高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.2.3圆与圆的位置关系课件理

[正解] (1)当直线的斜率不存在时，方程为 x＝－1. 此时圆心 C(1，－2)到直线 x＝－1 的距离 d＝|－1－1|＝2. 故该直线为圆的切线． (2)当直线的斜率存在时，设为 k， 则其方程为 y－1＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋1＝0. 由已知圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|k×1－k2＋－2－＋1k2＋1|＝2，
圆公共弦长．
(3)两圆位置关系与公切线条数
两圆位置关系
内含 内切 相交 外切 外离
公切线条数
01234
撬题·对点题 必刷题
已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点 P(－1,1)的圆的切线方程为_x_＝__－__1__或__5_x_＋__1_2_y_－__7_＝__0_． [错解]
[错因分析] 没有对 k 进行分类讨论，从而遗漏了 k 不存在的情况．
撬法·命题法 解题法
Hale Waihona Puke [考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．
命题法 圆与圆的位置关系
典例 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，4若直线 y＝kx－2 上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是__3____．
代数
无实数解 一组实数解
两组实数解
特征
一组实数解 无实数解
公切线
4
3
2
条数
1
0
注意点 判别式与两圆的位置关系
在利用判别式 Δ 判断两圆的位置关系时，Δ>0 是两圆相交的充要条件，而 Δ＝0 是两圆外切(内切)的必
要不充分条件，Δ<0 是两圆外离(内含)的必要不充分条件.
1．思维辨析 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × ) (4)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ )
(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0. 显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0 就是两圆的公共弦方 程．
②求两圆公共弦长的步骤
第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；
第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两
A．x＋y＝0
B．x－y＝0
C．x－y＋2＝0
D．x＋y＋2＝0
解析 圆 x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心 C 的坐标为(－2,2)．直线 l 过 OC 的中 点(－1,1)，且垂直于直线 OC，易知 kOC＝－1，故直线 l 的斜率为 1，直线 l 的方程为 y－1＝x＋1，即 x－y ＋2＝0.故选 C.
创新例题 设 m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 相切，则 m＋n 的取值 范围是( ) A．[1－ 3，1＋ 3] B．(－∞，1－ 3]∪[1＋ 3，＋∞) C．[2－2 2，2＋2 2] D．(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)
第九章 直线和圆的方程
第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系
考点三 圆与圆的位置关系
撬点·基础点 重难点
圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 R，r，R>r，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何 特征
d>R＋r
d＝R＋r
R－r<d<R＋r
d＝R－r
d<R－r
2．圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋(y－3)2＝1 的内公切线有且仅有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析 圆心距为 3，半径之和为 2，故两圆外离，内公切线条数为 2.
3．若圆 O：x2＋y2＝4 与圆 C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )
[解析] (1)两圆心之间的距离为 d＝ －2－22＋0－12＝ 17，两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝3. 则 r2－r1＝1<d<r1＋r2＝5，故两圆相交． (2)圆 C 方程可化为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为 1.由题意知，直线 y＝kx－2 上至少存在一 点(x，kx－2)，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，所以 x－42＋kx－22≤2，整理得(k2＋1)x2 －(8＋4k)x＋16≤0，此不等式有解的条件是 Δ＝(8＋4k)2－64(k2＋1)≥0，解得 0≤k≤43，故 k 的最大值为43.
【解题法】 两圆位置关系的相关问题 (1)圆与圆的位置关系有 5 种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见 有两种命题方式： ①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题． (2)两圆相交公共弦问题 ①求相交圆公共弦问题 设圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如果先求交点坐标，再用两点 式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x0， y0)，则有： x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，① x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.② ①－②得
整理得|2kk＋ 2＋31|＝2，解得 k＝－152， 故此时切线方程为－152x－y＋172＝0， 即 5x＋12y－7＝0， 综上，圆的切线有两条：x＝－1 或 5x＋12y－7＝0.
[心得体会]
微型专题 与圆有关的交汇问题 创新考向 与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托， 考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最 值等． 常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等.