张量以及力学应用

（ 1-2.2 ）
υ = { υi} （i = 1,2,3.....n）
（ 1-1.3 ）
同理，基矢 i, j可,k分别写为 e1，或者e2，e3
ei (i = 1,2,3)
N 维空间的基矢，可写为：ei (i = 1,2,3.....n)
与 (1-1.2) 式对应的写法为
υ = υ1e1 + υ2e2 + υ3e3 + ......+ υnen
（ 1-22 ）
βij′ = ei • ej′ = ei ej′ cos θ = cos（i, j′）
（ 1-23 ）
为新坐标轴对旧坐标轴的方向余弦。
利用 β记号还可以写出新旧坐标的关系。比如矢径 ，r在新、旧坐
标系上表为 r = xi′，ei′ 左= 右x je两j 边点乘 后，得 ek′ xi′ei′ • ek′ = xi′δi′k′ = x jej • ek′ = x j β jk′
一指标的 ，a必i 定是矢量。 单纯从一个量有分量。 或ai ( ，a1 ，a2 ) 并a不3 能断定它就是矢量
矢量运算
1. 矢量的加法 矢量的加 ( 减 ) 法运算在图形
υ υ2
表示法中，可以采用三角形法或 平行四边形法
分量表示法
r1
三角形法
用指标记法 用基矢表示
υ ± w = (υx ± wx ,υy ± wy ,υz ± wz ) υ ± w = (υ1 ± w1 ,υ2 ± w2 ,υ3 ± w3 )
变换后的新坐标系为 ox1x2，x3其基矢 ( 标架 ) 为
e1′，。e2′，e3′
设一矢量 。v 用旧坐标和新坐标系表示分别为
用
ej点′ 乘（
1-21
v viei v jej ）左右两边，得
（ 1-21 ）
记为
v j′ = viei • ej′ v j viei ej vi ij
（ 1-28 ） （ 1-29 ）
矢量判别准则
概括式 (1-22) 与 (1-25) ，可知矢量在坐标变换前与变换后 ( 或
其逆 ) ，只差一个 符β号的因子，这是矢量的一个性质。反过来
也可以说，如果一个具有单一指标的量 ，a在i 坐标系变换前与坐 标系变换后的分量之间，由 (1-22) 或 (1-25 。 ) 式联结，则此单
相应的分矢量为
υ1e1，υ2e2，υ3e3 .....υnen
其中
ei (0,0,...,1,...,0)
（ 1-2.4 ）
顺序第 个
i
i 叫做 的υ 下标。
有些量比矢量更复杂，只用一个下 ( 或上 ) 指标还不够，要采用
更
Aij
Bij
多的指标，如
Cijlk
Dlm ijk
Glk
1.3 矢量代数
Tij
=
βi1 β
Tj1 11
+
βi1 β
T j 2 12
+
βi1 β
T j3 13
+
=
n
∑
l =1
β β T n
∑
m=1
il
jm lm
（相同的指标叫做哑指标，其他指标为自由指标）
与 (1-9) 式对应，当分别用基矢表示 f时、，s 可写为
W = f • s =（fiei）（• s jej） ++==（ffff3211ssse1111eee132+•••eefe1211e+++2 +fff132sssf2232eeee1332）•••e•ee2(22s++1+e1ff1f+3s2s3ss3e3e12ee3•22•e•+e3e33s3e3 )
张量及其力学应用
西安科技大学建工学院 贠永峰
1矢量
1.1 矢量表示方法 1.2 指标符号 1.3 矢量代数 1.4 坐标变换 1.5 梯度、散度与旋度
1.1 矢量表示方法 运动物理中的位移、速度、力都是矢量。
最直观的表示法：三维空间中的有向线段（图示法） 特点：这种方法不依赖于坐标系的选择。
（表示在一张图上的物理矢量，但是有些不同的矢量，事实上 是属于不同的矢量空间） 分量表示法：先选定一个坐标系，比如通常的正交直线坐标系， 即卡氏坐标系，然后确定矢量对于这个坐标系的分量：
viei • ek = v j′ej′ • ek viδik = v j′ β j′k
vk kjv j
（ 1-25 ）
而用新坐标表示旧坐标的关系式与 (1-24) 对应有：
xi ij x j
（ 1-26 ）
对于基矢也有
ej′ = ej′ • eiei = β j′iei
定义第三量。下定义时当然最好同已知的物理规律相联系。
(1) 标积和 Kronockor 符号 δij 标积 从物理学知道，一个力矢量
与一f 个位移矢量
可以s确定一
个标记量作功f，•又s 称点积W。 =
f
s
cos
a
（ 1-7 ）
用指标符号
∑ W

f

s

( f1s1

f2s2

f3s3 )
=
∑
i、j
fi s jei
• ej
= fis jei • ej
（ 1-11 ）
令 ei • ej = δij 为e相1，互e2，垂e直3 的单位矢量 ，由点积的定义知
所以有
0 当i ≠ j时 δij = 1 当i = j时
（ 1-12 ）
W = fi s jei • ej = fis jδij = fi si = f1s1 + f2s2 + f3s3
δ称ij 为 Kronecker 符号。对于 N 维向量扩大变程为 i、j = 1，2n
于是 N 维空间的点积为：
u• v = uiv jδij = uivi = u jv j
(1-13)
(1-2) 式单位矢量 为 i ，（1，为0，0） j 就可（0以，1，将0）其分量。分别写成
，
δ1 j δ2 j

3
fi si
（ 1-8 ）
i 1
最后一个等式在 符∑ 号下 有两fis个i 同样的指标 。 i 求和约定 符号 可∑以不写出，凡在一项中有一对相同的指标，
就认为对这一指标遍历求和。求和所得的结果，不再含有这一指标
。
另外，又因为求和结果既然不包括所求和的指标，那么这一指标
在运算中间写成什么别的指标也不会影响结果。
e2
（ 1-15.3 ）
引入符号 eij，k 上面九个式子 (1-15.3) 可用一个式子概括：
ei × ej = eijkek （i, j,k = 1,2,3）
（ 1-16 ）
1 eijk 1
0
i , j , k顺钟轮换时 i , j , k逆钟轮换时 i , j , k至少有两个相同时
（ 1-18 ）
左边就是矢量的混合积。它的物理意义是以ei，ej，为ek 个棱
而形成的正立方体的体积。
以矢量 a = (a1, a2 , a3)， b = (为b1,棱b2的,b3平)，行c六= (面c1体,c2的,c体3 )，积 V
( 注意矢量的次序 ) 可用行列式
a1 a2 a3 V = b1 b2 b3
（ 1-3 ） （ 1-4 ）
υ ± w = (υ1 ± w1)e1 + (υ2 ± w2 )e2 + (υ3 ± w3 )e3 （ 1-5 ）
根据以上所述几种表示方法容易看见，矢量的加法满足交换律
υ ± w = w ± υ
（ 1-6 ）
2. 矢量的标积和叉积， δi和j 符eijk号、并矢 矢量代数中的积可以有几种定义。总之，是从两已知矢量去
并排放在一起的。但是这样定义的乘积有何意义 ? 有何性质 ?
（第二章讨论）。
总之，上面按不同的定义矢量的积得出三种不同的结果，有
标量，矢量并矢。
1.4 坐标变换
1. 三维空间坐标变换
考虑三维空间的两个正交直线坐标系 ( 笛卡尔坐标系 ) ，并
设原坐标系为 ox1x2，x3 其基矢 ( 标架 ) 为 e1，。e又2，设e3
于坐标系变化而改变了分量的值。
由符号定义，显然
β j′i = βij′
综合 (1-22) 及 (1-25) 两式，还有
v j viei ej vji i
vi v j ji ijv j v ik k
由此得出
v j v ji ik k ji ik jk
eijk称为置换符号，利用符号 e于ijk 是
u× v = uiv jei × ej = uiv jeijk ek
（ 1-17 ）
(3) e与ijk
由定义
的δ关iej i系× ej
= eijk ek
左右两边点乘 ，ek 得
（ei × e）j • ek = eijkek • ek = eijk
υ ~（υx ，υy，υz） 有序数可以看做单行矩阵
（ 11.1 ）
矢量用基矢与其对应分量表示
其中
iυ（x1i，，0，0υ）y称，υj，为=jυυ分(zx0ki,矢1+,量0υ)y，。j +k(υ0zk,0,1)
（ 1-1.2 ） （ 1-1.3 ）
是单位矢量，它们组成卡氏系中的一组基矢 ( 称为标架 ) 。
利用 xi′δi′k′得= xk′
xi′δi′k′ = x j β jk′
xk kj x j
如果求矢量分量从新坐标到旧坐标的变换式，
e（i 或
（ 1-24 ） ）ek 点乘（ 1-
21 ）
viei • ei = v j′ej′ • ei
vi v j ji ijv j
c1 c2 c3
给出。因此，考虑到 (1-14) 式可得
（ ei
× e）j • ek
=
δi1 δ j1
δi 2 δj2
δi3 δj3
δk1 δk 2 δk 3
（ 1-19 ） （ 1-20 ）
(4) 并矢 矢量积还可以有别的定义方法， 比如矢量 直υ及接w放在一起成
以及 w。这可以w叫 作直接乘积或并矢，因为它们是将两个矢量
w3e3） （

1-15.2
）
e1，e互2，相e3垂直的单位矢量，由
υ×和w上=式υ知w sinθ
eee112
×××eee121
= = =
0e，3e，3，ee22×e×3e×e23e==2 0=e，1，ee3e1，3××ee3e11×==e03e2=
（ 1-27.1 ）
ei ei ejej ijej
（ 1-
应当注意 ，此两式虽然形式与 (1-22) 、 (1-25) 相同，但2这7.里2 ）
(1-27) 表示的是基矢。 变ei换成 ，基ej′矢旋转一个角度。
而 (1-22) 、 (1-25) 两式所表示的，是矢量本身没动，只是由
1.2 指标符号
（ 1.1 中的矢量表示方法推广到多维空间存在困难）
记法 变为
x记为x1，y记3为维x空2 ,间z记的为矢x量3 （速度） υ ~（υ1，υ2，υ3）
（ 1-2.1 ）
一个 N 维空间的矢量 ( 图示画不出来 ) 用分量表示时为：
υ ~（υ1，υ2，υ3 .....υn） 它可视为一个 N 维的单行矩阵，且可写为
W = fi si = fl sl = fk sk 这一记法可以推广到 N 维空间，即aib代i 表
指标符号表示的其它物理量，如
（ 1-9 ） i∑=n1，aib也i 可以推广到用
Tij = βil β T jm lm = βiα β T jβ αβ
（ 1-10 ）
只要注意将一对求和指标同时替换，如 (1-9) 式 换i 成 ，l (1-10) 式中 l换成 。α 换m，它β 们的含意都是相同的，即
推广到 N 维，而写成 ei = (δij )
( j = 1,2,n)
（ 1-14 ）
显然
δij = δ ji
(2) 叉积和置换将号 eijk 矢量第二种积也与实际有联系。用两个矢量作为邻边，可以
构成一个平行四边形，这个平行四边形有面积，间且还可规定一
个法线正方向。可以定义矢量的积就等于这样规定的平行四边
形面积。记为 υ×，w并定义υ为× w = υ w sinθ
（ 1-15.1 ）
矢量的方向为此平行四边形用右手螺旋定则所确定的正法线方
向。这样定义的积是矢量，故叫矢积，也叫叉积。 与 (1-11) 式的定义点积的方式对比，用基矢表示
可写为
υ时及的w 叉积
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