2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
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故(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为 · .
8.设������为给定的正整数,集合������是{1,2, … ,2������ − 1}的一个子集,满足:������中任意两个不同的正整数之和都不等 于2������ − 1和2������,则|������|的最大值为____________. 【解答】注意到,当 A={n,n+1,…,2n-1}时,A 中最小的两个数之和都不小于 2n+1,故 A 中任意两个不 同正整数之和不等于 2n-1 或 2n,因此,|A|的最大值不小于 n。 另一方面,考察下面的数列(它是 1,2,…,2n-1 的一个排列)2n-1,1;2n-2,2;…;n+1,n-1;n. 其中任意两个相邻数之和都为 2n-1 或 2n.而由抽屉原理知:当|A|≥n+1 时,A 中必然有两个数在上述数列 中相邻,所以,符合条件的 A 的元素个数不大于 n. 综上可知,|A|的最大值为 n。 二、解答题:本道题共 3 个小题,满分 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 16 分)设������(������) = ������������ + ������������ + ������(������ > 0),方程������(������) = ������的两个根是������ 与������ ,且������ > 0,������ − ������ > .又若0 < t < ������ ,试比较������(������)与������ 的大小. 【解答】因为������ ,������ 是方程������������ + ������������ + ������ = ������的两个根,所以由韦达定理得,������ + ������ =− ,������ ������ = ,并 且有������������ + ������������ + ������ = ������ ,因此
������(������) − ������ = (������������ + ������������ + ������) − (������������ + ������������ + ������) = ������(������ − ������ )(������ + ������ ) + ������(������ − ������ ) ������ = ������(������ − ������ ) ������ + ������ + ������
y
O
Q D
P M
R
Nx
【解答】由题意,AB+AC 为定值 6,故 A 的轨迹为长轴为 6,焦距为3√2的椭圆: + = 1.(y ≠ 0)
则 OA 的三等分点 T 的轨迹 E:x² + 2y² = 1(y≠0) 要证明△MPR 为等腰三角形,由于 M,N 地位等价,则△PRN 也为等腰三角形。由于 PQ 直线的任意性,考虑 极端情况可发现△MPR 中 MP=MR 可成立,故 PN=RN 也能成立,猜测 P 和 R 关于 x 轴对称。 下采用同一法证明该结论。设直线 QN:x=my+t, N(t,0),M( ,0),R(������ ,������ ),Q(������ ,������ ),P(������ , − ������ ) 将 QN 与椭圆联立得(2+m²)y²+2mty+t²-1=0.
解得− ≥ ������> − 4.
注意:函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
(������>������)若������(������) = 2 ln √������ − ������(������),则������(������������)的取值范围为____________.
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
x sin 60
,
x
3 3 2sin 2 60
又 0 ,90 ,所以当 2 60 90 ,即 75 时 xmin 2 3 3 .
5. 在球的内接三棱锥 A-BCD 中,AB=8,CD=4,平面 ACD⊥平面 BCD,且△ACD 与△BCD 是以 CD 为底的全等
的等腰三角形,则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图,易得 AE⊥BE,由等量关系,CE=ED=2,AF=BF=4,AE=BE=2√2.
由垂径定理,OF⊥AB,OE⊥CD,由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理,OF + AF = AO = R = OC = (4 − OF)² + CE²
4. 在边长为 1 的正三角形纸片 ABC 的边 AB,AC 上分别取 D,E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形纸片后,顶 点 A 正好落在边 BC,在这种情况下,AD 的最小值为___________.
解:设 AD x ,ADE ,记 A 得对称点为 P,则由对称性可知 DP x ,PDE , BD 1 x , BDP 180 2 ,所以 DPB 2 60 .
【解答】由题意得,
+
= 1而������(������������) = 1 −
.
先考虑最大值,由于������>������,ln ������为正,当������ → +∞时,������(������������) → 1,由条件知可以满足.
再考虑最小值,由柯西不等式,
+
= 1≥
,解得ln ������ + ln ������的最小值为 6,故������(������������)的
消去 β 得 0=2(3������������ + 5������ − 2������ ) = 2(5������ − 2������)(������ + ������),我们取 ������,������,������ = (2,30,5),由平均不等式得
[2(1 + ������)] [30(1 − ������)][5(2������ − 1)] ≤ ( ) ,此时������ = ,满足题意。
������(������) − ������ >0.
10.(本题满分 20 分)数列{������ }满足:������ = 1,������ = + ,证明:对������ > 1,
都是正整数。
【解答】令������ =
,则������ =
,������ = + ,因为������ = + + ,于是
故������������������������ =
=
=
=
2
²
,若������������������������<0,则������������������������<0,这不可能.
∴ ������������������������>0. ������������������������ ≤ √ .
1 1 11 1 1
1
1
������
+=
++
2 4 Baidu Nhomakorabea����� 2 ������
+
16(
1 ������
+
1 2
)
+
4
即������ = 2������ (������ + 2),所以������ = 2������ [2������ (������ + 2) + 2] = 4������ (������ + 1)².
O
解方程得,OF= ,R=√ ,三棱锥 A-BCD 的高 AE=2√2,故三棱锥 A-BCD 的高与
D
B
E
其外接球的直径的比值为 √ .
C
6.已知椭圆E: + = 1的右焦点为F ,直线 l 与圆心在原点,半径为 b 位于第一、第四象限的半圆相切 于点 M,且交椭圆 E 于 P,Q 两点,则 △ F PQ 的周长为___________.
Q
= ������ (1 − ²)= ² ������ ²,故������������ = ������������ .
F1
O
F2
x
M
∴������������ + ������������ = ������.同理������������ + ������������ = ������.
∴△ ������������������ 的周长为2������.
2018 全国高中数学联合竞赛模拟试题参考答案
一、填空题:本道题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
1.已知函数 y 6 x x2 的定义域为 A ,函数 y lg kx2 4x k 3 的定义域为 B ,当 B A 时,实
数 k 的取值范围是
.
【解答】由题意 得,A = [−2,3], 令������(������) = ������������ + 4������ + ������ + 3,当������ ≥ 0 时,令 x → +∞时不满足题意.故 k<0.则此时������(������)为一个开口向下的二次函数,由 B A 得,������(−2) ≤ 0,������(3) ≤ 0, △≥ 0, − ∈ [−2,3],
y
【解答】如图,设������ ������ ,������ ,由焦半径公式,������������ = ������ − ������������ .
在������������ △ ������������������中,������������ = ������������ − ������������ = ������ + ������ − ������
P
注:也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答,但过于繁琐,本解
答采用熟知的结论:������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1,则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
因为������ = 4,������ =24,由上式和������ ,������ 是正整数知,当������ > 1,
都是正整数。
11.(本题满分 20 分)△ ABC中,O 是 BC 的中点,|BC| = 3√2,其周长为 6 + 3√2. 若点 T 在线段 AO 上,且 |AT| = 2|TO|,设点 T 的轨迹为 E,M,N 是射线 OC 上不同的两点,|OM| · |ON| = 1 . 过 点 M 的直线与 E 交于P,Q,直线 QN 与 E 交于另一点 R,证明: △ MPR 是等腰三角形.
【解答】采用待定系数法。考虑[α (1 + ������) ][������(1 − ������)][������²(2������ − 1) ]的最大值。
首先有 α(1 + x) = ������(1 − ������) = ������(2������ − 1), 即 = .其次有5������ − ������ + 4������ = 0.
最小值为 .综上所述,1>������(������������) ≥ .
3.在△ ������������������中,若sin(2������ + ������) = 2������������������������,则������������������������的最大值为
.
【解答】展开得,������������������2������������������������������ + ������������������������������������������2������ = 2������������������������,即s������������2������ + ������������������������������������������2������ = 2������������������������.
由������ + ������ + = ������ + − ������ = ������ + − ������ < ������ + − ������ <0,及������>0,������ − ������ <0得,
∴当0 < ������ < ������ 时,������(������)>������ 。