高二数学平面向量的综合应用PPT教学课件
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高二数学平面向量总结PPT优秀课件
Y1+Y
2
2
平移公式
如果点P(x,y)按向量a(h,k)平移
至P’(x’,y’)，则有 X’=x+h Y’=y+k
正.余弦定理
正弦定理
a sinA
=
b sinB
=
c sinC
=2R
余弦定理
a2 = b2+ c 2 -2bccosA
b2 = c 2+ a2 -2cacosB
c 2 = a2+ b2-2abcosC
2）垂直的充要条件
a⊥b
a . b =0
- =0 X1 Y2
X2 Y1
=0 + X1 X2 Y1 Y2
线段定比分点公式
设P(x,y), P1(x1,y1), P2(x2,y2) 且P分有向
线段P1 P2所成比为λ ，则有
X=
X1+λx
1+λ
2
y=
Y1+λY
1+λ
2
中点坐标公式:
X=
X1+x2 2
y=
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档 , Y1- Y2)
实数和向量的积
1）定义 表示： λa
2）运算律 λ(μ a)=(λ μ) a
(λ+ μ) a = λ a + μa λ( a + b )= λ a+ μ a 3）坐标运算 a =(x,y)
λa = (λx, λy)
向量的数量积
1)定义 a . b = a b cosθ
2)运算律
a. b = b . a （λ a ）b = a（λ b ）= λ（ a . b ） （a +b）c = a . c + b . c
沪教版数学高二上册-平面向量的应用PPT全文课件
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1. a b a b 0 线 线 垂 直
cos a b 求 角 大 小 或 证 明 角 相 等判 断 角 形 状
ab
2.
a
2
x2
2
y2
边长、距离
a a
3. b/ / a(a 0) b a 线线平行、点共线
F
O
BO // BD, B,O, D三点共线
B
A
E
BO为ABC的角平分线四边形ABCD为菱形.
BA AD 2
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由 1 BA 1 BC 3 BD 即BO 3 BD,
BA
BC
BD
BD
2
2
两
边
平
方
得：BA
2 BA • BC
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课本第8章平面向量的坐标表示一页中有这样 一段话： ……当向量与其坐标建立起对应关系后，向量可以
表示成有序的实数对，这是一种数学的抽象。 这种抽象的好处是，使向量可以在更大的范围内
加以利用，并由此建立起向量与代数、几何、三角的 紧密联系。
小 ？ 并 求 此 时OB与OA xOB的 夹 角 。
方法一：利用
a
2
2
a
向量的数量积可以计算长度和角。
方法二：建立坐标系，可以降低问题的难度。我们要有运
用坐标的意识，将几何问题中形的问题转化为数的运算。
方法三：向量的几何背景也是解决几何问题的有效工具
1.长度、距离、夹角几何问题可以运用向量的数量积（代数角度）. 2.建立坐标系是几何问题代数化的重要工具（代数角度）. 3. 向量的几何背景是解决几何问题的有效工具（几何角度）。 4.我们应从问题条件入手，多角度思考问题。 5.在探究的过程中我们运用了函数思想、数形结合思想。 沪教版数学高二上册-平面向量的应用PPT全文课件【完美课件】
《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT(第一课时余弦定理)
必修第二册·人教数学A版
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3．在△ABC 中，若(a－ccos B)b＝(b－ccos A)a，判断△ABC 的形状．
解析：由余弦定理，原式可化为 (a－c·a2＋2ca2c－b2)b＝(b－c·b2＋2cb2c－a2)a， 整理得，(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 故 a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
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知识点二 余弦定理的推论 预习教材，思考问题 在△ABC 中，已知三条边，如何求出其三个内角？
[提示] 可将余弦定理中的三个公式变形为 cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2，在结合三角形内角和定理求解．
(2)把 b＝3，c＝3 3，B＝30°代入 b2＝a2＋c2－2accos B，可得 32＝a2＋(3 3)2－
2a·3 3·cos 30°，即 a2－9a＋18＝0，解得 a＝6 或 a＝3.
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已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边的夹角，还是其中 一边的对角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一 边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三条边．
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[教材提炼] 知识点一 余弦定理 预习教材，思考问题 (1)已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定 吗？
人教版A版课标高中数学必修二第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算课件
a // b(b 0) a b; a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0.
6
例1 若向量 a = ( 1, x)与 b = ( x, 4) 共线且方向相同，求x． x = 2.
方向相同时，对应坐标的符号相同；方 向相反时对应坐标的符号也相反
7
例2 已知A( 1, 2), B(2, 8)，AC 1 AB,
3
DA 1 BA, 求点C、D和向量CD的坐标.
3
分别为(0，4)、( 2，0)和( 2， 4). 分析：待定系数法设定点C、D的坐
标，再根据向量AC ，AB ，DA 和CD的关 系进行坐标运算，用方程思想解之．
说明：本题涉及到方程思想
8
例3已知任意四边形ABCD中，E、F 分别是AD、BC的中点，如图. 求证：
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
(1)
x
10
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
1
1、平面向量的坐标表示:
a xi y j (x, y)
2、平面向量的坐标运算:
(a ( x1, y1), b x2, y2 )
a b x1 x2, y1 y2 a b x1 x2, y1 y2
a ( x1, y1),其中 R
6
例1 若向量 a = ( 1, x)与 b = ( x, 4) 共线且方向相同，求x． x = 2.
方向相同时，对应坐标的符号相同；方 向相反时对应坐标的符号也相反
7
例2 已知A( 1, 2), B(2, 8)，AC 1 AB,
3
DA 1 BA, 求点C、D和向量CD的坐标.
3
分别为(0，4)、( 2，0)和( 2， 4). 分析：待定系数法设定点C、D的坐
标，再根据向量AC ，AB ，DA 和CD的关 系进行坐标运算，用方程思想解之．
说明：本题涉及到方程思想
8
例3已知任意四边形ABCD中，E、F 分别是AD、BC的中点，如图. 求证：
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
(1)
x
10
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
1
1、平面向量的坐标表示:
a xi y j (x, y)
2、平面向量的坐标运算:
(a ( x1, y1), b x2, y2 )
a b x1 x2, y1 y2 a b x1 x2, y1 y2
a ( x1, y1),其中 R
平面向量的应用PPT课件
（4）点 P 满足：OP OA ( AB AC ) ， (0, ) ，则
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 教学课件
1.向量的定义： 2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量 能进行运算吗？
一起来探究吧！
1. 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
C
A B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法， 称为向量加法的三角形法则.
B
C
F
O
A
B O
C A
O
O B
A B
A C
O
A
B
O
B
A
O
A
B
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和 结合律呢？
D A
C B
D
A
C
B
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图， 一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
问题2 在物理课中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如何计 算力F所做的功？
问题3 能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？
观察力做功的计算公式，发现公式中涉及力与位移的夹角，所以 先来定义向量的夹角概念.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数 量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
2.如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、 C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
7
5
2
1.向量的定义； 2.有向线段的三要素及向量的几何表示； 3.向量的模、零向量、单位向量的定义及表示； 4.平行向量、相等向量、共线向量.
《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第二课时正弦定理)
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同理，过点 C 作与C→B垂直的单位向量 m，可得sinc C＝sinb B. 因此sina A＝sinb B＝sinc C. 在钝角三角形中的这个边角关系也成立．
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知识梳理 正弦定理
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法二：由sina A＝cobs B＝cocs C 得sina A＝cobs B＝cocs C，① 把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 代入①， 得 2R＝2Rtan B＝2Rtan C， ∴tan B＝tan C＝1， 又 0°<B<180°，0°<C<180°， ∴B＝C＝45°，A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
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[教材提炼] 知识点一 正弦定理 预习教材，思考问题 (1)在△ABC 中，若 A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边 BC 吗？
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2．在△ABC 中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则 b＝( )
A．5 2
B．10 2
C．10 6
D．5 6
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 b＝assiinnAB＝10s×insi4n5°30°＝5 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，若 A＝30°，a＝2，b＝2 3，则此三角形解的个数为( )
高中数学必修二 《6 4 平面向量的应用》优秀教学课件
则
所以
上面两式相加得
所以
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
√
达标检测
√
22
2
又∵M，O，N三点共线，
例1.如图，DE是 的中位线，用向量方法证明：
证明：因为DE是 的中位线，所以
从而
所以
又
于是
1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 3) 把运算结果“翻译”成几何元素．
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简单的表述为：
[形到向量] —— [向量的运算] —— [向量和数到形]
例2：如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
A
B
C
D
解：取 为基底，设 ，
第六章 平面向量及其应用
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，连首尾
特点:同一起点,对角线
A
O
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
B
4. 平面两向量夹角公式:
5. 求模：
6.共线向量定理：
7、平面向量基本定理：来自由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．
所以
上面两式相加得
所以
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
√
达标检测
√
22
2
又∵M，O，N三点共线，
例1.如图，DE是 的中位线，用向量方法证明：
证明：因为DE是 的中位线，所以
从而
所以
又
于是
1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 3) 把运算结果“翻译”成几何元素．
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简单的表述为：
[形到向量] —— [向量的运算] —— [向量和数到形]
例2：如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
A
B
C
D
解：取 为基底，设 ，
第六章 平面向量及其应用
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，连首尾
特点:同一起点,对角线
A
O
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
B
4. 平面两向量夹角公式:
5. 求模：
6.共线向量定理：
7、平面向量基本定理：来自由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．
平面向量的综合应用PPT教学课件
2
∴ a b a 2a b b 2 a a 3 a
∴ ab 3 a
∴ cos a (a b)
2
a ab
a21 2
2
a
3
a ab a 3 a a 3 a 2
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b 与 a 3b 垂直？
解（：1）k a b=k(1,2)+(-3,2=) (K-
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
MⅡ
精细胞
变形
精子
精细胞变形总结：
1.细胞核
精子的头部
2.高尔基体
精子头部的顶体
3.中心体
精子的尾部
4.线粒体
线粒体鞘
5.细胞内其他物质 原生质滴
(球状,最后脱落)
胎
卵原细胞
儿
有丝分裂
卵
时
多个卵原细胞
子 发 生 过
初 情 期
期 完 成
染色体复制
初级卵母细胞
MⅠ
程至
次级卵母细胞 第一极体
生
MⅡ
殖
衰 卵子 第二极体
f (ma nb) (mx1 nx2, 2my1 2ny2 mx1 nx2) mf (a) (mx1, 2my1 mx1) nf (b) (nx2, 2ny2 nx2 )
f (ma nb) mf (a) nf (b)
例4 已知 a ( 3, 1),b (1 , 3 ),且存在实数k和t,
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
新人教版高中数学《平面向量的综合应用》公开课PPT课件
则有 3＋p2＝4，解得 p＝2，所以抛物线 M 的方程为 y2＝4x，F(1,0). 设 Ay420，y0，则O→A＝y420，y0，A→F＝1－y420，－y0，所以O→A·A→F＝y4201－y420
－y20＝－4，解得 y0＝±2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1，－2).
题型一 向量在平面几何中的应用
师生共研
典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点. 若 A→C·B→E＝1，则AB＝____12____.
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F， 则 又∵ B→EA→＝CF＝→DA→，D∴＋BA→→EB＝，F→D＝A→D－21A→B， ∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2 ＝|A→D|2＋21|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
定是菱形.( √ )
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为
2π 3
，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1
＋F2的大小为 19 .( √ ) (5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足 O→P·O→A ＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y
－4＝0.( √ )
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)， 若动点P满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1
∴△ABC 为直角三角形.
3.[P103定义]已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的 大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝___3_0_0___ J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
－y20＝－4，解得 y0＝±2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1，－2).
题型一 向量在平面几何中的应用
师生共研
典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点. 若 A→C·B→E＝1，则AB＝____12____.
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F， 则 又∵ B→EA→＝CF＝→DA→，D∴＋BA→→EB＝，F→D＝A→D－21A→B， ∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2 ＝|A→D|2＋21|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
定是菱形.( √ )
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为
2π 3
，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1
＋F2的大小为 19 .( √ ) (5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足 O→P·O→A ＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y
－4＝0.( √ )
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)， 若动点P满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1
∴△ABC 为直角三角形.
3.[P103定义]已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的 大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝___3_0_0___ J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
平面向量的综合运用 人教课标版精品公开PPT课件
即
r2 ka
(t3
r2 3t)b
(t
kt 2
r 3k)a
r b
0
，
∴ k
r a
2
(t3
3t)
r b
2
0，
将
r a
2,
r b
1 代入上式，得 4k
t3
3t
0 ，∴k
1 (t3
3t)
，
4
∴ k t2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7 ，
t4
4
4
故k
t t22 t
时1 (，t2 4
变式：试用向量 b ， c 表示 a .
解：⑵∵ a mb nc ，m, n R ，
∴ (3,2) m(1,2) n(4,1)
(m 4n,2m n)
∴
m 4n 2m n
2
3
，
，
解之得
m
5 9
n
8 9
.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
2
解：⑴∵ f (x) a (a b) a a a b
sin2 x cos2 x sin xcosx cos2 x
1 1 sin 2x 1 (cos2x 1) 3 2 sin(2x ) ，
2
2
22
4
∴ f (x) 的最大值为 3 2 ，最小正周期是 2 ；
22
的转化，从而将问题转化为三角问题，再利用三 角函数的知识来解决的.
巩固练习
设向量 a (sin x,cos x) ， b (cos x,cos x) ， x R ，函
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
人教高中数学A版必修二 《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
第十五页，共八十页。
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；
⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中不是向量的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第十六页，共八十页。
【解析】选C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥ ⑦只有大小，没有方向，不是向量.
第十七页，共八十页。
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量
特性？只描述其中一个方面可以吗？
第五页，共八十页。
提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征， 方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是否具备 了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以只描述其中 一个方面不可以.
第六页，共八十页。
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？
提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的 方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.
向量平行于任意向量.
第九页，共八十页。
【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.0
有方向，其方向是任意的.
第十页，共八十页。
(2)若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？
提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同. (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？ 提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包 括所在直线重合的情况，故也称向量共线.
是( )
第十八页，共八十页。
A.DA和BC B.DC和AB C.DC和BC D.DC和DA
第十九页，共八十页。
【解析】选B.结合题干图可知 与 大小相等，
方向相同，所以
高中数学A版必修第二册专题一平面向量的综合应用-课件
3
3
m， ∠AOB 内，且∠AOC＝30°，所以设 C
3
m ，m>0，由O→C＝xO→A＋yO→B(x，y∈R)，可得 m，
3
m ＝
m＝x，
x＝m，
x(1，0)＋y(0，3)．由向量的坐标运算可得
3m＝3y，即 3
y＝
93m，所以yx＝
m 3 ＝3
m
9
3.故选 C.
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
k－λ＝0，
k＝1， k＝－1，
所以
解得
或
又因为λ>0，所以 k＝1.
λk－1＝0， λ＝1， λ＝－1，
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
13 ，
16．已知向量 a＝( 3，－1)，b＝ 2 2 .
(1)求与 a 平行的单位向量 c； (2)设 x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在 t∈[0，2]，使得 x⊥y 成立，求 k 的取值范围．
3
3
2
2
1 cos∠DAB＝－ ，所以∠DAB＝120°.故选 C.
2
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
8．在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为边 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动，则E→C·E→M的取值范围是
(C)
1 ，2
A. 2
3 0， B. 2
13 ，
C. 2 2
D．[0，1]
1 |C→D|的取值范围为__(_2_，__1__]．
解析
如图．∵E 为 Rt△ABC 中斜边 AB 的中点，AB＝2，∴CE＝1.∵C→D·C→E＝1，即|C→D|·|C→E|·cos∠ECD＝1，
高中数学第二章平面向量2.4向量的应用课件新人教B版必修4
1
2
3
【做一做3的夹角为60°,则F1的大小为( ) A.5 3 N B.5 N
C.10 N D.5 2 N 解析:|F1|=|F|cos 60°=5(N). 答案:B
1.用向量的方法证明有关直线平行、垂直、线段相等及点共线 等问题的基本方法 剖析 (1)要证两线段 AB=CD,可转化为证明|������������|=|������������|或������������2 = ������������2 ; (2)要证两线段 AB∥CD,只要证明存在一实数 λ≠0,使������������=λ������������ 成立; (3)要证两线段 AB⊥CD,可转化为证明������������ ·������������=0; (4)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在一实数 λ≠0,使������������=λ������������, 或若 O 为平面上任一点,则只需要证明存在实数 λ,μ(其中 λ+μ=1),使 ������������=λ������������+μ������������.
∴4×4×cos∠BAC=8, ∴∠BAC=60° ,且|������������|=|������������|, ∴△ABC 为等边三角形.
答案:等边三角形
1
2
3
2.向量在解析几何中的应用 (1)若直线l的倾斜角为α,斜率为k,向量a =(m,n)平行于l,则k= ������ ������ tan α= ;反之,若直线 l 的斜率 k= ,则向量(m,n)一定与该直线平 ������ ������ 行; (2)向量(1,k)与直线l:y=kx+b平行; (3)与a=(m,n)平行,且过点P(x0,y0)的直线方程为n(x-x0)-m(y-y0)=0; (4)过点P(x0,y0),且与向量a=(m,n)垂直的直线方程为m(x-x0)+n(yy0)=0.
平面向量的综合应用-PPT课件
x1 y2 x2 y1 0
4.用向量法处理向量的模： a a
2
2
二、基础应用
例1.已知 a与 b是非零向量， 且 a b a b 求 a 与 a b的夹角。 解： 设 a 与 a b 的夹角为 2 2 2 2 得 b a b a 2a b b 由 b a b ，
3
例3. 已知向量
三、向量在代数中的应用
u ( x, y) 与 v ( x,2 y x)
的对应关系记作 v f (u ) 求证：对于任意向量 a, b及常数 m, n 恒有f (ma nb) mf (a) nf (b)
证明： 设
f (ma nb) (mx1 nx2 ,2my1 2ny2 mx1 nx2 ) mf (a) (mx1, 2my1 mx1 ) nf (b) (nx2 , 2ny2 nx2 ) f (ma nb) mf (a) nf (b)
x
3 HP PM 0, PM MQ, 2
五、小结
1.向量的基本知识点
2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
（2） k a b 与 a 3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？ 1 解： 由题意得： 10(2k+2)+4(k-3)=0. 解得： k 3 1 k 时 k a b 与 a 3b 平行 3 1 此时 k a b (a 3b)
k a b 与 a 3b 反向.
a 3b
ka b a 3b (ka b) (a 3b) 0
10(k-3)-4(2k+2)=0 解得: K=9. 得： K=9 k a b 与 a 3b 垂直。 时
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恒有f( m a n b ) m f( a ) n f( b )
证明： 设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 ) m a n b ( m x 1 n x 2 , m y 1 n y 2 )
f ( m a n b ) ( m x 1 n x 2 , 2 m y 1 2 n y 2 m x 1 n x 2 ) m f ( a ) ( m x 1 , 2 m y 1 m x 1 ) n f ( b ) ( n x 2 , 2 n y 2 n x 2 ) f ( m a n b ) m f ( a ) n f ( b )
（A)8或-2,（B)6或-4（, C)4或-6,（D)2或-8
解析：平移后的直线方程为：2xy3c0
由 d r得 c 3 5, 得c=8或-2
5
变式：已知直线 axbyc0与圆o
x2 y2 1相交于A,B两点，且AB 3,
则 O A O B _ _ _ _ 12_ _ _
例6.已知点 H(3,0), 点P 在 y 轴上，点Q在x
解：由题意得：10(2k+2)+4(k-3)=0解. 得：k 1
k
1 3
时
kab与 a3b 平行
3
此时 kab1(a3b)
3
kab与 a3b反向.
三、向量在代数中的应用
例3. 已知向量 u(x,y)与 v(x,2yx)
的对应关系记作 v f (u)
求证：对于任意向量 a , b 及常数 m , n
一、知识回顾
设向量 a(x1,y1)与 b(x2,y2)的夹角为
1.用向量法求角
cos
ab
ab
x1 x2y1 y2 x12y12 x22y22
2.用向量法处理垂直
a b a b 0 x1x2y1y20
3.用向量法处理平行 a （ b b 0 ) 有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 a b
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23 )2b ,ykatb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
解：
t
t2 3
3 (t2 3 )
x (3 , 1
)
2
2
1
3
y( 3 t,k t)
2
2
由 x y,及其充要条件可得：k t(t2 3)
kt2 3t2 t1(t2)27
x 1y 2 x 2y 1 0
4.用向量法处理向量的模：
2
a
2
a
二、基础应用
例1.已知 a 与 b 是非零向量，且 abab
求 a 与 a b的夹角。
解：设 a 与a b 的夹角为
2
22
2
由 b ab，得 b a b a 2 a b b
2
∴ 2ab a
22
2 22 2
∴ a b a 2 a b b 2 a a 3 a
k a b a 3 b ( k a b ) ( a 3 b ) 0
得：10(k-3)-4(2k+2)=0解得: K=9.
K=9 kab与 a3b 垂直。
时
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) kab与 a3b垂直？
（2）kab与 a3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？
∴ ab 3a
∴ cos a(ab)
2
a a b
2
a
1
2
a
2
3
a ab a 3 a a 3 a 2
2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) kab与 a3b垂直？
解（：1）kab=k(1,2)+(-3,2=) (K-
a3b=(1,2)-3(-3,2) =3(,120k,+42) )
满足关系 k a b3a k b （,k 为正实数）
（1）求将a 与b 的数量积表示为关于 k 的函数 f ( k )
（2）求函数 f ( k )的最小值及取得最小值时a 与b 的夹角
四、向量在平面解析几何中的应用
例5.若直线2xyc0按向量 a(1,1)平移
后与圆 x2 y2 5相切，则c的值是（ A）
轴的正半轴上，点M直线PQ上，且满足：
H PP M 0,P M 3M Q , 当点P在y轴上移动时2，求点M的轨迹方程。
4
t4
4
4
当t 2时， k t 2 取最大值 7 。
t
4
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23 )2b ,ykatb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
t
变式：已知向量 a (c o s,sin),b (c o s,sin ),且 a , b
证明： 设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 ) m a n b ( m x 1 n x 2 , m y 1 n y 2 )
f ( m a n b ) ( m x 1 n x 2 , 2 m y 1 2 n y 2 m x 1 n x 2 ) m f ( a ) ( m x 1 , 2 m y 1 m x 1 ) n f ( b ) ( n x 2 , 2 n y 2 n x 2 ) f ( m a n b ) m f ( a ) n f ( b )
（A)8或-2,（B)6或-4（, C)4或-6,（D)2或-8
解析：平移后的直线方程为：2xy3c0
由 d r得 c 3 5, 得c=8或-2
5
变式：已知直线 axbyc0与圆o
x2 y2 1相交于A,B两点，且AB 3,
则 O A O B _ _ _ _ 12_ _ _
例6.已知点 H(3,0), 点P 在 y 轴上，点Q在x
解：由题意得：10(2k+2)+4(k-3)=0解. 得：k 1
k
1 3
时
kab与 a3b 平行
3
此时 kab1(a3b)
3
kab与 a3b反向.
三、向量在代数中的应用
例3. 已知向量 u(x,y)与 v(x,2yx)
的对应关系记作 v f (u)
求证：对于任意向量 a , b 及常数 m , n
一、知识回顾
设向量 a(x1,y1)与 b(x2,y2)的夹角为
1.用向量法求角
cos
ab
ab
x1 x2y1 y2 x12y12 x22y22
2.用向量法处理垂直
a b a b 0 x1x2y1y20
3.用向量法处理平行 a （ b b 0 ) 有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 a b
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23 )2b ,ykatb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
解：
t
t2 3
3 (t2 3 )
x (3 , 1
)
2
2
1
3
y( 3 t,k t)
2
2
由 x y,及其充要条件可得：k t(t2 3)
kt2 3t2 t1(t2)27
x 1y 2 x 2y 1 0
4.用向量法处理向量的模：
2
a
2
a
二、基础应用
例1.已知 a 与 b 是非零向量，且 abab
求 a 与 a b的夹角。
解：设 a 与a b 的夹角为
2
22
2
由 b ab，得 b a b a 2 a b b
2
∴ 2ab a
22
2 22 2
∴ a b a 2 a b b 2 a a 3 a
k a b a 3 b ( k a b ) ( a 3 b ) 0
得：10(k-3)-4(2k+2)=0解得: K=9.
K=9 kab与 a3b 垂直。
时
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) kab与 a3b垂直？
（2）kab与 a3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？
∴ ab 3a
∴ cos a(ab)
2
a a b
2
a
1
2
a
2
3
a ab a 3 a a 3 a 2
2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) kab与 a3b垂直？
解（：1）kab=k(1,2)+(-3,2=) (K-
a3b=(1,2)-3(-3,2) =3(,120k,+42) )
满足关系 k a b3a k b （,k 为正实数）
（1）求将a 与b 的数量积表示为关于 k 的函数 f ( k )
（2）求函数 f ( k )的最小值及取得最小值时a 与b 的夹角
四、向量在平面解析几何中的应用
例5.若直线2xyc0按向量 a(1,1)平移
后与圆 x2 y2 5相切，则c的值是（ A）
轴的正半轴上，点M直线PQ上，且满足：
H PP M 0,P M 3M Q , 当点P在y轴上移动时2，求点M的轨迹方程。
4
t4
4
4
当t 2时， k t 2 取最大值 7 。
t
4
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23 )2b ,ykatb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
t
变式：已知向量 a (c o s,sin),b (c o s,sin ),且 a , b