外接球问题典型例题精编版

在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2

AA BC BAC π

==∠=，此

三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）

A ．

323

π

B ．16π

C ．

253

π

D ．

312

π

【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式.

【答案解析】A 解析 ：解：直三棱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，

（如图），

∵ABC 中，BAC

?ABC 的外心P 为BC 的中点， 同理，可得上底面111A B C 的外心Q 为11B C 的中点， 连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC

再取PQ 中点O ，可得：点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等， ∴O 点是三棱柱111ABC A B C -外接球的球心

∵RT POB 中，12BP BC =

=11

12

PQ AA ==，

∴2OB =，即外接球半径2R =，

因此，三棱柱111ABC A B C -外接球的球的体积为：3344233V R p p ==故选：A ．

【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱111ABC A B C -外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ 的中点．在直角RT POB 中，利用勾股定理算出OB 的长，即得外接球半径R 的大小，再用球的体积公式即可算出所

求外接球的体积．

四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外

接球的表面积（ ）

A ．25π

B ．45π

C ．50π

D ．100π

【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.

已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为．

【知识点】球内接多面体．

【答案解析】3p解析：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，

所以外接球的表面积为

2

43

p p

=

桫

，故答案为3p.

【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积．

相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以

及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱

平面四边形中，,,,将其沿对角线折成

四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）

（A）（B）（C）（D）

1.A 根据题意，如图，可知中，，在中，

,又因为平面平面，所以球心就是的中点，半径为，所以球的体积为：．

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为

（ ） A ．

814π B ．16π C ．9π D ．274

π

【答案】A

【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2

=（4﹣R ）2

+（

）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2

=

．故选：

A

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

俯视图

侧视图

正视图

3

1

1

【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积 【答案解析】

163

π

解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC 与底面垂直，高

其中OA=OB=OC=1，SO ⊥平面ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM=x ，则

. 【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题.

π18

如图，三棱锥ABC P -中，

90=∠ABC ，它的三视图如下，求该棱锥的 （Ⅰ）全面积；（Ⅱ）内切球体积；（Ⅲ）外接球表面积．

【知识点】根据 三视图的定义正确读取三棱锥ABC P -中的位置关系和数量关系，几何体内切球半径、外切球半径的求法.

【答案解析】(1) 21248+；(2) 343)24(363π

-；(3) 4

289

π．

解析 ：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC ，

正视图

俯视图 侧视图 P A C B

顶点P 在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E ，且高为 4的三棱锥。侧面PAB 、PAC 的高都是5

，底面斜边长

111

66265448222

⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+ （2）设内切球球心O,半径r ，则由P ABC O ABC O PAB O PAC O PBC V V V V V -----=+++得

(1111

664483232

r ⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯，解得

r=

(647-,

所以内切球体积为

(3

2884343

π

（3）设外接球球心M ，半径R,M 在高PE 所在直线上，因为

4<所以(

)(2

2

24R R -+=,解得R=

17

4

，所以外接球表面积为4289π。

【思路点拨】（1）三视图的定义正确读取三棱锥ABC P -中的位置关系和数量关系，从而

求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径。

三棱锥BCD A -的外接球为球，球O 的直径是AD ，且BCD ABC ∆∆,都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是（ ） A

122

B 81

C 61

D 8

2

【知识点】棱锥的体积

【答案解析】A 解析：因为截面

BOC 与直径AD 垂直，而BO=CO=

2

，所以三角形BOC

为等腰直角三角形，其面积为

1124

=，而BCD A -的体积为1134⨯

= A 【思路点拨】求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形

法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为