高中数学专题讲义-椭圆的方程
高中数学人教版高二必修《椭圆及其标准方程》教育教学课件
人教版高中选修一
01
椭圆定义
概 念 辨 析
当：
1 + 2 = 1 2
F2
F1
动点M的轨迹：
线段F 1 F 2
椭圆及其标准方程
当:
M
|1|+|2|<|12| 时，
动点M的轨迹：
不存在
人教版高中选修一
概 念 辨 析
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)
的距离之和为4的点的轨迹.
轴，线段 F F 的垂直平
(-c，0)、F (c，0)
1
1 2
2 1
2
又设M与F1，F2的距离之和等于2a.
分线为 y 轴,建立直角坐
标系．
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
椭圆方程的推导
p
由椭圆的定义可知，
1 = 2 =
y
1 = 2 =
2a>2c,即a>c;
∴ 2 − 2 >0
求椭圆标准方程的方法
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
你能从图中找出表示
a ,c,
2
−
2
的线
段吗？
椭圆及其标准方程
=
F1
O
F2
x
2 − 2
令 = =
2 − 2
那么原方程可化为
+
=
−
+ =
>>0
人教版高中选修一
03
结 论
p
y
其中，>>0
F1
O
F2
x
它的焦点坐标在x轴上，分别是
高中数学 椭圆 板块一 椭圆的方程完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y +=B ．221259y x +=C ．22179y x +=D ．22179x y +=【例2】 已知椭圆2215x y m+=的离心率10e 5=，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．253或3【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能【例6】 已知22212x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >或1m <-B ．2m >-C ．12m -<<D ．2m >或21m -<<-【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ；典例分析【例8】 已知焦点坐标为(40)-，，(40)，，且6a =的椭圆方程是___________；【例9】 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．【例10】 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是____________．【例11】 若椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = ．【例12】 若椭圆满足条件2a =，1e 2=，则椭圆的标准方程为【例13】 已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为椭圆的标准方程为____________．【例14】 若椭圆22189x y k +=+的离心率为1e 2=，则k 的值等于 ．【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：①221128x y += ②221812x y +=【例16】 求椭圆2211625x y +=的焦距、顶点坐标【例17】 求焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16(3)5P ，的椭圆的方程．【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．【例19】 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦1，求椭圆的方程．【例20】 已知常数0a >，向量(0)(10)c a i ==r r ，，，．经过原点O 以c i λ+r r为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ-r r为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E F ，，使得||||PE PF +为定值．若存在，求出E F ，的坐标；若不存在，说明理由．【例21】 离心率为45的椭圆()222210x y C a b a b +=>>∶上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10，以椭圆C 的右焦点()0F c ，为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足PT PB =（B 为椭圆C 的上顶点）． ⑴求椭圆的方程；⑵求点P 所在的直线方程l ．【例22】 已知椭圆221(0)x y m n m n+=>>上一点(68)P ，，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的方程．【例23】 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r⑴求椭圆C 的离心率；⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：50x -=相切，求椭圆C 的方程．【例24】 已知12F F ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点(1)P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=u u u u r u u u u u r r．⑴求椭圆C 的方程．⑵椭圆C 上任一动点00()M x y ，关于直线2y x =的对称点为111()M x y ，，求1134x y -的取值范围．【例25】 过椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上一点P 引圆O ：222x y b +=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点⑴设00()P x y ，，且000x y ≠，求直线AB 的方程； ⑵若椭圆C 的短轴长为8，且222225||||16a b OM ON +=，求此椭圆的方程；⑶试问椭圆C 上是否存在满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r的点P ，说明理由．【例26】 已知A B C ，，均在椭圆222:1(1)x M y a a+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅=u u u r u u u u r 时，有21219AF AF AF ⋅=u u u r u u u u r u u u r ．⑴求椭圆M 的方程；⑵设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任一条直径，求PE PF ⋅u u u r u u u r的最大值．【例27】 设椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e ， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）若12||||F M F N ==u u u u r u u u u ra 、b 的值．（2） 证明：当||MN u u u u r取最小值时，12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．。
高三数学专项复习椭圆的标准方程课件
标准方程 图形
范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长
离心率
a,b, c 的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y
o
x
x2 y2 1(a b 0)
b2 a2 y
ox
a ≤ x ≤ a , b ≤ y ≤ b a ≤ y≤ a , b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：
YM
左边是两个分式的平方和， F1 O
F2 X
(-c,0)
(c,0)
右边是1
x2 y2
（2）椭圆的标准方程中， a2 b2 1(a b 0)
x2与y2的分母哪一个大，则 焦点在哪一个轴上。
Y
F2(0 , c)
M X
O
（3）椭圆的标准方程中
F1(0,-c)
❖ A、 1 B、 C、3 D、 5
2
2
2
6
3
❖ 2、（2010）方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上
的椭圆，则实数k的取值范围是（ D）
❖ A、（0，+） B、（1，+ ）
❖ C、（0,2） D、（0,1）
知识点一：椭圆的定义
M
F1
F2
演示椭圆的定义
❖ 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
❖ 这两个定点F1和F2叫做椭圆的焦点， ❖ 两个焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距．
知识点二：椭圆的标准方程
求曲线方程的步骤:
步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标M(x，y) 步骤二：找关系式|MF1|+|MF2|=2a |F1F2|=2c(c＞0) F1（-c,0) F2(c,0)
椭圆及其标准方程ppt课件
课后作业
1.必做题：P51 练习4,5.
2.选做题：求与圆(x 2)2 y2 1 外切，且与圆 (x 2)2 y2 49 内切的动圆圆心的轨迹方程 3.思考题：Ax2 By 2 1什么时候表示椭圆？焦 点在哪个轴？
椭圆光学性质欣赏及探索
感谢大家的指导 谢谢
椭圆及其标准方程
01
圆锥曲线
现场演示观察
用一个圆锥形杯子，往杯子里倒入有色的 液体，然后倾斜杯子，请观察液体的水平 面是什么形状？
圆锥曲线
用一个平面去截圆锥面，当圆锥的 轴与截面所成的角不同时，可以得到不 同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、 抛物线和双曲线，我们这些曲线统称为 圆锥曲线.
生活中的椭圆
实例（-2，0）,（2，0),
，并且 并解由2所解由2所解由2所aaa：=：=椭以椭以且：=椭以经由由圆圆由圆bb((经b(552222522于于的的过 于的===过aa椭椭定定22a椭定222))2－－)点 22点－圆圆义义2圆义ccc的的知知((22的知(2===(焦焦2323焦cc236652c6))==..)=22点点.2点222,，，，在在在(((2355xx225x2轴轴)轴222， 上上))上)22求2，，，(((椭可可可232323设设))圆设)222其其其的22标标2标标11准准1准000，，方方准，方程程程方解解解为为为得得程得aaxxax2222aa.22a===
图形
标准方程 x2 y2 = 1(a>b>0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
=
1(a>b>0)
a, b, c的关系
a2__b2=c2
焦点
(－c, 0)，(c, 0)
(0, －c)，(0, c)
椭圆及其标准方程ppt课件
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
高中数学椭圆的定义与标准方程优秀课件
∴ 设它的标准方程为 ∵ 2a=10， 2c=8
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
∴ a=5， c=4
b 2 a 2 c2 5 2 4 2 9
∴ 所求的椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 25 9
（2）两个焦点的坐标分别是（0,－2）,（0,2）,
并且椭圆经过点
3 2
,5 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
〔2〕椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
〔3〕由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
〔4〕椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，那么焦 点在
4.根据所学知识完成下表
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
1，则a＝
5 ，b＝
3；
2. x2 y2 1，则a＝ 6 ，b＝ 4 ；
42 62
3. x2 y2 1，则a＝ 3 ，b＝ 2 ；
94
4. x2 y2 1，则a＝ 7 ，b＝ 3 ．
37
2.判定以下椭圆的焦点在什么轴上，写出 焦点坐标
x2 y2 1
25 16
x2 y2 1 144 169
2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？ 怎样推导出方程的？
在平面内，到定点的距离等于定长
的点的轨迹。
以圆心O为原点，建立直角坐标系
设圆上任意一点P(x，y)
y
P(x, y)
•
r
OPr x2 y2 r
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
高中数学人教A版选修2-1第二章椭圆及其标准方程精讲讲义
当 PF1 PF 2 2a F1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
x2 y 2 1(a b 0) a2 b2
参数关系
性
焦点
(c,0), (c,0)
质
焦距
范围
| x | a,| y | b
a2 b2 c2 2c
y2 a2
x2 b2
举一反三：【变式 1】两焦点的坐标分别为 0,4，0，- 4，且椭圆经过点（5,0）。
【变式 2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 x 2 y 2 1有相同的焦点，并且经过点（3， 94
－2），求此椭圆的方程。
2
类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例 3．椭圆 x 2 y 2 1(a>b>0)的半焦距为 c，若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c，求 a2 b2
(Ⅰ)求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程;
5：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
弦长公式：若直线 l : y kx b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点， A（x1, y1), B(x2 , y2 ) 则
弦长 AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 x1 x2
5
举一反三【变式 1】已知直线 l：y=2x+m 与椭圆 C： x2 y2 1 交于 A、B 两点 54
(1) 求 m 的取值范围
(2) 若|AB|= 5 15 ，求 m 的值 6
例 9、已知椭圆 C： x2 y2 1 ，直线 l:y=kx+1,与 C 交于 AB 两点，k 为何值时，OA⊥OB. 4
椭圆的标准方程和性质ppt课件
课堂练习
已知，曲线方程
x2 y2 k4 6k
1
（1）当k为何值时，表示圆；
（2）当k为何值时，表示椭圆；
（3）当k为何值时，表示焦点在x轴上的椭圆。
新授
二、椭圆的性质：
新授
二、椭圆的性质：
新授
(4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e c
叫做椭圆的离心率。
a
e越趋近于1，则c越趋近于a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
a2 b2
1(a b 0) 上的一点，F1, F2
为椭
圆的两焦点，若 PF1 PF2 ，试求：
（1）椭圆的方程；
（2）PF1F2 的面积。
课堂练习
设椭圆C：ax22
y2 b2
1(a
b
0)
过点（0,3），其离心率为
4 5
。求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）过点（4,0），且斜率为 3 的直线被椭圆C所截得的线段的
的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点。
焦点
标准方程的推导
新授 一、椭圆的标准方程
推导：
新授 一、椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
焦点的坐标
焦距
问题解决
例题讲解
例1.平面内两个定点的距离是8，求到这两个定点的距离的和是10的
点的轨迹方程。
例2.分别求椭圆A：x2 y2 1 与椭圆B： x2 y2 1 的焦点。
43
34
x2 y2 想一想：过椭圆 9 5 1 的右焦点 F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两
点，F1 是椭圆的左焦点，你能求出AF1F2 的周长吗？ ABF1 的周长呢？
椭圆方程高考知识点
椭圆方程高考知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，而椭圆方程作为椭圆研究的基础，也是高考数学中的一个重要知识点。
本文将对椭圆方程的定义、性质以及解题方法进行详细介绍，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、椭圆方程的定义椭圆方程是二次曲线方程的一种形式，以一般式表示为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
根据a和b的大小，我们可以得到不同形态的椭圆：当a>b时，椭圆的长轴平行于x 轴；当a<b时，椭圆的长轴平行于y轴；当a=b时，椭圆为圆形。
二、椭圆方程的性质1. 椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点F1和F2，满足距离定理：对于椭圆上的任意一点P，FP1+FP2=2a。
此外，椭圆的两条相互垂直的直径称为主轴，其中长的一条为长轴，短的一条为短轴，且长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为焦点与半直轴的比值，即e=c/a（c为焦点到原点的距离）。
离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为一个点；当e<1时，椭圆为实心椭圆；当e=1时，椭圆为抛物线；当e>1时，椭圆为双曲线。
3. 椭圆的标准方程椭圆方程可以根据其焦点和长轴、短轴的位置得到不同的标准方程。
例如，当椭圆的中心位于原点，长轴平行于x轴时，其标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$如果椭圆的中心不在原点，可以通过平移变换将其化为标准方程。
三、椭圆方程的解题方法1. 确定椭圆的性质和方程形式在解题过程中，首先需要根据题目给出的条件，确定椭圆的性质和方程形式。
例如，判断椭圆的长短轴、焦点位置和离心率大小，进而确定合适的计算方法。
2. 利用椭圆的性质解题在解题过程中，可以根据椭圆的性质进行分析和计算。
例如，利用椭圆的离心率和焦点位置，可以计算椭圆的长轴、短轴和焦点坐标等信息，从而进一步求解问题。
高中数学同步讲义(人教A版选择性必修一)椭圆及其标准方程(教师版)
【即学即练1】（2023秋·四川南充高二四川省南充高级中学校考期末）设定点P 满足条件125PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【答案】A【详解】因为 10,2F ， 20,2F ，所以4 ，所以5PF PF F F ，所以点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆.1(,0)F c ，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c 22023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知ABC 的周长为20，且顶点，则顶点A 的轨迹方程是（）故选：D【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）的左、右焦点为12(1,0),(1,0)F F ，且过点【答案】22143x y 【详解】由题知：1c ，①3①当且仅当P 、M 、1F 三点共线时，等号成立，在2PNF 中可得：22PF PN PF 当且仅当P 、N 、2F 三点共线时，等号成立，由① ②得：123PF PF PM 由椭圆方程2212516x y 可得：225a ，即由椭圆定义可得：12210PF PF a 22435MF MF ，则8AF AF ，..题型05【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆上一点， 2,1B ，则1AB AF A ．7B ．8【详解】设椭圆的半焦距为c ，则 22,0F ，3a ，如图，连接2AF ，则12AB AF AB a AF 221AF BF ，当且仅当2,,A F B 共线且1AF 的最大值为7.由M 为椭圆C 上任意一点，则MF 又N 为圆2:3222E x y ∴ 124MN MF MN MF 当且仅当M 、N 、E 、2F 共线时等号成立故答案为：1,2101【变式1】（2023·全国·高三专题练习）则PA PF 的最小值为【答案】62 /26【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）(1,22)A ，则||||PA PF 的最大值为【答案】423 /234【详解】设椭圆的左焦点为 1F【详解】由题意，当椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为：由题意知22x所以曲线C的方程为【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆定圆1C外切和圆2C内切，求动圆圆心【典例2】（2023·长的最大值为（A ．4【答案】D【详解】解：设1F 则由椭圆的定义可得：AF BF AB 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设1F ,F 的直线交椭圆E 于,A B ，113AF BF ，若AB 【答案】5【详解】113AF BF ，AB 4 ，可得1AF 2ABF 的周长为16，则2AB AF 根据椭圆定义可得，121AF AF BF 16，4a ，218F AF A ，AFBF为平行四边形，则1△的周长为AF BF AB AFABF当A，B为椭圆上下顶点时等号成立故选：C【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知【详解】2F 的内切圆半径为r ，112PF r，2212MPF S PF 122MF F MPF mS S △△1221122r m F F r PF r【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知若1212PF PF PF PF12，则12F PF △的面积为（A ．33B ．23【答案】A【详解】设椭圆221259x y 的长半轴为则5,3a b ，224c a b ，即1228F F c .设12,F P m F P n ，所以由椭圆的定义可得：因为121212PF PF PF PF，所以由数量积的公式可得：121cos 2,PF PF ，所以12,PF PF 在12F PF △中12π3F PF，所以由余弦定理可得：2264m n 由①②可得：12mn ，所以12F PF S 故选：A.【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知12,F F 分别是椭圆22:194x y C 的左、右焦点，圆C 在第一象限内的一点，若12PF PF ，则12tan PF F ．【答案】12/0.5【详解】由椭圆方程得：3a ，2b ，225c a b ，12225F F c ；【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆则2||PF ，12F PF 的大小为【答案】2120【详解】∵29a ，22b ，∴22927c a b ，∴1227F F ，又1||4PF ，1||PF则PQF △的周长为PQ PF QF 故选：C.故选：C7．（2023秋·高二课时练习）的最大值为（）A．2B．【答案】D可知124525,55PF c PF c，又知所以2221212PF PF F F ，则1F 由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义则122,1,1,2P PF PF a 所以1260F PF ，故B 错；1PFQ △的周长为48a ，A 正确；设21,4F Q m FQ m ，四、解答题13．（2023·全国·高三对口高考）且12F PF ．(1)求PF PF 的最大值和最小值；14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆椭圆于,P Q 两点，且PQ PF 【答案】2214x y 【详解】由椭圆的定义得12222a PF PF 1PF ，所以有21PF PF ，2221212PF PF F F ，2222224c ，解得2c∴1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆轨迹为圆：2222x y a b ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆得过点P 能作椭圆2213y x 的两条相互垂直的切线，则12121||||sin(π21||||sin 2DABPF F AD BD S S PF PF 椭圆22:143x y C 中，|F所以2211222F PQ PF Q F PF所以12122MPQ F PF ，所以2F PQ MPQ ，则PM PF 所以1162OQ F M，又Q 为椭圆外的动点，设椭圆的标准方程为2222x y a b。
高中数学解析几何专题1椭圆方程知识点及椭圆标准方程
椭圆知识点总结一、椭圆的定义：（1）第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. （2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.椭圆定义的表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PFP M 二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程:焦点在x 轴:()012222>>=+b a b y a x ； 焦点在y 轴:()012222>>=+b a b x a y .a 是长半轴长，b 是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a += 2. ()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件为：122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x . 所以只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B CA C >时，椭圆的焦点在x 轴上； 当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 三、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例）1. 有限性:b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称。
3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴、焦距：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.21F F 叫椭圆的焦距；为()c 2.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ac e =（2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。
新高考数学复习基础知识专题讲义43 椭圆(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义知识点43 椭圆知识理解一．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.二．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 三．椭圆的几何性质－a≤x≤a －b≤x≤b四．直线与椭圆的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离． 五．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|=(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)=⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 考向一 椭圆的定义及应用考向分析【例1-1】（2021·全国课时练习）下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点12(1,0),(1,0)F F -，则满足|PF 1|＋|PF 2|的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】②【解析】①中，因为12(1,0),(1,0)F F -，可得122F F =2，所以点P 的轨迹不存在；②中，因为12124PF PF F F +==，所以点P 的轨迹是线段12F F ；③中，由定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线，即0x =. 故答案为：②【例1-2】．（2021·上海市奉贤中学）若过椭圆2211612y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________. 【答案】16【解析】在椭圆2211612y x +=中，4a =由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以12124,AF AF BF BF a +++=即22+416AF BF AB a +== 故答案为：16【例1-3】（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．．【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =5c ==， 由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c ==，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P SF ⋅=⨯⨯∴==.故选：A. 【举一反三】1．（2021·广西桂林市）设P 是椭圆2222143x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两焦点距离之和为_____.【答案】8【解析】由2222143x y +=，得4a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为28a =.故答案为：82．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ，则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==，故选：B ． 3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）已知P 是椭圆22193x y +=上的任意一点，若12PF =，则2PF =___________. 【答案】4【解析】由椭圆的方程22193x y +=知：3,a b ==，由椭圆的定义知：1226PF PF a +==，12PF = 所以2164PF PF =-= 故答案为：44．（2021·陕西安康市）已知点(3,A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为___________.【答案】2【解析】由椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，设右焦点为()'1,0F -，因为P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，所以'||||1||||12||||PB PA PF PA a PF PA -≤+-=+--()'5||||PF PA =-+，3PF PA AF +≥=''=，当且仅当',,A P F 共线时取等号，()52PB PA PF PA -≤-+≤'，故答案为：2.5．（2021·全国课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △的面积是______.【解析】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =由椭圆的定义可得1224PF PF a +==，12F F = 在12F PF △中，1260F PF ∠=， 由余弦定理可得()22221212121212122cos603F F PF PF PF PF PF PF PF PF ==+-⋅=+-⋅12163PF PF =-⋅，解得1243PF PF ⋅=，因此，121213sin 602PF F S PF PF =⋅=△故答案为：考向二 椭圆的标准方程【例2-1】（2021·全国单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B【解析】∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．【例2-2】（2021·黑龙江大庆市）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】D【解析】依题意程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆列不等式，所以2120k k ->->，解得12k <<，所以实数k 的取值范围是()1,2.故选：D 【举一反三】1．（2021·全国课时练习）经过点P (3，0)，Q (0，2)的椭圆的标准方程为（ ）A ．22194x y +=B ．22194y x +=C ．22194x y -=D ．22194y x -=【答案】A【解析】依题意可知3,2a b ==且椭圆焦点在x 轴上，故椭圆方程为22194x y+=.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1) 【答案】D【解析】因为方程222x ky +=，即22122+=x y k表示焦点在y 轴上的椭圆， 所以22>k，即01<<k ，所以实数k 的取值范围是(0,1)．故选：D ．3．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（ ）A ．6-B ．6C1D．1【答案】B【解析】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >，所以15k -=则6k =.故选：B4．（2021·浙江丽水市）“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为曲线2211x yt t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B考向三 直线与椭圆的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）已知椭圆2241x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数 m 的取值范围是 _______ .【答案】m ≤≤【解析】由2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥， 即254m ≤，解得m ≤≤．故答案为：m ≤≤． 【举一反三】1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】 [1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0. 由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围. 【解析】（1）由已知得2a =c =a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->． 解不等式得22m -<<．考向四 弦长【例4】（2021·上海市进才中学高二月考）过椭圆22:143x y C +=的左焦点，斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长为________． 【答案】247【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为()()1122,,,x y x y椭圆22:143x y C +=的左焦点为()1,0-所以直线的方程为1y x =+则22217880143y x x x x y =+⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩所以121288,77x x x x +=-=-247=故答案为：247【举一反三】1．（2021·全国课时练习）求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆2212516x y +=所截得的线段的长度． 【答案】415【解析】过点(3，0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得()22312525x x -+=， 即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴415AB ===. 2．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是()，).（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若AB =，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1m =±. 【解析】（1）由已知得2a =，则a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=--> 得m 的取值范围为()2,2-由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ===解得1m =± 考向五 离心率【例5】（2021·全国课时练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12BC【答案】A【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴1cos602c a ︒==，即椭圆的离心率12e =.故选：A【举一反三】1．（2021·全国高三月考（文））已知点(M 是椭圆22221x y a b+=()0a b >>上的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若△12MF F 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23B ．24C ．12或23D ．23 【答案】D【解析】由△12MF F 为等腰三角形知：当112||||2F M F F c ==，而1(,0)F c -，则22(3)154c c ++=，整理得2280c c --=，解得4c =或2c =-（舍），而242228F M a c a ===-=-，故6a =，此时23c e a ==； 当212||||2F M F F c ==，而2(,0)F c ，则22(3)154c c -+=，整理得2280c c +-=，解得2c =或4c =-（舍），而12224F M a c a ===-=-，故2a =+，此时23c e a ==； 故选：D.2．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ） AB【答案】D【解析】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F FP △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a +-=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e =D 3．（2021·江苏启东市）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A．10B．3C．2D【答案】A【解析】由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率10c e a ===.故选：A1．（2021·江西高三其他模拟（文））如图，P 是椭圆22194x y +=上的一点，F 是椭圆的右焦点且PQ FQ =-，2OQ =，则PF =（ ）强化练习A ．2B ．3D ．4 【答案】A【解析】由22194x y +=可得：3a =因为PQ FQ =-，所以点Q 是线段PF 的中点， 设椭圆的右焦点为F '，则O 是FF '的中点， 所以24PF OQ '==， 由椭圆的定义可知：26PF PF a '+==，所以2PF =， 故选：A.2．（2021·全国课时练习）已知椭圆2211612x y +=的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝（ ） A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3 【答案】C【解析】由2211612x y +=＝1可知216a =，212b =，所以22216124c a b =-=-=，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点， 所以2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴，∴可设P (2，y )，把P (2，y )代入椭圆2211612x y +=，得29y =.∴|PF 1|5=，|PF 2|＝3.∴12||5||3PF PF =. 故选：C3．（2021·上海市莘庄中学）平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B ．4．（2021·重庆）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限上的一点P 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 恰好构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A B ．12C ．2D 【答案】A【解析】因为点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上位于第一象限的点，12PF PF >，所以，12PF F ∠为锐角，因为12PF F △是顶角为120的等腰三角形，但1221PF F PF F ∠<∠，故21120PF F ︒∠=，所以，2212PF F F c ==，由余弦定理可得12PF ==，由椭圆定理可得1222PF PF c a +=+=，故12c a -==. 故选：A.5．（2021·江苏南通市）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m +=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B ．[)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C ．[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即39-≥m ，得12m ≥； 所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.6．（2021·江西高三其他模拟（文））若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．1 【答案】C【解析】因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上， 所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-， 所以51m -=，解得4m =. 故选：C7．（2021·福建龙岩市）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（ ） A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C【解析】解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ． 8．（2021·江西赣州市）已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．．．±．±【答案】C【解析】因为右焦点为(2,0)，故焦点在x 轴上且2164m -=，故m =±，故选：C.9．（2021·广西百色市）“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴的椭圆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则满足120m m +>>，解得01m <<；又由当01m <<则必有0m >，但若0m >则不一定有01m <<成立，所以“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件．故选：B ．10．（2021·河南郑州市）设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．．6D ．9【答案】D【解析】在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c =，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D.11．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．22⎣⎦【答案】A【解析】由120PF PF ⋅=得：12PF PF ⊥，∴点P 在以()()12,0,,0F c F c -为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径r c b =≥，2222c b a c ∴≥=-，即222c a ≥，22212c e a ∴=≥，12e ∴≤<.故选：A.12．（2021·江苏）若椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）的焦距为2，且其离心率为2，则椭圆的方程为（ ）A ．22+=142x yB ．22+=121x yC ．22143+=x yD ．22+=184x y【答案】B【解析】由题意可知：22c =，即1c =，由椭圆的离心率2c e a ==，解得：a = 2221b a c =-= ∴椭圆的标准方程：2212x y +=故选：B13．（2021·全国课时练习）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A ．22134x y +=B ．2214x +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且11,2,2c c e a b a ===⇒=== 因此椭圆的方程是22143x y +=.故选：C14．（多选）（2021·山东滨州市·高三一模）已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45- C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P 的横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F ，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-，所以1222221420(1)552525255PA PAy y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错；(,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确． 故选：BD ．15．（多选）（2021·武冈市第二中学）已知点(),2P a a -在直线730x ay ++=上，则圆锥曲线221x y a+=的离心率为（ ） ABD．2【答案】AC【解析】∵(),2P a a -在直线730x ay ++=上，所以27230a a -++=, 即22730a a -+=,解得3a =或12a =, 当3a =时，圆锥曲线2213x y +=,为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e ==, 当12a =时，圆锥曲线22112x y +=,为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，2e ==, 故选:AC.16．（多选）（2021·山东聊城市）已知五个数1，p ，m ，q ，16成等比数列，则曲线221x y p m+=的离心率可以是（ ）A B ．2C 【答案】AC【解析】由题意416p =，2p =±，4m =，曲线方程为22124x y +=或22124x y +=-，方程为22124x y +=时，离心率为22e ==，方程为22124x y +=-，离心率为22e ==． 故选：AC ．17．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________．1 【解析】如下图所示：由已知条件可知，在12Rt PF F 中，1290F PF ∠=，1230PF F ∠=，21212PF F F c ∴==，则1PF ==，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，即12c a ，1c e a ∴===.1.18．（2021·安徽芜湖市·）已知F 1，F 2为椭圆22C :14x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=___________. 【答案】43【解析】由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以22121212()312PF PF PF PF F F +-⋅==，解得3|PF 1|·|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43， 故答案为：4319．（2021·上海市西南位育中学）已知Р为椭圆22195x y +=上的点，1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF =_____ 【答案】203【解析】由椭圆22195x y +=，可得()12,0F -、()22,0F由条件可得1226PF PF a +== 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒所以()21212163PF PF PF PF =+-，即1216363PF PF =-所以12PF PF =203故答案为：20320．（2021·江苏南通市）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1【解析】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小，即224441PM PF MF +-=-==.故答案为：1.21．（2021·广西百色市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．1【解析】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1．22．（2021·内蒙古赤峰市·高三期末（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．【答案】24-【解析】由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=，由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PF FP PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=，则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24-23．（2021·广东梅州市）已知过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，则椭圆C 的标准方程是___________.【答案】22143x y +=【解析】由题意24a ==，2a =，所以b =,所以椭圆方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．24．（2021·安徽省临泉第一中学）椭圆22134x y+=的离心率等于______.【答案】12【解析】由题意2,a b ==，所以1c ==，离心率为12c e a ==．故答案为：12．25．（2021·湖南常德市一中高三月考）写一个离心率是椭圆2211612x y +=的离心率4倍且焦点在x 轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】2213y x -=(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知216a =，212b =，则216124c =-=，所以椭圆的离心率2142c e a ===，则双曲线的离心率2e =，则双曲线中22cc a a=⇒=，即22224c a a b ==+，得223b a =，令21a =，则23b =，所以满足条件的一个双曲线方程是2213y x -=.故答案为：2213y x -=(答案不唯一)26．（2021·全国高三专题练习）过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________． 【答案】12-【解析】根据题意，圆222210x y x y +--+=的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，其圆心为(1,1)，半径1r =，过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 经过圆的圆心， 故直线l 的斜率1211(1)2k -==---；故答案为：12-． 27．（2021·六安市裕安区新安中学）已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标．【答案】（1）221106x y +=；（2）53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==所以a =，所以222104b a c =-=-， 所求椭圆标准方程为221106x y +=．（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-． 设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =， 所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2021·河南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1110·3AF BF =，求AB ． 【答案】（1）2212x y +=；（2）||3AB =．【解析】解：（1）因为椭圆C过点33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以2241133a b +=．① 又椭圆C2212c a =，故2222222112b ac c a a a -==-=．② 联立①②得2222411,331,2a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l的斜率不存在时，2222b AF BF a ===，所以211910223AF BF ⋅==≠， 故直线l 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-．联立22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=， 则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++．1AF ====，同理1||BF =． 因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =，所以11AF BF +==又因为11||AF BF AB++=||3AB =． 29．（2021·吉林长春市·高三二模（文））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8,O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；（2）求面积AOB 的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）32． 【解析】（1）设椭圆半焦距为,c 由题意可知48,2a a ==， 由离心率有21,3c b ==，所以椭圆方程为22143x y +=，（2）设直线:1AB x ty =+，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得()2243690tyty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 有12122269,4343t y y y y t t --+==++， 由21OF =，所以OAB的面积2121612S OF y y =⋅-==⨯，函数1()3f x x x=+[)1,x ∈+∞，令121x x >≥， 则()1212121212123111()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121x x >≥，所以()121212310x x x x x x -->，12())0(f x f x ->。
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
高中数学第2章2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6，化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·c os α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)． (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，2π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) 4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k＝－1可化为x 25－k＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5. 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22. ∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±320.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，±3203．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。
高中数学课件-椭圆的定义及标准方程
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
椭圆定义的符号表述：
M
F2
(2a>2c)
F1
[讨论] 椭圆定义中的常数2a要大于两定点间的
距离|F1F2|,如果2a等于或小于|F1F2|,情况又如何?
解:当2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;
P ( x, y )
F1 (c,0)
O
F2 (c,0)
x
(b 0) 代入就可以得到：
①
方程①就叫做椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在
其中
a b c
2
2
2
x轴上, 焦点坐标是 F1 (c,0)、F2(c,0)。
椭圆的标准方程
焦点在y轴上：
焦点在x轴上：
y
y
F2
M
M
F1
o
o
F2
x
x
F1
2
即轨迹上任一点M与两个定点距离之和为同一
常数2a，即：
MF1 MF2 2a
请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?
M
(1)由于绳长固定，所以点M到两
个定点的距离和是个定值
（2）点M到两个定点的距离和要大
于两个定点之间的距离
F1
F2
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a）
c2=
a2
又∵椭圆经过点P
-
b2 ∴
x
4=
3 5
，
2 2
5 2
3 2
(
)
第5节 第1课时 椭圆的定义、方程与性质--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
[对点训练 1](1)(2024·安徽芜湖模拟)设 P
2
为椭圆
9
y2
+ =1
4
上的一点,F1,F2 分
别为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( B )
8
A.3
解析
16
B. 3
2
(1)椭圆 9
2
+ 4 =1,则
4 3
C. 3
8 3
D. 3
a=3,b=2,c= 5,
4
若 e2= 3e1,则 a=( A )
2 3
A.
3
B. 2
解析 由题意,在
∴e1=
在
=
C. 3
2
C1:2 +y2=1
D. 6
中,a>1,b=1,c= 2 - 2 =
2 -1,
2 -1
.
2 2
C2: 4 +y =1
∵e2= 3e1,∴
中,a=2,b=1,c=
3
2
= 3×
2 - 2
A.13
B.12
C.9
D.6
解析 由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则 |1 |·|2 | ≤
|MF1 |+|MF2 |
=3,
2
则|MF1|·
|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.
故|MF1|·
|MF2|的最大值为9.
故选C.
2
2
2
9.(2023·新高考Ⅰ,5)设椭圆 C1: 2 +y =1(a>1),C2: +y2=1 的离心率分别为 e1,e2.
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【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆
的标准方程为（ ）
A ．221259x y +=
B ．221259y x +=
C ．22179y x +=
D ．22
179
x y +=
【例2】 已知椭圆22
15x y m
+=的离心率10e =
，则m 的值为（ ） A ．3 B ．515或15 C ．5 D ．25
3
或3
【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a
a PF PF ，则点P 的
轨迹是（ ）
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1
2
e =
，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）
A ．22143x y +=
B ．22186x y +=
C ．2
212
x y +=
D ．2
214
x y +=
【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
e 2
=，右焦点为(0)F c ，，方程
20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，
（ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外
D ．以上三种情形都有可能
【例6】 已知22
212x y m m
+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．2m >或1m <-
B ．2m >-
典例分析
板块一.椭圆的方程
C ．12m -<<
D ．2m >或21m -<<-
【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ；
【例8】 已知焦点坐标为(40)-，，(40)，，且6a =的椭圆方程是___________；
【例9】 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，，且G 上一点到G 的
两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．
【例10】 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为1
3
，则椭圆的方程是____________．
【例11】 若椭圆2212x y m +=的离心率为1
2
，则m = ．
【例12】 若椭圆满足条件2a =，1
e 2
=，则椭圆的标准方程为
【例13】 已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为椭圆的标准方程为____________．
【例14】 若椭圆22189x y k +=+的离心率为1
e 2
=，则k 的值等于 ．
【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：
①221128x y += ②221812x y +=
【例16】 求椭圆22
11625
x y +=的焦距、顶点坐标
【例17】 求焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16
(3)5
P ，的椭圆的方程．
【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．
【例19】 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦
1，求椭圆的方程．
【例20】 已知常数0a >，向量(0)(10)c a i ==r r ，
，，．经过原点O 以c i λ+r r
为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ-r r
为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：
是否存在两个定点E F ，，使得||||PE PF +为定值．若存在，求出E F ，的坐标；若不存在，说明理由．
【例21】 离心率为4
5
的椭圆()222210x y C a b a b +=>>∶上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为
10，
以椭圆C 的右焦点()0F c ，为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足PT PB =（B 为椭圆C 的上顶点）． ⑴求椭圆的方程；
⑵求点P 所在的直线方程l ．
【例22】 已知椭圆22
1(0)x y m n m n
+=>>上一点(68)P ，
，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的方程．
【例23】 设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF
的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且85
AP PQ =u u u r u u u r
⑴求椭圆C 的离心率；
⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：50x -=相切，求椭圆C 的方程．
【例24】 已知12F F ，是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点(1)P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=u u u u r u u u u u r r
．
⑴求椭圆C 的方程．
⑵椭圆C 上任一动点00()M x y ，关于直线2y x =的对称点为111()M x y ，，求1134x y -的取值范围．
【例25】 过椭圆C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>上一点P 引圆O ：222x y b +=的两条切线PA 、
PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点 ⑴设00()P x y ，，且000x y ≠，求直线AB 的方程；
⑵若椭圆C 的短轴长为8，且222225||||16a b OM ON +=
，求此椭圆的方程； ⑶试问椭圆C 上是否存在满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r
的点P ，说明理由．
【例26】 已知A B C ，，均在椭圆2
22:1(1)x M y a a
+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右
焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅=u u u r u u u u r 时，有2
1219AF AF AF ⋅=u u u r u u u u r u u u r ．
⑴求椭圆M 的方程；
⑵设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任一条直径，求PE PF ⋅u u u r u u u r
的最大值．
【例27】 设椭圆22
221x y a b
+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e ， M 、
N 是直线l ：2
a x c
=上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．
（1）若12||||F M F N ==u u u u r u u u u r
a 、
b 的值．
（2） 证明：当||MN u u u u r
取最小值时，12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．。