. 1i -
D. 1i +
18、（2011·湖北重点中学二联）已知复数2201021,11i
Z z z z i
=++++-则为
（ ）
A ．1+i
B ．1-i
C ．i
D ．-i
19、 (2011·黄冈期末)若复数i
i
a 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A.-2
B.4
C.-6
D.6
20、（2011·金华十二校一联）复数
3i
i
-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 21、（2011·九江七校二月联考）复数(2i )i +的虚部是（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 22、(2011·惠州三调)在复平面内，复数1
2z i
=
+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
23、(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知复数1
22,3z i z i =+=-，其中i 是
虚数单位
，则复数
1
2
z z 的实部与虚部之和为（ ） A ．0 B ．
1
2
C ．1
D ．2
26、(2011·锦州期末)设i 是虚数单位，则设i 是虚数单位，则3
1i
i =- ( ) （A ）1122i - （B ）112i + （C ）1122i + （D ）112
i -
27、(安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测文科)复数21i
a bi i
=+-(i 是虚数单位，
a 、
b R ∈)，则 （ ）
A.1a =，1b =
B. 1a =-，1b =-
C. 1a =-，1b =
D. 1a =，1b =-
28、（2011广州调研）已知i 为虚数单位, 则复数i (1)i +的模等于( )
A .
1
2
B. 222 D. 2
29、(安徽省2011年江南十校高三联考理科)i 是虚数单位，复数2332i z i
+=-+的虚部是（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．2
30、(安徽省2011年江南十校高三联考文科) i 是虚数单位，复数2011
z i =的
虚部是（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．i -
31、(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试文科)若将复数i
i
-+11表示为bi a +（R b a ∈,，i 是虚数单位）的形式，则=+b a （ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．2
32、(安徽省安庆市2011年高三第二次模拟考试理科)已知复数z ＝
i
i
-1（i 是虚数单位），则z 在复平面上对应的点在( )
A .第一象限
B .第一象限
C .第三象限
D .第四象限 二、填空题:
36、（ 2011·温州八校联考）复数
2
42(1)
i
i ++= ___________________． 37、(广东省东莞市2011年高三一模文科)设t 是实数，且
112
t i
i -+
+是实数，则t = .
38、(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)已知1
cos
,32
π
= 21cos
cos
,554π
π=
231cos cos cos ,
7778πππ=，根据这些结果，猜想出一般结论是
39、广东省江门市2011年高考一模文科)观察下列各式：①2/33)(x x =；②x x cos )(sin /
=； ③x x x
x
--+=-22)2
2(/；④x x x x x sin cos )cos (/-=根据其中函数)(x f 及其导函数
)(/x f 的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是：
【一年原创】 一、选择题
1 下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3)
1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一
一对应，其中正确的命题个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3
2 复数13
()i i --的虚部为( )
A 8i
B 8i -
C 8
D 8-
7．已知=+=-=2
1
1121,,,1,3Z Z i Z Z i Z i Z 则为虚数单位的共轭复数是 （ ）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i +2
D ．i -2
8． i 是虚数单位，若 i z i =⋅+)1(，则=z （ ）
A .
i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2
1
21-- 9、复数4
3
2
i i i i z +++=的值是
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．i 10、已知复数z =1－i ，则z 2
z －1
= A ．－2 B ．2
C ．2－2i
D ．2+2i
二、填空题
11如果(,,0)z a bi a b R a =+∈≠且是虚数，则2
2
2
,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有
个，是实数的有 个，相等的有 组
12 如果35a <<,复数22
(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在
象限
13 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a =
14 设2
22log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-∈若z 对应的点在直线210
x y -+=上,则m 的值 是
15、 若21z i
=
-,那么10050
1z z ++的值是
16 设复数z 满足1z =,且(34)i z +是纯虚数,求z -
（Ⅲ）设103
c <<，证明：222*12
21,13n a a a n n N c
++>+-
∈-
20、已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：
11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记
112233n n n T b a b a b a b a =+++
+．（1）若1231264a a a a +++
+=，求r 的值；（2）求
证：当n 是正整数时，124n T n =-；
（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，
，1212m T +中有4项为100．求
r 的值，并指出哪4项为100．
21、已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12
12
1•++∈=-+N n a a a n n n ．记
n n a a a S +++= 21．)
1()1)(1(1
)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=
． 求证：当•
∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

【考点预测】 2013高考预测
复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主。

合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；预计2013年高考将会有较多题目用到推理证明的方法 复习建议
对复数的复习,应紧扣概念,理顺关系,掌握代数运算法则,重点解决:复数概念的理解;复数的代数运算法则.
推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理的解
【母题特供】 母题一：
金题引路：若复数()()i 2ai 1
＋＋的实部和虚部相等，则实数a 等于（ ） A －
1 B
21 C 3
1
D 1
母题四：
金题引路：已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A ′,B ′,C ′,则
''AA OA +''BB OB +'
'
CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.
''AA OA +''BB OB +''CC OC =ABC OBC S S ∆∆+ABC
OCA S S ∆∆+ABC OAB S S ∆∆=ABC ABC
S S ∆∆=1，请运用类比思想，对于空间中的四
面体V —BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明.
母题五、
金题引路：设复数θθsin 2cos 3i z +-= (1)当πθ3
4
=
时，求z 的值；(2)若复数z 所对应的点在直线03=+y x 上，求
)
4
sin(21
2
cos 22
π
θθ
+
-的值。