建立连续体问题的物理模型

（２）
由（１）、（２）式得水柱受的冲力
１
Ｆ＝一ｍ口／ｔ＝一÷丌ｐＶ２ｄ２＝一１．８×１０５ Ｎ． ４
由牛顿第三定律，水对煤层的冲击力为
Ｆ７＝１．８×１０５ Ｎ．
３质点模型 当做变速运动的连续体，其各部分遵循相同的运
动规律时，可以把连续体抽象为一个质点模型．使用机 械能守恒定律或动能定理．
例５．喷水机喷出的竖直向上的水柱高ｈ＝５ ｍ， 空中有水０．０２ ｍ３，空气阻力不计（ｇ＝１０ ｍ／ｓ２）．求喷 水机的功率．
龙头喷出，不计空气阻力，求此喷灌装置的喷灌半径．
解：由于喷出的水均做平抛运动，因此，可以把ｔ
时间内喷出的质量为ｍ的水抽象为一个质点，使用动
能定理．质量为ｍ的水在水泵作用下上升（Ｈ＋ｈ）的
过程中有：Ｐｔ—ｍｇ（Ｈ＋ｈ）＝ｍｙ２／２．得从龙头喷出的
水运的动初的速时为间口为＝／ｔ＝匝／面孤＿，二丁喷面灌虱半百径了为百胍，水做平抛
Ｖ０１．２５ ＮＯ．１０ （２００４）
物 理 教师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
第２５卷第１０期 ２００４正
建立连续体问题的物理模型
戴国章 （山东省高密市第一中学，山东高密２６１５００）
我们把运动的气体、液体和粒子流统称为连续体， 连续体问题是中学物理中的一个难点．解决连续体问 题的关键是：通过对连续体状态的分析，恰当地选取研 究对象，建立物理模型． １微柱元模型
×
料做成的圆管外加一 磁感应强度为Ｂ的匀
强磁场如图４，圆管截
面直径为ｄ，测得管壁
图４
上ａ、ｂ两Biblioteka Baidu的电势差
为占，求导电液体的流量
解：导电流体流过磁场区时，切割磁感线产生电动
势，ａ，ｂ两点间的导电流体产生的感应电动势等效于
长为ｄ的导体棒产生的电动势，等于电势差占．
其电动势为：
艿＝Ｂｄｖ．
（１）
流量为：
Ｑ＝Ｓｖ＝ｎｄ２ｖ／４．
５２≤ｚ—Ｓ１·
（１５）
由上述几式得
口≥竺！！竺！±垫！ ｇ
（收稿日期：２００４—０６—１１）
一５８一 万方数据
第２５卷第ｌＯ期 ２００４矩
物 理教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
Ｖ０１．２５ Ｎｏ．１０
（２００４）
ｍ２ ｐｓｖｔ．
（１）
风柱的动能为
１
．
Ｅｋ＝—砉＿ｍｙ２．
（２）
由（１）、（２）式得电功率
由于距质子源￡和４ｌ处的电流相等，即有
把口ｅｌｎ＝ｌ何Ｓｖｌ，＝ｅ口ｎ２２Ｓｖ＝２√，夏得ｎ丽ｌ／代ｎ入２＝７上２２式／，ｖ１．即得两位置质
王丝蜜廑丝趁丝，血：三至丛：
圆盘在这一过程中相对桌面发生的位移为
旷丢州。２．
（１３）
设圆盘在桌面上运动时的加速度为ａ２，
，２
口２２ｉ２Ｐｚｇ。
圆盘在这一过程中相对桌面发生的位移为
Ｐ＝Ｅｋ／ｔ＝１０５ Ｗ． 例４．如图２所示，水力采煤时，用
水枪在高压下喷出强力水柱冲击煤层．
设水柱直径ｄ＝３０ ｃｍ，水速口＝５０
ｍ／ｓ，冲击煤层后水速为零．求水柱对煤
层的平均冲力．
图２
解：任取时间ｔ，在ｔ内冲击到煤层的水柱的质量
１
为：ｒａ＝ｐｓｖｔ＝７１卵耐２ｔ．
（１）
对该水柱应用动量定理
Ｆｔ＝一，７ｌ口．
５２。瓦口２。
（１４）
例２．一个带有塞子的容器里充有压强为２．０×
１０５ Ｐａ，密度为４．０ ｋｇ／ｍ３的氧气．当 把塞子突然拔出时，氧气最初将以多
大的速度喷出？外界大气压为１．０
ｘ１０５Ｐａ．
解：内部气体喷出过程是一个压 强、密度、速率都连续变化的过程，要
△Ｌ 图１
求解气体最初的喷出速度，可取最初靠近孔边的一气
对于各部分速度相等的连续体，可以任意选取一 柱体做为研究对象．
例３．某地强风的速度约为钌＝２０ ｍ／ｓ，设空气密 度为｜Ｄ＝１．３ ｋｇ／ｍ３，如果把通过截面积Ｓ＝２０ ｍ２的 风的动能全部转化为电能，则电功率为多少？
解：任取时间ｔ，研究长为ｖｔ的风柱．
！堕旦堕望堇壅亘兰丝垦壁盟重量塑
要使圆盘不从桌面上滑离，满足条件为
解：离开喷水机后，每一部分水都做上抛运动，水 在空中运动过程中机械能守恒（应该注意由于竖直水 柱的各部分速度不同，水柱的粗细并不相同）．把空中
对它做的功．水离开喷水机时的初速度为口＝何 的水抽象为一个质点，该质点的初动能就等于喷水机 ＝√虿灭丽ｍ／ｓ＝１０ ｍ／ｓ，运动的总时间为ｔ＝２ｖ／
ｇ＝２ ｓ，空中水的总质量为ｍ＝ｐＶ＝２００ ｋｇ，所以喷
１
水机的功率Ｐ＝Ｗ／ｔ＝－Ｋ１－ｍｙ２／ｔ＝５００ Ｗ．
例６．某喷灌装置的示意 图如图３所示，水泵从深Ｈ的 井中抽水，通过距地面ｈ的龙 头喷出．设水泵工作时的输出 功率为Ｐ，ｔ时间内喷出水的
ｌ｜｜ 一、、、、
、、
ｈ
～
Ｉ
々
＼
一，０—————一Ｉ 占
７Ｚ＾々７Ｚ●，Ｚ厅，Ｚ＾俐
ＪＪ
质量为ｍ，水以相同的速率从
解：质子在匀强电场中做匀加速运动，设质子的加 速度为ａ，电量为ｅ，距质子源ｚ和４Ｚ处的密度分别为 ｎ。、，ｚ：，质子柬截面积为Ｓ，两位置处质子的速度分别 为口。、口２．在两位置附近分别截取厚度均为△ｄ的微 柱元，质子在Ａｄ上的运动可以近似的看作匀速运动． 则两位置的电流分别为：
－ｊ铲１２－１２＝２罟ｉ罟ｉ２２五＝五＝而涨厮万ｅｎ２ｉ一ｌ鲫１Ｓ”Ａ２：ｄｓｌ＝口渤叭ｓ２ｌ蛆ｓ’， ％
（２）
由（１）、（２）式得：Ｑ＝ｎｄＳ／４Ｂ． 例８．如图５，为一
磁流体发电机的示意
图，将一等离子体以水
尺
平速度口通过水平放
置的平行金属板间，板
Ｓ
间存在磁感应强度为
Ｂ的匀强磁场．设金属
板长ａ，宽ｂ，板距为
图５
ｄ，有电阻Ｒ连在两板之问．等离子体充满两板之间的
空间，其电阻率为Ｐ．求开关闭合后通过Ｒ的电流． 解：把板问的等离子体抽象为一截面为矩形、边长
体微柱元为研究对象，如图１．设小孔面积为Ｓ，最初
喷出的气体薄层的速度为口，厚度为△ｚ，在微柱元产
生位移△￡过程中所受的力可以认为是恒力．微柱元
的质量为：
△ｍ＝茚Ａ１．
（１）
该微柱元所受合外力为：
Ｆ＝（Ｐ—Ｐｏ）Ｓ．
（２）
由动能定理：
１
ＦＡｌ＝÷Ａｍｙ２．
（３）
二
由（１）、（２）、（３）式得
口＝￣／２（Ｐ—Ｐｏ）／ｐ＝１００４３ ｍ／ｓ． ２柱体模型
对于各部分速度不同的连续体，当需要研究某一 位置的情况时，一般不能以连续体整体作为研究对象． 通常是截取足够薄的一个微柱元做为研究对象．在这 足够小的一段位移上，对微柱元进行受力情况和运动 情况的分析，利用物理规律求解．
例１．来自质子源的质子（初速为零），经一加速电 压为８００ ｋｖ的直线加速器加速，形成电流为１ ｍＡ的 细柱质子流．假定电场是均匀的，在质子柬中与质子源 相距ｚ和４ ｚ的两处，质子的密度比为多少？
Ｒ＝Ｖｔ＝２￣／（Ｒ＾一ｍｇＨｈ—ｍｇｈ２）／ｍｇ． ４导体棒模型
在电磁感应现象中，可以把不同形状的导电连续
体抽象为一导体棒，从而研究由于连续体做切割磁感
线的运动而产生的感应电动势，并计算与其相关的物
理量，如电磁感应一章中的电磁流量计、磁流体发电机
一 都可以建立这样的模型．
例７．在非磁性材 ×
×
“×
分别为口和ｂ，长为ｄ的柱形导体．由电阻定律，其电 阻为：
ｒ＝耐／ａｂ．
（１）
把板问的连续体抽象为一导体棒，其切割磁感线产生
的电动势为：
芎＝ｖＢｄ．
（２）
由闭合电路的欧姆定律
Ｊ ２击·
（３）
由（１）、（２）、（３）式得通过Ｒ的电流为Ｉ＝历Ｂ瓦ａ了ｖａ磊ｂ．
（收稿日期：２００４—０５—１３）
一５９—
万方数据