专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总

常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

（1）

一般形式的定义域：x ∈R

c

bx ax y b kx y ++=+=2

（2） 分式形式的定义域：x ≠0x

k

y =（3） 根式的形式定义域：x ≥0

x y =

（4） 对数形式的定义域：x ＞0

x y a log =二、函数的性质

1、函数的单调性

当时，恒有，在所在的区间上是增加的。21x x <)()(21x f x f <)(x f 21x x ，当时，恒有，在所在的区间上是减少的。

21x x <)()(21x f x f >)(x f 21x x ，2、 函数的奇偶性

定义：设函数的定义区间关于坐标原点对称（即若，则有）)(x f y =D D x ∈D x ∈-(1) 偶函数——，恒有。)(x f D x ∈∀)()(x f x f =-(2) 奇函数——，恒有。

)(x f D x ∈∀)()(x f x f -=-三、基本初等函数

1、常数函数：，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。c y =),(+∞-∞x

2、幂函数：， (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。u

x y =u u 3、指数函数

定义: ， (是常数且，).图形过（0,1）点。x a x f y ==)(a 0>a 1≠a 4、对数函数

定义: ， (是常数且，)。图形过（1,0）点。x x f y a log )(==a 0>a 1≠a 5、三角函数

(1) 正弦函数: x

y sin =， ， 。

π2=T ),()(+∞-∞=f D ]1,1[)(-=D f (2) 余弦函数: .

x y cos =， ， 。

π2=T ),()(+∞-∞=f D ]1,1[)(-=D f (3) 正切函数: .

x y tan =， ， .

π=T },2

)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π

),()(+∞-∞=D f (4) 余切函数: .

x y cot =， ， .

π=T },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π),()(+∞-∞=D f 5、反三角函数

(1) 反正弦函数: ，，。x y sin arc =]1,1[)(-=f D 2

,2[)(π

π-

=D f (2) 反余弦函数: ，，。 x y arccos =]1,1[)(-=f D ],0[)(π=D f (3) 反正切函数: ，，。x y arctan =),()(+∞-∞=f D 2

,2()(π

π-

=D f (4) 反余切函数: ，，。

x y arccot =),()(+∞-∞=f D ),0()(π=D f 极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设， ，则

A u x =→λ

lim B v x =→λ

lim （1）B

A v u v u x x x ±=±=±→→→λ

λ

λ

lim lim )(lim （2）.

AB v u v u x x x =⋅=⋅→→→λ

λ

λ

lim lim )(lim 推论

（a)， (为常数)。

v C v C x x λ

λ

→→⋅=⋅lim )(lim C （b ）n

x n x u u )

lim (lim λ

λ

→→=（3）， ().

B

A v u v u x x x ==→→→λ

λ

λlim lim lim 0≠B （4）设为多项式， 则)(x P n n n a x a x a x P +++=- 110)()

()(lim 00

x P x P x x =→（5）设均为多项式， 且， 则 )(),(x Q x P 0)(≠x Q )

()

()()(lim

000x Q x P x Q x P x x =

→三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有：当时，，，，

0→x x x ~sin x x ~tan x x ~arctan ，，，。x x ~arcsin x x ~)1ln(+x e x ~1-22

1~

cos 1x x -对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当时，，其余类0 □→ □~ □sin 似。

四、两个重要极限

重要极限I 。

1sin lim

0=→x

x

x 它可以用下面更直观的结构式表示：1

□

□sin lim

0 □=→重要极限II 。

e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→11lim

其结构可以表示为：e

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+∞

→

□ □ □11lim 八、洛必达(L’Hospital)法则

“”型和“”型不定式，存在有（或）

。00∞∞

A x g x f x g x f a x a x ==→→)

()(lim )()(lim ''∞一元函数微分学一、导数的定义

设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点

)(x f y =0x x 0x ∆x 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量。如果当x x ∆+0y )()(00x f x x f y -∆+=∆时，函数的增量与自变量的增量之比的极限

0→∆x y ∆x ∆== 注意两个符号和在题目中可能换成其0

lim

→∆x x

y

∆∆0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00）（0x f 'x ∆0x 他的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

（1） (为常数)

0)(='C C （2）（为任意常数）

1

)(-='αααx

x α（3） 特殊情况

a a a x

x

ln )(=')1,0(≠>a a x

x

e e =')(（4）， a x e x x a a ln 1log 1)(log ==

')1,0,0(≠>>a a x x

x 1)(ln ='（5） x x cos )(sin ='（6）x x sin )(cos -='（7） x

x 2

'

cos 1

)(tan =