数学建模在计算机专业的应用

应用一图论算法

图论在计算机处理问题中占有重要地位，现实中的很多问题最终都可以转化成图论问题，或者要借助图结构来存储和处理。但是怎么把一张图存入计算机就要涉及到数学建模的知识。

比如下面一张图：

如果要求出从节点v1到节点v5的所有路径，就可以借助计算机来很轻松的解决。但前提条件是，必须要把图以一种计算机可以理解的形式存进去，即要把它抽象为数学问题。

在此，我们需要定义一些关于图的概念，以便更好的描述问题。

边与顶点的关系有如下几种典型情况：

简单图：无自回环，无重边的图。

无向图：边没有指向，1212e .i i i i i ψ

（）={v ,v }=v v 此时称边e i 与顶点12i i v ,v 关联，称顶点1i v 与顶点2i v 邻接。

有向图:边有指向，1212e .i i i i i ψ

u u u u u r （）=（v ,v ）=v v

下面是具体涉及到图如何存储的问题：

1. 图G(V,E)的关联矩阵x R=(r )ij n m ，若G(V,E)为无向图，

01

2i j ij i j j i j j v e r v e e v e e ⎧⎪=⎨⎪⎩

与不关联与关联,为非自回环与关联,为自回环

若G(V,E)为有向图，

01

2i j ij i j i j v e r v e v e ⎧⎪=⎨⎪⎩

与不关联是的起点是的终点

因此该图可以用关联矩阵表示出来，如下所示

110000*********

10100100110100000111R ⎛⎫

⎪

⎪

⎪= ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭

这样，我们就可以以矩阵的形式将图存入计

算机

2. 邻接矩阵

图G(V,E)的邻接矩阵xn A=(a )ij n ,若G(V,E)为无向图，ij a =从

i v 到的j v 边数，若不邻接，取0；若G(V,E)为有向图，ij a =从 i v 到j v 的有向边数，若无，取0.

01100100111

00110110101110A ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

应用二 动态规划问题

动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman 等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。也是信息学竞赛中选

手必须熟练掌握的一种算法。多阶段决策过程的最优化问题。含有递推的思想以及各种数学原理（加法原理，乘法原理等等）。

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。举例

线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；区域动规：石子合并，加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶。

多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型中数学建模知识的运用。

最短路线问题：

某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？

下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。

(1)阶段(Stage)

把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。

如例中(最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。

(2)状态(State)

状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母s

k

表示第k阶段的

状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用S

k

表示。

如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。第二阶段有三个状态：B

1

、

B 2、B

3

，状态变量s

2

=B

2

表示第2阶段系统所处的位置是B

2

。第2阶段的状态集

S 2={ B

1

、B

2

、B

3

}。

动态规划中的状态变量应具有如下性质：当某阶段状态给定以后，在这个阶

段以后过程的发展不受这个阶段以前各个阶段状态的影响。也就是说，未来系统所处的状态只与系统当前所处的状态有关，而与系统过去所处的状态无关，即过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，这种特点称为无后效性（又称马尔可夫性）。如果所选定的状态变量不具备无后效性，就不能作为状态变量来构造动态规划模型。如例1中，当某阶段的初始状态即所在的城市选定以后，从这个状态以后的运货路线只与这个城市有关，不受以前的运货路线影响，所以是满足状态的无后效性的。

（3）决策(Decision)

当系统在某阶段处于某种状态，可以采取的行动（或决定、选择），从而确定下一阶段系统将到达的状态，称这种行动为决策。描述决策的变量，称为决策

变量。常用字母u

k (s

k

)表示第k阶段系统处于状态s

k

时的决策变量。决策变量

的取值范围称为决策集，用D

k (s

k

)表示。

在例l的第二阶段中，若从状态B

2

出发，可以做出三种不同的决策，其允许

的决策集为D

2(B

2

)={ C

1

、C

2

、C

3

}，决策u

2

(B

2

)= C

2

表示第二阶段处于状态B

2

，选

择的确行动下一阶段是走到C

2

。