第七章 定积分 - 云南大学数学分析精品课程

第七章 定积分

§1. 定积分的概念

1． 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) (0)b

a xdx a

b <<⎰； (2) ()b

a kdx k ⎰

是常数；

(3) 2

2x dx ⎰

-1

；

(4)

1

(1,0)x a dx a a ≠>⎰

.

2． 设

1,,(,),

()0,[,)(,],

x c c a b f x x a c c b =∈⎧=⎨

∈⋃⎩ 求证

()0b

a

f x dx =⎰

.

§2. 定积分存在的条件

1. 设()f x 在[,]a c b c + +可积，证明()f x c +在[,]a b 上可积，且

()()b

b c

a

a c

f x c dx f x dx +++=⎰

⎰

.

2. 若函数()f x 在[,]a b 上可积，其积分是I ，今在[,]a b 内有限个点上改变()f x 的

值使它成为另一函数*()f x ，证明*()f x 也在[,]a b 上可积，并且积分仍为I .

3. 举例说明2

()f x 在[,]a b 可积，但()f x 在[,]a b 不可积.

4. 判断下列函数在区间[0,1]上的可积性：

(1) ()f x 在[0,1]上有界，不连续点为1(1,2,)x n n

= = ；

(2) sgn(sin ),(0,1],

()0,0;

x f x x

x π⎧

∈⎪=⎨⎪ =⎩

(3) 11,(0,1],

()0,0;x f x x x x ⎧⎡⎤

- ∈⎪⎢⎥=⎣⎦

⎨⎪ =⎩ (4) 1

,(0,1],1()0,0.

x f x x x ⎧ ∈⎪⎡⎤

⎪=⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪ =⎩

5. 讨论2(),(),|()|f x f x f x 三者间可积性的关系．

6. 设(),()f x g x 都在[,]a b 上可积，证明：

()max((),()),()min((),())M x f x g x m x f x g x = =

在[,]a b 上也是可积的．

7. 设()f x 在[,]a b 上可积，且()0f x r ≥>，求证：

(1)

1

()

f x 在[,]a b 可积； (2) ln ()f x 在[,]a b 可积．

8. 设()f x 在[,]a b 可积，求证：任给0ε>，存在逐段为常数的函数()x ϕ，使

|()()|.

b

a

f x x dx ϕε-<⎰

9. 设()f x 在[,]a b 上有界，定义

[,]

[,]

[,]sup ()inf (),f x a b x a b a b f x f x ω∈∈=-

求证

',''[,]

[,]sup |(')('')|.f x x a b a b f x f x ω∈=-

10. 设()f x 在0x 附近有定义且有界，定义

00011()lim ,.f n x x x n n

ω→+∞⎛

⎫

=-+ ⎪⎝

⎭

求证：()f x 在0x 连续的充分必要条件为0()0f x ω=．

11. 若函数()f x 在[,]A B 可积，证明：

0lim |()()|0,b

a

h f x h f x dx →+-=⎰

其中A a b B <<< (这一性质称为积分的连续性)．

12. ()0,''()0,f x f x ≥ ≤对任意省仨[,]x a b ∈成立，求证：

2()().b

a

f x f x dx b a ≤-⎰

13. 设()f x 在[,]a b 有连续的导函数，求证：

1max |()||

()||'()|.b

b a a a x b

f x f x dx f x dx b a

≤≤≤+-⎰⎰ 14. 设()f x 在[,]a b 可积，求证；存在连续函数序列(),1,2,n x n ϕ = ，使

lim ()().b b

n a

a

n x dx f x dx ϕ→∞=⎰⎰

15. 设()f x 在[,]a b 黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列{[,]}a b 使

11[,](,)(,),n n n n a b a b a b ++⊂⊂

且1

([,])f n n a b n

ω<

； (2) 存在1

[,]n

n

n c a b ∞

=∈

，使得()f x 在c 点连续；

(3) ()f x 在[,]a b 上有无穷多个连续点．

§3. 定积分的性质

1. 比较下列各对定积分的大小： (1) 1

1

20

xdx x dx ⎰

⎰，；

(2)

220

sin xdx xdx ππ

⎰

⎰，；

(3) 1

120133x

x dx dx --⎛⎫

⎪⎝⎭

⎰⎰，.

2. 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 2

1

1x e

dx e ≤

≤⎰；