凸优化理论与应用_几何问题

凸优化理论与应用
第 7章 几何问题
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn
1
体积问题

已知集合 C ， E 为包含 C 的椭球，满足：
C E {v | Av b 1}

求包含 C 的体积最小的椭球问题：
minimize log det A1
vC
subject to sup Av b 1
3
中心问题

已知凸集 C ，包含在C 内的最大体积球的球心，称为 Chebyshev中心。 已知凸集 C ，包含在 C 内的最大体积椭球的球心，称 为MVE中心。

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4
线性判别

两个可分离点集 {x1 ,..., xN }和 { y1 ,..., yM }
源自文库
求包含在 C 内的体积最大的椭球问题：
maximize log det B
u 2 1
subject to sup IC ( Bu d ) 0

若 C 为多面体，则问题变为：
maximize subject to
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log det B Bai 2 aiT d bi , i 1,..., m

若 C 为有限集，则问题变为：
minimize
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log det A1
subject to sup Avi b 1, i 1,..., m
2
体积问题

已知凸集 C ， E 为包含在 C 内的椭球，满足：
E {Bu b | u 2 1} C
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8
T
ui 0, vi 0
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7
线性判别

支持向量分类器问题：
minimize
a 2 (1 u 1 v)
T T
subject to aT xi b 1 ui , i 1,..., N aT yi b 1 vi , i 1,..., M ui 0, vi 0
5
线性判别

T H 1: a xs b 1 支撑超平面
H 2 : aT yt b 1
两超平面之间的距离：
d (H1, H 2) 2/ a
最优线性分割问题：
2
minimize
a 2 /2
T
subject to a xi b 1, i 1,..., N aT yi b 1, i 1,..., M
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线性判别

若两点集 {x1 ,..., xN } 和 { y1 ,..., yM } 不完全可分，
近似分割超平面问题：
minimize 1T u 1T v subject to aT xi b 1 ui , i 1,..., N a yi b 1 vi , i 1,..., M
分割超平面满足：
aT xi b 0, i 1,..., N , 且aT yi b 0, i 1,..., M
可对其归一化：
aT xi b 1, i 1,..., N , 且aT yi b 1, i 1,..., M
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