高一基本不等式

基本不等式

1.已知正实数a，b满足+=1，则a+b的最小值为（）

A．1 B．2 C．4 D．2

2.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+2b=6，则+的最大值是（）

A．B．1 C．D．2

3.若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）

A．B．C．D．

4.设M=（﹣1）（﹣1）（﹣1），且a+b+c=1，（a、b、c∈R+），则M的取值范围是（）A．[0，] B．[，1] C．[1，8] D．[8，+∞）

知识梳理

基本不等式：基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．

例题精讲

技巧一：凑项

例1.函数y=3x2+的最小值是（）

A．3﹣3 B．﹣3 C．6D．6﹣3

技巧二：凑系数

例2.当0＜x＜4时，求y=x（8﹣2x）的最大值．

技巧三：分离

例3.求y=的值域．

技巧四：换元

例4.若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）

A．2﹣B．2C．4D．4

技巧五：整体代换（乘“1”法）

例5.已知a，b＞0，若+=1，则2a+b的最小值时（）

A．9 B．8 C．7 D．6

例6.若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（）

A．16 B．20 C．25 D．36

【知识梳理】

基本不等式在最值问题中的应用

一、基本不等式

注：

（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

【例题精讲】

例1.若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）

A．3 B．4 C．D．

例2.已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）

A．有最大值为B．有最小值为

C．没有最小值D．有最大值为3

例3.已知a，b，c∈（0，+∞）且a≥b≥c，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则a的最小值为（）

A．5 B．10 C．15 D．20

例4.已知x＞0，y＞0，且4x++y+=17，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（）A．14 B．15 C．16 D．17

例5.已知实数a，b，c∈（0，1），设+，+，+这三个数的最大值为M，则M的最小值为（）

A．5 B．3+2C．3﹣2D．不存在

例6.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的取值范围是（）

A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．[﹣，1] D．[﹣，1]

知识点三（基本不等式在恒成立问题中的应用）

【例题精讲】

例1.已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2

例2.对任意的θ∈（0，），不等式+≥x2﹣x﹣11恒成立，则实数x的取值范围是（）

A．[﹣3，4] B．[0，2] C．[﹣，] D．[﹣4，5]

例3.不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a≥D．a≥

课堂练习

1.以下四个命题中正确的个数是（）

（1）若x∈R，则x2+≥x；

（2）若x≠kπ，k∈Z，则sinx+≥2；

（3）设x，y＞0，则的最小值为8；

（4）设x＞1，则x+的最小值为3．

A．1 B．2 C．3 D．4

2.已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）

A．B．3 C．D．

3.已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（）

A．33 B．26 C．25 D．21

4.若正数a，b满足，的最小值为（）

A．1 B．6 C．9 D．16

5.已知m＞0，n＞0，x=m+n，y=．

（1）求xy的最小值；

（2）若2x+y=15，求x的取值范围．

6.函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（）

A．3 B．2C．D．

1.掌握基本不等式公式的推导；

2.会利用基本不等式求最值问题。

1.已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）

A．2B． C．4D．4

2.已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（）

A．3 B．6 C．9 D．12

3.若函数f（x）=（a＜2）在区间（1，+∞）上的最小值为6，则实数a的值为（）

A．2 B．C．1 D．

4.已知a＞0，b＞0且a+b=1，则（﹣1）（﹣1）的最小值是（）

A．6 B．7 C．8 D．9

5.对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]

6.若不等式x+≤a（x+2y）对任意的正实数x，y都成立，则实数a的最小值是（）A．B．C．D．

7.对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）