08动力响应分析

解出三个固有频率
1 0,
2
k , I
3
3k I
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
x2 0.1095a cos1t 0.3687a cos2t 0.4783a cos3t
x3 0.1469
0.0919
0.0919
其中 1 0.3559
k, m
2 1.1281
k, m
3 1.7609
求系统对初始条件的响应。
解：系统的位置可由三圆盘的 转角 1， 2 ， 3 确定，
运动微分方程是
I 0 0
0 I 0
00I 213



k k 0
k 2k k
0 k k

利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标 或正则坐标表示的响应；
再反变换至原物理坐标求出n自由度无阻尼系统对初始条 件的响应.。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
xN 2xN 0
ANT MAN I
AN1 ANT M
x N (0) ANT M x0

x
N
(0)

ANT
M x0
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法
xN1
x AN xN

AN1 AN2ANn
k m
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
例10 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对 转轴的转动惯量均为I，各段轴的扭转刚度系数均k为 ，轴重
不计。若已知运动的初始条件 0 0 0 0T ， 0 0 0T
1 2 3


0

00
求主振型
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
I 0 0
0 I 0
00I 213



k k 0
0.5179 0.3353
0.7256 , M m0
0.1394
0
1 0Biblioteka Baidu
0 2
0.2418 xN (0) ANT Mx0 m 0.7120
0.4530 0.5179
0.6067 1 0.33530
0 1
00
a 0

0.2418 ma0.7120
多自由度系统
动力响应分析
无阻尼系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对激励的响应 有阻尼系统对激励的响应
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程 M x K x 0
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无阻尼系统对初始条件的响应
例9 在例1中，设初始条件是 x(0) a 0 0T , x(0) 0 0 0T,
求系统的响应。
解：已求出系统的正则振型 矩阵和质量矩阵
0.2418 0.7120 0.6592
1 0 0
AN
1 m
0.4530 0.6067
0.6592 0.7256 0.1394 0 0 2 0
0.6592
x N (0) ANT Mx0 0
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无阻尼系统对初始条件的响应
得到用正则坐标表示的响应 求出系统对初始条件的响应
xN1 0.2418 a m cos1t xN2 0.7120 a m cos2t xN3 0.6592 a m cos3t
x AN1 xN 1 AN2 xN 2 AN3 xN 3
x1 0.0585
0.5069
0.4345
M x K x 0
x AN x N
由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为
xNi

xNi (0) cosit

xNi (0)
i
sin it
(i 1,2,3,, n)
x AN x N
x N AN1 x x N ANT Mx
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xN2

xNn
AN1xN1 AN2xN2 ANnxNn
对于半正定系统，有固有频率 ωi = 0 系统具有刚体运动振型 xN i 0
x N i x N i (0) x N i (0)t
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k 2k k
0 k k

1 2 3


0

00
写出特征方程
B

k

k
2
I
0
k
2k 2I
k
0
k

k 2I
得到系统的频率方程 B (k 2I)(3k2I 4I 2) 0
当t=0时，系统的初始位移与初始速度为
x(0) x0 x1(0) x2 (0) xn (0)T x(0) x0 x1(0) x2 (0) xn (0)T
求系统对初始条件的响应。
求解的方法是：
利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换
成n个独立的单自由度形式的运动微分方程；