计算机科学与技术专业
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0≤|ｘ|≤1－2－n
定点整数：小数点位于ｘn右边，表数范围： 0≤|ｘ|≤2n－1
目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算。
2. 浮点数的表示方法
浮点：小数点位置可在一定范围内移动。
目的：扩大表数范围，例如电子的质量(9×10－28克)和太阳的质量(2×1033克)
E ：比例因子的指数，称为浮点的指数，是一个整数。
同样，ห้องสมุดไป่ตู้计算机中一个任意进制数 Ｎ 可以写成Ｎ＝Ｒe.m
其中：R ：比例因子的基数，由于计算机采用的是二进计数值，
所以：一般规定Ｒ 为2，或2的整数幂(如8或16)。
一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：
尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数决定了浮点数的表 示精度；
计算机科学与技术专业
计算机组成原理
武汉科技大学 计算机科学与技术学院
第二章 运算方法与运算器
本章内容
2.1 数据与文字的表示方法 2.2 定点加法减法运算 2.3 定点乘法运算 2.4 定点除法运算 2.5 定点运算器的组成 2.6 浮点运算方法和浮点运算器
2.1 数据与文字的表示方法
2.1.1 数据格式
其中：尾数域表示的值是1.M,这是为提高数据的表示精度，当 尾数的值不为 0 时，其绝对值应≥0.5，即尾数域的最高有效位 应为1,否则以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一 表示形式，这称为浮点数的规格化表示。因这位总为1所以默认 放在小数点的最左侧，并不存储。
注意：不是 IEEE754格式的所有位样式都以通常方式解释，某些
格式2 ：IEEE754标准
32位浮点数 31 30 23 22 SE
64位浮点数 63 62 52 51
S
E
M
0 M
0
其中：S—符号位，0表示正，1表示负;
E—表示阶码，用移码表示的指数，E=e+127(32位)或1023(64位)
M —表示尾数，R — 默认为2，小数点放在尾数域的最左侧
默认真值：32位浮点数ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127 e＝Ｅ－127 64位浮点数ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023 e＝Ｅ－1023
相差甚远，在定点计算机中无法直接来表示这个数值范围，故用浮点数表示。
浮点表示法：把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存 储单元中分别予以表示，这种把数的范围和精度分别表示的方法， 数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动。
任意一个十进制数 Ｎ 可以写成 Ｎ＝10E.Ｍ 其中：M ：尾数，是一个纯小数。
2—11×( － 0.0001) －1/128
从上表看出，表示数的位数相同时，浮点表示的范围比定点表示
的范围大得多。
当机器字长一定时，分给阶码的位数越多，尾数占用的位数就越
少，则数的表示范围越大。而尾数占用的位数减少，必然会减少数 的有效数位，即影响数的精度。若阶码和尾数各占4位，只考虑绝 对值，则数的表示范围是2－111×0.001～2111×0.111。即为十进制数 1/1024到112。这比阶码为3位时数的表示范围大得多，但尾数减少 了一位，这就使尾数的精度受到了影响。
数的十进制值。 [解:] 将十六进制数展开后，可得二进制数格式为
0 100 0001 0 011 0110 0000 0000 0000 0000
S 阶码(8位)
位数(23位)
指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数1.M＝1.011 0110 0000 0000 0000 0000
＝1.011011
于是有 ｘ＝(－1)s×1.M×2e＝＋(1.011011)×23
＝＋1011.011＝(11.375)10 [例2] 将十进制数数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储
阶码：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮 点数的表示范围。
浮点数的表示格式：
格式1 ： Es E1E2 ……Em Ms M1 M2 … Mn
阶符
阶码 尾符
尾数
浮点数所表示的范围远比定点数大。假设机器中的数由 8 位 二进制数表示(包括符号位)，浮点表示时，用3位表示阶码（其中 含一位符号位），5位表示尾数（其中含一位符号位）。两者表示 范围的比较如下表所示：
位样式用来表示特殊值。
(1) 当阶码E为全0且尾数M也为全0时，表示的真值x为零，结合符 号位S为0或1，有正零和负零之分。
(2) 当阶码E为全1且尾数M为全0时，表示的真值x为无穷大，结合 符号位S为0或1，有＋∞和－∞之分。把溢出当成出错处理还是当无 穷大数继续运算，决定权留给用户。
(3) 阶码E去掉一个全零和一个全1，其范围在1~254(32位)和 1~2046(64位)，表示了一个规格化的非零和非无穷的浮点数。其真 值为－ 126 ~ ＋ 127和－ 1022 ~ ＋ 1023，此时有效数据为24位和 53位，即默认23位小数或52位小数的小数点左边有一个隐含的1。
虽然浮点表示能扩大数据的表示范围，但因为机器字长是有限，所以它的 表数范围仍然是有限的。如果在运算过程中，出现超出机器所能表示范围的数据， 绝对值太大超过表数范围称为溢出，绝对值大小超过表数范围通常当成机器零。
可表示的负数区 下溢出
负上溢出
机器零
可表示的正数区 正上溢出
[例1] 若浮点数ｘ的二进制存储格式为(41360000)16，求其32位浮点
定点小数
浮点数
二进制表示 十进制表示 二进制表示 十进制表示
最小正数 0.0000001
1/128
2—11×O.0001
1/128
最大正数 0.1111111
127/128
211×0.1111
7.5
最小负数 －0.1111111 －127/128 211×(－0.1111) －7.5
最大负数 －0.0000001 －1/128
定点格式
数据表示格式有两种 浮点格式
定点格式容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。 浮点格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂 1.定点数的表示方法
定点：小数点位置约定在固定的位置，不显式表示。
格式：ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn 其中ｘ0为符号位
定点小数：小数点位于ｘ0和ｘ1之间，表数范围：
定点整数：小数点位于ｘn右边，表数范围： 0≤|ｘ|≤2n－1
目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算。
2. 浮点数的表示方法
浮点：小数点位置可在一定范围内移动。
目的：扩大表数范围，例如电子的质量(9×10－28克)和太阳的质量(2×1033克)
E ：比例因子的指数，称为浮点的指数，是一个整数。
同样，ห้องสมุดไป่ตู้计算机中一个任意进制数 Ｎ 可以写成Ｎ＝Ｒe.m
其中：R ：比例因子的基数，由于计算机采用的是二进计数值，
所以：一般规定Ｒ 为2，或2的整数幂(如8或16)。
一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：
尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数决定了浮点数的表 示精度；
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计算机组成原理
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第二章 运算方法与运算器
本章内容
2.1 数据与文字的表示方法 2.2 定点加法减法运算 2.3 定点乘法运算 2.4 定点除法运算 2.5 定点运算器的组成 2.6 浮点运算方法和浮点运算器
2.1 数据与文字的表示方法
2.1.1 数据格式
其中：尾数域表示的值是1.M,这是为提高数据的表示精度，当 尾数的值不为 0 时，其绝对值应≥0.5，即尾数域的最高有效位 应为1,否则以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一 表示形式，这称为浮点数的规格化表示。因这位总为1所以默认 放在小数点的最左侧，并不存储。
注意：不是 IEEE754格式的所有位样式都以通常方式解释，某些
格式2 ：IEEE754标准
32位浮点数 31 30 23 22 SE
64位浮点数 63 62 52 51
S
E
M
0 M
0
其中：S—符号位，0表示正，1表示负;
E—表示阶码，用移码表示的指数，E=e+127(32位)或1023(64位)
M —表示尾数，R — 默认为2，小数点放在尾数域的最左侧
默认真值：32位浮点数ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127 e＝Ｅ－127 64位浮点数ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023 e＝Ｅ－1023
相差甚远，在定点计算机中无法直接来表示这个数值范围，故用浮点数表示。
浮点表示法：把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存 储单元中分别予以表示，这种把数的范围和精度分别表示的方法， 数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动。
任意一个十进制数 Ｎ 可以写成 Ｎ＝10E.Ｍ 其中：M ：尾数，是一个纯小数。
2—11×( － 0.0001) －1/128
从上表看出，表示数的位数相同时，浮点表示的范围比定点表示
的范围大得多。
当机器字长一定时，分给阶码的位数越多，尾数占用的位数就越
少，则数的表示范围越大。而尾数占用的位数减少，必然会减少数 的有效数位，即影响数的精度。若阶码和尾数各占4位，只考虑绝 对值，则数的表示范围是2－111×0.001～2111×0.111。即为十进制数 1/1024到112。这比阶码为3位时数的表示范围大得多，但尾数减少 了一位，这就使尾数的精度受到了影响。
数的十进制值。 [解:] 将十六进制数展开后，可得二进制数格式为
0 100 0001 0 011 0110 0000 0000 0000 0000
S 阶码(8位)
位数(23位)
指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数1.M＝1.011 0110 0000 0000 0000 0000
＝1.011011
于是有 ｘ＝(－1)s×1.M×2e＝＋(1.011011)×23
＝＋1011.011＝(11.375)10 [例2] 将十进制数数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储
阶码：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮 点数的表示范围。
浮点数的表示格式：
格式1 ： Es E1E2 ……Em Ms M1 M2 … Mn
阶符
阶码 尾符
尾数
浮点数所表示的范围远比定点数大。假设机器中的数由 8 位 二进制数表示(包括符号位)，浮点表示时，用3位表示阶码（其中 含一位符号位），5位表示尾数（其中含一位符号位）。两者表示 范围的比较如下表所示：
位样式用来表示特殊值。
(1) 当阶码E为全0且尾数M也为全0时，表示的真值x为零，结合符 号位S为0或1，有正零和负零之分。
(2) 当阶码E为全1且尾数M为全0时，表示的真值x为无穷大，结合 符号位S为0或1，有＋∞和－∞之分。把溢出当成出错处理还是当无 穷大数继续运算，决定权留给用户。
(3) 阶码E去掉一个全零和一个全1，其范围在1~254(32位)和 1~2046(64位)，表示了一个规格化的非零和非无穷的浮点数。其真 值为－ 126 ~ ＋ 127和－ 1022 ~ ＋ 1023，此时有效数据为24位和 53位，即默认23位小数或52位小数的小数点左边有一个隐含的1。
虽然浮点表示能扩大数据的表示范围，但因为机器字长是有限，所以它的 表数范围仍然是有限的。如果在运算过程中，出现超出机器所能表示范围的数据， 绝对值太大超过表数范围称为溢出，绝对值大小超过表数范围通常当成机器零。
可表示的负数区 下溢出
负上溢出
机器零
可表示的正数区 正上溢出
[例1] 若浮点数ｘ的二进制存储格式为(41360000)16，求其32位浮点
定点小数
浮点数
二进制表示 十进制表示 二进制表示 十进制表示
最小正数 0.0000001
1/128
2—11×O.0001
1/128
最大正数 0.1111111
127/128
211×0.1111
7.5
最小负数 －0.1111111 －127/128 211×(－0.1111) －7.5
最大负数 －0.0000001 －1/128
定点格式
数据表示格式有两种 浮点格式
定点格式容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。 浮点格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂 1.定点数的表示方法
定点：小数点位置约定在固定的位置，不显式表示。
格式：ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn 其中ｘ0为符号位
定点小数：小数点位于ｘ0和ｘ1之间，表数范围：