凸优化理论与应用_几何问题
凸优化课件
例： 半正定锥和矩阵不等式
严格广义不等式
3
广义不等式的性质
4
严格广义不等式的性质
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S，都有 成立，则称 x 为 S 的最小元。（唯一）
极小元的定义：设 x S ，对于 y S ，若 ，有 y x 成立，则称 x 为 S 的极小元。 （可以有多个） 例2.17 锥 等式。 ，它导出的是 上的关于分量的不
T T
则存在
x C, a x b且x D, a x b.
超平面 分 离了两个不相交的凸集 C 和 D 。仿射函数 在 C 上非正，在 D 上 非负。
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严格分离：
超平面分离定理的逆定理：
结合逆定理与平面分离定理得出结论：
9
2.5.2 支撑超平面
x0 为 C 边界上的点。若存在 a 0， 定义：设集合 C ， 满足对任意 x C ，都有 aT x aT x0 成立，则称超平 T T { x | a x a x0} 为集合 C 在点 x0 处的支撑超平面。 面
正常锥的对偶锥 仍然是正常锥！ 2.若K 非中空，则K *有端点；
3.若K的闭包有端点，则K *非中空； 4.K 是K的闭凸包；
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**
2.6.2 广义不等式的对偶
对偶锥 是正常锥，可由这导出一个广义不等式 ，我们称其为广义不等式 的对偶。 广义不等式与其对偶的性质：
12
2.6.3 对偶不等式定义的最小元和极小元
定理：任意非空凸集边界上的任意一点均存在支撑 超平面。 定理：若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一 点均存在支撑超平面，则该集合为凸集。
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2.6 对偶锥和广义不等式
凸优化理论与应用凸优化PPT课件_1-51
可编辑
9
可分离变量优化问题
性质： 其中
inf f (x, y) inf f%(x)
x, y
x
f%(x) inf f (x, y)
y
定理：优化问题
minimize f0 (x1, x2 ), x R n
subject to fi (x1) 0, i 1,..., m1
f%i (x2 ) 0, i 1,..., m2 可以分离变量 x1, x2
h%i (z) i (hi (z)) 0, i 1,..., p
可编辑
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优化问题的等价形式(4)
定理：原优化问题与以下优化问题等价
minimize f0 (x), x R n subject to fi (x) si 0, i 1,..., m
si 0 hi (x) 0, j 1,..., linear minimization
问题描述
minimize
上半图形式 minimize
f (x) im1,a...x,m(aiT x bi ) t
LP形式
subject to im1,a...x,m(aiT x bi ) t minimize t
subject to aiT x bi t,i 1,..., m
y
x eT x
f
Ay bz 0 eT y fz 1
z
1 eT x
f
z0
可编辑
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二次规划(quadratic program,QP)
QP问题的基本描述
minimize (1/ 2)xT Px qT x r subject to Gx p h
Ax b P Sn , G Rmn , A R pn
凸函数的性质及其在最优化理论中的应用 毕业论文
凸函数的性质及其在最优化理论中的应用摘 要 给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用．关键词 凸函数；非线性规划；梯度；凸规划The Property of Convex Function and Its Application in OptimizationAbstract ：This paper deals with some questions of convex function. First of all we give a definition of convex and it’s calculation characters .Next we prove them in details.Then some equal definitions are given and proved by turns. After that applications of convex function are discussed including several examples ． Keywords ：Convex function ；Nonlinear programming ；Gradient ；Convex programming1 前言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论中处理某些问题时．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式．本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题．2 预备知识2.1[1] 一般非线性规划的数学模型()min ;f x()()0,1,2,,,.0,1,2,,.i j g x i m s t h x j l ≥=⎧⎪⎨==⎪⎩ (1)(1)式中()12,,,Tn n x x x x R =∈是n 维向量．()(),1,2,,,1,2,,i j f g i m h j l ==都是1n R R →的映射（即自变量是n 维向量，因变量是实数的函数关系）．与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记(){()}0,1,2,,,0,1,2,,i j D x g x i m h x j l =≥===．称D 为可行域．因此模型(1)式有时可简记为()min ,f x x D ∈．2.2[2] 凸集设K 是n 维欧式空间的一点集，若任意两点12,X K X K ∈∈的连线上的所有点满足()()121,01aX a X K a +-∈≤≤，则称K 为凸集．2.3[3] 水平集设函数()f x 定义在集合S 上，则称集合(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤为()f x 在集合S 上关于数β的水平集．其中β是一个数，()1,n f x R x S R ∈∈⊆．这里(),s H f β水平集，指的是满足()f x β≤的那部分x 的集合，即为S 的一个子集．如下图1-1所示：图1-12.4[3]梯度设多元函数()()12,,,,Tn n u f x x x x x S R ==∈⊆，若在点()010200,,,Tn x x x x =处对于自变量()12,,,Tn x x x x =的各分量的偏导数()()01,2,,if x i n x ∂=∂都存在，则称函数()u f x =在点0x 处一阶可导，并称向量()()()()000012,,Tn f x f x f x f x x x x ∂∂∂⎛⎫∇=⎪∂∂∂⎝⎭是()u f x =在点0x 处的梯度或一阶导数．2.5[3] 海塞矩阵设()u f x =，0,n x S R ∈⊆若f 在点0x S ∈处对于自变量x S ∈的各分量的二阶偏导数()()20,1,2,,i jf x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点0x 处二阶可导，并称矩阵()()()()()()()()()()22200021121222000222122222000212n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∇=∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦为()f x 在点0x 处的二阶导数或海塞矩阵．3 凸函数的定义及性质3.1 凸函数的两个定义凸函数的定义有多种形式.一般《数学分析》中多采用分析性强的弦线法定义,而《高等数学》多采用几何直观性强的切线法定义．分别见下面的定义1及定义2.定义1[4] 设函数()f x 在区间[],a b 上有定义，若对[],a b 上任意两点12,x x 和实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦成立，则称()f x 为区间[],a b 上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称()f x 为区间[],a b 上的严格凸函数．定义2[5]设函数()f x 在区间I 上可导, 如果曲线()y f x =在区间I 位于其上任一点处切线的上方, 那么称曲线()y f x =在区间I 上为凸的，即()f x 为区间上的凸函数． 类似的可定义凹函数.3.2 凸函数的性质性质1[5] 若()f x 与()g x 均为凸集S 上的凸函数，则()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．证明 1,2x x S ∀∈和()0,1λ∀∈，因()f x ,()g x 都是凸集S 上的凸函数,则()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦, ()()()()()121211g x g x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦.两式相加便得：()()()()()()()12121212111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由凸函数的定义知()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．性质2[5]若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则对任意实数0a ≥，函数()af x 也是定义在S 上的凸函数．证明 由于12,x x S ∀∈，()f x 为S 上的凸函数，则对于()0,1t ∀∈和()0a a ≥，有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦，上式两端均乘以()0a a ≥，可得()()()()()()()121212111af tx t x atf x a t f x taf x t af x +-≤+-=+-⎡⎤⎣⎦．由凸函数的定义知()af x 是凸集S 上的凸函数．推论 ,R αβ∀∈，()()12,f x f x 均为定义在凸集S 上的凸函数，则()()12f x f x αβ+也是凸函数．性质3[6] 设()f x 是定义在凸集S 上的凸函数，则对任一个实数β，水平集(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤也是一个凸集．证明 ()12,,s x x H f β∀∈，则有()()()12,,01f x f x a a ββ≤≤∀<<，作()1201ax a x x +-=．因为12,x S x S ∈∈，S 是凸集，因此有()()0121,s x ax a x H f β=+-∈．即012,,,x x x 都同属于S ，又因为()f x 是定义在S 上的凸函数，故有()()()0121f x f ax a x =+-()()()()()()1211.af x a f x af a f βββ≤+-≤+-=即()()0121,s x ax a x H f β=+-∈，则由凸集定义可知，(),s H f β也是一个凸集．性质4[5] 若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则()f x 的任一个极小点就是它在S 上的全局极小点，而且所有极小点形成一个凸集．证明 设x *是()f x 的一个局部极小点，即0,δ∃>在x *的δ领域(),N x δ*内，所有x 都满足：()()f x f x *≥，在S 中任取一点x ，连x 及x *，则存在一个()0,1λ∈，使()()1,x x N x λλδ**-+∈．记()01x x x λλ*=-+，则有 ()()()()01f x fxx f x λλ**=-+≥． (2)又因为()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，所以有()()()()()()11f x f x f x f x λλλλ**-+≤-+． (3)由(2)式及(3)式，有()()()()1f x f x f x λλ**-+≥．即 ()()f x f x λλ*≥． 又因为0λ>，有()()f x f x *≥．因为x 是S 上的任意一点，则x *是()f x 在S 上的全局极小点．若凸函数()f x 在S 上的极小点不止一个，则极小点必连成一片构成凸集．设x *为()f x 在S 上的一个极小点，()f x *为其极小值，记()f x β*=．则由性质3，水平集：(){0,,s H f x x S β=∈()}0f x β≤构成一个凸集，在凸集()0,s H f β中的点x 有()()0f x f x β*==．因此()0,s H f β中的点必全是()f x 在S 中的极小点．由水平集的定义，()f x 在S 中的极小点也全在水平集()0,s H f β中，所以()f x 在S 中的极小点必构成凸集．4 凸规划对于非线性规划(1)，当()f x 为凸函数，函数()()1,2,,i g x i m =是凸函数，函数()j h x()1,2,,j l =为线性函数时，规划(1)为一个凸规划．定理1[7] 设()f x 为定义在凸集S 上的可微凸函数，若存在点x S *∈，使对于所有的点x S ∈，都有()()0Tf x x x **∇-≥．则x *是()f x 在凸集S 上的全局极小点．证明 ,x S ∀∈凸函数的一阶充要条件为()()()()Tf x f x f xx x ***≥+∇-．因为()()0Tf x x x **∇-≥，故有()()f x f x *≥．由于x S ∈的任意性，故x S *∈是()f x 在凸集S 上的全局极小点．定理2[7] 若x *为定义在凸集S 上的可微凸函数()f x 一个平稳点，则x *也是()f x 在S 上的全局极小点．证明 因x *为平稳点，即有()0f x *∇=．即满足：x S ∀∈都有()()0Tf xx x **∇-≥．则由定理1可知，x *也是()f x 在S 上的全局极小点．引理1[8]设()f x 是n R 上的凸函数，并设()f x 有限，如果()f x 在x 可微，则对一切n y R ∈，均有()()()()Tf y f x y x f x ≥+-∇．定理3[8] 假设函数()f x 和()()1,2,,i g x i m =分别为n R 上的凸函数和凹函数，并设()()1,2,,j h x j l =为线性函数．若存在向量x *、λ*、μ*，其中x *满足(1)式，且成立()()()110pmi i j j i j f x g x h x λμ*****==∇-∇-∇=∑∑,()0i i g x λ**= 1,2,,i m =,0λ*≥,则x *为满足(1)式的整体最优点．证明 设x 是满足(1)式的任一点．于是()()()()11pm i i j j i j f x f x g x h x λμ**==≥--∑∑． (4)将引理1用于()f x 、()i g x 和()j h x ，并利用(4)得到()()()()()1mTi i i f x f x x xf xg x λ*****=≥+-∇-∇∑()()()11Tpmi ijj i j x xg x h x λμ*****==--∇-∑∑()()1pTj j j x x h x μ***=--∇∑． 将上式重新排列，得到()()()()11pmi i j j i j f x f x g x h x λμ*****==≥--∑∑()()()()11p m Ti i j j i j x xf xg xh x λμ******==⎡⎤+-∇-∇-⎢⎥⎣⎦∑∑，所以得到()()f x f x *≥．5 应用例1 求下列函数的极小值点：()()22221121122f x x x x x =-++-．解 先求平稳点，因为()2311111121222422fx x x x x x ∂=-⋅+-=--∂， 224fx x ∂=∂． 令()0f x ∇=，即31124220,0,x x x ⎧--=⎨=⎩ 解此方程组，得到平稳点：()1,0Tx *=．又 ()2211220x f x ⎡-∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，因此有()2100f x *⎡∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，所以()1,0Tx *=是严格局部极小点．例2 试分析下面线性规划目标函数的最优解．()22121min 44f x x x x =+-+()()11222121220,.10,,0.g x x x s t g x x x x x ⎧=-+≥⎪⎪=-+-≥⎨⎪≥⎪⎩ 解 ()f X 和()2g X 的海塞矩阵的行列式分别是()()()()()()()()222112222212222221122222222122040,02200.2f x f x x x x H f x f x x x x g x g x x x x g g x g x x x x ∂∂∂∂∂===>∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂∂∂∂知()f x 为严格凸函数，()2g x 为凹函数．由于其他约束条件均为线性函数，所以这是一个凸规划问题．在12x ox 坐标系上做出()12,f x x C =的等值线是以()2,0为圆心的一族同心圆，可行域为凸集ABCD,（如图1-2）．图1-2()f x在可行域ABCD上的全f x的等值线族与可行域ABCD的边界切于C点，则C点就是()局极小点．可知C点为其最优点，则全局最优解也在C点处取得．6 小结凸函数的应用非常广泛，特别是在最优化理论中的应用．凸规划是非线性规划中一类比较简单而又具有重要理论意义的问题．凸规划的局部最优解就是全局最优解．若目标函数时严格凸函数，又存在极小点，则此时凸规划的全局最优解是唯一的．这实质上是定义在凸集上的凸函数的具体应用．致谢在论文完成之际，特别感谢老师的悉心指导．参考文献[1]阿佛里耳．非线性规划[M]．上海：上海科学技术出版社，1979,10．[2]运筹学教材编写组．运筹学[M]．北京：清华大学出版社，2005,08．[3]何坚勇．最优化方法[M]．北京：清华大学出版社，2007,10．[4] 华东师范大学数学系．数学分析:上册[ M 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凸优化课件
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
凸优化理论与应用
仿射包：包含集合C的最小的仿射集。
aff C {i xi | xi C, i 1}
Ax b
仿射维数：仿射包的维数。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
9
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
10
仿射集
凸集(Convex Sets)
B( xc , r ) {x | x xc r}
{i vi | i 0, i 1, v1 v0 ,..., vk v0线性无关}
i 0 i 0
k
k
范数锥(norm cone)：
{( x, t ) | x t}
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@ 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
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5
2012/9/24
对偶广义不等式
作业
极小元的对偶特性
K 0, x为使 T z, z S最小的值 x为极小元.
*
反过来不一定成 立！
P60 P60 P60 P62 P62 P64 P64 P64
2.8 2.10 2.14 2.16 2.18 2.30 2.31 2.33
25
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
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分割超平面(separating hyperplane)
支撑超平面(supporting hyperplane)
定理：设C 和 D 为两不相交凸集，则存在超平面将C 和 D 分离。即：
x C, aT x b且x D, aT x b.
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
凸优化理论与应用_凸集
03
凸优化问题建模与求解
凸优化问题定义及示例
凸优化问题定义
凸优化问题是一类特殊的数学优化问题，其目标函数是凸函数，约束条件为凸集。凸函数在数学上具有很好的性 质，如局部最优解即为全局最优解，这使得凸优化问题的求解相对简单。
凸优化问题示例
支持向量机（SVM）、线性回归、逻辑回归、最小二乘法等机器学习算法中的优化问题都可以转化为凸优化问题 进行求解。
凸函数与凹函数关系
凹函数定义
凹函数与凸函数相反，满足f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)。
凸凹性转换
通过取负操作，可以将凸函数转换为凹函数，反之亦然。即，如果f是凸函数，则-f是凹函数；如果f是凹函数，则-f 是凸函数。
凸凹组合
凸函数和凹函数的线性组合可能既不是凸函数也不是凹函数，但可以通过一定的条件判断其凸凹性。
01
03
02 04
多面体与单纯形
多面体是由有限个线性不等式定 义的集合，即{x | Ax ≤ b}。单纯 形是一种特殊的多面体，每个顶 点都是其他顶点的邻居。
锥与凸锥
锥是由原点出发的射线组成的集 合。如果锥还是凸集，则称为凸 锥。
02
凸函数及其性质
凸函数定义及示例
凸函数定义
在数学中，一个函数被称为凸函数，如果对于该函数定义域内的任意两个点x1 和x2，以及任意实数λ∈[0,1]，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)成立。
稀疏表示与重构
在压缩感知中，利用凸 集理论对信号进行稀疏 表示，并通过求解凸优 化问题实现信号的重构 。
噪声鲁棒性
针对压缩感知中的噪声 问题，利用凸集理论构 建鲁棒性优化模型，提 高信号恢复的精度和稳 定性。
03凸优化理论与应用_凸优化
03凸优化理论与应用_凸优化凸优化理论与应用是数学领域的一个重要分支，是一种优化问题的求解方法，它在工程、经济学、物理学、统计学等领域具有广泛的应用。
凸优化问题是指目标函数是凸函数（convex function）且约束条件是凸集（convex set）的优化问题。
凸函数是一种特殊的函数，它的任意两个点之间的线段在函数图像上方。
凸集是一种特殊的集合，对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段的端点也在集合中。
凸优化问题是在满足凸性条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的变量值。
凸优化问题具有以下重要性质：1.局部最优解是全局最优解：对于凸优化问题，只需要找到一个局部最优解，就可以确定它就是全局最优解，无需再进行进一步的。
2.解的存在性：凸优化问题在一些条件下保证存在解，这对于实际问题的求解非常重要。
3.解的唯一性：对于凸优化问题，只能存在一个最优解，不会出现多个最优解的情况。
4.算法的可行性：凸优化问题可以通过多种有效的算法求解，这些算法具有较高的收敛速度和稳定性。
凸优化问题可以分为无约束问题和有约束问题两类。
无约束问题是指目标函数只有一个变量，没有约束条件；有约束问题是指在目标函数的最优化问题的基础上增加约束条件。
在凸优化理论中，有一些重要的概念和定理，如凸集、凸函数、凸锥、支撑超平面、KKT条件等。
这些概念和定理为凸优化问题的求解提供了理论基础和方法。
凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.金融领域：用于投资组合优化、资产定价问题等。
2.电力领域：用于电网调度、能源管理等。
3.交通领域：用于交通流优化、交通路线规划等。
4.通信领域：用于信号处理、无线通信系统设计等。
5.机器学习领域：用于模型训练、参数优化等。
6.图像处理领域：用于图像恢复、图像分割等。
总之，凸优化问题在不同领域的应用非常广泛，它的理论基础和求解方法为解决复杂的优化问题提供了有效的工具和思路。
随着科学技术的不断发展，凸优化理论与应用领域将会不断扩展和深化，为实际问题的求解提供更多的可能性和机会。
凸优化及其在工程优化中的应用
凸优化及其在工程优化中的应用一、凸优化基础理论凸优化是优化领域一个重要的分支，其研究的是凸函数所定义的优化问题。
凸函数是指函数的图像上的任何两点之间的线段都落在函数的下方，其定义十分简单，但凸函数具有很多重要的性质。
凸优化问题具有很好的性质，这些性质是通过凸分析和优化理论所提供的。
1.1 凸函数设f(x)是R上的一个实值函数，如果对于任意的x1,x2∈R，以及任意的0≤θ≤1，都有f(θx1+(1−θ)x2)≤θf(x1)+(1−θ)f(x2)，那么f(x)就是R上的凸函数。
特别地，当等式成立时，f(x)就是R上的严格凸函数。
显然，对于凸函数，函数图像上的任意两点之间的线段都落在函数图像下方。
1.2 凸集设S是一个实数集合在Rn中的子集，如果对于S中的任意的两点x1,x2∈S和任意的0≤θ≤1，都有θx1+(1−θ)x2∈S，则S是Rn 中的凸集。
特别地，如果S中的任意两点x1,x2∈S之间的线段都完全位于S中，则S是Rn中的凸集，此时S被称为是严格凸集。
1.3 凸优化问题凸优化问题的基本形式为：minimize f(x) subject to g_i(x)≤0, h_j(x)=0其中f(x)是定义在Rn上的凸函数；g_i(x)是定义在Rn上的仿射函数；h_j(x)是定义在Rn上的函数。
为了让凸优化问题对一般的实际问题有使用价值，需要对问题进行许多限制和条件。
约束条件g_i(x)≤0和h_j(x)=0往往涉及到对一些实际问题中的约束和限制。
二、凸优化在工程优化中的应用凸优化在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、机器学习、控制系统、网络和运输等。
下面将以一些具体的应用为例，介绍凸优化在工程优化中的应用。
2.1 无线通信与多媒体方面在无线通信和多媒体方面，凸优化通常用于特定的多用户检测问题，这些问题建立在瞬态通信信道中，从中收到的信号包括来自多个用户的信号。
此类问题可以建模为一个凸优化问题，并且通过凸优化算法，可以得到一个优化解。
凸优化理论与应用-逼近与拟合PPT课件
题：
minimize 1T y
subject to Ax b, y p x p y
可编辑
14
正则逼近
二元矢量优化问题描述：
minimize(w.r.t. R2) ( Ax b , x )
正则化问题：
minimize Ax b x , 0
最优解描述了两分量的一条折中曲线。
minimize Ax b 2 x 2 , 0
x 为二阶差分算子：
1 2 1 0 ... 0 0 0
0
1
2
1
...
0
0
0
x
n
2
0 ...
0 ...
1 ...
2 ... 0 ... ... ...
0 0 ... ... x
0 0 0 0 ... 2 1 0
该罚函数为鲁棒的罚函数。
Huber罚函数
(r
)
M
(2
r2 r
M
)
r M r M
可编辑
12
最小范数问题
问题描述：minimize x subject to Ax b, A Rmn , m n
可以消去等式约束将其转换为范数逼近问题：
minimize x0 zu
可编辑
7
绝对值和最小逼近
范数采用 l1
范数
• ，原问题为 1
minimize Ax b
1
A Rmn , m n,
即
minimize
m i 1
n k 1
aik
xk
bi
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域，它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是凸集和凸函数。
1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。
具体地，对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$，满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$，则$C$是一个凸集。
2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数，满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$，有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。
简单来说，凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。
二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸优化问题有着许多重要的性质和算法。
1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中，$f(x)$是凸函数，$C$是凸集。
2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质：（1）全局最优解是局部最优解。
这意味着在凸优化问题中，存在一个全局最优解，同时该最优解也是局部最优解。
（2）凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。
凸优化问题不存在鞍点，因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。
3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用，以下是一些典型的凸优化问题：（1）线性规划问题（Linear Programming，简称LP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$（2）二次规划问题（Quadratic Programming，简称QP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$（3）半正定规划问题（Semidefinite Programming，简称SDP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支，它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。
凸优化理论
第一章 凸集1、仿射集1.1、定义：任意 x 1,x 2∈C 以及 θ∈R 都有θx 1+(1−θ)x 2∈C ；直观上，如果两点在仿射集内，那么通过任意两点的直线位于其内；1.2、仿射集的关联子空间：如果是C 仿射集，且x 0∈C ，则集合 V =C −x 0={x −x 0|x ∈C } 是一个子空间（关于加法和数乘封闭）,因此仿射集可以表示为一个子空间加上一个偏移，C =V +x 0={v +x 0|v ∈V }，x 0可以是C 中任意一点；定义C 的维数为子空间V 的维数（向量基的个数）;1.3、线性方程组 Ax =b 的解集:等价于仿射集且其关联的子空间是就是的 A 的零空间即ker (A )= {x|Ax =0};1.4、仿射组合：如果θ1+⋯+θk =1，称θ1x 1+⋯+θk x k 为x 1,⋯,x k 的仿射组合；如果C 是仿射集，x 1,⋯,x k ∈C ，且θ1+⋯+θk =1，那么θ1x 1+⋯+θk x k ∈C ；集合C 是仿射集⟺集合包含其中任意点的仿射组合；1.5、仿射包：集合C 中的点的所有仿射组合组成的集合记为C 的仿射包aff C ={θ1x 1+⋯+θk x k |x 1,⋯,x k ∈C ，θ1+⋯+θk =1}；仿射包 aff C 是包含 C 的最小的仿射集合；1.6、仿射维数：集合仿射维数为其仿射包维数, 即仿射包相关联子空间的维数，即是其子空间最大线性无关基；如果集合C ⊂R n 的仿射维数小于n ， 那么这个集合在仿射集合 aff C ≠R n 中;1.7、集合相对内部：定义为 aff C 的内部，记为relint C ， 即relint C ={x ∈C | ∃r >0,B (x,r )∩aff C ⊆C };集合内部：由其内点构成，内点为{x ∈C | ∃r >0,B (x,r )⊆C };1.8、集合的相对边界：集合C 的相对边界定义 cl C\relint C 为，cl C 为C 的闭包；集合C 的边界定义为{x ∈C | ∀δ>0,B (x,r )∩C ≠∅,B (x,r )∩C c ≠∅};------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.凸集：如果x 1，x 2∈C ，0≤θ≤1，都有θx 1+(1−θ)x 2∈C ；直观上，如果两点在凸集内，则两点间的线段也在凸集内；仿射集是凸集；2.1、凸组合：如果θ1+⋯+θk =1，θi ≥0，i =1,⋯,k ，称θ1x 1+⋯+θk x k 为x 1,⋯,x k 的凸组合；点的凸组合可以看做他们的混合或加权平均，θi 代表混合时 x i 所占的份数。
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化（Convex Optimization）是数学中一个重要的研究领域，旨在解决凸函数的优化问题。
凸分析（Convex Analysis）则是凸优化的理论基础，探讨凸集合和凸函数的性质。
本文将介绍凸优化与凸分析的基本概念和原理，以及其在各个领域中的应用。
一、凸集合与凸函数1.1 凸集合在数学中，凸集合是指任意两点之间的连线上的点也属于该集合。
具体地，对于一个集合A，若对于该集合中的任意两点x和y，以及任意的t（0≤t≤1），都有tx + (1-t)y ∈ A，则该集合A为凸集合。
凸集合具有许多良好的性质，例如，凸集合的交集仍为凸集合，凸集合加凸集合的运算结果仍为凸集合。
1.2 凸函数凸函数是定义在凸集合上的实值函数，满足函数图像上的任意两点之间的连线位于函数图像上方。
具体地，对于一个凸集合A上的函数f(x)，若对于该凸集合上的任意两点x和y，以及任意的t（0≤t≤1），都有f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y)，则该函数f(x)为凸函数。
凸函数具有许多重要的性质，例如，凸函数的局部最小值就是全局最小值，凸函数加凸函数仍为凸函数。
二、凸优化问题凸优化问题是指在满足一定约束条件下，求解凸函数的最优值问题。
一般形式的凸优化问题可以表示为：minimize f(x)subject to g_i(x) ≤ 0, i = 1,2,...,mh_i(x) = 0, i = 1,2,...,p其中，f(x)为目标函数，g_i(x)和h_i(x)分别为不等式约束和等式约束。
凸优化具有许多良好的性质，例如，任意局部最小值就是全局最小值。
凸优化问题可以通过各种数值方法进行求解，常用的方法包括梯度下降法、牛顿法和内点法等。
这些方法对于大规模的凸优化问题具有较高的收敛速度和求解精度。
三、凸优化与凸分析的应用凸优化与凸分析在众多领域中具有广泛的应用，下面将列举几个典型的应用领域。
凸优化（08.27）
凸优化（08.27）凸优化总结1基本概念1.1）凸集合：nS R ?是凸集，如果其满足：x; y S + = 1 x + y S λμλμ∈?∈几何解释：x; y S ∈，则线段[x,y]上的任何点都S ∈1.2）仿射集：nSR是仿射集，如果其满足：x; y S , R ,+ = 1 x + y S λμλμλμ∈∈?∈几何解释：x; y S ∈，则穿过x, y 的直线上的任何点都S ∈1.3）子空间：nS R ?是子空间，如果其满足：x; y S , R , x + y S λμλμ∈∈?∈ 几何解释：x; y S ∈，则穿过x, y ，0的平面上的任何点都S ∈1.4）凸锥：n S R ?是凸锥，如果其满足：x; y S ,0 x + y S λμλμ∈≥?∈ 几何解释：x; y S ∈，则x, y 之间的扇形面的任何点都S ?集合C 是凸锥的充分必要条件是集合C 中的元素的非负线性组合仍在C 中，作为一般化结果，其中非负线性组合的数目可以推广到无穷1.5）超平面：满足{}Tx a x = b (a 0)≠的仿射集，如果b=0则变为子空间1.6）半空间：满足{}Tx a x b (a 0)≤≠的凸集，如果b=0则变为凸锥1.7）椭球体：{}T -1c c =x (x-x )A (x-x ) 1 ξ≤T n c A = A 0; x R ∈ 球心 1.8）范数：f ：R n —R 是一种范数，如果对所有的nx; y R , t R ∈∈满足1. f(x) 0; f(x) = 0 x = 02. f(tx) = tf(x)3. f(x + y) f(x) + f(y)≥?≤范数分类● 1范数2x=● 2范数 1i xx x =∑● 3无穷范数 max i i xx ∞=1.9）有效域：集合(){()}dom f x X f x =∈<∞1.10）水平集：{()}{()}x X f x and x X f x αα∈<∈≤，其中α为一标量1.11）上镜图：函数:(,f x ∈-∞∞的上镜图由下面的集合给定{}()(,),,()epi f x w x X w R f x w =∈∈<给出的1n R +给出的子集。
凸优化的几何解释
凸优化的几何解释
凸优化是一类特殊的优化问题，它的目标函数和约束条件都是凸函数。
在凸优化中，最小化或最大化目标函数的同时，也满足所有的约束条件。
凸优化有一个很重要的性质，就是任何局部最优解都是全局最优解。
这可
以用几何的方法解释。
在凸优化中，可以将目标函数和所有的约束条件看作在一个凸集合内
部的点集。
因为凸函数有一个重要的性质，即它的任何两个点之间的连线
都在该函数的图像上方。
因此，如果一个函数是凸函数，那么所有在该函
数图像上方的点也都属于该函数的下凸集。
在凸优化中，因为目标函数和
约束条件都是凸函数，所以它们的下凸集的交集也是一个凸集合。
凸优化的几何解释可以用一个简单的例子来说明。
假设我们要在一个
凸多面体内找到一个点，使得该点到给定的若干个点的距离之和最小。
这
个问题可以转化为一个凸优化问题。
因为每个点到已知点的距离都是凸函数，它们的和也是凸函数。
而凸多面体可以看作是一个凸集合。
因此，我
们的目标函数和约束条件都是凸函数，这是一个凸优化问题。
凸优化的几何解释还包括梯度、拉格朗日对偶和KKT条件等。
这些解
释可以帮助我们更好地理解凸优化问题的本质，以及如何通过数学方法来
解决这些问题。
01凸优化理论与应用_凸集
多面体(Polyhedra)
多面体：
P {x | a x bj , c x di }
T j T i
k
单纯形(simplex)：
{i vi | i 0, i 1, v1 v0 ,..., vk v0线性无关}
i 0 i 0
k
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
27
严格广义不等式的性质
1.x K y x K y; 2.x K x; 3.x K y, u K v x u K y v; 4.x K y, 0 x K y 5.x K y, u足够小 x u K y.
凸锥的定义：集合C既是凸集又是锥。
x1 , x2 C,1 ,2 0, 则有1x1 2 x2 C.
锥包的定义：集合C内点的所有锥组合。
{i xi | xi C , i 0}
i 1
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
k
12
锥
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
广义不等式
例： 逐项不等式 矩阵不等式
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
严格广义不等式
26
广义不等式的性质
1.x K x; 2.x K y, y K x x y; 3.x K y, y K z x K z; 4.x K y, u K v x u K y v; 5.x K y, 0 x K y; 6.xi K yi , lim xi x, lim yi y x K y.
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ui 0, vi 0
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
7
线性判别
支持向量分类器问题：
minimize
a 2 (1 u 1 v)
T T
subject to aT xi b 1 ui , i 1,..., N aT yi b 1 vi , i 1,..., M ui 0, vi 0
5
线性判别
T H 1: a xs b 1 支撑超平面
H 2 : aT yt b 1
两超平面之间的距离：
d (H1, H 2) 2/ a
最优线性分割问题：
2
minimize
a 2 /2
T
subject to a xi b 1, i 1,..., N aT yi b 1, i 1,..., M
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@ 6
线性判别
若两点集 {x1 ,..., xN } 和 { y1 ,..., yM } 不完全可分，
近似分割超平面问题：
minimize 1T u 1T v subject to aT xi b 1 ui , i 1,..., N a yi b 1 vi , i 1,..., M
求包含在 C 内的体积最大的椭球问题：
maximize log det B
u 2 1
subject to sup IC ( Bu d ) 0
若 C 为多面体，则问题变为：
maximize subject to
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log det B Bai 2 aiT d bi , i 1,..., m
3
中心问题
已知凸集 C ，包含在C 内的最大体积球的球心，称为 Chebyshev中心。 已知凸集 C ，包含在 C 内的最大体积椭球的球心，称 为MVE中心。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
4
线性判别
பைடு நூலகம்
两个可分离点集 {x1 ,..., xN }和 { y1 ,..., yM }
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
8
分割超平面满足：
aT xi b 0, i 1,..., N , 且aT yi b 0, i 1,..., M
可对其归一化：
aT xi b 1, i 1,..., N , 且aT yi b 1, i 1,..., M
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凸优化理论与应用
第 7章 几何问题
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
1
体积问题
已知集合 C ， E 为包含 C 的椭球，满足：
C E {v | Av b 1}
求包含 C 的体积最小的椭球问题：
minimize log det A1
vC
subject to sup Av b 1
若 C 为有限集，则问题变为：
minimize
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
log det A1
subject to sup Avi b 1, i 1,..., m
2
体积问题
已知凸集 C ， E 为包含在 C 内的椭球，满足：
E {Bu b | u 2 1} C