逻辑函数化简
第1章 逻辑函数的化简
= AB + AB
= A( B + B )
20102010-9-14
=A
第一章 (3)
2
2. 吸收法
利用公式
A + AB = A
A + ABC = A
，吸收掉多余的项，例如： 吸收掉多余的项，例如：
AB + ABC (D + E ) = AB
3. 消去法
1.4 逻辑函数的化简
◆ 问题的提出：同一逻辑函数的两个不同表达式 问题的提出：
F1 = A B + B + AB F2 = A + B
可见，逻辑函数的表达式需要化简。所谓化简，一般 可见，逻辑函数的表达式需要化简。所谓化简， 就是指化为最简的与或表达式。 就是指化为最简的与或表达式。 ◆ 判断与或表达式是否最简的条件是： 判断与或表达式是否最简的条件是： （1）逻辑乘积项最少； 逻辑乘积项最少； 每个乘积项中变量最少。 （2）每个乘积项中变量最少。 化简逻辑函数的方法，最常用的有： 化简逻辑函数的方法，最常用的有：
第一章 (3) 7
20102010-9-14
表1.7 三变量所有最小项的真值表
全 部 最 小 项 变 量 A B C
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
ABC 0 0 0 0 0 0 0 1
A B C A BC ABC
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
逻辑函数的化简
1、逻辑函数的最小项及其性质 （1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的 全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且 仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常 称为最小项。 3个变量A、B、C可组成8个最小项：
A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
Y ( A B)(C D E )
Y A B C D E
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“·” 换成“＋”，“＋”换成“·” ，“0” 换成“1” ，“1” 换成“ 0” ，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式 Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
ABC ABC AB C ABC
m6 m7 m1 m3
m6 m7 m1 m3
或 m 1 , 3 , 6 , 7
作业：
将
L( A, B, C ) AB AC +BC化成最小项表达式
L( A, B, C ) AB(C C ) A( B B)C
A B
0-1率A· 1=1
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
（3）最小项的性质：
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
逻辑函数的公式化简法
逻辑函数的公式化简法
公式化简法的原理就是反复使用规律代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因式，以求得函数式的最简形式。
公式化简法没有固定的步骤。
现将常常使用的方法归纳如下：
一、并项法
二、汲取法
利用公式A+AB=A，汲取掉（即除去）多余的项。
A和B同样也可以是任何一个简单的规律式。
【例】试用汲取法化简下列规律函数：
三、消项法利用公式AB+ C+BC=AB+ C及AB+ C+BCD=AB+ C，将BC或BCD消去。
其中A、B、C、D都可以是任何简单的规律式。
【例】用消项法化简下列规律函数：
四、消因子法利用公式A+B=A+B，可消去多余的因子。
A、B均可以是任何简单的规律式。
【例】试用消因子法化简下列规律函数
五、配项法1、依据基本公式A+A=A可以在规律函数式中重复写入某一项，有时能获得更加简洁的化简结果。
2、依据基本公式A+=1，可以在函数式中乘以（A+ ），然后拆成两项分别与其他项合并，有时能得到更加简洁的化简结果。
在化简简单的规律函数时，往往需要敏捷、交替地运用上述方法，才能得到最终的化简结果。
【例】化简规律函数。
逻辑函数的化简
卡诺图化简法：
优：简单、直观、有一定的步骤、不易出错 缺: ５变量以上无法用
作 业
• p.121 • p.121 3.2.2 (a)(b)(e)(g) 3.3.4
异或逻辑
同或逻辑
定义：只有当两个输入变量A、 定义：只有当两个输入变量A、 B取值相异时，输出为1 B取值相同时，输出为1 逻辑式—— L A B 逻辑符号
国 标
逻辑式—— 逻辑符号
国 标
L=A ⊙B
A B
=1
参与运算 为两变量
L
A B
A B
=1 L
A 国 B
外
L
国 外
L
注意
当多个变量作异或运算时： 若变量中有奇数个1，则运算结果为1； 若变量中有偶数个1，则运算结果为0。
当多个变量作同或运算时： 若变量中有偶数个0，则运算结果为1； 若变量中有奇数个0，则运算结果为0。
方法： （1）找出真值表中使逻辑函数Z=1的那些输入变量 取值的组合； （2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中 取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量；
（3）将这些乘积项相加，即得Z的逻辑函数式。
练习
A
0 0 0 0
B
0 0 1 1
C
0 1 0 1
Z
1 0 1 0
1 1
1 1
0 0
1 1
3.1.3
函数
逻辑函数的简化
一、化简的必要性
Y A B C A B C A BC A B C A B C
化简后
Y B AC
降低成本
必要性 逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少 提高电路的工作 速度和可靠性 逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作
逻辑函数化简公式大全
逻辑函数化简公式大全逻辑函数化简是在布尔代数中常用的一种方法，它通过应用逻辑运算规则和布尔代数定律，将复杂的逻辑函数简化为更简洁的形式。
这种简化可以减少逻辑电路的复杂性，提高计算机系统的效率。
以下是一些常见的逻辑函数化简公式大全：1. 与运算的化简：- 与运算的恒等律：A∧1 = A，A∧0 = 0- 与运算的零律：A∧A' = 0，A∧A = A- 与运算的吸收律：A∧(A∨B) = A，A∧(A∧B) = A∧B- 与运算的分配律：A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)- 与运算的交换律：A∧B = B∧A2. 或运算的化简：- 或运算的恒等律：A∨1 = 1，A∨0 = A- 或运算的零律：A∨A' = 1，A∨A = A- 或运算的吸收律：A∨(A∧B) = A，A∨(A∨B) = A∨B- 或运算的分配律：A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)- 或运算的交换律：A∨B = B∨A3. 非运算的化简：- 非运算的双重否定律：(A) = A- 非运算的德摩根定律：(A∧B) = A∨B，(A∨B) = A∧B4. 异或运算的化简：- 异或运算的恒等律：A⊕0 = A，A⊕1 = A- 异或运算的自反律：A⊕A = 0- 异或运算的结合律：A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C- 异或运算的交换律：A⊕B = B⊕A5. 条件运算的化简：- 条件运算的恒等律：A→1 = 1，A→0 = A- 条件运算的零律：A→A' = 0，A→A = 1- 条件运算的反转律：A→B = A∨B- 条件运算的分配律：A→(B∧C) = (A→B)∧(A→C)这些公式是逻辑函数化简中常用的基本规则，通过灵活应用它们，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
使用这些规则，我们可以提高逻辑电路的效率和简洁性，并降低硬件成本。
逻辑函数的化简方法
( A BC ) ( A BC ) ( A B C D)
A BC
三、消去法：
A AB A B
[例 1. 2. 9] Y AB AC BD
A B AC BD A B C D
3. 变量卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻 (1) 几何相邻：
相接 — 紧挨着 相对 — 行或列的两头 相重 — 对折起来位置重合
两个最小项只有一个变量不同
(2) 逻辑相邻：
化简方法： 逻辑相邻的两个最小项可以合并成一 项，并消去一个因子。
2、逻辑函数的图形化简法
1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法
（与或式 一、并项法:
公式 定理
最简与或式）
AB AB A
[例 1. 2. 7] Y ABC ABC AB
AB AB B
[ 例]
Y ABC ABC ABC ABC
A ( BC B C ) A ( BC BC )
1. 2 逻辑函数的化简方法
1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式 一、标准与或表达式 [例 1. 2. 1] Y F ( A ,B ,C ) AB AC
最简式
AB(C C ) AC ( B B)
ABC ABC ABC ABC
最小项
标准与 或式
标准与或式就是最小项之和的形式
ABC ABC A B C AB C D A B C D 与前面m0 ABCD ABC D ABC D ABC D m7 m6 m5 m4 相重 A B C D A B C D AB C D A B C D m1 m0 m8 m0
逻辑函数的化简
不利用随意项 的化简结果为：
Y AD AC D
利用随意项的化 简结果为：
Y D
3、变量互相排斥的逻辑函数的化简 在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量 的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。 变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
ＢＣ的公因子
3、卡诺图的性质 （1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C 0 1 00 1 0 01 0 1 11 0 1 10 1 0
A B C AB C BC
A BC ABC
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 0 0 1 11 0 0 0 0
A BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B B
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 1 1 1 11 0 1 1 0 10 0 1 0 0
CD
AB
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0
ＡＤ
ＢＤ
AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1
ＢＤ
ＢＤ
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小 项，可以合并为一项，并消去3个变量。
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1 1 0
逻辑函数化简公式
逻辑函数化简公式逻辑函数化简是一种将复杂的逻辑表达式简化为更简洁形式的方法。
通过化简，我们可以减少逻辑电路的复杂性，提高电路的性能和效率。
公式化简的过程涉及到逻辑运算的规则和性质。
下面是一些常见的逻辑函数化简公式：1. 同一律：A + 0 = A，A * 1 = A。
这表示在逻辑表达式中，与0相或的结果是原始信号本身，与1相与的结果是原始信号本身。
2. 吸收律：A + A * B = A，A * (A + B) = A。
这表示当一个信号与另一个信号的与运算结果相或，或者一个信号的与运算结果与另一个信号相与时，结果都是原始信号本身。
3. 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C，A + (B * C) = (A + B) * (A + C)。
这表示在逻辑表达式中，可以将与运算分配到相或的运算中，或者将相或的运算分配到与运算中。
4. 德摩根定律：(A + B)' = A' * B'，(A * B)' = A' + B'。
这表示在逻辑表达式中，如果一个信号取反后与另一个信号相与，或者一个信号取反后与另一个信号相或，相当于原始信号分别与另一个信号取反后的结果相或相与。
通过运用这些公式，我们可以逐步将复杂的逻辑表达式进行化简，从而得到更简洁的形式。
这有助于我们设计更简单、更高效的逻辑电路，并且减少电路的成本和功耗。
然而，化简过程也需要谨慎进行，需要根据具体情况来选择最优的化简策略。
有时候，过度地化简可能会导致逻辑电路的复杂性增加，或者引入一些错误。
因此，在进行逻辑函数化简时，我们需要充分理解逻辑运算的规则和性质，并结合具体的应用场景来进行合理化简。
(完整版)逻辑函数的卡诺图化简法
第十章 数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ）Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B AC B A C AB ABC ）结论： n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ))((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++=D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++=D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑ 列真值表写最小项表达式。
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
逻辑函数化简方法主要内容
四、配项消项法： AB AC BC AB AC
[例] Y BC AC AC BC AB
BC AC AB
冗余项
或 BC AC AC BC AB
AB AC BC [例 1. 2. 15] Y AB AC BC AB AC BC
AB AC BC 或 AB AC BC AB AC BC
AB AC BC
综合练习：
Y ACE ABE BC D BEC DEC AE E ( AC AB BC DC A ) BC D E ( C B D A ) BC D
CE BE DE AE BC D E (B C D) AE BC D
E BC D AE BC D E AE BC D E BC D
[例] 写出下列函数的标准与或式：
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
[解] Y AB(C C ) AC( B B)
ABC ABC AB C ABC
m6
m7
m1
m3
m6 m7 m1 m3
或 m 1 , 3 , 6 , 7
[例] 写出下列函数的标准与或式：
Y AB AD BC ( A B) ( A D) (B C )
二、吸收法： A AB A
[例 1. 2. 10] Y AB AD BE A B AD BE A B
[例 1. 2. 11] Y AB ACD BCD AB ( A B) CD AB AB CD AB A B
[例] Y A A BC ( A B C D) BC ( A BC) ( A BC) ( A B C D)
以此轴为对称轴（对折后位置重合）
3. 卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻 相接 — 紧挨着
(1) 几何相邻： 相对 — 行或列的两头 相重 — 对折起来位置重合
电工电子技术-逻辑函数的化简
（2）吸收法
运用公式 A AB A 消去多余的项，其中，A、B可以是
任意一个复杂的逻辑式。例如：
Y1 AB AC DEB AB
Y2 AB ABC ABD AB D E AB AB C D D E AB
（3）消去法
运用公式 A AB A B 消去多余的因子。例如：
例如：逻辑函数Y的卡诺图。 Y ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD ABCD
（3）用卡诺图化简逻辑函数式 使用卡诺图化简逻辑函数所依据的原理是：具有相邻性 的最小项可以合并消去不同的因子。 ①2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去1个取值不同的变量而合并为1项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
②4个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去2个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
③8个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去3个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
②化简具有无关项的逻辑函数 在卡诺图中用×表示无关项。使用卡诺图化简逻辑函数 式时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩 大卡诺圈，使逻辑函数式更简。
（2）卡诺图
卡诺图就是将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，
并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起 来所得的图形。下图所示为2到4变量最小项的卡诺图。
若要画出某一逻辑函数的卡诺图，只需将该逻辑函数式 化为最小项之和的标准形式后，在卡诺图中这些最小项对应 的位置上填入1，在其余的位置上填入0即可。
1．公式化简法
逻辑函数的公式化简法(经典实用)
逻辑函数的公式化简法（经典实用）逻辑函数公式化简法是一种在数字逻辑设计中常用的方法，用于简化逻辑函数表达式，以便更有效地进行逻辑电路设计。
以下是一些经典实用的逻辑函数公式化简法：
1.摩根定律
摩根定律可以将两个逻辑函数表达式进行等价转换。
它有两个版本：
① 0-1律：¬(A+B) = ¬A * ¬B
② A律：¬(A*B) = ¬A + ¬B
使用摩根定律可以将复杂的逻辑函数表达式转换为更简单的形式。
2.吸收律
吸收律可以用来简化逻辑函数表达式中的冗余项。
它有两个版本：
① A+AB=A
② A+A'B=A+B
使用吸收律可以消除逻辑函数表达式中的冗余项，使表达式更简洁。
3.分配律
分配律可以将逻辑函数表达式中的括号展开，使表达式更易于分析。
它有两个版本：
① A*(B+C)=AB+AC
② A+(B C)=(A+B)(A+C)
使用分配律可以简化逻辑函数表达式中的括号，使表达式更简洁。
4.反演律
反演律可以用来求得一个逻辑函数的反函数。
它在数字逻辑设计中非常有用，因为它允许我们在一个逻辑函数和它的反函数之间进行转换。
反演律的公式为：A' * (A * B) = B。
通过使用以上经典实用的逻辑函数公式化简法，我们可以将复杂的逻辑函数表达式转换为更简单的形式，从而更有效地进行逻辑电路设计。
逻辑函数的化简方法
逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简是数理逻辑中的一个重要概念，它指的是将复杂的逻辑函数表示形式简化为更为简洁的形式。
逻辑函数化简的目的是为了方便逻辑分析、简化逻辑电路的设计和优化等。
在进行逻辑函数的化简时，可以使用多种方法，包括真值表、卡诺图、代数法等。
下面我将介绍一些常用的逻辑函数化简方法。
1. 真值表法：真值表法是一种直观的方法，适用于简单的逻辑函数。
它通过列出逻辑函数的所有可能输入和对应的输出，通过观察输入和输出之间的关系，找出逻辑函数的简化形式。
2. 卡诺图法：卡诺图法是一种图形化的方法，适用于中等规模的逻辑函数。
它将逻辑函数的输入和输出用二进制位表示，并用一个方格来表示逻辑函数的真值。
通过观察方格的分布情况，将含有相同输出的方格组合起来，得到逻辑函数的简化形式。
3. 代数法：代数法是一种基于代数运算的方法，适用于任意规模的逻辑函数。
它利用逻辑函数的布尔代数性质，通过运用逻辑运算规则和化简规则，将逻辑函数逐步化简为最简形式。
逻辑函数的化简过程一般包括以下几个步骤：1. 将逻辑函数的输入和输出用适当的变量表示。
例如，对于一个三输入的逻辑函数，可以用A、B、C来表示输入变量，用F表示输出变量。
2. 根据逻辑函数的真值表或卡诺图，观察输入变量与输出变量之间的关系，找出可能的化简形式。
这一步可以根据特定的方法进行，如真值表中可以用观察方式寻找具有相同输出的输入组合，卡诺图中可以利用方格分布情况找到可以合并的项等。
3. 利用逻辑运算规则和化简规则，将逻辑函数逐步化简。
逻辑运算规则包括与、或、非、异或、与非、或非等运算规则，化简规则包括吸收律、分配律、德摩根定理等。
4. 不断重复第3步，直到无法再进行化简为止。
最终得到逻辑函数的最简形式。
需要注意的是，逻辑函数的化简目标是找到最简形式，而不一定是最简单形式。
最简形式是指逻辑函数无法再进行化简，而最简单形式是指逻辑函数中只包含最少的逻辑门。
总的来说，逻辑函数的化简方法包括真值表法、卡诺图法和代数法等。
逻辑函数的化简
1.3.4 逻辑函数的化简•对逻辑函数进行化简，可以求得最简逻辑表达式，也可以使实现逻辑函数的逻辑电路得以简化，这样既有利于节省元器件，也有利于提高可靠性。
•逻辑函数有如下三种化简方法：•公式化简法：利用逻辑代数的基本公式和规则来化简逻辑函数。
•图解化简法：又称卡诺图（Karnaugh Map）化简法。
•表格法：又称Q－M（Quine-McCluskey）化简法。
1.逻辑函数的公式化简法同一个逻辑函数，可以用不同类型的表达式表示，主要有以下五类：“与或”表达式、“或与”表达式、“与非”-“与非”表达式、“或非”-“或非”表达式、“与或非”表达式。
例如函数：=+Z AC AB“与或”表达式A B A C“或与”表达=++()()式AC AB“与非”-“与非”表达=⋅式=+++A B A C“或非”-“或非”表达式“与或非”表达式判断最简“与或”表达式的条件如下：(1)乘积项（即与项）个数最少的“与或”表达式；(2)当乘积项个数相等，则每个乘积项中因子（即变量）的个数最少的“与或”表达式。
例1-5 以下4个“与或”表达式是相等的，即它们表示同一个函数：(1)(2)(3)(4)=+++=++=++=++Z AC BC AB ACAC ABC ACAC BC ACAC AB AC 试判断哪一个是最简“与或”表达式。
(1)(2)(3)(4)=+++=++=++=++Z AC BC AB ACAC ABC ACAC BC ACAC AB AC 解：根据判断条件（1），式（1）含有4个与项，而式（2）～（4）都含有3个与项，因此，式（2）～（4）有可能最简；进一步比较与项中个数，式（3）和式（4）中，各与项都含2个变量，而式（2）中有一个与项含3个变量。
结论：式（3）和式（4）同为该函数的最简“与或”表达式。
公式法化简：借助定律和定理化简逻辑函数，常用以下几种方法。
(1)并项法利用互补率1A A +=()+=+=A BC A BC A B C C A B()()+++=⋅⊕+⋅⊕=A BC BC A BC BC A B C A B C A+=B ABD B，将两项合并为一项，合并时消去一个变量，如：(2)吸收法利用定理1（A + AB = A ），吸收掉（即除去）多余的项，如：(3)消去法利用定理2（+=+A AB A B ()++=++=+=+AB A C BC AB A B C AB ABC AB C(4)配项法根据互补律，利用()=+B A A B +A A ()()+++=+++++AB BC BC AB AB BC A A BC AB C C =+++++AB BC ABC A BC ABC ABC()()()=+++++AB ABC BC ABC A BC ABC =++AB BC A C），消去多余的因子，如：，先添上（）作配项用，以便最后消去更多的项。
逻辑函数的化简
逻辑相邻
根据逻辑相邻的定义,不难由图8-10看出, 几何相邻的两个方格的最小项满足逻辑相邻性. 而不直接相邻的方格,但以卡诺图中心轴对称 的方格对应的最小项也满足逻辑相邻,如图810c中m0与m2,m0与m8,m3与m11等,称这种相 邻叫对称相邻.所以卡诺图可看作是立体图. 这是卡诺图巧妙之所在 .
由图8-12中可以看出卡诺图覆盖过的变量以0 和1两种取值出现,则该变量被消去;只以0出 现,则该变量用反变量表示;只以1出现,则 以原变量出现.卡诺圈越大消去的变量越多, 能够合并相邻项的一个正确的卡诺圈必须符合 以下要求.
(1) 卡诺圈里的1方格数必须是2m个.m=0,1, 2,…. (2) 2m个1方格必须排列成方阵或矩阵. (3) 2m个1方格必须是方格相邻或对称相邻的.
二,公式化简
1.并项法 利用 A + A =1将两项合并成一 项并消去一个变量. 2.吸收法 3.消去法 F= = 利用A+AB=A,消去多余项. 利用A+AB=A+B,消去多余项.
AB + A B + A BD + ABD
AB + AB + D AB + A B
= AB + A B + D
4. 配项法
二,三,四个变量的函数的卡诺图
a.二变量函数的卡诺图 b.三变量函数的卡诺图. c.四变量函数的卡诺图
构造卡诺图时应遵循以下规则
① n变量函数有2n个最小项,则卡诺图有2n方 格,即方格与最小项一一对应. ② 2n个方格必须排列成方阵或矩阵. ③ 变量分成两组,行变量和列变量组,行变 量为高位组,列变量为低位组.如图8-10中C 中,为行变量,为列变量. ④ 变量取值遵守反射码的形成规则.
逻辑函数化简
0 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
（1-7）
0 1 1
AD
11 10
0 1
2. 先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项 先找面积尽量大的组合进行化简， 的因子数。 的因子数。 3. 各最小项可以重复使用。 各最小项可以重复使用。 4. 注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。 注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。 5. 所有的1都被圈过后，化简结束。 所有的 都被圈过后，化简结束。 都被圈过后 6. 化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。 化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。
0 φ
0 1
0 1
A
认为是1 认为是 F=A
（1-12）
结束
（1-13）
C 0 1 0 1 0 0 1
F 0 0 0 0 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。 状态未给出，即是无所谓状态。 状态未给出
（1-11）
化简时可以将无所谓状态当作1或 ， 化简时可以将无所谓状态当作 或 0，目的 是得到最简结果。 是得到最简结果。 BC 00 A 0 1
01
11
10
0 1
（1-2）
例1： F ：
= AB + AB ⋅ BC + BC
（ = AB + AB + (BC + BC) ）
反演
= AB + A B ( C + C ) + BC ( A + A ) + B C
配项
= AB + A BC + ABC
被吸收
被吸收
4逻辑函数的化简方法
m9 m11 m10
卡诺图的特点：具有循环邻接的特性。
（14）
5变量卡诺图
CDE AB
000 001 011 010 110 111 101 100 m0 m8 m1 m3 m2 m m66 m7 m55 m m44 m
00 01
m9 m11 m10 m m13 m12 m14 13 m 12 14 m15 m
10
1
1
B
A
有重复“1”者，只填一个“1”。
C
（28）
例1: F1 (A, B, C, D) AB BD ABD ABCD AB CD 填公因子 A B 00
包含的项
刷项：
D
01
11 10
00
01
公因子: BD 11
1 1
1 1
B
A
10
有重复“1”者，只填一 F1 (A, B, C, D) AB BD ABD ABCD AB CD 填公因子 A B 00
11
10
0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
（20）
化简原则
• 如果两个最小项相邻，可以合并为一项 并消去一对因子； • 如果四个最小项相邻，可以合并为一项 并消去两对因子； • 如果八个最小项相邻，可以合并为一项 并消去三对因子； • 如果2n 个最小项相邻，可以合并为一项 并消去n对因子。
（18）
L m(15,13,10,6,0)
所以，L的卡诺图为：
CD 00 AB 00 01 01 11 10
0
1 1 1
1
1 0 1
1
1 0 1
1
0 1 0
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一、章节名称：
3.2逻辑函数的卡诺图化简法
二、教学目的与要求：
1. 掌握卡诺图基本概念及基本知识
2. 掌握逻辑函数卡诺化简法
3. 掌握具有约束条件的逻辑函数化简法
三、教学重点与难点：
重点：卡诺图化简法。
难点：合并最小项规律，具有约束条件的逻辑函数化简法。
四、教学手段：
板书与多媒体课件演示结合
五、教学方法：
课堂讲授、提问和讨论
六、教学过程：
（一）复习与导入：
1、逻辑代数的三个规则。
2、逻辑代数的化简。
（二）新课讲授：
3.2逻辑函数的卡诺图化简法
一、逻辑函数的最小项及其性质
1、最小项的定义
对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而在P中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称P是N个变量的一个最小项。
2个最因为每个变量都有以原变量和反变量两种可能的形式出现，所以N个变量有N
小项。
2、最小项的性质
P24表-16列出了三个变量的全部最小项真值表。
由表可以看出最小项具有下列性质：性质1：每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为“1”，而其他变量取值都使它的值为“0”。
性质2：任意两个不同的最小项的乘积恒为“0”。
性质3：全部最小项之和恒为“1”。
由函数的真值可以很容易地写出函数的标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标准与或式。
例：
C
B A B
C A C AB ABC B B AC A A BC C C AB AC BC AB Y +++=+++++=++=)
()()(
例： C
AB ABC C B A C B A C C AB C B A C B A AB C B A B A AB C B A AB AB
C B A AB AB C B A AB Y +++=+++=+++=+∙∙=+++=++=)())(()(
3、 最小项编号及表达式
为便于表示，要对最小项进行编号。
编号的方法是：把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。
在标准与或式中，常用最小项的编号来表示最小项。
如：
ABC C AB C B A BC A Y +++=常写成7653),,(m m m m C B A F Y +++==或∑=m Y )7,6,5,3(
二、逻辑函数的卡诺图表达法
1、 逻辑变量卡诺图
卡诺图也叫最小项方格图，它将最小项按一定的规则排列成方格阵列。
根据变量的数目N ，则应有n
2个小方格，每个小方格代表一个最小项。
卡诺图中将N 个变量分成行变量和列变量两组，行变量和列变量的取值，决定了小方格的编号，也即最小项的编号。
行、列变量的取值顺序一定要按格雷码排列。
P26列出了二变量、三变量和四变量的卡诺图。
卡诺图的特点是形象地表达了各个最小项之间在逻辑上的相邻性。
图中任何几何位置相邻的最小项，在逻辑上也是相邻的。
所谓逻辑相邻，是指两个最小项只有一个是互补的，而其余的变量都相同，
所谓几何相邻，不仅包括卡诺图中相接小方格的相邻，方格间还具有对称相邻性。
对称相邻性是指以方格阵列的水平或垂直中心线为对称轴，彼此对称的小方格间也是相邻的。
卡诺图的主要缺点是随着变量数目的增加，图形迅速复杂化，当逻辑变量在五个以上时，很少使用卡诺图。
2、 逻辑函数卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数就是将函数真值表或表达式等的值填入卡诺图中。
可根据真值表或标准与或式画卡诺图，也可根据一般逻辑式画卡诺图。
若已知的是一般的逻辑函数表达式，则首先将函数表达式变换成与或表达式，然后利用直接观察法填卡诺图。
观察法的原理是：在逻辑函数与或表达式中，凡是乘积项，只要有一个变量因子为0时，该乘积项为0；只有乘积项所有因子都为1时，该乘积项为1。
如果乘积项没有包含全部变量，无论所缺变量为1或者为0，只要乘积项现有变量满足乘积项为1的条件，该乘积项即为1。
例1： 可写成
例2：
三、逻辑函数的卡诺图化简法
① 合并最小项的规律
根据公式AB+AB=A 或知，两逻辑上相邻的最小项之和或以合并成一项，并消去一个变量；四个相邻最小项可合并为一项，并消去两个变量。
卡诺图上能够合并的相邻最小项必须是2的整次幂。
② 用卡诺图化简逻辑函数
用卡诺图化简逻辑函数一般可分为三步进行：首先是画出函数的卡诺图；然后是圈1合并最小项；最后根据方格圈写出最简与或式。
在圈1合并最小项时应注意以下几个问题：圈数尽可能少；圈尽可能大；卡诺图中所有“1”都要被圈，且每个“1”可以多次被圈；每个圈中至少要有一个“1”只圈1次。
一般来说，合并最小项圈1的顺序是先圈没有相邻项的1格，再圈两格组、四格组、八格组……。
两点说明：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。
例：
∑=)
15,14,11,7,6,4,3,1(),,,(m D C B A Y
②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。
即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
例：
四、具有约束条件的逻辑函数化简
（1）约束、约束条件、约束项
在实际的逻辑问题中，决定某一逻辑函数的各个变量之间，往往具有一定的制约关系。
这种制约关系称为约束。
例如，设在十字路口的交通信号灯，绿灯亮表示可通行，黄灯亮表示车辆停，红灯亮表示不通行。
如果用逻辑变量A、B、C分别代表绿、黄、红灯，并设灯亮为1，灯灭为0；用Y代表是否停车，设停车为1 ，通行为0 。
则Y的状态是由A、B、C产状态决定的，即Y是A、B、C是函数。
在这一函数关系中，三个变量之间存在着严格的制约关系。
因为通常不允许两种以上的灯同时亮。
如果用逻辑表达式表示上述约束关系，有：
AB=0 BC=0 AC=0 或 AB+BC+AC=0
通常把反映约束关系的这个值恒等于0的条件等式称为约束条件。
将等式展开成最小项表达式，则有
=
+
+
+C
B
A
BC
A
C
AB
ABC
由最小项性质可知，只有对应的变量取值组合出现时，其值才为1。
约束条件中包含的最小项的值恒为0，不能为1，所以对应的变量取值组合不会出现。
这种不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。
约束项所对应的函数值，一般用Х表示。
它表示约束项对应的变量取值组合不会出现，而函数值可以认为是任意的。
约束项可写为：∑=
m 0
)7,6,5,3(
（2）具有约束的逻辑函数的化简
约束项所对应的函数值，既或看作0，也可看作1。
当把某约束项看作0时，表示逻辑函数中就不包括该约束项，如果是看作1，则说明函数式中包含了该约束项，但因其所对应的变量取值组合不会出现，也就是说加上该项等于加0，函数值不会受影响。
例：
（三）课后小结：基本运算规则、基本代数规律
吸收规则、反演规则、对偶规则
逻辑代数化简
（四）作业布置：P120 3.1.3。