牛顿第二定律

4、平面运动刚体的动能 刚体的平面运动可以分解为任选基点的平动和绕该基点的转动， 则以质心C为基点，刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能 与绕质心C转动的动能之和。
1 1 1 2 2 2 T = MvC + J Cω = J Pω 2 2 2
对整个质点系，有： d Σ 则：
P 为刚体平面运动的 瞬心，JP为刚体对瞬 心轴的转动惯量。
达朗贝尔原理 Alemberte)(动静法 D’Alemberte)(动静法) Alemberte)(动静法)
§1. 质点的达朗贝尔原理 G m 称为惯性力，则有： N F
ma=F+N F+N- ma=0
令
G = - ma F+N+G=0
即为质点的达朗贝尔原理。
上式在形式上是一个平衡方程，G 具有力的量纲，是质量和加 速度的乘积，因此称为惯性力。 惯性力是人为地、假想地加上去的，并不真实的作用在物体上。 达朗贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题，它并不改 变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。
5、质点系的动能定理 设一质点系由n个质点构成，对第 i个质点有：
dT = Σ δ W
m ivi = Σ δW i 2
2
m ivi d = δW i 2
2
即为质点系动能定理的微分形式。 即为质点系动能定理 的积分形式。
积分上式，有：
T2 − T1 = ΣW
动能定理主要用来求解
v、ω、a、ε，不能求反力！
动力学普遍定理
重点研究刚体在 各种运动形式下的 运动微分方程 动量定理 动量矩定理 动能定理
§1. 质点的动量定理 1.质点的动量: k=mv 矢量， 量纲为:kg ⋅ m/s = kg ⋅ m/s 2 ⋅ s = N ⋅ s 2.力的冲量: S =F t 矢量， 量纲为:N s 前式中， F为常力， 若F为变力， 则为 t1 s = F dt S 元冲量: dS =F d t
转动刚体上力偶矩的功
z ω
δW = Fτ ⋅ ds = Fτ ⋅ rdϕ = m z ⋅ dϕ
W = ∫ M z ⋅ dϕ
ϕ1
当Mz为常力偶矩时，有: dφ ds r
ϕ2
W = ± M zϕ
当力偶矩与转角同向时作正功， 异向时作负功。
§2. 质点的动能定理 一、质点的动能
1 2 T = mv 2
质点运动微分方程的直角坐标形式为: x mɺɺ = ΣX 已经看到，对一个质点的运动微分方程的积分在 ɺɺ = ΣY 有些问题中已很困难.若对一由n个质点所构成的质点 my 系，则需列3n个这样的微分方程组，其难度可想而知.
mɺɺ = ΣZ z
与运动特征相关的量——动量、动量矩、动能 与力特征相关的量——冲量、力矩、功 关系
通过上面的讨论看出:只有外力才能使质 点系的动量发生变化，而内力不能改变 整个质系的动量;但是，内力可以改变质 点系内部分质点的动量.对仅受内力作用 的质点系，如果其中某一部分的动量发 生变化，则另一部分的动量也必然变化.
§3. 质心运动定理 质点系的动量
K = ∑ miv i = MVC
Σ p i xi xC = Σ pi
z
Jz ε = ΣMz
与质心运动定理
或 J zɺɺ = ΣMz φ
MaC = ΣF
比较之。
即为刚体定轴转动的微分方程。
§5. 质点系相对于质心的动量矩定理 前面所讨论的动量矩定理只适用于惯性参考系，也即，动量 矩的矩心、矩轴都是固定不动的。 我们关心的问题是动量矩的矩 心可否运动？ 研究表明，动量矩的矩心可以为动点，但随着矩心 位置的不同其动量矩定理的形式也不同。 下面讨论对于质心的动 量矩定理。
M为质点系的总质量，
VC为质点系质心C的速度
质量中心——质心： 由重心坐标公式
Σ pi y i yC = Σ pi
zC
Σpi zi = Σpi
Σmi gxi Σmi xi x = 有： C = Σmi g Σmi
Σm i z i Σm i y i zC = yC = Σm i Σm i
rC = xC i + yC j + zC k Σmi xi i + Σmi yi j + Σmi zi k Σmi ri Σmi ri = rC = = M Σmi Σmi
T =Σ
2
mi vi =
2
( Σ mi ) vC
1 2 T = MvC 2
M为质点系的总质量。
3、转动刚体的动能
1 2 T = Σ mi vi 2 1 2 T = Σ mi ( riω ) 2 1 2 2 = Σ mi ri ω 2 1 T = J Zω 2 2
z ω
其中， JZ为刚体对转轴的转动惯量。 与平动刚体的动能相对比，只需将对 应的平动量换为转动量即可。 与质量M相对应，转动惯量JZ则是刚体 转动惯性的度量。
动量矩定理
外力的主矢将引起质点系的动量和质心位置的改变。而我们知 道，作用于质点系的外力向一点简化后，得到一主矢和一主矩。那 末，主矩对质系的运动有何影响呢？ §1. 质点的动量矩定理
d( r × mv ) ∴ = r ×F dt
即为质点的动量矩定理. 其中:
dh o 即: = mo dt
ho = r × mv 为质点对固定点 O的动动量 ; m o = r × F 为作用在质点上的合力 F对固定点 O的力矩 .
投影式为:
dh x = mx dt
该质点动量矩守恒:
dh y dt
= my
dh z = mz dt
若在运动过程中,作用在质点上的合力对固定点O的矩恒为0,则
h 0 =常数
若在运动过程中,作用在质点上的合力对某固定轴的矩恒为0,则 该质点对该轴的动量矩守恒:
hz = 常数
§2. 质点系的动量矩定理 1、质系的动量矩 投影式
dv m = F( x ) dt dv dx ⋅ = F( x ) 变形 m dx dt
三、动力学两类基本问题： 1.已知运动求力,正问题,求导; 2.已知力求运动,逆问题,积分:
1).F = C 2 ).F = F ( t ) 直接积分 3). F = F ( v )
mvdv = F( x )dx
i
·
i i
i
e
i
d(Σm i v i ) = (ΣFi + ΣFi )dt
e i
dK = ΣFdt
t2 t1
或
dK = ΣF dt
即为质点系动量定理 的微分形式
K2 −K1 = ∫ ΣFdt = ΣS
即为质点系动量定理的积分形式
将上式投影到直角坐标系上有:
K 2x − K 1x = ΣS x K 2y − K 1y = ΣS y
H z = Σ z = Σ z ( mi v i ) h m
H 0 = Σ h o = Σ ( r i × m iv i
)
z ω
2、转动刚体对转轴的动量矩
H z = J zω
其中， z J
= Σm r
2 i i
为刚体对转轴的转动惯量，
为一常数.
3、质点系的动量矩定理
dH 0 = ΣM 0 dt
即为质点系的动量矩定理
质点系动量矩定理的投影式为：
dH z = ΣM z dt
若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为 0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。
§4. 刚体定轴转动的微分方程 将质点系的动量矩定理 及定轴转动的动量矩
dH dt
z
= ΣM
z
H z = J zω
应用于刚体定轴转动的情形，有：
d(J z ω) = ΣM dt
几种特殊情况： ①转轴不通过质心，ω匀角速转动：
GO = G = - Ma
②转轴通过质心，ω不匀：
ε= 0; a = 0
mv 2 d( ) = δW 2
动能是标量，恒取正值。 单位为焦耳 J 。
二、质点的动能定理
dT = δW
即为质点动能定理的微分形式。
积分前式，有：
T2 − T1 = W
1 2 T = Σ Ti = Σ mi vi 2
即为质点动能定理的积分形式。 §3. 质点系的动能定理 1、质系的动能
2、平动刚体的动能 平动时刚体上各点的速度相等，质心C点的速度为vC，则平动 1 1 刚体的动能为： 2 2
dH C = ΣM C dt
上式即为质点系相对于质心C的动量矩定理，其形式与对固定 点的动量矩定理完全相同。
§6. 刚体平面运动的微分方程 刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的 转动。 这里，以质点系的质心C为基点，则随质心C的平动用质心 运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体 平面运动的微分方程： C
ma
二、刚体惯性力系的简化 刚体由无数个质点构成，若对每点去施加惯性力其难度则不难 想象。因此，对于刚体的惯性力系，则应设法将其简化。
转动刚体的惯性力主矢
GO = - Ma C
加在转轴O，方向由O指向质心C。
转动刚体的惯性力主矩
M = - J zε
n O
Jz 为对转轴Z 的转动惯量，M 的转向与ε相 反。
动量定理
∫
t2
3. 质点的动量定理: :
ma = F dv m = F dt d(m v ) = F dt
dk = ds
即为质点的动量定理的微分形式.
其积分式为:
k2 - k1 = s
t2 t1
即为质点的动量定理的积分形式.
将上式投影到直角坐标系上有:
mv2x − mv1x = ∫ Fx dt = s x
mv2z − mv1Байду номын сангаас = 0
§2. 质点系的动量定理 1. 质系的动量:
K = ∑ mi vi
i
2. 质系的动量定理: 对于第i个质点有:
d(m i v i ) = ( Fi + Fi )dt
e i
Σd(m i v i ) = Σ( Fi + Fi )dt
e i
0
·F m m v · · · · ·F ·
即为质心的坐标公式，而其矢径为：
由质系的动量定理: d K
MaC = ΣF
dt
= ΣF
d (MVC ) = ΣF 有： dt
即为质心运动定理，其投影式为：
M ɺɺC = Σ X x M ɺɺC = Σ Y y
Ma = Σ Fn
n c τ c
Ma = Σ Fτ
若作用在质点系上的合外力ΣF=0，则 ac=0，VC=常量，即质系 的质心做惯性运动；若初始 vc= 0，则质心保持静止不动。 若作用在质点系上的合外力在某轴上的投影ΣX=0，则 acx=0， Vcx=常量，即质系的质心在该轴方向做惯性运动；若初始 vcx= 0， 则质心在该轴方向保持不动。也即质心在该轴方向运动守恒。
一、直角坐标形式
质点运动微分方程（质点动力学基本方程） ma = F
x y z a = ɺɺi + ɺɺj + ɺɺk F = Xi + Yj + Zk x mɺɺ = ΣX y mɺɺ = ΣY
二、自然坐标形式
man = ΣFn maτ = ΣFτ
4 ). F = F ( x )
K 2z − K 1z = ΣS z
若在运动过程中，作用在质点系上的合力恒为0，则该质点系动量 守恒: 2 1 若在运动过程中，作用在质点系上的合力在某轴上的投影恒为0， 则该质点系在该轴上动量守恒:
K −K = 0
− K 1x = 0
K
2x
K 2y − K 1y = 0 K 2z − K 1z = 0
Ma = ΣF
其投影式为：
dH C = ΣM C dt
M ɺɺC = Σ X x M ɺɺC = Σ Y y J C ε = ΣM C
Ma
或：
n c τ c
= Σ Fn = Σ Fτ
Ma
J C ε = ΣM C
动能定理
动能定理描述了作用于物体上的力所作的功与物体动能变化 之间的关系. §1. 力的功
mv2y − mv1y = ∫ Fy dt = s y
t1
t2
mv2z − mv1z = ∫ Fz dt = s z
t1
t2
若在运动过程中，作用在质点上的合力恒为0，则该质点动量守恒:
若在运动过程中，作用在质点上的合力在某轴上的投影恒为0，则 该质点在该轴上动量守恒:
mv 2 − mv 1 = 0
mv2x − mv1x = 0 mv2y − mv1y = 0
牛顿力学
动力学基本定律
一、牛顿三定律: 第一定律: 惯性定律
第二定律:
a=
F
m
第三定律: 作用力与反作用力定律
二、惯性系: 牛顿定律不可能适用一切参考系，而只能适用于“绝对运动” 的参考系，古典力学中，认为地球不动（地心学）而将其作为牛顿 定律的参考系，也称作为惯性参考系。当天体力学发展起来以后， 又不能以地球作为惯性参考系，而以太阳或其它恒星作为惯性参考 系，但在地球表面附近，牛顿定律仍然适用。因此，得出一个抽象 的结论：适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。 用起来又太 抽象，以后，若无特别声明，则以地球为惯性参考系。