第六章-最优化决策模型
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8
9
10
线性规划问题与非线性规划问题
Excel
中求解规划问题的方法和步骤
产品混合线性规划问题
产品混合非线性规划问题
11
线性规划就是研究在一组线性约束条件下，
求解一个线性函数的极大化或极小化的问题 线性规划的标准形式为：
Max / Min : y f ( x1 , x2 ,...,xn )
……
sm x1 , x2 ,, x n 0
6
方法一：公式法
分析问题，推导出计算最优解的公式。
方法二：用规划求解工具求解
启动规划求解工具，在规划求解参数对话框中设
置目标单元格（目标变量）和可变单元格（决策 变量），设置目标单元格的目标值（最大、最小 或者某一特定值），添加约束条件，另外也可以 设置一些附加参数。按“求解”按钮，规划求解 工具就根据参数设置寻求最优解。
2
最优化问题的概念
最优化问题分类
最优化问题的数学模型 最优化问题的求解方法
3
最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的
问题； 最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、 利润最多、距离最短、时间最少、空间最小等， 即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确 定下使用最少的资源。
28
第一步，选择“规划求解”工具； 第二步，根据对规划问题的分析，在“设置目标”
中定义目标值所在的单元格及它的取值，在“通过 更改可变单元格”中设置决策变量所在的单元格； 第三步，在“遵守约束”中添加约束条件； 第四步，选择求解方法，“单纯线性”或“非线性 GRG”； 第五步，在正确地完成了对需要求解问题的相关参 数的设置后，单击“求解”按钮，规划求解工具就 开始求解。
23
X2
X1+2X2=10
X1 0
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20 B
X2=4
A
X2 0 E
唯 一 的 最 优 解
X1=1
C
D
X1
X1=6
24
4X1-3X2=0
X2
X1+2X2=10
X1 0
X2=4
B A
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
St : s1(x1,x 2 ,..., x n ) 0
s2(x1,x 2 ,..., x n ) 0
……
s m(x1,x 2 ,..., x n ) 0
12
线性规划问题的三要素
• 决策变量 – 决策问题待定的量值称为决策变量。 – 决策变量的取值要求非负。 • 约束条件 – 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限 制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。 – 约束条件是决策方案可行的保障。 – LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。 • 目标函数 – 衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、 成本最低。 – 有的目标要实现极大，有的则要求极小。 – 目标函数是决策变量的线性函数。
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X2 10 X 1 1 X1,X20
可行域无界
X2 0
X1 4X1-3X2=0
X1=1
27
如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现了
非线性的形式，最优化问题就是非线性规划问题。 线性规划问题是最简单的规划问题，也是最常用 的求解最优化问题的方法，对其进行的理论研究 较早，也较成熟，可以找到全局最优解。 非线性规划问题形式多样，求解复杂，不能保证 找到全局最优解，大部分情况下只能找到局部最 优解 线性规划问题是非线性规划问题的一种特例。
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 x2 条件共同围城的区域。
• 例如数学模型为 max Z= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
9
6 3
D
C(4,6)
x1 =8
2x2 =12
B
0
A
4 8 12
x1
3x1 +4 x2 =36
13
线性规划的定义 对于求取一组变量xj (j=1,2,......,n)，使之既满足 线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函 数取得极值（极大值或极小值）的一类最优化 问题称为线性规划问题，简称线性规划。
14
例. 生产计划问题 • 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：
29
绝对引用与相对引用的切换：F4或者Fn+F4 以矩阵和向量的形式表示；
向量或者矩阵的运算(一般是求和用sum函数)
最后要使用ctl+alt+shift，在公式外面加 大括号；
30
【例8.1】某化工厂用A、B、C三种原料生产P1、
P2两种化工产品。每生产1升P1产品需要A、B、C 的数量为3，4，2公斤，而生产1升P2的数量为4， 2，1公斤。P1、P2的单位利润分别为5元和4元， 工厂现有A、B、C三种原料的数量分别为14，8，6 公斤。试用规划求解工具帮助该工厂安排生产P1、 P2的产量，使其能获利最大。
4
Z=30
8
12
• 等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。 • 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解
3x1 +4 x2 =36
19
LP问题的图解法
二、说明 • 由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义 是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个 集合)。 • 可行域有有限个顶点。设规划问题有 n 个变量， m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。 • 目标函数最优值（如果存在）一定在可行域的 边界达到，而不可能在其内部。
20
LP问题的图解法
• 例: 求解下列线性规划问题 Max Z=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
21
X2
X1+2X2=10
X1 0
MAX Z=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20 B
最优化问题的定义、分类和数学模型，规划求解工
具； 目标函数和约束条件与决策变量之间都是线性关系 的规划问题，产品混合线性规划问题的求解； 目标函数或者约束条件与决策变量之间不是线性关 系的规划问题，产品混合非线性规划问题的求解； 运输、选址等常见规划问题的求解。 多目标规划问题的概念和求解； 规划求解报告的生成与分析。
• 五边形OABCD内(含边界)的任意一点 (x1，x2) 都是满足所有 约束条件的一个解，称之可行解 。
18
LP问题的图解法
2. 最优解的确定
• 目标函数 Z= 3x1 +5 x2 代表以Z为参数的一族平行线。
x2
9 6
?
D
C(4,6)
x1 =8
2x2 =12
B Z=42 A x1
3
Z=15 0
需要指出：对于非线性规划问题， 其解可能不唯一，即可能存在多解， 也可能无解。
34
运输问题
选址问题
35
一.运输问题
运输问题是线性规划问题的特例。 • 产地：货物发出的地点。 • 销地：货物接收的地点。 • 产量：各产地的可供货量。 • 销量：各销地的需求数量。 • 运输问题就是研究如何组织调运，既满足各销地 的需求，又使总运费最小。
劳动力 设 备 原材料 利润元/kg
产品A 9 4 3 70
产品B 4 5 10 120
资源限量 360 200 300
15
• 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品x1 kg；B产品x2 kg 2、确定目标函数：max Z=70X1+120X2 3、确定约束条件：劳动力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
36
一.运输问题
例1. 运输问题
某饮料公司在国内有三个生产厂，分布在城市 A1 、 A2 、 A3, 其一级承销商有 4 个，分布在城市 B1 、 B2 、 B3 、 B4 ， 已知各厂的产量、各承销商的销售量及从 Ai 到 Bj 的每 吨饮料运费为 Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划 运销问题，求运费最小的调运方案。
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X20 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
X2=4
AFra Baidu bibliotek
X1+2X2=0 X2 0 E
可行域无界
D
X1
X1=6
26
4X1-3X2=0
X1=1
X2
X1+2X2=10
X1 0
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
33
求解结果：
产品1 工时 3 用电量 4 原材料 9 产量 24.72 a 3000 b -50 单价 1764 收益 43606.08 单位变动成本 528 变动成本 13052.16 总固定成本 10000 总利润 47198.92 47198.92 2 TRUE TRUE 100 需要量 可提供量单位成本 7 201.91 300 10 5 190.13 250 12 4 295.48 420 50 18.25 3250 -80 1790 32667.5 330 6022.5 产品2
16
LP问题的图解法
一、图解法的基本步骤
• 用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题(指只有两个决策 变量)，可以在平面图上求解，三维的线性 规划则要在立体图上求解，而维数再高以后 就不能图示了。
(1) 可行域的确定可行解 (2) 最优解
17
LP问题的图解法
1. 可行域的确定
4
根据有无约束条件
无约束条件的最优化问题，在资源无限的情况下求解最佳目标； 有约束条件的最优化问题，在资源限定的情况下求解最佳目标； 实际问题一般都是有资源限制的，所以大部分最优化问题都是
有约束条件的最优化问题。
根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式
线性规划问题 非线性规划问题 二次规划问题
31
求解结果：
产品 原料A 原料B 原料C 单位利润 产量 14.8 2 TRUE TRUE 100 P1 3 4 2 5 0.4 总利润 P2 4 2 1 4 3.2 14.8 实际量 供给量 14 14 8 8 4 6
32
【例8.2】某公司生产两种产品，两种产品各生产
一个单位需要工时3和7，用电量4千瓦和5千瓦， 需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工时为 300，可提供的用电量为250千瓦，可提供的原材 料为420公斤。两种产品的单价p与销量q之间存在 负的线性关系，分别为p1=3000 - 50q1, p2 = 3250- 80q2。工时、用电量和原材料的单位成本 分别为10、12和50，总固定成本是10000。该公司 怎样安排两种产品的产量，能获得最大利润？
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 6 7 3 2 B2 3 5 2 3 B3 2 8 9 1 B4 5 4 7 4
37
产量 5 2 3
(1)决策变量。
决策的是调运量，因此决策变量为：从Ai到Bj的运输量为xij，
根据决策变量是否要求取整数
整数规划问题 0-1规划问题 任意规划问题
5
最优化问题可表示为如下的数学形式：
Max / Min : y f x1 , x2 ,, xn St : s1 x1 , x2 ,, x n 0 s2 x1 , x2 ,, x n 0
X2=4
A
C
X2 0 E
D
X1
X1=6
22
4X1-3X2=0
X1=1
LP问题的图解法
二、解的可能性
• 唯一最优解：只有一个最优点。
• 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个相邻顶点同 时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无 限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）。 • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集。
MAXZ=2X1+4X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
2X1+4X2=Ω
存在无穷多解
C
X2 0 E
D
X1
X1=6
25
X1=1
X2
X1 0
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
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线性规划问题与非线性规划问题
Excel
中求解规划问题的方法和步骤
产品混合线性规划问题
产品混合非线性规划问题
11
线性规划就是研究在一组线性约束条件下，
求解一个线性函数的极大化或极小化的问题 线性规划的标准形式为：
Max / Min : y f ( x1 , x2 ,...,xn )
……
sm x1 , x2 ,, x n 0
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方法一：公式法
分析问题，推导出计算最优解的公式。
方法二：用规划求解工具求解
启动规划求解工具，在规划求解参数对话框中设
置目标单元格（目标变量）和可变单元格（决策 变量），设置目标单元格的目标值（最大、最小 或者某一特定值），添加约束条件，另外也可以 设置一些附加参数。按“求解”按钮，规划求解 工具就根据参数设置寻求最优解。
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最优化问题的概念
最优化问题分类
最优化问题的数学模型 最优化问题的求解方法
3
最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的
问题； 最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、 利润最多、距离最短、时间最少、空间最小等， 即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确 定下使用最少的资源。
28
第一步，选择“规划求解”工具； 第二步，根据对规划问题的分析，在“设置目标”
中定义目标值所在的单元格及它的取值，在“通过 更改可变单元格”中设置决策变量所在的单元格； 第三步，在“遵守约束”中添加约束条件； 第四步，选择求解方法，“单纯线性”或“非线性 GRG”； 第五步，在正确地完成了对需要求解问题的相关参 数的设置后，单击“求解”按钮，规划求解工具就 开始求解。
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X2
X1+2X2=10
X1 0
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20 B
X2=4
A
X2 0 E
唯 一 的 最 优 解
X1=1
C
D
X1
X1=6
24
4X1-3X2=0
X2
X1+2X2=10
X1 0
X2=4
B A
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
St : s1(x1,x 2 ,..., x n ) 0
s2(x1,x 2 ,..., x n ) 0
……
s m(x1,x 2 ,..., x n ) 0
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线性规划问题的三要素
• 决策变量 – 决策问题待定的量值称为决策变量。 – 决策变量的取值要求非负。 • 约束条件 – 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限 制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。 – 约束条件是决策方案可行的保障。 – LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。 • 目标函数 – 衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、 成本最低。 – 有的目标要实现极大，有的则要求极小。 – 目标函数是决策变量的线性函数。
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X2 10 X 1 1 X1,X20
可行域无界
X2 0
X1 4X1-3X2=0
X1=1
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如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现了
非线性的形式，最优化问题就是非线性规划问题。 线性规划问题是最简单的规划问题，也是最常用 的求解最优化问题的方法，对其进行的理论研究 较早，也较成熟，可以找到全局最优解。 非线性规划问题形式多样，求解复杂，不能保证 找到全局最优解，大部分情况下只能找到局部最 优解 线性规划问题是非线性规划问题的一种特例。
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 x2 条件共同围城的区域。
• 例如数学模型为 max Z= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
9
6 3
D
C(4,6)
x1 =8
2x2 =12
B
0
A
4 8 12
x1
3x1 +4 x2 =36
13
线性规划的定义 对于求取一组变量xj (j=1,2,......,n)，使之既满足 线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函 数取得极值（极大值或极小值）的一类最优化 问题称为线性规划问题，简称线性规划。
14
例. 生产计划问题 • 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：
29
绝对引用与相对引用的切换：F4或者Fn+F4 以矩阵和向量的形式表示；
向量或者矩阵的运算(一般是求和用sum函数)
最后要使用ctl+alt+shift，在公式外面加 大括号；
30
【例8.1】某化工厂用A、B、C三种原料生产P1、
P2两种化工产品。每生产1升P1产品需要A、B、C 的数量为3，4，2公斤，而生产1升P2的数量为4， 2，1公斤。P1、P2的单位利润分别为5元和4元， 工厂现有A、B、C三种原料的数量分别为14，8，6 公斤。试用规划求解工具帮助该工厂安排生产P1、 P2的产量，使其能获利最大。
4
Z=30
8
12
• 等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。 • 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解
3x1 +4 x2 =36
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LP问题的图解法
二、说明 • 由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义 是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个 集合)。 • 可行域有有限个顶点。设规划问题有 n 个变量， m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。 • 目标函数最优值（如果存在）一定在可行域的 边界达到，而不可能在其内部。
20
LP问题的图解法
• 例: 求解下列线性规划问题 Max Z=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
21
X2
X1+2X2=10
X1 0
MAX Z=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20 B
最优化问题的定义、分类和数学模型，规划求解工
具； 目标函数和约束条件与决策变量之间都是线性关系 的规划问题，产品混合线性规划问题的求解； 目标函数或者约束条件与决策变量之间不是线性关 系的规划问题，产品混合非线性规划问题的求解； 运输、选址等常见规划问题的求解。 多目标规划问题的概念和求解； 规划求解报告的生成与分析。
• 五边形OABCD内(含边界)的任意一点 (x1，x2) 都是满足所有 约束条件的一个解，称之可行解 。
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LP问题的图解法
2. 最优解的确定
• 目标函数 Z= 3x1 +5 x2 代表以Z为参数的一族平行线。
x2
9 6
?
D
C(4,6)
x1 =8
2x2 =12
B Z=42 A x1
3
Z=15 0
需要指出：对于非线性规划问题， 其解可能不唯一，即可能存在多解， 也可能无解。
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运输问题
选址问题
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一.运输问题
运输问题是线性规划问题的特例。 • 产地：货物发出的地点。 • 销地：货物接收的地点。 • 产量：各产地的可供货量。 • 销量：各销地的需求数量。 • 运输问题就是研究如何组织调运，既满足各销地 的需求，又使总运费最小。
劳动力 设 备 原材料 利润元/kg
产品A 9 4 3 70
产品B 4 5 10 120
资源限量 360 200 300
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• 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品x1 kg；B产品x2 kg 2、确定目标函数：max Z=70X1+120X2 3、确定约束条件：劳动力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
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一.运输问题
例1. 运输问题
某饮料公司在国内有三个生产厂，分布在城市 A1 、 A2 、 A3, 其一级承销商有 4 个，分布在城市 B1 、 B2 、 B3 、 B4 ， 已知各厂的产量、各承销商的销售量及从 Ai 到 Bj 的每 吨饮料运费为 Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划 运销问题，求运费最小的调运方案。
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X20 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
X2=4
AFra Baidu bibliotek
X1+2X2=0 X2 0 E
可行域无界
D
X1
X1=6
26
4X1-3X2=0
X1=1
X2
X1+2X2=10
X1 0
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
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求解结果：
产品1 工时 3 用电量 4 原材料 9 产量 24.72 a 3000 b -50 单价 1764 收益 43606.08 单位变动成本 528 变动成本 13052.16 总固定成本 10000 总利润 47198.92 47198.92 2 TRUE TRUE 100 需要量 可提供量单位成本 7 201.91 300 10 5 190.13 250 12 4 295.48 420 50 18.25 3250 -80 1790 32667.5 330 6022.5 产品2
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LP问题的图解法
一、图解法的基本步骤
• 用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题(指只有两个决策 变量)，可以在平面图上求解，三维的线性 规划则要在立体图上求解，而维数再高以后 就不能图示了。
(1) 可行域的确定可行解 (2) 最优解
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LP问题的图解法
1. 可行域的确定
4
根据有无约束条件
无约束条件的最优化问题，在资源无限的情况下求解最佳目标； 有约束条件的最优化问题，在资源限定的情况下求解最佳目标； 实际问题一般都是有资源限制的，所以大部分最优化问题都是
有约束条件的最优化问题。
根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式
线性规划问题 非线性规划问题 二次规划问题
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求解结果：
产品 原料A 原料B 原料C 单位利润 产量 14.8 2 TRUE TRUE 100 P1 3 4 2 5 0.4 总利润 P2 4 2 1 4 3.2 14.8 实际量 供给量 14 14 8 8 4 6
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【例8.2】某公司生产两种产品，两种产品各生产
一个单位需要工时3和7，用电量4千瓦和5千瓦， 需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工时为 300，可提供的用电量为250千瓦，可提供的原材 料为420公斤。两种产品的单价p与销量q之间存在 负的线性关系，分别为p1=3000 - 50q1, p2 = 3250- 80q2。工时、用电量和原材料的单位成本 分别为10、12和50，总固定成本是10000。该公司 怎样安排两种产品的产量，能获得最大利润？
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 6 7 3 2 B2 3 5 2 3 B3 2 8 9 1 B4 5 4 7 4
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产量 5 2 3
(1)决策变量。
决策的是调运量，因此决策变量为：从Ai到Bj的运输量为xij，
根据决策变量是否要求取整数
整数规划问题 0-1规划问题 任意规划问题
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最优化问题可表示为如下的数学形式：
Max / Min : y f x1 , x2 ,, xn St : s1 x1 , x2 ,, x n 0 s2 x1 , x2 ,, x n 0
X2=4
A
C
X2 0 E
D
X1
X1=6
22
4X1-3X2=0
X1=1
LP问题的图解法
二、解的可能性
• 唯一最优解：只有一个最优点。
• 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个相邻顶点同 时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无 限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）。 • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集。
MAXZ=2X1+4X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20
2X1+4X2=Ω
存在无穷多解
C
X2 0 E
D
X1
X1=6
25
X1=1
X2
X1 0
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X 1 6 X 2 4 X 1 1 X1,X20