人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解

专题14.3因式分解
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.
2.因式分解方法
(1)提公因式法：找岀最大公因式.
(2)公式法：
①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
3.分解因式的一般步骤
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
【例题1】因式分解：ab-a= __________ •
【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )
A. (4M1) (4a-1) B・(2M1) (2”1)
C. (2a- 1) 2D・(2亦1) 2
【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ .
【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ .
【例题5】因式分解：/-9= _________ .
【例题6】分解因式：_________________ ・
一.选择题
1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )
A. a"b (a* - 6a+9) B・ a-b (a - 3) (a+3) C・ b (a" - 3) D・ a"b (a - 3)
2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()
A・(x - 3 ) 2 B・(x - 9)=
C・(x+3) ( x - 3 ) D・(x+9) ( x - 9)
3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c
之值为何？( )
A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 22
4.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为
X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )
A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 15
5.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )
A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)
C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 2
6.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c
之值为何？( )
A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 22
7.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为
x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )
A. 2x+19
B. 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 15
8.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )
A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b二・3 C・ a= - 2, b=3 D・ a=2, b= - 3
9.分解因式：16-丘二( )
A. (4 - x) (4+x) B・(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x):
10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )
A. a" - 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1
二、填空题
11.分解因式：1-¥= _________ .
12.分解因式：3a'b十6卅二__ ・
13.分解因式X3—9x= _____
1 0 1
14•已知实数x满足x+_=3,则x2 + —的值为___________ -
X X
15•因式分解：£・6a+9二____ ・
16.分解因式：2^2 - 8/= ______________ .
17.因式分解：a2 -2a = _________ .
18.分解因式：x2 +x-2 = __________ ・
19.分解因式.4丘一9二 _____ ・
20.分解因式：a^b —ab= _______ ・
21.分解因式：ax= - ay== ______________ .
22.分解因式：a-16a= ________________ ・
23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ .
24._______________________________________ •把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是.
25.分解因式3m l - 48= ____________ ・
26・分解因式：ab 1 - 4ab:+4ab:= ______________ ・
27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二__________ ・
28•将/ (x-2) +加(2-.Y)分解因式的结果是________________
三、解答题
29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.
专题14.3因式分解
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.
2.因式分解方法
(1)提公因式法：找岀最大公因式.
(2)公式法：
①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
3.分解因式的一般步骤
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
【例题1】因式分解：ab-a= ___________•
【答案】a (6-1).
【解析】提公因式a即可.
ab- a=a (.b ■ 1 )・
【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.
【例题2】把多项式4/ - 1分解因式，结果正确的是( )
A. (4亦1) (4a- 1)
B. (2M1) (2”1)
C. (2a- 1) 2D・(2M1) 2
【答案】B
【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6) (a- b)i完全平方公式：a:±2aM6:= (a±b) 5：
4a:- 1= (2a+l) (2a- 1),
【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。

【例题3】分解因式3/ - 27/= __________ •
【答案】3 (A+3『)Cx-3y)
【解析】原式提取3,再利用平方差公式分解即可.
原式=3 (x - 9y ) =3 (时3y) (;r- 3y),
【点拨】此题考査了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【例题4】分解因式：2 - 2^= _____________ •
【答案】x (y- 1) 1
【解析】2 - 2羽七，
=x (/ ・ 2yH),
=x (y- 1)=.
【点拨】提取公因式和完全平方公式结合。

【例题5】因式分解：y - 9= _______ .
【答案】(#3)(JT-3).
【解析】原式利用平方差公式分解即可.
原式=(■计3) (.Y- 3)
【点拨】直接利用公式。

【例题6】分解因式：.
【答案】a (对2) (A-2).
【解析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
ax - 4a,
=a Cf・4),
=a (对2〉(x-2).
【点拨】本题考査用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.
—如川练题
一.选择题
1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )
A. a'b (a~-6a+9)
B. a~b (a - 3) (a+3)
C. b (a' - 3)
D. a~b (a - 3)
【答案】D
【解析】提公因式法与公式法的因式分解。

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因
式，若有公因式，则把它提取岀来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。

因此，
a*b - 6a5b+9a:b=a:b (a: - 6a+9) =a:b (a - 3)=<.故选D。

2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()
A. ( x - 3 ) :
B. ( x - 9 ):
C. ( x+3) ( x - 3 )
D. (x+9) ( x - 9)
【答案】A
【解析】原式利用完全平方公式分解即可.
X' - 6x+9二(x - 3):
3.多项式77x: - 13x - 30可因式分解成(7x+a ) ( bx+c )，其中a、b ■, c均为整数，求a+b+c
之值为何？( )
A. 0
B. 10
C. 12
D. 22
【答案】C
【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意ax=+bx+c (aHO)型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a’，a：的枳a；・a：,把常数项c分解成两个因数s, c：的积C1-c：,并使axCz+acCtiE好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax"+bx+c= ( aix + ci ) ( a：x+cz)・
首先利用十字交乘法将77x=- 13x - 30因式分解，继而求得a, b, c的值.
利用汁字交乘法将77x=- 13x・30因式分解，
可得：77x- - 13x - 30= ( 7x - 5) ( llx+6).
a=・ 5, b二11. c=6> 则a+b+c- ( - 5) +11+6=12.
4.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为
x c- 4,乙与丙相乘为x2+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( ) A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 15
【答案】A
【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解.
V x£・4二(x+2) ( x - 2),
x2+15x - 34= (x+17) ( x - 2)•
•••乙为x・2,
甲为x+2 •丙为x+17»
•••甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19.
5.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )
A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)
C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 2
【答案】c
【解析】首先提取公因式2a,进而利用完全平方公式分解因式即可.
8a3・ 8a:+2a
=2a ( 4a" - 4a+l)
=2a ( 2a - 1) 1
6.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7x+a ) ( bx+c )，其中a. b、c均为整数，求a+b + c
之值为何？( )
A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 22
【答案】c
【解析】此题考査了十字相乘法分解因式的知识.注意ax：+bx+c (aHO)型的式子的因式分解:这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a’，a：的积a’・a：,把常数项c分解成两个因数6, c：的积c,・c = ,并使
c:+a;C1正好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax"+bx+c二(aix + ci) ( a：x+c2 )・
ai
首先利用十字交乘法将77x=- 13x - 30因式分解，继而求得a, b, c的值.
利用才字交乘法将77x:- 13x・30因式分解，
可得：77x'・13x・ 30= ( 7x - 5) ( llx+6).
a= - 5, b=ll, c=6,
则a+b+c-(・5) +11+6=12・
7.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为
x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( ) A. 2x+19 B・ 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 15
【答案】A
【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确泄甲与丙，再把甲与丙相加即可求解.
V X-・4二(x+2) (X ・ 2),
x:+15x - 34= (x+17) (x - 2 )•
•••乙为x - 2,
甲为x+2 >丙为x+17»
•••甲与丙相加的结果x + 2+x+17二2x+19・
8.把多项式x：+ax+b分解因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )
A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b= - 3 C・a= - 2> b=3 D・ a=2, b= - 3
【答案】B
【解析】本题考査了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则.因式分解的应用.运用多项式乘以
多项式的法则求出(x+l) (x-3)的值，对比系数可以得到a, b的值.
•/ (x+1) (x-3) =x e x - x・3+l・x - 1X 3=x* - 3x+x - 3=x* - 2x - 3
x:+ax+b=x:- 2x - 3
•\a=• 2f b=- 3.
9.分解因式：16 -x==( )
A. (4-x) (4+x) B・(x・4) (x+4) C・(8+x) (8-x) D・(4-x) 2
【答案】A
【解析】宜接利用平方差公式分解因式得出答案.
16 - x:= (4 - x) (4+x).
10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )
A. a" * 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1
【答案】C
【解析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果.
T a■ 1= (a+1) (a - 1 )t
a"+a=a (a+l)>
a"+a " 2=(a+2) (a - 1 )♦
(a+2) ' • 2 (a+2) +1= (a^2 - 1) "- (a+1)
•••结果中不含有因式a+1的是选项C°
二、填空题
11._____________________ 分解因式：1-/= .
【答案】(l+jv) (lr)・
【解析】分解因式中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可.
解：1 -Z= ( 1+.Y)(1 --Y).
【点拨】本题考査了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键.
12•分解因式：3Jb+6ab匚_____ ・
【答案】3ab (a+2b)o
【解析】观察可得此题的公因式为：3ab,提取公因式即可求得答案：3a:b-6ab:=3ab (a-2b)。

13.分解因式x‘一9x二 ____
【答案】x(x+3)(x-3)。

【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取岀来, 之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。

因此，
x3 -9x = x(x2_9)二x(x+3)(x -3)
1 . 1
14•已知实数x满足x+_二3,则x2 + —的值为 __________
X
【答案】7
1 1 I / 1
【解析】T X+±=3,・・・X2+4=X2+A+2-2=；X+—- 2=3? - 2=7
X X・X・k x ；
15._____________________ 因式分解：a - 6a+9= ・
【答案】(a-3) 1
【解析】本题是一个二次三项式，且/和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解.
a" - 6a+9= (a - 3)
16.____________________________ 分解因式：- 8/= .
【答案】2 ( x+2y) (x- 2y).
【解析】观察原式2.?- 8/,找到公因式2,提出公因式后发现厂4/符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得.
2.Y: - 8y==2 (. x: - 4y z) =2( x+2y) ( x - 2y).
17.因式分解：a2-2a= __________ .
【答案】a(a-2)。

【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取岀来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。

因此，a2-2a = a(a-2)
18.分解因式：x2 +x-2 = ___________ .
【答案】(x-l) (x+2)。

【解析】十字相乘法因式分解。

因为(一1)X2=-2, 2-1=1,所以利用十字相乘法分解因式即可：x：+x
—2= (x —1) (x+2)。

19.分解因式.4x=-9= ________ .
【答案】(2x+3)(2x-3)。

【解析】直接应用平方差公式即可：4x2-9 = (2x+3)(2x-3)e
20.分解因式：a'b —ab= _______ .
【？？系】ab(a+l )(a —1)»
【解析】提公因式法和应用公式法因式分解。

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看外项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。

因此，
a3b-ab=ab(a2 -l)=ab(a+l)(a-l)
21.分解因式：ax2 - ay== ______________ .
【答案】a (x+y) (x - y).
【解析】应先提取公因式/再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. ax" - ay\
=a (x: - y2)>
=a (x+y) (x - y)・
22・分解因式：，一16a= ___________ ・
【答案】a(a+4)(a—4).
【解析】先提取公因式，再运用平方差公式分解：<-16a=a(J-16)=a(a+4)(4). 23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ •
【答案】a (3a+b) (3a-b).
【解析】首先提取公因式9a,进而利用平方差公式法分解因式得出即可.
9a3 - ab:=a (9a: - b:) =a (3a+b) (3a - b).
24.把多项式ax：+2a：x+a，分解因式的结果是_______ .
【答案】a (x+a)：
【解析】首先提取公因式a,然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可. ax:+2a:x+a3
(x:+2ax+a:)
=a (x+a):
25.分解因式3m1 - 48= _____________ ・
【答案】3 (m=+4) (m+2) (m- 2).
【解析】先提取公因式，再利用平方差公式把原式进行因式分解即可.
3m1 - 48=3
=3 (m:+4) (m: - 4)
-3 (nT+4) (m+2) (m • 2).
26・分解因式：ab * - 4ab:+4ab:= ______________ ・
【答案】ab= (b・2)
【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解.
ab 1・4ab:+4ab*
=ab:( b：・4b + 4 ) =ab2 (b ・ 2) 2.
27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二________ ・
【答案】(m+3) (m-3).
【解析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可.
(m+1) (m - 9) +8m,
-m" - 9m+m - 9+8m»
=m" " 9»
-(m+3) (m-3)・
28.__________________________________________ 将/ (x-2) +e(2-x)分解因式的结果是.
【答案】m(.v - 2 )(也-1)(血1) •
【解析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可.
原式=血(JT - 2) (22f - 1)
-m ( - 2 ) (zz? - 1)(比1)・
三、解答题
29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a3b+2a:b c+ab3的值.
【答案】18
【解析】本题考査了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用英他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.先提取公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解.
a3b+2a:b:+ab*
=ab (a"+2ab+b:)
=ab (a+b) "•
将a+b=3, ab=2 代入得.ab (a+b) ±2X3-18.故代数式a2b+2a=b:+ab5的值是18・。