1.3 流体流动-流体阻力的计算

p f 8 l
R2
ur

p f 4 l
R2 r2
r＝0，ur =umax
umax

p f 4 l
R2
平均流速
u

V
R2

p f R4 8 l R2

p f 8 l
R2

u

1 2
umax
即流体在圆管内层流流动时，其平均流速为管中心 最大流速的一半。
u
dV p f R2 r 2 r dr 2 l
V dV
R p f
R2 r 2 r dr
0
0 2 l
V

p f 2 l

R4 2

R4 4


p f 8 l
R4
平均流速
u
V
R2

p f R4 8 l R2
的经验公式或半经验公。常见的是尼库拉则(J.Nikuradse) 在
光滑管中进行了大量的实验基础上提出的比较简单的计算湍
流时速度分布的近似指数方程，即
1
ur
1
r
n
umax R
式中 n 与雷诺数 Re 有关，其值随 Re 的增加在6-10之间变化。
当 Re = 105 左右，n = 7，则有：
为了研究层流时的速度分布，设流体在半径为 R、 直径为 d 的水平管路作稳定的层流流动，于管路轴心 处取一半径为 r 、长度为 l 的流体柱作为研究对象：
作用于流体柱上的推动力为
p1 p2 r2 pf r2
设半径为 r 处的流体层流速为ur ，( r + dr )处的相邻流 体层流速为(ur + dur )，则沿半径方向的速度梯度为dur / dr。根据牛顿粘性定律，两相邻流体层间相对运动所产 生的内摩擦力为:
(3) Re 4000 时，流动型态为湍流。
流体流动阻力的计算
由于流体流动的管路是由直管和管件(三通、弯头、管 路截面突然扩大和缩小等)、阀门、测量元件(如流量计)等 组成。因此，流体在管内的流动阻力可分为直管阻力和局 部阻力，分别以 hf 和 hf ′ 表示。柏努利方程式中的阻力损 失是直管阻力和局部阻力损失之和，即
Fr
rS

2
r
l dur
dr
Fr
rS

2
r
l dur
dr
上式中取负号是因为流速 ur 沿半径 r 的增加而减小， 即速度梯度 dur /dr 为负值故取负号可使内摩擦力为正值。
对稳定流动，根据受力平衡条件，则有
p f
r2

2
r
l dur
dr
即
dur
因此，在阻力损失的计算中，不但要考虑雷诺数的大 小，还要考虑管壁相对粗糙度的大小。
粗糙度是如何表示的？
管壁粗糙度对阻力系数 的影 响首先是在人工粗糙管中测定的。
人工粗糙管是将大小相同的砂 粒均匀地粘着在普通管壁上，人为 地造成粗糙度，其粗糙度可以精确 测量。
hf hf h'f
直管阻力损失
当流体在直管内以一定速度流动时，有两个相 反的力相互作用着。
一个是促使流体流动的推动力，此力的方向与 流体流动方向一致；
另一个是由于流体的内摩擦力所产生的阻止流 体流动的阻力，其方向与流体流动方向相反。
根据牛顿第二运动定律，只有在上述两个力达 到平衡、相互抵消的条件下，才能维持流体在 管内作稳定流动。
V
R2

p f R4 8 l R2

p f 8 l
R2
p f

8 l u
R2
以R＝d/2代入上式经整理得
p f

32 l u
d2
hf
p f

64
d u
2
lu d2
2
64 l u
Re d 2

hf
p f

64
d u
2
lu d2
例：密度为1000kg/m3、粘度为0.001Pa·s的水在直径为0.2
米的直管中以0.1m/s的速度流动，另一密度为800kg/m3、
粘度为0.005Pa·s的流体在直径为0.5m的直管中以0.25m/s
的速度流动。求两种流体流动的雷诺数Re为多少？
Re 1

du

0.2 0.11000 0.001
平均流速
2 umax n2 R2
u

V
R2

n 12n 1
R2

2umax n2
n 12n 1
u
2n2
umax n 12n 1
由以上分析可知， ū /umax随 n 值的增大而增加，由于 随 Re 的增大 n 值在 6-10 之间变化，因此 ū /umax在 0.791~0.865 之间。通常，流体在圆管内达到完全湍流流动 (Re＝1×105左右) 时，其平均流速约为最大流速的0.82倍。
hf
p f
4 w l d
上式是流体在圆形直管内流动时能量损失 h f 与管壁
处摩擦应力 w 的关系。因为直接用 难，为此作如下变换，以便消去 w 。
w 计算
h f 有困
由于流体流动的阻力损失与流动速度u密切相关，且流体
比动能 u2 与 h f 的单位相同，均为 J/kg 。因此，常把 2
2
64 l u
Re d 2

64
Re
显然，流体在圆形直管内层流时，摩擦系数 λ 仅是 雷诺数 Re 的函数，经实验证明与实际完全符合。
湍流时的速度分布与摩擦系数
湍流时的速度分布
由于湍流流动的复杂性，目前尚不能像层流那样完全从
理论分折来推导其速度公式，大都是综合了实验数据所得出
❖圆管入口边界层的发展
入口段 ❖边界层的分离（脱体）现象：自学
流型的判据──雷诺数
如何知道流型是层流还是湍流？ 雷诺发现，除了流体的流速可引起流动型态的
转变外，还有管径和流体的粘度、密度。在大 量实验的基础上，雷诺把这些影响流型的因素 组合成一个无因次的数群，此数群称为雷诺准 数(简称雷诺数)，以符号 Re 表示
1
ur 1 r 7 umax R
称为普兰持(Prandtl) 1/7次方速度分布方程。 上两式表明了流体在圆管内湍流流动时的速度分布
规律。但在管路计算中，更为有用的则是平均流速ū 。 根据湍流时速度分布的指数方程，进行与层流时相同的
推导，则可得到湍流时的平均流速 ū 与最大流速 umax

2 104
Re 2

du

0.5 0.25 800 0.005

2 104
大量的实验证明，Re值的大小，可以判断流体的流动 型态。当流体在直管内流动时，若
(1) Re 2000 时，流动型态为层流 ; (2) 2000 Re 4000 时，流型不固定，依赖于环境条件， 可能是层流，也可能是湍流，称为过渡流；
圆管内流动的流体中划出一个很薄的环形体，其半径为r，
厚度为dr、截面积为dA＝ 2πrdr，由于环形体很薄，即 dr
很小，可近似取环形体内流体的流速为 ur ，则通过截面
dA的体积流量为
dV urdA ur 2 r dr
ur

p f 4 l
R2 r2
dV p f R2 r 2 r dr 2 l
尽管湍流在流速快的部分有很强的径向混合，但在靠 近壁的地方，流体流速很慢（原因是什么？） ，在壁面上 的流体则流速为0，这一部分流体层面很薄，常被称为层 流底层（层流内层）。
层流底层与湍流层交界部分称为过渡区。
边界层及边界层脱体
边界层如何形成
❖在层流中：
边界层界限
u0
层流边界层
湍流边界层 层流内层（层流底层）
如图l-26所示为一长度为 l、管内径为d 的水平直管内流 体以速度u 流动时的受力情况。
垂直作用于上游截面1上的力为 垂直作用于下游截面2上的力为
d 2
p1 4
d 2
p2 4
则流体流动的推动力为
p1

p2

d
4
2
w 为单位管壁面积上的摩擦力，即管壁处摩擦
应力，那么管内流动流体与管内壁间的摩擦力Fw，
湍流流动中存在层流底层，层流底层的厚度δ尽管很 薄，通常只有几分之一毫米，但它对湍流流动的阻力损失 和流体与壁面间的传热等物理现象有着重要的影响，且这 种影响与管子的相对粗糙程度有关。
将管道壁面的凸出部分的平均高度称为管壁绝对粗糙 度，以ε表示；而将绝对粗糙度与管径的比值ε/d 称为管壁 的相对粗糙度。按照管道的材质种类和加工方法，大致可 将管道分为光滑管与粗糙管。通常把玻璃管、钢管、塑料 管等列为光滑管；将钢管、铸铁管等列为粗糙管。
化工原理
Reporter
第一章 流体流动 主要内容
1 基础知识 2 流体静力学 3 流体动力学 4 流体流动的类型
5 流体流动阻力的计算 6 管路计算 7 流量测量
流体流动的类型
雷诺实验
为了直接观察流体流动的类型及各种因素对流 动状况的影响，英国著名科学家雷诺(Reynolds) 于1883年首先作了一个如图所示的实验，揭示 了流体流动的两种截然不同的流动型态，故称 此实验为雷诺实验。


p f 2 l
rdr
ur 0
dur


p f 2 l
r
rdr
R
ur

p f 4 l
R2 r2
ur

p f 4 l
R2 r2
在管中心，r＝0，ur =umax，代入上式得
umax

p f 4 l
R2
ur

umax
1


r 2
流体流动型态不同，流体在流动管路ห้องสมุดไป่ตู้面上的速度分 布规律和阻力损失的性质就不相同，所以摩擦系数的求法 也因流体流动型态的不同而异。因此，对层流和湍流的速 度分布和摩擦系数分别进行讨论。
层流时的速度分布和摩擦系数
层流时流体层间的内摩擦应力可以用牛顿粘性定律表 示，故利用此定律可以推导出层流时速度分布表达式。
R
层流时的速度分布表达式，为抛物线方程式，表明圆 管中层流时的速度分布呈抛物线，在空间中的速度分布图 形为一旋转抛物面。
工程上，通常以流体通过管截面的平均流速 u 来计 算阻力损失。因此，须找出平均流速 u 和 ∆pf 的关系。
平均流速
VV
u A R2
为了求得通过整个截面的体积流量 V ，在如图所示的
Re du
什么是无因次？
单位： m
Re du
单位： m/s 单位： kg/m3
单位： kg/(ms)




du


N m2 ms

Ns m2

pa
s

kg ms
dy m
m

m s

kg m3
无单位
kg
ms
因为雷诺数是一个无因次数群，所以不论采用何种单位 制，只要其中各物理量用同一单位制的单位，Re值相等。
能量损失 h f 表示为流体比动能 u2 的倍数 2
于是可写成
hf


8 w u2

l d

u2 2
令


8 w u 2
则
hf
l u2
d 2
或
p f
l
d
u 2
2
p f
l
d
u 2
2
该式为计算圆形直管流动阻力的通式，称为范宁 (Fanning)公式，对不可压缩性流体稳定流动条件下的层 流和湍流均适用。式中λ称为摩擦系数，λ是无因次的。要 通过范宁公式计算流动阻力，关键是求取摩擦系数λ。
当水的流速较小时，玻璃管水流中出现一条稳定而明 显的染色直线。表明流体质点沿管轴作直线运动，即流体 分层流动，且各层流体以不同的速度向前运动，把这种流 型称为层流或滞流；
水的流速逐渐加大到一定程度后，染色细线开始弯曲 并出现波浪形。表明流体质点不但沿管轴向前运动，而且 开始有径向运动。当水流速度增大到某一临界值时，染色 细线完全消失，与水流主体完全混成均匀的颜色。表明流 体质点在总体上沿管路向前运动外，还有各个方向上的随 机运动，把这种流型称为湍流或紊流。
为w πdl。当达到稳定流动时，推动力与摩擦力达到
平衡，即
p1

p2


d 4
2
w
d
l
或

p

p1

p2

4 wl
d
上式中 ∆p 表示由于摩擦力所引起的压力降低， 也是能量损失的一种表示形式，单位为J/m3，净单 位同压力单位，即N/m2，常把 – ∆p 记为∆pf 。
若把能量损失的单位以 J/kg 表示，则有
的关系。
湍流流动时通过截面积 dA 的流体体积流量 dV 为:
dV urdA ur 2 r dr
1
dV

2
umax
1
r R
n
rdr
1
V
dV
0
R
2
0
umax

1

r R
n
rdr
积分得
V

2 umax n2 R2
n 12n 1