高考数学复习好题精选数列求和

数列求和

1.数列a 1＋2，…，a k ＋210240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10

之

值

为

( )

A ．31

B ．120

C ．130

D ．185

解析：a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20)＝240－(2＋20)×10

2＝240－

110＝130. 答案：C

2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321

64，则项数n 等于 ( )

A ．13

B ．10

C ．9

D ．6 解析：∵a n ＝1－1

2

n ，

∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－1

2n )

＝n －(12＋14＋18＋…＋1

2n )

＝n －12[1－(12)n ]1－12＝n －1＋12n ，

由S n ＝32164＝n －1＋1

2n ，

观察可得出n ＝6. 答案：D

3．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1，且n ∈N *)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.

解析：∵a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1) ∴{a n －1}为等比数列，则a n ＝2n －1＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝10＋(20＋21＋…＋29) ＝10＋1－210

1－2

＝1 033.

答案：1 033

4.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1

f (n )

}(n ∈N *)的前n 项和是

( )

A.n n ＋1

B.n ＋2n ＋1

C.n

n －1 D.n ＋1n

解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，

1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝n

n ＋1. 答案：A

5．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n

＝0在y 轴上的截距为 ( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 解析：数列的前n 项和为

11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝9

10， 所以n ＝9，

于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0， 所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B

6．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的

和．

解：由已知得：a n ＝1n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝n

2，

b n ＝2n

2·n ＋12＝8(1n －1

n ＋1)，

∴数列{b n }的前n 项和为 S n ＝8

＝8(1－1n ＋1)＝8n

n ＋1.

7.求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n

a

n .

解：当a ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2；

当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n

a n ，

1a S n ＝1a 2＋2a 3＋3a 4＋…＋n －1a n ＋n

a n ＋

1， 两式相减得，(1－1a )S n ＝1a ＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －n a n ＋1＝1a [1－(1

a )n ]1－1a －n

a n ＋

1，

即S n ＝a (a n －1)－n (a －1)

a n (a －1)2，

∴S n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

n (n ＋1)2，a ＝1，a (a n

－1)－n (a －1)

a n

(a －1)

2

，a ≠1.

8．(2010·昌平模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －

1a n ＝n 3，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝n

a n

，求数列{b n }的前n 项和S n .

解：(1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n

3， ①

∴当n ≥2时，a 1＋3a 2

＋32a

3＋…＋3

n －2

a n －1＝n －1

3

. ② ①－②得3n －1a n ＝13，a n ＝1

3

n .

在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝1

3n ，

∴a n ＝1

3

n .

(2)∵b n ＝n

a n

，∴b n ＝n 3n .

∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n 3n ， ③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n 3n ＋1.④ ④－③得2S n ＝n 3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )， 即2S n ＝n 3n ＋1－3(1－3n )

1－3，

∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.

9.(2010·长郡模拟)n 123＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 2

2

＋a 23＋…＋a 2n 等于

( )

A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C.1

3(4n －1) D ．4n －1

解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2n －1－1，

∴a n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a 2n ＝4

n －1

， ∴a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝

1－4n 1－4＝1

3(4n －1)． 答案：C

10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1

n ＋2

(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5

成立

的

自

然

数

n

( )

A ．有最大值63

B ．有最小值63

C ．有最大值32

D ．有最小值32

解析：法一：依题意有a n ＝log 2n ＋1

n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，所以S n ＝log 22－log 23

＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝log 22－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)，令1－log 2(n ＋2)<－5，解得n >62，故使S n <－5成立的自然数n 有最小值63.