机械振动基础

Tmax Vmax
p k1 k2 m
例2
无重弹性梁
如图所示，在无重弹性梁的中部防置质量为 m的物体，其静变形为2 mm。如将物块在梁 未变形位置处无初速释放，求系统的振动规 律。
F
st
xO
mg x
例2
解
此无重弹性梁相 当于弹簧，其静 变形相当于弹簧 的静变形，故：
g p 70 rad/s
mxkxmg
xAsin(pt)s sm kg
坐标原点取在静平衡位置
m xm gk(sx)
k
mxkx
mxkx0
O'
k
l0
O
s
m x l0
s
xAsin(pta)
m
x
返回
固有频率的计算方法
运动微分方程法
x p2x 0
静变形法
p k kg g
m mg s
能量法 xAsin(pt)
T1mA2p2cos2(pt) V1kA2sin2(pt)
2 3 2
2 3
V 1 k h 2 t a n 2 m g 1 l( 1 c o s) 1 ( k h 2 1 m g l)2
2
2
22
d dt
L
L
0
(1m l2M h 2) (kh 21m g l)0
3
2
2 0
6kh2 3mgl
2ml2 6Mh2
例2
已知：m, r, R； 求：匀质圆柱体微摆动的周期。
单自由度定常保守系统的平衡位形q = q0：
V q
V(q) 0
在考虑微振动时，可以认为q - q0和 q 都是一阶 小量。
单自由度系统微振动的线性化方程
对于单自由度定常约束系统
T 1 m(q)q2 2
m (q ) m (q 0 ) m (q 0 ) (q q 0 )
保留到二阶小量
T
1 2
m(q0
)q2
m ( q 0 ) —广义惯性系数
V(q0) 0
V ( q ) V ( q 0 ) V ( q 0 ) ( q q 0 ) 1 2 V ( q 0 ) ( q q 0 ) 2 保留到二阶小量
V(q)V(q0)1 2k(qq0)2 k V(q0) 广义刚度系数
由拉格朗日方程得：
m (q0)qk(qq0)0
O
R 固定
r
E
C
例2
解
完整、理想约束系统
O
vC (Rr)
源自文库
R
vC Rr
rr
固定
r
E
C
T1 2m v C 21 2JC23 4m (R r)2 2
V m g (R r )(1 c o s) 1 2 m g (R r )2
L T V 4 3 m (R r ) 22 1 2 m g (R r )2
物块的运动方程为： x 3 5 .1 s in (4 0 t 0 .0 8 7 )m m
2. 单自由度系统的衰减振动
机械振动基础
衰减振动
➢ 质点在弹性恢复力及阻力作用下运动
m xkxcx
m xcxkx0
x2nxp2x0
n
c 2m
k
c fk
o
m
x
➢ 利用特征根法，有
k m(q0)
V(q0) m(q0)
例1
质量为m长为l的均质杆OA悬挂在O点处， 可绕O轴摆动。质量为M的滑块用刚度系数 为k的弹簧连接，并可沿杆OA滑动，如所示。 杆OA铅直位置是系统的平衡位置。忽略摩 擦力。求系统微幅振动的固有频率。
例1
解
取为广义坐标。
xhtan xhsec2
T 1 1 m l22 1 M h 22 s e c 4 1 ( 1 m l2 M h 2 )2
第十四章
机械振动基础
机械振动基础
振动是工程中常见的现象 汽车在不平的路面上颠簸 发动机运转 结构物受阵风、波浪或地震的作用
振动的灾害 噪声 降低机器及仪表的精度 缩短仪器的寿命 造成结构物的破坏
振动的利用 振动送料 振动打桩 振动杀虫
振动的控制
振动的分类:
自由振动 :外界激励停止后系统的振动 强迫振动 :系统在外界激励作用下的振动 自激振动 :系统在自身运动诱发出来的激励作
st
初始条件：x02m m , x00
F
st
xO
mg x
A x02(x0/p)22mm
arctan(px0/x0)2
系统的振动规律 x2cos70t(m m )
例3
质量m = 0.5kg的物块沿光滑斜面( = 30°)无
初速下滑。当物块下落高度h = 0.1m时撞于 无质量的弹簧(k = 0.8kN/m)上不再分离。求 物块的运动规律。
代入拉格朗日方程得：
2 3m(Rr)mg0
p
2g 3( R r)
第15-2节
单自由度系统的自由振动
机械振动基础
1、无阻尼自由振动
机械振动基础
弹簧质点系统
➢自由振动: 质点仅在弹性恢复力作用下运动
Fkx m xkx x p2x 0
p
k m
l0 O x
Fm x
xt0x0, xt0x0
xAsin(pta)
2
2
Tmax Vmax
p k m
返回
例1
并联弹簧系统的固有频率
运动微分方程法 (以静平衡位置为原点)
m x(k1k2)x0
p k1 k2 m
静变形法
s
mg k1 k2
p g k1 k2
s
m
k1
k2
st
P
能量法 (以静平衡位置为势能零点)
Tmax
1 mp2A2 2
Vmax 12(k1k2)A2
Ah
例3
以物块的静平衡
位置O为坐标原
点，建立坐标系。
受力图如图示。
物块的运动微分
方程为：
x
解
x
o
A
h
F
O
mg N
m x m gsin k(0x) x p2x 0 p40rad/s
初始条件为：x 0 0 3 .0 6 m m ,x 02 g h 1 .4 m /s
A x 0 2 x 0 2 /p 2 3 5 . 1 m m , a r c t a n ( p x 0 / x 0 ) 0 . 0 8 7 r a d
A x02xp022,
tanpx0
x0
运动特性
xAsin(pt)
x
振 频固 初 幅 率有 相
圆位
xo
A
o
t
p
T
➢ 简谐性 ➢ 周期与初始条件无关
T 2π
m k
➢ 振幅与初位相取决于初始条件
➢ 常力的影响: 振动中心移到静平衡位置
➢ 固有频率的计算方法
常力对自由振动的影响
坐标原点取在弹簧原长
mxmgkx
用下产生和维持的振动 参激振动 :系统本身的参数随时间周期性变化
而产生的振动 随机振动 :系统在随机激励作用下的振动
单自由度系统振动 多自由度系统振动 连续系统振动
线性振动 非线性振动
第15-1节
单自由度振动的线性化方程
机械振动基础
单自由度系统的微振动
微振动 — 质系在它的稳定平衡位形附近的 微幅振动。也称为线性振动。