5.1单纯形法的基本思路和原理
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第五章_单纯形法
此法是求解线性规划问题的一种有效方法 本章的学习内容： 本章的学习内容： §1、单纯形法的基本思路和原理 、 §2、单纯形法的表格形式 、 §3、求目标函数值最小的问题的单纯形表解 、 法 4、几种特殊情况 、
图解法只能解决仅含有两个决策变量的线 性规划的问题， 性规划的问题，对多于两个决策变量的线性规 划问题， 解法就显得无能为力了。 划问题，图 解法就显得无能为力了。在这一章 里将介绍由美国数学家丹捷格(G·B· Dantgig) 里将介绍由美国数学家丹捷格 1947提出的，得到最广泛应用的线性规划的代 提出的， 提出的 数算法——单纯形法，这恐怕是在运筹学发展 单纯形法， 数算法 单纯形法 史上最辉煌的一笔， 史上最辉煌的一笔，此算法是对运筹学算法的 一次革命。 一次革命。在第三章所介绍的线性规划问题的 计算机解法就是基于单纯形法原理来编程的。 计算机解法就是基于单纯形法原理来编程的。 它可解决多个变量线性规划问题。 它可解决多个变量线性规划问题。在后来研究 上还发明其它求解线性规划的方法,如前苏联科 上还发明其它求解线性规划的方法 如前苏联科 学家发明的内点法、印度科学家发明的K算法 学家发明的内点法、印度科学家发明的 算法 等。
1 1 1 1 0 0 基B1 = 2 1 0 和B 2 = 0 1 0 的基向量和非基向量是 什么 ？ 0 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 A = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
• 基变量：与基向量pi相应的变量 i叫基变量，基 基变量：与基向量 相应的变量X 基变量， 都是B 变量有m个 在此例题中X 变量有 个，在此例题中 1，X2，S1都是 1的基 的基变量。 变量， 变量，而S1，S2，S3是B2的基变量。 • 非基变量：与非基向量 j相应的变量 j叫非基变 非基变量：与非基向量p 相应的变量X 非基变量有n-m个，在此例题中，S2，S3是B1 量，非基变量有 个 在此例题中， 的非基变量。 的非基变量。 的非基变量。而X1，X2是B2的非基变量。 • 基本解：由线性代数知识得：如果在约束方程组 基本解：由线性代数知识得： 系数矩阵中找到一个基， 系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为 再求解这个方程组就可得到唯一解了， 零。再求解这个方程组就可得到唯一解了，这个 基本解。 解称为线性规划的基本解 解称为线性规划的基本解。 x1 x2 s1 s2 s3
第5章_单纯形法
初始可行解:第一个找到的可行域的顶点。
三、单纯形法试算程序框图（见图5—1）
开始
转变为标准型[增加额外 变量(松弛、剩余、人工 变量)]
建立初始单纯形表
最优
是
停
否 找出“换入”“换出”变量
修正单纯形表
图5—1
5.2 线性规划模型的变换
一、线性规划模型标准型的特点 ⑴目标函数是求极大值或极小值； ⑵所有的变量都是非负的； ⑶除变量的非负约束外，其余的约束条件都
ABCD 含量（单位/千克）
最低需求量 （单位）
糖
5 2 4 2 60
蛋白质
3 2 1 4 40
脂肪
3 1 2 5 35
单价（元/千克） 1.5 0.7 0.9 1.2
例3是例2的对偶问题，例3与例2互为对偶线性规 划原规划与对偶规划具有对称性，如图所示：
食品
单一营
养成分单价
AB C D
单一营养
（x1） （x2） （x3） （x4） 成分需求量
m
c a Z j
i ij
i 1
解b
b 1
b 2
…… b
n
目标函 数
例1
求max Z=7x1+10x2 满足 7x1+7x2≤49 10x1+5x2≤50 x1，x2≥0
用单纯形法求解。
例2
第2章例1中我们得线性规划模型为： 目标函数：max Z = 50x1+100x2
满足 x1 + x2 ≤300 2x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1，x2 ≥0
…… am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ≤(≥，=) bm x1，x2 …… xn≥ 0
第二章 单纯形法(1基本思路和原理)
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
max z = n ∑ a ij x j=1 x ≥ 0 j
最优解： 最优解： 使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解． 使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解． （Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解
∑
j
n
c
j=1
j
x
j
(i=1,…，m) (j=1,…，n)
1 1 0 B3 = 1 0 0 1 0 1
为零, 令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x2 + s1 = 300 1 1 1 0 0 x2 300 s1 = 400 2 1 0 1 0 ⋅ x2 = 400 0 1 0 0 1 0 x + s = 250 250 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 加上非基变量: 得到此线性规划的一个基解. 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解. 的约束方程: 的约束方程:
可行解： 可行解： 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解 （Ｆ），（Ｇ）
∑
j
n
c
j=1
j
x
j
(i=1,…，m) (j=1,…，n)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
= b
i
X = ( x1 ,L, xn )
T，Leabharlann 称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域． 称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域．
5.1单纯形法的基本思路和原理
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
b1 300 300, a12 1 b3 250 b2 400 400, 250 a22 1 a32 1
23
§1
b3 此时a32
单纯形法的基本思路和原理
最小，从而对应原基变量中 s3 为出基变
量，变换为 x2，s1，s2 为基变量，x1，s3 为非基变量。 令非基变量为零，得 x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 求解得到新的基本可行解 x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
25
一、找出一个初始基本可行解 下面通过第二章例1的求解来介绍单纯形法。 在加上松弛变量之后得到此线性规划的标准形式。 目标函数：max 50x1+100x2
约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， xi ≥0（i=1,2），sj≥0（j=1,2,3）。
5
§1
20
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
21
§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
单纯形法图解法及原理
单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理
第5章：单纯形法
Page 25
min{300/1，400/1，250/1}= 250， s3出基
以进基变量系数列中的正数 为分母，以相应的方程右端 常数为分子,系数为0和负不 考虑。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 26
思考：若不按最小比值法确定出基变量会 怎么样？
请大家计算一下：
本解。
方程： 5
5.1 单纯形法的基本思路和原理
x2+s1=300， x2=400，
Page 6
x2+s3=250.
x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150 由于在这个基本解中 s1= － 100 ， s3= － 150 ，不满足该线性规划 s1≥0，s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个 基本解可以是可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别 在于其所有变量的解是否满足非负的条件。 基本可行解:我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行
5.1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：
Page 12
首先找到一个顶点；
然后判断它是否最优； 如果不是，则通过更换顶点的方式找到更优的顶点 直到找到最优顶点。
5.1 单纯形法的基本思路和原理
Page 13
由于在线性规划的标准型中要求bj都大于等于零，如果我们能找到 一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位矩阵的各列向量所组成 （至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
x2+s2=400,
x2=250. 求解得到新的基本可行解x1=0,x2=250,s1=50,s2=150. 这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25000。 显然比初始基本可行解x1=0,x2=0,s1=300,s3=250时的目标函数值 为0要好得多。 24
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个基本可行解出发，通过有限次迭代，逐步向着最优解靠近。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
单纯形法的原理可以通过以下步骤来进行解释：首先，我们需要将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
这样，原始的线性规划问题就可以表示为一个矩阵形式Ax=b的形式，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
接下来，我们需要找到一个初始的基本可行解。
这个基本可行解对应于一个m×m的单位矩阵Im，以及一个n维的零向量。
我们可以通过将单位矩阵对应的列向量代入原始的线性规划问题中，来求解初始的基本可行解。
然后，我们需要计算出一个非基本变量的非负进入向量。
这个向量对应于目标函数的系数向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个进入向量，我们可以确定哪一个非基本变量可以进入基本变量集合，从而使得目标函数值增加。
接着，我们需要计算出一个基本变量的非正离开向量。
这个向量对应于基本变量对应的列向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个离开向量，我们可以确定哪一个基本变量可以离开基本变量集合，从而使得目标函数值继续增加。
最后，我们需要进行基本变量与非基本变量的交换，并更新基本可行解。
这个过程可以通过一系列的矩阵运算来实现，从而得到一个新的基本可行解。
然后，我们可以继续重复上述步骤，直到找到最优解为止。
通过上述步骤，我们可以看出单纯形法的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
总之，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效方法，它的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
在实际应用中，单纯形法已经取得了很好的效果，能够有效地处理大规模的线性规划问题。
第五章 单纯形法
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
存在3阶单位阵 （初始可行基）
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如令x1＝0，x2＝0，则 ➢ x3＝300，x4＝400，x5＝250 ➢ 可得到解（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
➢ 又如：令x3＝0，x5＝0， ➢ 由约束条件： ➢ x1+x2+x3＝300 ➢ 2x1+x2+x4＝400 ➢ x2+x5＝250 ➢ 可得到解（50，250，0，50，0）
27500-50x3-50x5
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 典式Z= 27500-50x3-50x5
➢ 如果x3增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50。 ➢ 如果x5的值增加1，Z会怎样？ ➢ 答案：Z减少50 。 ➢ 可见要使Z增加，只有使x3和x5减少。
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ x3，x5的取值是否有减少的可能？ ➢ 分析：该解中非基变量 x1，x2的取值为
一、问题的提出
❖ 线性规划解的集合关系：
基
可
本最
基
行
可优
本
解
行解
解
解
一、问题的提出
❖显然，将搜索范围控制在基本可行 解内，将大大减少搜索工作量。
❖但是，即使取得一个基，得到的解 还不一定可行。
❖如何才能保证取得一个可行基呢？
一、问题的提出
单纯形法
单纯形法一、基本概念二、思路与原理三、基本步骤一、基本概念LP: Max(Min)Z = CX (1)AX=b (2)X≥ 0 (3)其中，A=(aij)m×n，一般，m<n，且R(A)=m。
1.基：已知A=(aij)m×n ，其秩为m(R(A)=m) 。
从A中任取m个线性无关的列向量构成的矩阵B，（即B是A中m×m阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵）），则称B是线性规划问题中的一个基。
注：一个LP问题的基的个数是不唯一的，最多为：个。
2.基向量,非基向量：基B中的一列pi称为一个基向量。
A中基B之外的一列pj称为一个非基向量。
注：一个LP有m个基向量， n－m个非基向量。
3.基变量,非基变量：与基向量pi相应的变量xi称基变量；与非基向量pj相应的变量xj称非基变量。
注：一个LP有m个基向量， n－m个非基向量。
4.基本解,基本可行解,基本最优解对于一个基B，令所有的非基变量为0，求得满足（2）式的解，称作一个基本解。
注：即求解一个m元的线性方程组，由线性代数知识得知，可得到唯一的一组解。
若求得的基本解又满足（3）式，则称此基本解为基本可行解。
若基本可行解又满足（1）式，即使得目标函数达到最优值，则又称此基本可行解为基本最优解。
5.可行基，最优基与基本可行解相对应的基称作可行基；与基本最优解相对应的基称作最优基。
注：基本可行解可行基例：求出下列LP问题的所有基本解，基本可行解，基本最优解。
MaxZ = 50 x1 + 100 x2x1 + x2 ≤ 3002 x1 + x2 ≤ 400s.t. x2 ≤ 250x1 , x2 ≥ 0标准化，得：MaxZ = 50 x1 + 100 x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5x1 + x2 + x3 = 3002 x1 + x2 + x4= 400s.t. x2 + x5= 250xj≥ 0(j=1～5)其中， 1 1 1 0 0 ,基有 -1=9个。
单纯形法
{
}
bi bL a ik 〉 0 = θ L = min a ik a LK
xL
为出基变量。 为出基变量。 ，取得最优解。 取得最优解。
四、最优性检验 δ j = c′j − z′j ≤ 0
第二节 单纯形法的表格形式
max Z = c1 x1 + c2 x 2 + L + cn x n x1 + a1,m +1 x m +1 + L + a1n xn = b1 x 2 + a2 ,m +1 x m +1 + L + a2 ,n xn = b2 M M M M x m + am ,m +1 x m +1 + L + a mn xn = bm x j≥ 0
-1 0 0
x1
0
1 0
0 0 0 1 0 0
[1 ] −1
0 1
-1 1 1 0 0 0
1
−1 2
-1 1 1 -1 1 0
0
0 1
0 0 0 0 1 0
1
0 0
-1 0 1 0 -1 -1
−1
1 −2
1 -2 -1 1 -1 -1
225 125 350
225/1 350/1
x5
zj
x2 x1
x5
第一节 单纯形法的基本思路和原理
5.基本解：对应于基的解， 5.基本解：对应于基的解，即有一个基就有一 基本解 基本解。 基本解。 6.基本可行解：满足非负条件的基本解。 6.基本可行解：满足非负条件的基本解。 基本可行解 7.基本不可行解 不满足非负条件的基本解。 基本不可行解： 7.基本不可行解：不满足非负条件的基本解。 8.可行基 对应于基本可行解的基。 可行基： 8.可行基：对应于基本可行解的基。 9.初始基本可行基 在第一次找到可行基时， 初始基本可行基： 9.初始基本可行基：在第一次找到可行基时， 如果所找到的基为单位矩阵或者是由单位列向 量构成的矩阵， 量构成的矩阵，则这个可行基为初始基本可行 基。 10.初始基本可行解 初始基本可行解： 10.初始基本可行解：初始基本可行基对应的 基本可行解。 基本可行解。
单纯形法的原理
单纯形法是一种线性规划的求解方法，其基本思想是在线性规划问题的可行域内，通过不断迭代，逐步找到最优解。
单纯形法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 确定线性规划问题的可行域：对于一个线性规划问题，首先需要确定其可行域，即所有满足约束条件的解的集合。
可行域通常是一个凸多边形，也可以表示为一个凸锥。
2. 确定初始基：在单纯形法中，我们需要选取一个初始基，即一个初始的可行解，来开始迭代过程。
初始基可以是一个非基变量为零的点，也可以是通过某种启发式算法得到的一个初始可行解。
3. 判断最优解：在得到初始基之后，我们需要判断该基是否是最优解。
如果该基对应的目标函数值已经满足要求，则该基是最优解。
否则，我们需要找到一个非基变量，其对应的系数在约束条件下最小，来继续迭代。
4. 确定换入变量：在找到一个非基变量后，我们需要确定一个换入变量，即需要被替换掉的那个基变量。
通常情况下，我们选择当前基中对应的系数最小的非基变量作为换入变量。
5. 进行迭代：在确定了换入变量之后，我们需要进行迭代，将当前基中的某个基变量替换为非基变量，得到一个新的基。
具体来说，我们可以使用高斯消元法来计算新的基变量的系数，并更新当前基的矩阵表示。
6. 判断收敛：在完成一次迭代后，我们需要判断当前基是否已经收敛到最优解。
如果当前基已经满足精度要求，或者达到了一定的迭代次数上限，我们可以认为已经找到了最优解，停止迭代。
否则，我们需要回到步骤3，继续迭代过程。
单纯形法的原理比较简单，其核心思想是通过不断迭代，逐步逼近最优解。
该方法具有良好的数值稳定性和广泛的应用范围，是求解线性规划问题的一种常用方法之一。
需要注意的是，在实际应用中，单纯形法可能会面临一些问题，例如初始基的选择、系数矩阵的奇异性等问题，需要进行一定的处理和优化。
除了单纯形法外，还有许多其他的线性规划求解方法，例如内点法、外点法、椭球算法等。
这些方法各有优缺点和适用范围，可以根据具体问题的特点进行选择和组合使用。
单纯形法基本原理及实例演示
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
单纯形法
单纯形法（不可以解空集问题，无初始解）一、单纯形法的基本思想1、顶点的逐步转移即从可行域的一个顶点（基本可行解）开始，转移到另一个顶点（另一个基本可行解）的迭代过程，转移的条件是使目标函数值得到改善（逐步变优），当目标函数达到最优值时，问题也就得到了最优解。
2．需要解决的问题：(1)为了使目标函数逐步变优，怎麽转移？(2)目标函数何时达到最优——判断标准是什么？（3）初始解的寻找二、单纯形法原理（用代数方法求解LP）第一步：引入非负的松弛变量（x3 x4 x5）和剩余变量（算完后剩余的资源）x3,x4,x5, 将该LP化为标准型第二步：寻求初始可行基（单位阵对应的），确定基变量第三步：写出初始基本可行解（很多之中找一个，必令原x为0）和相应的目标函数值两个关键的基本表达式：① 用非基变量表示基变量的表达式② 用非基变量表示目标函数的表达式第四步：分析两个基本表达式，看看目标函数是否可以改善？① 分析用非基变量表示目标函数的表达式非基变量前面的系数均为正数（必为负数才可以），所以任何一个非基变量进基都能使Z值增加通常把非基变量前面的系数叫“检验数”②选哪一个非基变量进基？排在最前面的负检验数对应的非基变量③确定出基变量“最小比值原则”（或θ原则）见本如果x2≤0，会出现什麽问题？最小比值原则会失效！基变换新的基变量——x2, x3,x4；新的非基变量x1, x5；写出用非基变量表示基变量的表达式：可得新的基本可行解X（1）=（0,3,2,16,0）T⑤写出用非基变量表示目标函数的表达式:检验数仍有正的第五步：上述过程何时停止？当用非基变量表示目标函数的表达式中，非基变量的系数（检验数）全部非正（0时表无穷解，负时表唯一解）时，当前的基本可行解就是最优解!为什麽？分析用非基变量表示目标函数的表达式，如果让负检验数所对应的变量进基，目标函数值将下降！（2）表格设计依据：将-Z 看作不参与基变换的基变量，把目标函数表达式改写成方程的形式，和原有的m 个约束方程组成一个具有n+m+1个变量、m+1个方程的方程组：取出系数写成增广矩阵的形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++01100001000010212121222221111211mn n n n m mn m m nnc c c c c c b a a a b a a a b a a a-Z ，X n+1，…，X n+m 所对应的系数列向量构成一个基用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时 变成0，相应的增广矩阵变成如下形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++-=++++=++++=+++++++++++01122112211222222121111212111m n m n n n n n mm n n mn m m n n n n n n x c x c x c x c x c Z bx x a x a x a b x x a x a x a b x x a x a x a其中， ， j=1，2，…，n ；增广矩阵的最后一行就是用非基变量表示目标函数的表达式, (j=1,2,…,n)就是非基变量的检验数。
5-1-单纯形法-方法原理
Y
D扩张到E，PD=DE
D比B好
E比B好 N
Y
Y
ABD
ABE
…
AFD
…
…
…
N
D比C好
Y
收缩 DG=GP
ABG
… …
y
F
E
A
D
G P
N
H C
B
x
收缩 PH=HC
ABH
… …
图6-2 单纯形规则示意图
单纯形法——方法原理
在单纯形的推移过程中，新实验点在空间的位 置坐标按以下方法计算：
[新试点的坐标]＝(1+a)
[留下各点的坐标和] n源自a [去掉点的坐标]a＝1，反射，基本单纯形 a>1， 扩张 -1<a<0，内收缩 0<a<1，收缩
单纯形表
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单纯形法——程序框图
课程教案
最优化方法在化学化工中的应用简介
单纯形法——方法原理
单纯形法——方法原理
单纯形法是一种优化设计方法
特点：
计算简便 不受因素数的限制 因素数的增加不会导致试验次数大量增加
单纯形法——方法原理
发展简史
1962年，Spendley提出基本单纯形法 1965年，Nelder等提出改进单纯形法 之后，Routh提出加权形心法与控制加权形心 法
不用求导，甚至没有目标函数表达式时也可使用。
单纯形法——方法原理
单纯形的寻查 方向逐步逼近极 值点 。
F E
D
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图6-1 单纯形的寻查方向
单纯形算法原理与计算步骤详解
单纯形算法原理与计算步骤详解单纯形算法是一种常用于线性规划问题求解的优化算法，其基本思想是通过不断迭代改变可行解，使目标函数值逐渐趋近最优解。
本文将详细介绍单纯形算法的原理和计算步骤。
一、单纯形算法原理单纯形算法基于以下原理：假设存在一个线性规划问题，其中目标函数需要最小化，约束条件为一组线性等式和不等式。
算法通过在可行域内循环改变基变量，以求得最优解。
算法的基本思想是从初始可行解出发，不断迭代地转移到更优的解，直到找到最优解。
单纯形算法的迭代过程中，每一次迭代都会选择一个非基变量进行转移，使目标函数值逐步减小。
二、单纯形算法的计算步骤下面将详细介绍单纯形算法的计算步骤，以帮助读者更好地理解该算法。
1. 初始化阶段在初始化阶段，需要将线性规划问题转化为标准型，并找到初始可行解。
标准型的要求是：目标函数为最小化，约束条件为等式和非负约束。
2. 检验阶段在检验阶段，需要进行基变量的选择和检验是否达到最优解。
首先选择一个入基变量，该变量的选择通常基于某些准则，如最大增量准则、最小比率准则等。
3. 转换阶段在转换阶段，需要进行基变量的转换，使目标函数值不断减小。
通过将选定的入基变量与已有的基变量组成一个新的基，进而得到新的可行解。
在转换过程中，还需要进行非基变量的选择和计算。
选择一个出基变量，使得目标函数值减小的幅度最大。
然后，通过高斯消元法计算出相应的新基。
4. 终止判断阶段在每次迭代后，都需要判断是否已达到最优解或存在无界解。
如果目标函数不能减小或者无界，则算法终止。
否则，返回检验阶段继续迭代。
5. 结果输出阶段当算法终止时，需要输出最优解以及最优解对应的目标函数值。
三、单纯形算法的优化尽管单纯形算法是一种常用的线性规划求解方法，但在某些情况下，其迭代次数可能会非常大。
为了优化算法效率，可以采用以下方法：1. 人工变量法当初始可行解需要引入人工变量时，可以通过人工变量法来优化算法。
该方法通过对目标函数引入人工变量，并对目标函数进行最小化，从而减少迭代次数。
单纯形法基本原理
2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
θi
0
j
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法的计算步骤
单纯形法的计算步骤
cj
cB 0 0 基变量 x4 b 15 20
Page 11
1
x1 2 1/3
2
x2 -3 1
1
x3 2 5
0
x4 1 0
0
x5 0 1
θi
j
x5
－ 20 25 60
2
0
j
1
2
x2
x1
Hale Waihona Puke x475 3 20 1/3 1/3
25 35/3
1
0 1 0 0 1
0
2
17 5
－9
1
1 0 0
Page 14
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
Page 16
θi 4 5 1 3/5 8/3 —— —— 31/3 ——
j
→ →
j
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
Page 17
OR-5 单纯形法
比值
2
50 0 100
50 50 250
zj
50 0
100 0
50 -50
0 0
50 -50
27500
结论： 最优解为。。。最优值。。。 。。。最优值 结论： 最优解为。。。最优值。。。
5.3 求目标函数值最小的线性 规划的问题的单纯形表解法
• 5.3.1 大M法 法
• 以第二章例2来讲解 统一的解法 Max z ＝－2x1－3x2
出基变量：
• 把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数 把已确定的入基变量在 约束方程中的正 入基变量 去除（更正P73 P73） （aij）去除（更正P73）其所在约束方程中的常 把其中最小比值 最小比值所在的约束方程 数项的值( 数项的值(bi)，把其中最小比值所在的约束方程 中的原基变量确定为出基变量 原基变量确定为出基变量。 中的原基变量确定为出基变量。 • 看教材P76－77 看教材P76 P76－ • 第一次迭代之后进行最优检验，如果不是最优那 第一次迭代之后进行最优检验， 么一直迭代到最优为止。 么一直迭代到最优为止。 • ——过程繁琐！ 过程繁琐！ 过程繁琐
50 150 250
50/1 150/2 ——
zj
0 50
100 0
0 0
0 0
100 -100
25000
σ j = cj − zj
第二次迭代
迭 基变 代 量 次 数 x1 s2 x2 x1 cB 50 1 0 0 x2 100 0 0 1 s1 0 1 -2 0 s2 0 0 1 0 s3 0 -1 1 1 b bi/a
532532大m法在手工计算时不会碰到麻烦但是应用计算机求解时只能在计算机中输入一个最大字长的数字由于计算机取值上的误差可能造成计算结果的误差因此学习两阶段法
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xt 为非基向量
t xt）
基变量均≥0，只有检验数都为0，才有σ s x s =0;非基变 量的检验数均 ≤0，只有非基变量都为0，才有σ t x t=0 。 此时目标函数才能取最大值z0。
17
§1
单纯形法的基本思路和原理
三、基变换 例题中 σ1，σ2>0，即该基本可行解不是最优解，需 进行基变换。 具体做法：更换可行基中的一个列向量，得到新的 可行基，求出新的基本可行解使目标函数值更优。 为了换基要确定换入变量---入基变量与换出变量--出基变量。
min bi/aij，其中aij > 0，对应的基变量为出基变量 基变量
22
§1
单纯形法的基本思路和原理
x1 + x2 + s1 = 300, 2x1 + x2 + s2 = 400, x2 + s3 = 250.
在本例题中约束方程为
在第二步中已经知道 x2 为入基变量，把各约束方 程中 x2 的为正的系数除对应的常量，得
0 0 1 1 0 0 0 1 0
所得基本解一定是基本可行解，解中的各个变量或 等于某个 bj 或等于零。
12
§1
单纯形法的基本思路和原理
第一次找到的可行基为单位矩阵（各列可以乱 序），称之为初始可行基，相应的基本可行解叫初始 基本可行解。 本例中找到了一个基是单位矩阵：
max σj ，其中 σj＞0，对应的非基变量为入基变量 基变量
19
§1
单纯形法的基本思路和原理
2．出基变量的确定 确定入基变量后，需在原来的基变量 s1，s2，s3 中 选一个出基变量。若 s3 作为出基变量，则新的基变量为 x2，s1，s2 ，非基变量 x1=s3=0，方程组变为： x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 得基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。此解 满足非负条件，是基本可行解。
目标函数为50x1+100x2，由于初始可行解中x1，x2 为 非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，无 需代换出基变量。各检验数为： σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0
15
§1
单纯形法的基本思路和原理
2．最优解判别定理 求最大目标函数的问题中，若某个基本可行解所有 检验数 σj ≤0，则该解是最优解。 通俗地解释最优解判别定理，设用非基变量表示的 目标函数如下所示：
10
§1
单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出 其基本解以后。 能否在求解之前，找到一个可行基呢？ 也就是能否找到的一个基保证在求解之 后得到的解一定是基本可行解呢？
11
§1
单纯形法的基本思路和原理
由于线性规划的标准型中要求 bj ≥0，若能找到一 个基是单位矩阵（各列向量顺序无关重要），例如：
管理运筹学
第五章 单纯形法
北京理工大学 韩伯棠 教授
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
求目标函数值最小的种特殊情况
2
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
3
4
几种特殊情况
3
§1
单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：
选取可行域某顶点 (更优顶点)
20
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
21
§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
24
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
6
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何找初始基本可行解？ 基本概念
基 Am×n 是约束条件系数矩阵，秩为 m。若 Bm×m 是 A 的子阵， 且可逆，称 B 为一个基。
基向量 基 B 中的一列即称为一个基向量。 非基 向量 在 A 中除了基 B 之外的一列称之为基 B 的非基向量。 基变量 与基向量 pi 相应的变量 xi 叫基变量，基变量有m个。 非基 与非基向量 p 相应的变量 x 叫非基变量，非基变量有n‒m 个。 j j 变量
7
§1
单纯形法的基本思路和原理
若在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令其非 基变量为零，再求解该 m 元线性方程组可得到唯一 解，该解称之为线性规划的基本解。
此例题找到 A 的一个基 B3（可逆子阵）：
1 1 0 B3 1 0 0 1 0 1
令非基变量 x1=0 ,s2=0 , 约束方程变为基变量的方程。
1 0 0 B2 0 1 0 0 0 1
令其非基变量 x1=x2=0，得初始基本可行解：
x1=0，x2=0，s1=300，s2=400，s3=250
注：若找不到单位矩阵（各列可以乱序）的基作为初始可行基， 13 需要构造初始可行基。
§1
单纯形法的基本思路和原理
二、最优性检验 判断已求得的基本可行解是否是最优解。 1．最优性检验的依据——检验数 σj 目标函数
b1 300 300, a12 1 b3 250 b2 400 400, 250 a22 1 a32 1
23
§1
b3 此时a32
单纯形法的基本思路和原理
最小，从而对应原基变量中 s3 为出基变
量，变换为 x2，s1，s2 为基变量，x1，s3 为非基变量。 令非基变量为零，得 x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 求解得到新的基本可行解 x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
8
§1
单纯形法的基本思路和原理
x2+s1=300，
基变量的约束方程:
x2 =400，
x2+s3=250， 求解得到此线性规划的一个基本解： x1=0，x2=400，s1=−100，s2=0，s3=−150
9
§1
单纯形法的基本思路和原理
由于该基本解中
s1=−100，s3=−150 ,
不满足决策变量非负的约束条件，不是可行解。 满足非负条件的基本解叫做基本可行解， 并把这样的基叫做可行基。
基变量&非基变量
约束等式中，非基变 量移到右边，用非基 变量表示基变量
目标函数
非基变量
则目标函数中变量系数即为其检验数，把 xi 的检验数 记为 σi。所有基变量检验数为0。
14
§1
单纯形法的基本思路和原理
例题中找到一个初始可行基：
1 0 0 B2 0 1 0 0 0 1
z z0 j x j
jJ
注：对于求目标函数最小值的情况，只需把σj ≤0改为σj ≥0。
16
§1
单纯形法的基本思路和原理
当所有的 x j ≥0，且σj ≤0，此时
jJ
j
xj 0
分析目标函数：
z z0 j x j z0 （
jJ xs 为基向量
s xs） （
是 输出 最优解
是否为最优解
否
否
是
是否无最优解
终止
4
§1
单纯形法的基本思路和原理
一、找出一个初始基本可行解 下面通过第二章例1的求解来介绍单纯形法。 在加上松弛变量之后得到此线性规划的标准形式。 目标函数：max 50x1+100x2
约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， xi ≥0（i=1,2），sj≥0（j=1,2,3）。
5
§1
单纯形法的基本思路和原理
该线性规划问题的系数矩阵为：
1 1 1 0 0 A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
其中 pj 为系数矩阵 A 第 j 列的向量.A 的秩为3,方程 组变量个数大于 A 的秩，从方程组的无数组解中找 一个初始可行解。
18
§1
单纯形法的基本思路和原理
1．入基变量的确定 当某 σj＞0 ，非基变量 xj 变为基变量，不取0值可使 目标函数值增大，故选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中。 若有两个以上 σj＞0，为使目标函数更大，一般选 σj 较大者的非基变量为入基变量。例题中 σ2=100 是最大的 非负检验数，故选 x2 为入基变量。
25