高一基本不等式
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
高一数学必修一第二章第二课基本不等式摘要：一、基本不等式的概念与性质1.基本不等式的定义2.基本不等式的性质二、基本不等式的证明方法1.作差法2.替换法3.柯西-施瓦茨不等式三、基本不等式的应用1.求最值问题2.证明其他不等式四、练习与解答1.例题解析2.巩固练习正文：一、基本不等式的概念与性质在高中数学必修一第二章第二课中，我们学习了一个非常基础且重要的不等式——基本不等式。
基本不等式是指对于任意的实数a和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。
这个不等式在很多数学问题中都有广泛的应用，因此我们需要熟练掌握它的性质和证明方法。
二、基本不等式的证明方法1.作差法作差法是证明基本不等式最常用的方法。
具体操作如下：我们将a^2 + b^2 - 2ab分解因式，得到(a - b)^2。
因为一个数的平方一定大于等于0，所以(a - b)^2 >= 0，即a^2 + b^2 >= 2ab。
2.替换法替换法是将基本不等式中的a和b替换成其他表达式，从而简化证明过程。
常用的替换方法有柯西-施瓦茨替换和排序替换。
3.柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是基本不等式的一个推广，它是指对于任意的实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，都有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
这个不等式在求解某些问题时，可以提供更强的工具。
三、基本不等式的应用1.求最值问题基本不等式可以用来求解一些最值问题，如求函数的最值、求解不等式的最值等。
2.证明其他不等式基本不等式是许多其他不等式的基础，如柯西不等式、排序不等式等。
通过基本不等式，我们可以证明这些不等式，从而进一步解决实际问题。
四、练习与解答1.例题解析我们来看一道例题：已知a + b = 2，求a^2 + b^2的最小值。
高一数学基本不等式笔记
高一数学基本不等式笔记一、不等式的基本定义1.不等式的基本定义：不等式是一种逻辑符号，表示运算结果不相等，且“<”、“>”和“≤”、“≥”的一起的使用可以构成不等式。
2.解不等式的意义：解不等式就是要确定出具有特定性质的解。
3.不等式的记号：不等式的记号由“<”、“>”和“≤”、“≥”四个符号组成，它们由三部分构成：左端、右端和不等号。
4.按不等式中不等号形式分成两类：当不等号为＜或＞时，叫做开方程；当不等号为≤或≥时，叫做闭方程。
二、几种常见的不等式1.绝对值不等式：（1）当a为正数时：|a|>b，则有a>b或a<-b2.根式不等式：|x+a|>b>0，则有x+a>b或x+a<-b。
3.平方不等式：a^2>b>0，则有a>b或a<-b；a^2<b<0，则有a^2无解，4.一元二次不等式：ax^2+bx+c>0，则有x>b/2a-√(b^2-4ac)/2a或x<b/2a+√(b^2-4ac)/2a；5.余弦不等式：|cosx|>k，0≤k≤1，则有x>2kπ+π/2或x<2kπ-π/2。
1.绝对值不等式：先把它简化为“大于”或“小于”两个不等式，然后画出所有的大于和小于的点，再将他们的图形连接起来就可以得出所求的结果。
4.一元二次不等式：将它写成一元二次函数的方程形式，分别画出大于和小于的点，根据抛物线的着色规律来画出它们的图形就可以得出所求的结果。
5.余弦不等式：由于余弦函数的特殊性，它具有周期性，只要根据周期得出大于和小于函数的点来画图就可以了，并连接起来就可以得出所求的结果。
以上就是高一数学中不等式的基本内容，学习这一部分的内容，对于学习数学都是很有帮助的，能有助于学生们更好地理解数学中不等式的概念，有助于更好地掌握解决不等式问题的方法。
高一基本不等式归纳
吉林省2021年中考化学二模试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017九上·崇明月考) 用于判断镁条在空气中燃烧是化学变化的主要依据是（）A . 发出耀眼的白光B . 放出大量热C . 镁带变短D . 生成白色粉末氧化镁2. （2分）化学实验既要操作规范，更要保障安全．下列实验操作正确的是（）A . 塞紧橡皮塞B . 加热液体C . 取用液体D . 读出液体体积3. （2分）(2019·孝感) 下列对某一主题知识的归纳错误的是（）A．安全与自救①用甲醛溶液浸泡过的水产品不能食用②煤气泄漏先关闭阀门，再开门窗通风B．环保与能源①为增加粮食产量，可任意使用化肥和农药②为治理雾霾，禁止使用化石燃料C．材料与资源①塑料、合成纤维和合成橡胶都属于有机合成材料②目前水资源短缺，因此要节约用水和防治水体污染D．生活与健康①食用加碘盐可预防甲状腺肿大②缺乏维生素C，会引起坏血病A . AB . BC . CD . D4. （2分） (2019九上·砀山月考) 螃蟹作为美食已进入千家万户，蟹肉中的砷（As）元素以有机砷（C5H11AsO2）的形式存在，下列有关说法正确的是（）A . C5H11AsO2由五种元素组成B . C5H11AsO2中有一个氧分子C . 一个C5H11AsO2分子由19个原子构成D . C5H11AsO2中碳、氢元素的质量比为5：115. （2分）在化学方程式：A+3B2=2C +2D中，若参加反应的A的质量为7克，参加反应的B2的质量为24克，生成D的质量为9克，C的相对分子质量为44，则B的相对原子质量为（）A . 16B . 20C . 32D . 366. （2分） (2020九上·南山期末) 逻辑推理是化学学习中常用的思维方法，下列推理正确的是（）A . 燃烧都伴随着发光和放热现象，所以有发光和放热现象的变化都是燃烧B . 化合物是由不同元素组成的纯净物，所以由不同种元素组成的纯净物一定是化合物C . 酸能使紫色石蕊试液变红，CO2也能使紫色石蕊试液变红色，所以CO2是酸D . 活泼金属与稀盐酸反应放出气体，则与稀盐酸反应放出气体的物质一定是活泼金属7. （2分） (2017九上·惠民期末) 推理是学习化学的一种重要方法，下列推理正确的是（）A . 氧化物中含有氧元素，所以含有氧元素的化合物都是氧化物B . 溶液中有晶体析出时，溶质质量减小，所以溶质的质量分数一定减小C . 碱性溶液能使紫色石蕊试液变蓝，所以能使石蕊试液变蓝的溶液一定呈碱性D . 碳酸盐与盐酸反应放出气体，所以与盐酸反应放出气体的物质一定是碳酸盐8. （2分） (2017九上·射阳月考) 下列图像的对应关系表示正确的是（）A . 图甲表示电解水实验从开始到断开电源后这一过程中，产生的气体体积与反应时间的关系（不考虑气体在水中的溶解情况）B . 图乙表示两份完全相同的双氧水在有无MnO2的情况下，产生的O2质量m与反应时间t的关系C . 图丙表示碳在密闭容器内燃烧，容器内物质总质量m与反应时间t的关系D . 图丁表示加热一定质量的高锰酸钾，产生氧气质量m与加热时间t的关系二、填空题 (共3题；共10分)9. （4分） (2019·益阳) 请用化学用语填空：（1）铝合金中铝的元素符号是________，生石灰的化学式是________。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。
高一基本不等式知识点总结
高一基本不等式知识点总结基本不等式是高中数学中的重要内容，它在解决最值问题、证明不等式以及优化问题中有着广泛的应用。
在高一阶段，我们主要学习了以下几种基本不等式：1. 算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意非负实数a和b，有\(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)，当且仅当a=b时取等号。
这个不等式说明了两个非负数的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)，有\((a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\)。
这个不等式在处理向量和序列问题时非常有用。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有\(|a+b| \leq |a| + |b|\)。
这个不等式说明了两个数的和的绝对值不会超过它们绝对值的和。
4. 绝对值不等式：对于任意实数a和b，有\(|a| - |b| \leq |a-b| \leq |a| + |b|\)。
这个不等式描述了两个数的差的绝对值与它们绝对值之间的关系。
5. 伯努利不等式：对于任意实数x > -1和任意正整数n，有\((1+x)^n \geq 1+nx\)。
当x=0时等号成立。
这个不等式在处理指数增长问题时非常有用。
6. 均值不等式：对于任意正实数a和b，有\(\frac{a+b}{2} \geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a=b时取等号。
这个不等式是AM-GM不等式的特例，但它在处理两个变量的最值问题时更为直观。
掌握这些基本不等式，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
在实际应用中，我们需要注意不等式成立的条件，以及如何灵活运用这些不等式来简化问题。
第1课时 基本不等式 高一数学
要注意“1”的代换.
3.提升逻辑推理和数学运算素养.
易 错 辨 析
忽视基本不等式成立的条件致错
1
【典例】 求 y=x+ 的取值范围.
错解:∵x+ ≥2 · =2,
∴y的取值范围为{y|y≥2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
(
)
A.
B.b
解析:∵ab<
∵
+
>
C.2ab
D.a2+b2
+
,∴ab< ,∴2ab< .
+
+
>0,
∴
>Fra bibliotek2
2
,
∴
a
+b
>
.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,
∴b>a2+b2,∴b最大.
证明:∵a,b,c 均大于 0,∴ , , 也都大于
∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b,
三式相加得 2
+ +
≥2(a+b+c),
即 + + ≥a+b+c,
当且仅当 a=b=c 时,取等号.
高一数学基本不等式
高一数学基本不等式有哪几个?
高中数学基本不等式常用的有六个，在以后学习的过程中还要积累一些常见的不等式。
1.基本不等式a^2+b^2≧2ab
对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。
证明的过程：因为（a-b）^2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。
它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。
2.基本不等式√ab≦(a+b)/2
这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。
证明过程：要证(a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）^2≧0，显然（√a-√b）^ 2≧0是成立的。
它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。
3.b/a+a/b≧2
这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。
证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。
4.基本不等式的拓展公式：a^3+b^3+c^3≧3abc，a，b，c均为正数。
5.（a+b+c）/3≧³√abc，a，b，c均为正数，当且仅当a=b=c时等号成立。
6.柯西不等式。
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。
在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。
1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。
当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。
在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。
基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。
1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。
传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。
这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。
特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。
通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。
第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。
在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。
通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。
这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。
基本不等式常用公式高一
基本不等式常用公式高一在咱们高一的数学学习中，基本不等式常用公式那可是相当重要的！就像是我们手中的一把利剑，能帮助我们在数学的战场上冲锋陷阵，解决好多难题。
基本不等式公式主要有两个：对于非负实数 a 和 b ，有\(\sqrt{ab}\leq \frac{a + b}{2}\)，当且仅当 a = b 时，等号成立。
还有一个变形形式：\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，同样当且仅当 a = b 时，等号成立。
咱先来说说这第一个公式\(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}\)。
这就好比是一场拔河比赛，a 和 b 是两边的队伍，\(\sqrt{ab}\)是实力相对较弱的一方，\(\frac{a + b}{2}\)是实力较强的一方。
只有当两边力量相等，也就是 a = b 时，这场拔河比赛才会势均力敌，达到平衡，也就是等号成立。
我给大家举个例子啊。
比如说，咱要建一个矩形的花园，周长已经给定了，要让花园的面积最大，这时候基本不等式就派上用场啦。
假设矩形的长是 a ，宽是 b ，周长是 C 。
因为周长 C = 2(a + b)，所以 a + b = C / 2 。
根据基本不等式\(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}\)，就有\(\sqrt{ab} \leq \frac{C}{4}\)，也就是ab 的最大值是\((\frac{C}{4})^2\)。
当且仅当 a = b 时，面积达到最大值，这个矩形就变成了正方形。
再看第二个公式\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)。
这就好像是比较两个同学的成绩，a 和 b 分别是他们的分数。
\(a^2 + b^2\)是他们成绩的某种综合考量，而 2ab 则是另一种比较方式。
只有当他们成绩相等，也就是 a = b 时，这两种比较方式才会一样好。
比如说，有一家工厂生产两种产品，A 产品的成本是 a 元，利润是x 元；B 产品的成本是 b 元，利润是 y 元。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法高一基本不等式是数学中的重要内容，它在实际生活中有着重要的应用价值。
通过学习基本不等式，可以帮助学生理解数学的逻辑推理和解决实际问题的能力。
在高中数学的学习中，基本不等式是一个非常基础的知识点，因此学生需要掌握其基本概念和解题方法。
一、基本不等式的定义基本不等式是指在数字和代数问题中最基础的不等式关系。
它通常以不等式的形式表示，包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
不等式的解是指满足不等式关系的一组实数。
在解不等式时，通常需要找出使不等式成立的一组解集。
解不等式的方法通常包括化简、加减法则、乘除法则、分拆法则、平方法则等。
学生需要掌握这些方法，并能够灵活应用于解题过程中。
二、基本不等式的题型在高一的数学学习中，基本不等式通常包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
以下将分别介绍这些不等式的解题方法。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指含有一个未知数的一次不等式。
其一般形式为ax+b＞0或者ax+b＜0，其中a和b为常数，x为未知数。
解一元一次不等式的基本步骤通常为：（1）移项：把不等式中的常数项移到一边，未知数移到另一边；（2）合并同类项；（3）整理化简；（4）根据不等式的正负情况给出解的范围。
例如，解不等式2x+3＞5，首先将常数项3移到另一边，得到2x ＞2，然后除以2得到x＞1。
因此，不等式的解为x的取值范围为大于1的实数。
2.一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
其一般形式为ax^2+bx+c＞0或者ax^2+bx+c＜0，其中a、b和c为常数，x为未知数。
解一元二次不等式的基本步骤通常为：（1）化简：将不等式化为标准形式，即将不等式移项并合并同类项；（2）求解方程：求出二次方程ax^2+bx+c=0的两个根；（3）根据方程的根和系数的关系求解不等式的解集。
例如，解不等式x^2+2x-3＞0，首先化简得到(x+3)(x-1)＞0，然后求出方程x^2+2x-3=0的解为x=-3和x=1，再根据不等式的正负情况得到不等式的解集为x＜-3或者x＞1。
高一数学知识点基本不等式
高一数学知识点基本不等式数学是一门基础学科，同时也是一门重要的思维训练工具。
无论在学习中还是在日常生活中，数学都扮演着重要的角色。
在高一数学中，基本不等式是一个重要的知识点，它在数学推理和解题中起着至关重要的作用。
本文将就高一数学中的基本不等式进行深入探讨，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学中重要的一部分，它是数学中的一种常见表示形式，用于描述数之间大小关系。
基本不等式的一般形式为a≥b或a≤b，其中a和b为实数。
在解决问题时，我们常常需要根据给定的条件，运用基本不等式来进行判断和推理。
基本不等式的性质包括传递性、加减性、乘除性和倒置性等。
传递性指的是如果a≥b，b≥c，那么a≥c；加减性指的是如果a≥b，那么a±c≥b±c；乘除性指的是如果a≥b，c>0（或c<0），那么ac≥bc（或ac≤bc）；倒置性指的是如果a≥b，那么-b≥-a。
二、基本不等式的应用基本不等式在数学学科中有着广泛的应用。
它可以用于解决线性方程组、绝对值方程、二元不等式等多种数学问题。
1. 解决线性方程组：当我们遇到线性方程组时，有时可以通过相关的基本不等式将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程组2x+3y≥4和3x-2y≤1，我们可以通过加法和乘除性质，将它们转化为5x≥5和5x≤5。
2. 解决绝对值方程：对于绝对值方程|ax+b|≥c，我们可以通过考虑ax+b的正负情况，利用加减性和乘除性质将其转化为两个不等式。
例如，对于|2x-1|≥3，我们可以分别得到2x-1≥3和2x-1≤-3，然后解得x≥2和x≤-1。
3. 解决二元不等式：在解决二元不等式时，我们需要运用基本不等式的传递性和倒置性。
例如，对于不等式2x+y≥4和x-y≥1，我们可以通过将两个不等式合并，得到3x≥5，然后解得x≥5/3。
除了上述例子，基本不等式还可以应用于求函数的定义域、证明数学定理、优化问题等方面。
高一常见基本不等式知识点
高一常见基本不等式知识点不等式在高中数学中占据着非常重要的地位，它是代数与几何的重要桥梁之一。
本文将介绍高一阶段常见的基本不等式知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1.直观理解首先，我们来简单回顾一下不等式的基本概念。
不等式是数学中描述两个数之间大小关系的一种符号表示方法。
比如，我们用"<"表示“小于”，用">"表示“大于”，用"≤"表示“小于等于”，用"≥"表示“大于等于”等。
在解不等式的过程中，我们通常需要找出满足不等式的数的取值范围。
2.一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数并且次数为一次的不等式。
例如，"2x+3>7"就是一个一元一次不等式。
解这类不等式的方法和解一元一次方程类似，主要是通过移项和化简来求解。
3.一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个未知数并且次数为二次的不等式。
例如，"x^2-3x+2>0"就是一个一元二次不等式。
解这类不等式一般需要借助图像或者计算得到解集的范围。
4.绝对值不等式绝对值不等式是指不等式中含有绝对值符号的情况。
例如，"|x+1|<5"就是一个绝对值不等式。
解绝对值不等式的方法一般是将绝对值不等式拆分成两个简单的不等式来求解。
5.分式不等式分式不等式是指不等式中含有分式的情况。
例如，"1/(x+2)>3"就是一个分式不等式。
解分式不等式的关键是确定各个分式的定义域，并利用分式的性质进行求解。
6.不等式的性质在解不等式过程中，我们还需要掌握一些不等式的性质，以便更好地进行推导。
其中一些常见的不等式性质包括：- 两边加上（或减去）相同的数（或式子）时，不等号方向不变。
- 两边乘以（或除以）相同的正数时，不等号方向不变。
- 两边乘以（或除以）相同的负数时，不等号方向相反。
高一数学基本不等式知识点
高一数学基本不等式知识点高一数学阶段，不等式的学习是一个重要的组成部分。
基本不等式是指一些关于数值的大小关系的基本规律，通过对这些不等式的掌握，学生不仅可以提升自己对数学的理解，还可以在解决实际问题时运用这些知识，从而提高数学思维能力和解决问题的能力。
一、基本不等式的意义1.定义：基本不等式是指在特定条件下，某些数之间存在的一种不可逆转的大小关系。
2.应用：这些不等式在几何、代数等个领域具有广泛应用，可以用来简化复杂问题的计算。
二、基本不等式的种类1.柯西-施瓦茨不等式：对任意实数a1, a2, ..., an和b1,b2, ..., bn都有(Σai*bi)² ≤ (Σai²)(Σbi²)，这条不等式在线性代数和统计学中非常常用。
2.阿米尔-阿米尔不等式：对于非负实数a1, a2, ..., an，有(a1 + a2 + ... + an)² ≤ n(a1² + a2² + ... + an²)，这为后续证明各种其他不等式打下了基础。
3.霍尔德不等式：如果p,q>1且p+q=1，则对于非负数a, b，有(ab)^(1/p) ≤ (a + b)/2，且在某些情况下等号成立。
三、基本不等式的推导1.推导方法：不等式的推导一般采用反证法或直接代入法，逻辑严谨，层次分明。
2.示例：推导柯西-施瓦茨不等式时，可以通过构造特定的向量来进行分析，细致分解可帮助理解不等式的成因。
四、不等式的应用1.数学竞赛：不等式在各类数学竞赛中均有应用，是解题的重要技巧之一。
2.证明题：在许多几何证明题中，基本不等式常常用来提供不等关系，为证明过程提供支撑。
五、解题技巧1.反证法：常用于不等式的证明，通过假设不等式的反面来推导出矛盾。
2.函数性质：利用单调性或凹凸性来处理不等式。
3.选取合适的变量：有时通过适当变换变量可以简化不等式，使问题变得更加直观。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念基本不等式是指最简单的不等式，通常是一次不等式，或者是通过简单的运算得到的不等式。
基本不等式在高中数学中占据着重要的地位，是学习不等式的基础。
掌握基本不等式的解题方法对于提高学生的数学能力非常重要。
二、基本不等式的分类基本不等式可以分为一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数，且次数为一的不等式，通常的形式为ax+b>0或ax+b<0。
2.一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个未知数，且次数为二的不等式，通常的形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0。
3.一元高次不等式一元高次不等式是指只有一个未知数，且次数大于二的不等式，通常的形式为P(x)>0或P(x)<0，其中P(x)是一个多项式函数。
三、基本不等式的解题方法解基本不等式的方法有代数法、图像法和试数法。
1.代数法代数法是指通过代数运算来解不等式的方法。
对于一元一次不等式，可以通过移项和合并同类项的方式得到不等式的解。
对于一元二次不等式，可以通过求解二次方程的方法得到不等式的解。
对于一元高次不等式，可以通过因式分解、配方法进行不等式的解。
2.图像法图像法是指通过画出函数的图像来解不等式的方法。
对于一元一次不等式，可以画出一次函数的图像，然后确定不等式的解。
对于一元二次不等式，可以画出二次函数的图像，然后确定不等式的解。
对于一元高次不等式，可以通过画出多项式函数的图像，然后确定不等式的解。
3.试数法试数法是指通过试验一些特殊的数来解不等式的方法。
对于一元一次不等式，可以试验一些简单的数来确定不等式的解。
对于一元二次不等式，可以试验一些特殊的数来确定不等式的解。
对于一元高次不等式，可以通过试验一些特殊的数来确定不等式的解。
四、基本不等式的解题步骤解基本不等式的步骤一般分为以下几步：1.化简不等式将不等式进行合并同类项、移项等操作，使得不等式尽可能简单。
高一基本不等式知识点大全
高一基本不等式知识点大全不等式在数学中起着重要的作用，它是数学分析和数学推理的基础。
在高一学年，学生需要掌握并理解基本不等式的概念、性质和解法。
下面将详细介绍高一基本不等式的知识点。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比大小关系的一种表示方式，用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等表示。
二、不等式的性质1. 加减性质：对于不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等号方向不变。
例如：若 a < b，则 a + c < b + c（其中 c 为常数）。
2. 乘除性质：对于两个不等式，若乘（除）以同一个正数，则不等号方向不变；若乘（除）以同一个负数，则不等号方向相反。
例如：若 a < b 且 c > 0，则 ac < bc；若 a < b 且 c < 0，则 ac > bc。
3. 倒置性质：若不等号两边同时倒置，则不等号方向改变。
例如：若 a < b，则 -a > -b。
三、不等式的解法1. 一元一次不等式的解法：(1) 将不等式看作等式，求解得到解集；(2) 在数轴上用表示不等式的符号表示解集。
2. 一元二次不等式的解法：(1) 将不等式化为一元二次函数的解析式；(2) 求解得到关于未知数的区间。
3. 绝对值不等式的解法：(1) 分情况讨论绝对值的取正负；(2) 求解得到关于未知数的区间。
4. 一元分式不等式的解法：(1) 得到分子和分母的符号条件；(2) 求解不等式。
5. 二元一次不等式的解法：(1) 将不等式化为方程组的解析式；(2) 求解得到关于两个未知数的区域。
四、不等式的应用不等式在各个学科中都有广泛应用，下面列举几个常见领域的应用：1. 几何应用：用不等式表示线段长度、角度大小等几何关系。
2. 经济学应用：用不等式表示供需关系、利润大小等经济问题。
3. 物理学应用：用不等式表示速度、加速度等物理量之间的关系。
高一数学基本不等式综合复习
第5讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)b a＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．考点1利用基本不等式求最值[典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++=，则22a b +的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（）A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C 的最大值为4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．15，＋BC ∞D ∞，15[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（）A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（）A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．114a b+≥B ．2212a b +≥CD ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________．8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++的最小值；考点2利用基本不等式证明不等式（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证：(1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数.(1)求24a a +的最小值；(2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>.(1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值；(2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1.(1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=．(1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．考点3基本不等式中的恒成立问题典例1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-+≥+则（）A ．实数λ有最小值1B ．实数λ有最大值1C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()x a x y ++对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．考点4基本不等式与其他专题综合典例1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2016)＝2018x 2017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（）A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（）A ．tan tan tan tanBC B C +=B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)b a＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．考点1利用基本不等式求最值[典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++=，则22a b +的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++=≥，当且仅当33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（）A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C的最大值为4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥ 1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；22224⎡⎤≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．15，＋BC ∞D ∞，15[答案]A[解析]由x >0，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，令t ＝x ＋1x ，则t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2.x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()4433112153131y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立，故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5．故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（）A ．40B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694.故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++884222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号.故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（）A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥，∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确；对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()21122123321212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎣⎦++++⎝⎭当且仅当()21212++=++x x y x x y ，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+，故C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．114a b+≥B ．2212a b +≥CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确；对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥.记u =，则0u >，所以211336u a b =++++≤+=，所以u <≤≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误.故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________．【答案】6-63+【解析】 a ,b 为正实数,且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=+++2111a b a b =++-++2111a b =+++()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331b a a b ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭(1133≥++当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-63+8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.【答案】9【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy y x y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥，当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>Q ，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n +≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________.【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭.因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23.故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(324≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274. 考点2利用基本不等式证明不等式（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证：(1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b acab bc abc++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥，当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝()19322222=+++=，当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数.(1)求24a a +的最小值；(2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥，所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>.(1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值；(2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>，又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号.即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1.(1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.【解】(1)111abc abc abc bc ac ab a b c a b c++=++=++222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立.(2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=，当且仅当b c =时等号成立.所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=．(1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号．又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a bc a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥． 考点3基本不等式中的恒成立问题1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥ ⎪--⎝⎭，()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a ba b b c --=++≥+=+--故得到211,n n N +≥∈则n 的最大值是4.故选：C.[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥．故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-+≥+则（）A ．实数λ有最小值1B ．实数λ有最大值1C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫-≥ ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++，当a b =时，不等式恒成立；当a b¹时，222aba ba b aba bλ+≥+-+12，a b=时等号成立，a b¹12<，故12λ≥.故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x>，0y>，Rm∈时，2222y x m m kx y+>-++恒成立，则k的取值可能是（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】AB【解析】因为0x>，0y>，所以222y xx y+≥=，当且仅当2x y=时，等号成立．因为()222111m m k m k k-++=--++≤+．若2222y x m m kx y+>-++恒成立，则12k+<，解得1k<．故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a ax y z++-++≤对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．【答案】1【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yzx y z x y y z xy yz+++==++++++≤，当x y z==时取等号，所以2222xy yzx y z+++的最大值是12，即211122a a+-≥，解得112a-≤≤，所以a的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x，y，恒有()2222x y a x xy y+-+≤，则实数a的最小值是___________.【答案】2【解析】解：因为0,0x y>>，则()2220x xy y x y xy-+=-+>，则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y +-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+，即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()x a x y ++对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．【答案】2【解析】()()22=22x a x y x x x y x y ++∴++++ ，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >> 0x y ∴+>()x a x y ++maxa ∴≥⎝⎭222x yx y +≤=+max=2a ∴≥⎝⎭，a ∴的最小值为2故答案为：2考点4基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]33-【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin 33a x x ≤+，当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈，当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而4221sin (2sin )33sin 3sin x x x x +=+≥当且仅当12sin sin x x =，即sin 2x =时取“=”，则有3a ≤，当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而4221sin [(2sin )]33sin 3sin x x x x +=--+≤--当且仅当12sin sin x x -=-，即sin x =时取“=”，则有a ≥综上得，33a -≤≤所以实数a 的取值范围是[]33-.故答案为：,33⎡-⎢⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2016)＝2018x 2017的实数解的个数为________．[答案]1[解析]由题意知x >0，∴(x 2018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2016)≥2x 2018·1×12(21·x 2016＋2x 2·x 2014＋…＋2x 2016·1)＝2018x 2017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 1289696962612x x x PMQ x x x x x x x -∠=-===≤=++⋅+⋅βα，当且仅当96x x =，即96x =9610≈，所以BM 大约为10米.故选：C.[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（）A ．30B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+3300022306010Q Q≥⋅⨯=，当且仅当3300010Q Q=，即当100Q =时等号成立.所以f （Q ）的最小值是60.故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（）A ．tan tan tan tanBC B C +=B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=，两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误．故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】448【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+，则()1248433242448AMPN S x x x x ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当483xx=，即4x=时等号成立，故矩形花坛的AMPN面积最小值为48．即当4BM=时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为48.故答案为：4；48.。
高一数学必修 不等式知识点总结
5、常用的基本不等式：① a2 b2 2ab a,b R ；② ab a2 b2 a,b R ；
2
③ ab
ab 2
2
a
0, b
0 ；④
a2
b2 2
a
b 2
2
a,b R ．
6、极值定理：设 x 、 y 都为正数，则有
⑴若 x y s （和为定值），则当 x y 时，积 xy 取得最大值 s2 ． 4
判别式 b2 4ac
0
0
0
二次函数 y ax2 bx c
a 0 的图象
一元二次方程 ax2 bx
c 0 a 0 的根
有两个相异实数根
x1,2
b 2a
x1 x2
有两个相等实数
根
x1
x2
b 2a
没有实数根
ax2 bx c 0
x x x1或x x2
一元二次 a 0
x
⑵若 xy p （积为定值），则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 p ．
例：（13-14 耀华 7）若 2-m 与|m|-3 异号，则 m 的取值范围是
A、m>3
B、-3<m<3
C、2<m<3 D、-3<m<2 或 m>3
2 m 0 2 m 0
解析：由题 得
m
3
0或
m
3
, 3 0
m
2或m
3.
答案：D
例：（13-14 蓟县 11）已知实数 x、y R,且x y 1,则 2 1 的最小值为 xy
解析： 2 1 ( 2 1 )(x y) 3 2 y x 3 2 2 当且仅当 x2 2 y2
高一数学2.2基本不等式笔记
高一数学2.2基本不等式笔记一、基本不等式的内容。
1. 定义。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时，等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 基本不等式√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 当且仅当a = b时，等号成立。
- 证明：- 因为(√(a)-√(b))^2=a - 2√(ab)+b≥slant0（a>0,b>0）。
- 移项可得a + b≥slant2√(ab)，即√(ab)≤slant(a + b)/(2)。
二、基本不等式的几何解释。
1. 对于a^2+b^2≥slant2ab- 设直角三角形的两条直角边为a和b，则斜边为√(a^2)+b^{2}。
- 根据直角三角形的面积，S=(1)/(2)ab，同时S≤slant(1)/(2)×frac{a^2+b^2}{2}（当且仅当a = b时取等号），这就从几何角度解释了a^2+b^2≥slant2ab。
2. 对于√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 设a，b为正数，以a + b为长的线段AB，点C将AB分成AC=a，CB = b。
- 以AB为直径作半圆，过点C作CD⊥ AB交半圆于点D，则CD=√(ab)，半径r=(a + b)/(2)。
- 由图形可知CD≤slant r，即√(ab)≤slant(a + b)/(2)，当且仅当a = b时，C为AB中点，等号成立。
三、基本不等式的应用。
1. 求最值。
- 已知x>0,y>0，若xy = P（定值），则x + y≥slant2√(xy)=2√(P)，当且仅当x = y=√(P)时，x + y取得最小值2√(P)。
- 若x + y = S（定值），则xy≤slant((x + y)/(2))^2=frac{S^2}{4}，当且仅当x = y=(S)/(2)时，xy取得最大值frac{S^2}{4}。
高一基本不等式例题
高一基本不等式例题摘要：一、基本不等式的概念和性质1.定义和表达式2.基本不等式的性质二、例题解析1.例题一2.例题二3.例题三三、解题方法和技巧1.代入法2.比较法3.综合法四、总结1.基本不等式在数学中的重要性2.提高解题效率的方法正文：一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指对于任意的实数a 和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。
基本不等式有许多重要的性质，例如，当a 和b 相等时，等号成立；当a 和b 不相等时，等号不成立。
二、例题解析1.例题一：求解不等式x^2 + y^2 <= 10，其中x 和y 为实数。
解析：我们可以将该不等式看作是两个实数的平方和，根据基本不等式，我们知道x^2 + y^2 >= 2xy，所以2xy <= 10，即xy <= 5。
因此，该不等式的解集为xy <= 5。
2.例题二：证明a^2 + b^2 >= 2ab，其中a 和b 为实数。
解析：根据基本不等式，我们有a^2 + b^2 >= 2ab，等号成立的条件是a=b。
为了证明这个结论，我们可以将a 和b 的平方和表示为(a-b)^2 + 2ab，然后利用平方的非负性，得到a^2 + b^2 >= 2ab，等号成立的条件是a=b。
3.例题三：求解不等式(x-2)^2 + (y-3)^2 <= 10，其中x 和y 为实数。
解析：我们可以将该不等式看作是两个实数的平方和，根据基本不等式，我们知道(x-2)^2 + (y-3)^2 >= 2(x-2)(y-3)，所以2(x-2)(y-3) <= 10，即(x-2)(y-3) <= 5。
因此，该不等式的解集为(x-2)(y-3) <= 5。
三、解题方法和技巧1.代入法：在解题过程中，我们可以将未知数表示为已知数的函数，然后代入原式，从而简化问题的求解过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式
1.已知正实数a，b满足+=1，则a+b的最小值为（）
A．1 B．2 C．4 D．2
2.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+2b=6，则+的最大值是（）
A．B．1 C．D．2
3.若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）
A．B．C．D．
4.设M=（﹣1）（﹣1）（﹣1），且a+b+c=1，（a、b、c∈R+），则M的取值范围是（）A．[0，] B．[，1] C．[1，8] D．[8，+∞）
知识梳理
基本不等式：基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
例题精讲
技巧一：凑项
例1.函数y=3x2+的最小值是（）
A．3﹣3 B．﹣3 C．6D．6﹣3
技巧二：凑系数
例2.当0＜x＜4时，求y=x（8﹣2x）的最大值．
技巧三：分离
例3.求y=的值域．
技巧四：换元
例4.若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）
A．2﹣B．2C．4D．4
技巧五：整体代换（乘“1”法）
例5.已知a，b＞0，若+=1，则2a+b的最小值时（）
A．9 B．8 C．7 D．6
例6.若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（）
A．16 B．20 C．25 D．36
【知识梳理】
基本不等式在最值问题中的应用
一、基本不等式
注：
（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
【例题精讲】
例1.若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）
A．3 B．4 C．D．
例2.已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）
A．有最大值为B．有最小值为
C．没有最小值D．有最大值为3
例3.已知a，b，c∈（0，+∞）且a≥b≥c，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则a的最小值为（）
A．5 B．10 C．15 D．20
例4.已知x＞0，y＞0，且4x++y+=17，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（）A．14 B．15 C．16 D．17
例5.已知实数a，b，c∈（0，1），设+，+，+这三个数的最大值为M，则M的最小值为（）
A．5 B．3+2C．3﹣2D．不存在
例6.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的取值范围是（）
A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．[﹣，1] D．[﹣，1]
知识点三（基本不等式在恒成立问题中的应用）
【例题精讲】
例1.已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2
例2.对任意的θ∈（0，），不等式+≥x2﹣x﹣11恒成立，则实数x的取值范围是（）
A．[﹣3，4] B．[0，2] C．[﹣，] D．[﹣4，5]
例3.不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a≥D．a≥
课堂练习
1.以下四个命题中正确的个数是（）
（1）若x∈R，则x2+≥x；
（2）若x≠kπ，k∈Z，则sinx+≥2；
（3）设x，y＞0，则的最小值为8；
（4）设x＞1，则x+的最小值为3．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）
A．B．3 C．D．
3.已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（）
A．33 B．26 C．25 D．21
4.若正数a，b满足，的最小值为（）
A．1 B．6 C．9 D．16
5.已知m＞0，n＞0，x=m+n，y=．
（1）求xy的最小值；
（2）若2x+y=15，求x的取值范围．
6.函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（）
A．3 B．2C．D．
1.掌握基本不等式公式的推导；
2.会利用基本不等式求最值问题。
1.已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）
A．2B． C．4D．4
2.已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（）
A．3 B．6 C．9 D．12
3.若函数f（x）=（a＜2）在区间（1，+∞）上的最小值为6，则实数a的值为（）
A．2 B．C．1 D．
4.已知a＞0，b＞0且a+b=1，则（﹣1）（﹣1）的最小值是（）
A．6 B．7 C．8 D．9
5.对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]
6.若不等式x+≤a（x+2y）对任意的正实数x，y都成立，则实数a的最小值是（）A．B．C．D．
7.对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）
A．B． C．D．﹣4
8.点P（1，4）在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则的最小值是（）
A．9 B．12 C．11 D．13
9.已知x，y∈R，且8﹣2y=2x，则x+y的最大值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
10.已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y＞m2﹣2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（2，4）B．（1，2）C．（﹣2，1） D．（﹣2，4）。