第五章： 线弹性断裂力学1

5.3 Westergaard应力函数 Westergaard(1939)定义了一个复应函数 Z (z ) ，设 为解析函数。记 Z ' , Z " ，…，为其导 ~ ~ ~ 数，Z , Z ，…，表示它的积分。根据解析函数的 性质，其导数和积分仍为解析函数。应力函数与 应力分量之间的关系应满足(3.15)式。这样，应力 函数就满足了双调和方程的条件。
在极坐标系中的应力分量与位移分量为：
rr r
K II sin 1 3 sin2 2 2r 2 K II 3 sin cos 2 o(r 1 / 2 ) 2 2r 2 K II K II 2 u cos 1 3 sin r 4 2 2r 2
xx yy 2 Re[Z I ( z)]
' ( z) Z I ( z) / 2
' ( z) z Z I ' ( z) A
1 2
yy xx 4 Re[ ( z)]

5.5 II型裂纹
~ U ( x, y) y Re Z II
xx 2 Im Z II y Re Z 'II yy y Re Z 'II xy Re Z II y Im Z 'II B
§5.11能量释放率及其与应力强度因子间的关系

基本概念 常位移情形 常载荷情形 一般的情况下 贝克纳尔公式 G与K之间的关系 裂纹应变能 小结
§5.12 裂纹应力场的作用范围

5.2 柯洛索夫—Muskhelishvili应力函数 5.2.1 裂纹的三种基本类型


K II r 3 u (2 3) sin 2 sin 2 4 2 o( r 1 / 2 ) K II r 3 v (2 3) cos 2 cos 2 4 2


K II a II型裂纹的应力强度因子。
~ 2u Im Z II y Re Z II By 2 1 ~ 2v Re Z II y Im Z II Bx 2
1
B

Z II 称为II型裂纹的Westergaard函数。
（边界条件： ( z) x z / 4 z a ( z) x z / 2 ） 裂纹端点附近的应力场及位移场为：
uv0
KI
K I y a
称为I型裂纹的应力强度因子
图5.5 裂纹前缘坐 标( r , )

坐标变换，得到在极坐标中的应力分量奇异项为
rr cos 1 sin 2 2r 2 KI 1 / 2 cos3 o( r ) 2r 2 KI r sin cos 2 2 2r 2 KI
第五章 线弹性断裂力学
断裂力学的核心内容从这一章我们 正式开始讲授，其学习的基础就是我们 前面讲授的弹性力学的有关知识。
§5.1 引言 §5.2 柯洛索夫—Muskhelishvili应力函数 §5.3 Westergaard应力函数 §5.4 Ⅰ型裂纹 §5.5 Ⅱ型裂纹 §5.6 Ⅲ型裂纹 §5.7 叠加原理的应用 §5.8应力强度因子与断裂韧度 应力强度因子的基本概念 断裂韧性 应力强度因子的计算 §5.9无限大板中裂纹体受集中力及集中力偶作用时的应力强 度因子
yy 4 Re[ ' ( z)] y
[ yy xx 2i xy ] 2[ z ( z) ( z)] y
就裂纹面而言
yy 0

就上述推导，证明了内外边界条件都是满 足的。

5.2.1.2 II型裂纹
平板边界条件
xx yy 0
பைடு நூலகம்x
U 2 V y
2
yy
U 2 V x
2
2U xy xy

5.4 I型裂纹 对I型裂纹，Westergaard提出的应力函数为 ~ ~ ~ U ( x, y) Re Z I ( z ) y Im Z I ( z )
~ 2U ~ ~ xx 2 (Re Z I y Im Z I ) y y y ~ ~ Im Z I Im Z I y Re Z I Re Z I y Im Z I ' y
i ' ( z) Z II ( z) 2

' ( z) zZII ' ( z) iZII ( z) iB
i 2
5.6 Ⅲ型裂纹
图5.9 III型裂纹

本问题不是平面问题，故不能直接应用弹性力学 中平面问题的解法。但在此问题中各物理量都与z 无关，只依赖于坐标x, y，所以仍然是二维问题。 通常称之为反平面或法平面剪切问题。反平面剪 切问题的特点是:
2 2

Z II ( z )
z



xx yy xy
3 sin 2 cos cos 2 2 2 2r K II 3 1 / 2 cos sin cos o( r ) 2 2 2 2r K II 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r K II

图5.1 裂纹的三种基本类型(图中箭头表示相对运动方向)
I 型裂纹代表在垂直于裂纹面的拉应力作用下，裂纹表 面位移垂直于裂纹面的情况，所以又称之为张开型。II 型 及 III 型裂纹代表在剪应力作用下，裂纹表面互相滑移的 情形，称之为剪切型裂纹。其中II型裂纹称为面内剪切型 裂纹；III型裂纹称之为面外剪切型或反平面裂纹。
y
y

xx
yy z 4 Re[ ' ( z)] z y
[ yy xx 2i xy ]z 2[ z ( z) ( z)] z y
xx 0
yy y
就整个大平板而言

xx
Z1 ( z ) z a
2 2
Z I ( z ) 称为I型裂纹的Westergaard函数。图5.2

2

把上式代入到应力的复变函数表达式中可得：
A ReZ1 ( z ) y ImZ1 ' ( z ) yy z
y
2
Z1 ( z )
y z

2

裂纹端部（r << a）的位移场为：
KI u 4 KI v 4 r 2 r 2
3 (2 1) cos 2 cos 2 o( r 1 / 2 ) 3 (2 1) sin 2 sin 2
u
K II 4
r 2 r 2
3 (2 1) sin 2 3 sin 2 o( r 1 / 2 ) 3 (2 1) cos 2 3 cos 2

II型裂纹的Westergaard函数与柯洛索夫公式应 力函数之间的关系。




xx yy xy
3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r KI 3 cos 1 sin sin o(r 1 / 2 ) 2 2 2 2r KI 3 cos sin cos 2 2 2 2r
z a
2
2
A

把Westgaard函数代入到位移的复变函数表达式中 可得： ~ Z I y z 2 a 2 Az
y z k 1 2 2 2 u Re y z a Az y Im 2 z a 2 A Ax 2 y z k 1 2 2 2 v A Ay Im y z a Az y Re 2 z a2 2
xy
xy 0
此引入之解析函 数，满足上述边 界条件。
裂纹表面 边界条件
yy 0
图5.4 II型裂纹
z ' ( z ) i 2 i 2 2 2 z a z z 2 ' ( z ) i 2 2 ia 3/ 2 2 2 z a 2 z a
K ur I 4 K u I 4
r 2 r 2
3 (2 1) cos 2 cos 2 o( r 1 / 2 ) 3 (2 1) sin 2 sin 2
证明I型Griffith裂纹变形后近似为一椭圆。（习题） I 型裂纹的Westergaard函数与柯洛索夫公式应力函 数之间的关系

（3.15）


~ ~ ~ U ( x, y) Re Z I ( z ) y Im Z I ( z ) U '1

U '1 Ax 2 / 2
（3.15）
xx ReZ1 ( z ) y ImZ1 ' ( z ) A yy ReZ1 ( z ) y ImZ1 ' ( z ) A xy y ReZ1 ' ( z )
§5.10 其它一些情况下求应力强度因子




无限大板中集中力作用于裂纹上表面 无限大板中相等的集中力作用于裂纹上下表面的对应点上 无限大板中裂纹面上作用对称于x、y轴的集中力 无限大板中裂纹面上作用对称于x、y分布载荷 无限大板中裂纹面上受对称于x轴的任意分布载荷的作用 有限宽板中心裂纹受无限远分布载荷的作用 有限宽板中边缘裂纹受无限远分布载荷的作用 有限宽板中心裂纹受有限远对称于x轴点载荷的作用 应用叠加原理求K的例子－单边受无限远分布力和裂纹面单 边受点力的作用 无限大弹性体中有一圆盘形裂纹, 无限远处在垂直于裂纹 面的方向上作用均匀拉应力
k 1 ~ 2u Re Z1 y Im Z1 Ax 2 k 1 ~ 2v Im Z1 y Re Z1 Ay 2
应力的复变函 数表达式
位移的复变函 数表达式
所示的问题，其Westergaard函数为 y z y
5.2.2 柯洛索夫—Muskhelishvili函数
5.2.1.1 I型裂纹
图5.2 单向拉伸 的中心穿透裂纹
此两式为引入之解析函数， ' ( z) 2 2 2 z a 4 需验证是否满足边界条件。 a 2 y y 代入柯洛索夫公式 z ' ( z) 2 2 z a 2 3 / 2 2 z