高中数学苏教版必修四教学案：第2章 章末小结小结与测评 Word版含答案

一、平面向量的概念 1．向量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量． 2．表示方法
用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示．
3．模
向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 4．零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的． 5．单位向量
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝±a
|a |
.
6．平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．
7．相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
[说明] 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
二、平面向量的线性运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．
(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
2．向量的减法
(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)法则：三角形法则．
[说明] 要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．
3．实数与向量的积
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．
(2)运算律：
λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
三、两个定理
1．向量共线定理
(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
2．平面向量基本定理
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当
e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．
[说明] 零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．
四、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念及意义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．
[说明] b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
2．平面向量数量积的性质
设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，或|a|＝a·a.
(3)a⊥b⇔a·b＝0.
(4)cos θ＝a·b
|a||b|
.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[说明]
(1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.
(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
[说明] 数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．
4．平面向量数量积的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝x21＋y21；
(3)cos 〈a ，b 〉＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21·x 22＋y 2
2
； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
[说明] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的条件，后者是它们垂直的条件．
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________． 解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC ) ＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB . 答案：AB
2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________． 解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3. 答案：－3
3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________ 解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3. 答案：－3
4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________． 解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
5，－45.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫3
5
，－45
5．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.
解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点， ∴
MN BC ＝13，即MN ＝1
3
BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ， ∴λ＝13
.
答案：13
6．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________． 解析：∵(a ＋b )2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝4－6＋36＝34， ∴|a ＋b |＝34. 答案：34
7．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．
解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)， 则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2，
∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB | OA ||OB |＝2
2
.
又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π
4.
答案：π4
8．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.
解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝1
3
AC ，又AC ＝AD ＋DC ＝b
＋1
2
a ， 因此OC ＝13
b ＋1
6a .
答案：13b ＋16
a
9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且
AP ＝3，则AP ·AC ＝________.
解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2
＋2AP ·PO ＝2×3
2
＋0＝18.
答案：18
10．已知e 1，e 2是夹角为2π
3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数
k 的值为________．
解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 2
1＋(1－2k )e 1·e 2－2e 2
2
＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －5
2.
又a·b ＝0， ∴2k －52＝0，∴k ＝5
4.
答案：5
4
11．
下列5个说法：
①共线的单位向量是相等向量；
②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a ·b )c ＝a (b ·c )； ⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 其中正确的是________．
解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．
答案：③⑤
12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.
解析：cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝1
2
. ∴|a ×b |＝2×2×1
2＝2.
答案：2
13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为____________；
DE ·DC 的最大值为________．
解析：法一：以AB ，AD 为基向量， 设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，
则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ，CB ＝－AD ， 所以DE ·CB ＝λAB －AD
·－AD )
＝－λAB ·AD ＋AD 2
,＝－λ×0＋1＝1. 又DC ＝AB ，所以DE ·DC ＝
λAB －AD ·AB
＝λAB 2
－AD ·AB ,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE ·DC 的最大值为1. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为
t ，0
0≤t ≤1可得DE ·CB
＝t ，－1·0，－1＝1，, DE ·DC ＝t ，－1·1，0＝t ≤1，,∴DE ·CB
＝1，DE ·DC 最大值为1.
答案：1 1
14．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()a i ＋a j ·()c k ＋c l 的最小值是________．
解析：根据对称性，当向量()a i ＋a j 与()c k ＋c l 互为相反向量，且它们的模最大时，
()a i ＋a j ·()c k ＋c l 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，
()a i ＋a j ·()c k ＋c l ＝－||a i ＋a j 2＝－5.
答案：－5
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A 、B 、C 、D 顺时针排列)中，AB ＝(6,1)，CD ＝(－2，－3)，若有BC ∥DA ，又有AC ⊥BD ，求BC 的坐标．
解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，
AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)，
DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )， BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．
又BC ∥DA 及AC ⊥BD ， ∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，① (6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－6，
y ＝3，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－1.
∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．
16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 的内部，且∠AOC ＝30°，若OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，求m
n
的值．
解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°， 又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部， ∴∠BOC ＝60°.
∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m ＝|OA ||OC |·
cos ∠AOC ＝
3
2
|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n ＝|OB ||OC |·
cos ∠BOC ＝
3
2
|OC |. ∴m ＝3n ，即m n
＝3.
17．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝
5
2
，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2
＋y 2
＝25， 即x 2
＋y 2
＝20.①
∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .② 联立①②，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝4，
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－2，y ＝－4.
∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0，
即2a 2
＋3a ·b －2b 2
＝0,2|a |2
＋3a ·b －2|b |2
＝0.③ ∵|a |2＝5，|b |2
＝54，代入③式，得a ·b ＝－52
，
∴cos θ＝
a ·
b |a ||b |
＝－
52
5×
52
＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32.
(1)求证：a ⊥b ；
(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2
－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32＝32－32＝0，∴a ⊥b .
(2)假设存在非零实数k ，t 使x⊥y ， 则[a ＋(t 2
－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，
整理得－k a 2
＋[t －k (t 2
－3)]a ·b ＋t (t 2
－3)b 2
＝0.
又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2
＝1.
∴－4k ＋t (t 2
－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)，
故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立， 其关系为k ＝14
(t 3
－3t )(t ≠0)．
19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)． (1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角； (2)若AC ⊥BC ，求tan α的值．
解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)， |OA ＋OC |＝7，
∴(2＋cos α)2＋sin 2
α＝7，∴cos α＝12.
又α∈(0，π)，∴α＝π
3
，
即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π
6.
(2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)， 由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝1
2.①
∴(cos α＋sin α)2
＝14，∴2sin αcos α＝－34
，
∵α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π. 又(cos α－sin α)2
＝1－2sin α cos α＝74，
cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－
7
2
.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋7
4，
从而tan α＝－4＋7
3
.
20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点
A (8,0)，
B (n ，t )，
C (k sin θ，t )，θ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
.
(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；
(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，
所以5×64＝(n －8)2
＋t 2
＝5t 2
，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16.
又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin θ－4k 2＋32k
，
当k >4时，1>4
k
>0，
所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32
k
；
由
32
k
＝4，得k ＝8，此时θ＝
π
6
，故OC ＝(4,8)， 所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。