(完整版)计算力学复习题答案

计算力学试题答案
1. 有限单元法和经典Ritz 法的主要区别是什么？
答：经典Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。

有限单元法是单元一级的Ritz 法。

2、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵[K ]奇异有何物理意义？在求解问题时如何消除奇异性？
答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵D 、厚度t 相同的单元，相同⑸的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，e
K e
K 其位置与结点位置对应。

整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。

的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。

[]K 为消除的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。

[]K 3. 列式说明乘大数法引入给定位移边界条件的原理？
答：设：，则将 j j a a =jj jj
k k α=j jj j
P k a α=即：修改后的第个方程为
j 112222j j jj j j n n jj j
k a k a k a k a k a αα+++++= 由于得 jj j jj j k a k a αα≈所以 j j
a a ≈对于多个给定位移时，则按序将每个给定位移都作上述修正，得到全部进行修正
()12,,,l j c c c = 后的K 和P ，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。

4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。

借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用
化程序。

5、对于平面4节点（线性）和8节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，
1112112112122222221222122
22222j n j n j j jj j n j jj j n n nj n n n n k k k k a P k k k k a P k k k k a k a k k k k a P αα⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦ 15
10α≈0 ()
ij
jj
k i j k α≈≠ ()jj ij k k i j α>>≠
需要多少个Gauss 积分点？说明理由。

答：对于平面4节点（线性）矩形单元：
(,)i N ξη∝1,,,ξηξη
T B DB 221,,,,,ξηξηξη∝=J 常数
所以2
m =因而积分点数为：矩阵
22⨯对于平面8节点（二次）矩形单元：
(,)i N ξη∝22221,,,,,,ξηξηξηξη
T B DB 221341,,,,,,ξηξηξηη∝ =J 常数
所以4
m =因而积分点数为：矩阵
33⨯⑴矩形、正方形、平行四边形=J 常数
1、有限单元法的解题步骤如何？它与经典Ritz 法有何区别？
答：⑴划分单元，输入结点和单元信息； ⑵单元分析：e
e
N K
P 、、⑶整体分析： 引入位移边界条件得到：=Ka
P ⑷求解方程得到解a ⑸对位移结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变
a 2、总刚度矩阵[K]的任一元素k ij 的物理意义是什么？如何解释总刚度矩阵的奇异性和
带状稀疏性？
答：K 中元素的物理意义：当结构的第个结点位移方向上发生单位位移，而其它结点位ij K j 移方向上位移为零时，需在第个结点位移方向上施加的结点力大小。

i 奇异性：=0,力学意义是对任意给定的结点位移所得到的结构结点力总体上是满足力和力矩的
K
平衡。

反之，给定任意满足力和力矩平衡的结点载荷P ，由于K 的奇异性却不能解得结构的位移,因a 而结构仍可能发生任意的刚体位移。

为消除的奇异性，结构至少需给出能限制刚体位移的约束[]K 条件。

带状稀疏性：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。

另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，即为总刚度矩阵的带状分布特性。

1
1.52
m n +≥
=141
2.522
m n ++≥
==1
,e n e e e e T ==∑K G K G 1e n e e
e T ==∑P G P
3、以3节点三角形单元为例证明插值函数特性
，n 为节点数。

11
i =∑=n
i
N
答： 图形见课本P105图3.6由面积坐标：
插值函数：i i
N L =()
i j m P L ，L ，L 所以
4、什么是等参单元？等参单元的收敛性如何？
答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参元。

等参单元满足收敛性需满足两个条件：即单元必须是协调的和完备的。

完备性条件：要求插值函数中包含完全的线性项（包含常数项和一次项）。

协调性条件：单元边界上位移连续，相邻单元边界具有相同的结点，每一单元沿边界的坐标和未知函数采用相同的插值函数。

5、对于空间8节点（线性）和20节点（二次）六面体单元，为了得到精确的刚度矩
阵，需要多少个Gauss 积分点？说明理由。

答：
对于空间8节点（线性）六面体单元：
(,)i N ξη∝1,,,,,,,x y z xy yz zx xyz T B DB 221,,,,,x xy xz x y ∝ =J 常数
所以2
m =因而积分点数为：矩阵
222⨯⨯对于空间20节点（二次）六面体单元：
(,)i N ξη∝2223332222221,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x y z x y z x y z xy yz zx x y xy x z xz y z yz xyz T B DB 41,,,,,x xy xz x ∝ =J 常数
所以4
m =因而积分点数为：矩阵
333⨯⨯i i A L A
=
(i,j,m)i =n
j i j m
i m i i 1
+1A A A A A A A N A A A =+=++==∑(i,j,m)
i =1
1.52
m n +≥
=1 2.5
2
m n +≥=
1、为什么说3 节点三角形单元是常应变单元？
答：常应变单元指的是在一个单元内的应变为常数，有限元中的常应变单元指的是线性三角形单元，线性三角形单元的位移场为线性的，应变为位移的一阶导数，故为常数，因此称为常应变单元。

2.以平面4 节点双线性单元为例，说明形函数的两个重要特性。

答：图形见课件2.5矩形单元插值函数（形函数）的性质
进而验证插值函数的性质：
3、何为等参变换？等参元有那些优点？
答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参元。

借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。

2、如图所示平面问题有限元网格，每个单元4 个节点，每个节点2 个自由度，
1. 给出适当的节点编号，使总的系数矩阵的半带宽最小，并计算半带宽的值；
2. 在您的节点编号下，图中节点A 的主对角线上的元素在总系数矩阵中的行号和列号如何？
3. 哪几个单元对节点A 的主对角线上的系数有非零贡献？
1、答：沿短边回头编号，存储量最小。

带宽的计算：(1)D =+⨯相邻结点号码的最大差值自由度
2、答：由
得节点A 的主对角线上的元素、在总系数矩阵中的行号为11和12,列号为11,12。

11,11k 12,12k ()()11
114N ξη=++()()
21
114N ξη=-+()()31
114N ξη=
--()()
41
114
N ξη=+- 1 ()
(,)0 ()i j j ij i j N i j ξηδ=⎧==⎨≠⎩4
1
1
i
i N
==∑11,11
11,126612,11
12,12k k K k k ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
3、答：2、3、4单元对A 的主对角线上的系数有非零贡献。

注意：杆件单元在每个节点上有1个自由度，带宽不用乘以2。

三、图示6 节点三角形单元的142 边作用有均布侧压力q ，单元厚度为t ，求单元的等效节点载荷。

见课件2.5.3—5采用面积坐标时，单元矩阵的计算中：（2）均布侧压力q 和（4）x 方向三角形分布力中的形函数。

四、
见课件3.3.3
11
五、
答：⑴观察插值函数，包含一次完全多项式，满足完备性要求，但其含有三次项与，此3
7a ξ3
8a η点与八点矩形单元四个边上均仅有三个点，最多满足二次项矛盾，不满足协调性，因而不满足收敛性。

⑵观察差值函数，包含一次完全多项式，多项式最高次为2
，明显既满足完备性和协调性，故收敛。

i n g
s 第三页PDF ：
六、考虑等截面轴力杆单元，题图中分别示出2 节点和3 节点单元体，
1. 写出它们的位移插值函数；
2. 推导这两种单元体的刚度矩阵；
3. 对3 节点单元体用静力凝聚法消去中间节点自由度，建立单元体刚度矩阵表达式。

解：⑴图a ， 令，则有。

1212212()2()
x x x x x x x x L
ξ-+-+=
=
-121,1,11ξξξ=-=-≤≤故有，，。

(1)
211121()()(1)2N l ξξξξξξξ-==
=--(1)122211
()()(1)2
N l ξξξξξξξ-===+-图b ，令，则有。

1212312()2()
x x x x x x x x L
ξ-+-+=
=
-1231,0,1,11ξξξξ=-==-≤≤故有，(2)
23111213()()1
()()(1)
()()2N l ξξξξξξξξξξξξ--==
=--- (2)
2
1322
2123()()
()()1()()
N l ξξξξξξξξξξξ--==
=--- (2)
12313132()()1
()()(1)
()()2
N l ξξξξξξξξξξξξ--==
=+--⑵图a ：有应变矩阵。

1
21
22
dN
dN dN dN d dN B LN dx
dx d d dx d L ξξ
ξξ⎡⎤⎡⎤====
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

[]0
011211T T
L L L e
T
dN dN EA dN dN EA K B DBdx EA dx d dx dx L d d L ξξξ-⎡⎤
====⎢⎥-⎣⎦
⎰⎰
⎰图b ：有应变矩阵。

1
1
11
1
12
dN
dN dN dN dN dN d dN B LN dx
dx
dx d d d dx d L ξξ
ξ
ξξ⎡⎤⎡⎤====
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

[]0
014212216831814T
T
L L
L
e T dN dN
EA dN dN EA K B DBdx EA dx d dx dx
L d d L ξξξ-⎡⎤
⎢⎥====-⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦
⎰⎰
⎰⑶，有1122331421216831814u F EA u F L u F -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
12322213332168(28)/16L L u u u F u F u u EA EA +-=⇒=-+代入与，消去，得：12313142L u u u F EA +-=
12333814L
u u u F EA
--+=2u 。

121332
171084132102F F u
EA u L F F ⎡
⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦
二、用最小势能原理推导平面弹性问题的有限元方程。

解：利用最小势能（位能）原理推导平面弹性问题有限元方程，见课本P61。

第二章课件也有。

三、如图所示的平面内部三角形单元网格每节点 2 个自由度，1. 用图中所给节点编号计算总刚矩阵的半带宽；
2. 对节点重新编号，使结构总刚矩阵的半带宽最小，并说明此时中心节点主对角线上的元素在总刚
矩阵中的行号和列号？
3. 是否所有单元对中心节点主对角线上的元素都有非零贡献？
4. 两种编号下，结构总刚矩阵中的非零元素是否相等？为什么？
解：⑴半带宽（相邻结点号码的最大差值+1）自由度。

=⨯(91)216=-⨯=⑵中心节点元素编号为5，其余元素编号顺时针依次编写为1-4，6-9。

此时中心节点对应主对角线上的元素、在总刚度矩阵中的行号、列号分别为第9行和第9列，第10行和第10列
9,9K 10,10K ⑶是。

由于8个三角型单元均有一个节点是中心节点主对角线上元素，有1
2
3
4
5
5555555555
,,,,K K K K K 均不为零，故所有单元对主对角线上元素都有非零贡献。

678
555555
,,,K K K
n ⑷两种编号方式，非零元素相等。

编号的合理化只是将非零元素的位置集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，但并不改变非零元素的个数。

四、3 节点三角形单元的jm 边作用有分布侧压力，如图示，单元厚度为t ，求单元的等效节点载荷。

解：如图梯形分布力可以分解成为一个三角形分布力和一个均匀分布力，然后叠加。

参加课本P68页或者课件，易知：
均匀分布部分，[]1111010002
T e
P q lt =
三角型分布部分：2
2112
1
()0
00
023
3
T
e
P q q lt ⎡⎤=-⎢
⎥⎣⎦
两者相加，[]
2121
1
20
20
00
6
T
e
P lt q q q q =
++第四页PDF
五、块体棱柱单元的上下三角形表面ς = ±1，利用面积坐标L (i ＝1,　2,　3) i 和等参坐标ς
写出该线性单元的形函数。

g 解：111(1)1(1)11(1)2
L N L ζζ--=
⋅=+--；222(1)1
(1)11(1)2L N L ζζ--=
⋅=+--333(1)1(1)11(1)2
L N L ζζ--=⋅=+--；；。

44111(1)1112L N L ζζ-=
⋅=---55511(1)1112L N L ζζ-=⋅=---66111(1)1112
L N L ζζ-=⋅=---六、对图示的矩形单元采用如下的插值函数
1. 请分析该单元的协调性。

2. 若将插值多项式写成
解：⑴如图所示的矩形单元若满足协调性，因为在y 方向有三个节点，x 方向有两个节点，故y 方向上，差值函数视x 为常数y 的次数至少为3次，x 方向上，插值函数视y 为常数，x 的次数至少为2次。

对比给出的方程知，该单元若采用该插值函数满足协调性。

⑵插值函数改变后，增加了一个，而由图中矩形单元知道x 方向多项式最高次为2次，显然不3
x 满足协调性。

七、证明 4 节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵.对于二维平行四边形有，
有（7.1）'
''
'
''
44
113124
1
12
2'
'''
''44
333124
114
4(,)(,)i i i i i i i i x y N N N N N N x y x y x y J x y N N N N N N x y x y ξξξξξξξηη
ηη
η
η
η⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥==
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑∑∑∑ 等参变换下取，，而在自然坐标下不妨设该平行四边形的四边的方程分别为：'
i i N N = ①②③④ 从而知道：
0a b ηξ-+=0c η-=0a b ηξ--=0c η+=
；；11()()N k a b c ηξη=--+22()()N k a b c ηξη=-++33()()
N k a b c ηξη=-+-。

其中，，，，44()()N k a b c ηξη=---114k ac =-
214k ac =314k ac =-414k ac
=解得四个节点的坐标，一并代入方程7.1得：的四个元素均为常数，故有4 节点平行四边形二
J 维单元的雅可比矩阵是常数矩阵。

第五页
pdf
该单元在结构中的位置使得总体节点编号分别为 19、20、30、31，回答：
1. 在未引入边界条件以前，j 单元刚度矩阵[K]e 的系数将贡献给总体刚度矩阵[K]中的哪些行、列？
2. 具体写出刚度矩阵[K]e 中的哪些元素对总体刚度矩阵[K]中的下列行和列有贡献，（1）59 行61 列；（2）38 行39 列；（3）59 行59 列；（4）37 行37
列。

（题
解：⑴由节点位移矢量知该结构节点自由度为2，设某一个节点的编号为，则该个节点将分别对i 总体刚度矩阵的第、行与列，产生贡献。

所以，总体编号为19、20、30、31的总体节点21i -2i 将相应对总体刚度矩阵的37、38行和列，39、40行和列，59、60行和列，60、61行和列产生贡献。

⑵①对第59行61列产生贡献的是；②对第38行39列产生贡献的是；③对第59行与59
35K 27K 列产生贡献的是；④对37行和37列产生贡献的是.
33K 11K 三、3 节点三角形单元的ij 边作用有三角形分布侧压力，单元厚度为t ，求单元的等效节点载荷。

b 解：答案参见课本P68页，或者课件。

此处略。

五、下面是3 节点轴力杆单元示意图及其刚度矩阵，试将刚度矩阵凝聚成只以u 1 和u 3表示。

解：，有11223371817868816u F EA u F L u F -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
123222136678(8)/7L L u u u F u F u u EA EA +-=⇒=-+代入与，消去，得：1231678L u u u F EA +-=
123368816L u u u F EA
--+=2u 。

12133211137118287F F
u EA u L F F ⎡
⎤-⎢⎥
-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥
+⎢⎥⎣⎦。