高数概念题目及反例
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如：
32、设f(x)和g(x)在 有定义， 是连续函数，g(x)有间断点，则（D）
(A)g[f(x)]必有间断点；（B） 必有间断点；
（C）f[g(x)]必有间断点；（D） 必有间断点。
33、证明：若f(x)连续，则|f(x)|及 也连续。
反之，若f(x)|或 连续，则|f(x)|不一定连续。
34、在一点f(x)连续，而g(x)不连续，f(x)g(x)在该点也可能连续。
答：非。如
（其中p,q为互素的自然数，且 ），都是[0,1]上的可积函数，而
在[0,1]上却不可积。
24、若|f(x)|可积，则f(x)必可积。
答：非。如
25、若f(x)在（a,b）内有原函数，则f(x)在[a,b]上必可积。
答：非。如
若f(x)在[a,b]上有原函数，则f(x)在[a,b]也不一定可积。
答：不一定。如
19、若 在c的某一邻域内，f(x)是否必为单调增加函数。
答：不一定。如
显然
但是，当 时，
在 处，
而在 处，
当k足够大时， 可以与x=0充分接近，可见在x=0的任何邻域在，函数f(x)的导数有时为正，有时为负，故非单调。
20、若a为f(x)的极大值点，则必定存在a的某一邻域，在该邻域内，函数在a的左侧单调增加，而在右侧单调减少。
二、结果
28、二元函数在一点不可微，但沿任意方向的方向导数仍可存在。
29、二元函数在一点的两个偏导数都存在，且在该点的各方向导数都存在，函数在该点也不一定可微。
如
30、若f(x)的极限存在，而g(x)的极限不存在，则f(x)g(x)的极限不一定。
31、若在一点f(x)与f(x)g(x)的极限都存在，则g(x)的极限不一定存在。
，矛盾。
27、一般地，不能从 求得 ，只有 在 处连续，且 存在时，才有 否则要用导数的定义或可导的必要条件来判断。如
，可以求得
显然 但 不存在，因为f(x)在x=0不连续。
的几何意义表示曲线 的弦 的斜率 当M点沿着曲线 趋近于 时的极限；而 的几何意义表示曲线 在M(x,y)点的切线MT的斜率当M点沿着曲线 趋近于 时的极限。所以二者未必相等。
如 在[-1,1]上有原函数
但f(x)在[-1,1]无界，故不可积。
26、若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在(a,b)内必定有原函数。
答：非。如 在 上可积，即
而 在 内却不存在原函数。证明如下：
若F(x)为 在 内的原函数，则有原函数的定义，
因而F(x)在 内必连续。
任取 则F(x)在 内满足拉格朗日定理条件，从而可以证明
一、判断下面命题是否正确：
1、初等函数在其定义域内必可导。
答：非。如
2、连续函数除去可能有几个特别点之外处处可导。
答：非。
3、若f(x)在点a不可导，则曲线y=f(x)在（a,f(a)）点处必无切线。
答：非。
4百度文库若曲线y=f(x)处处有切线，则函数f(x)必处处可导。
答：非。如
5、若f(x)+g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处必皆可导。
函数可微 沿任意方向的方向导数存在，反之不真。
沿任意方向的方向导数存在和可偏导不能互推。
可偏导和函数连续不能互推。
沿任意方向的方向导数存在和函数连续不能互推。
下求二元函数f(x,y)的极值：可以验证，（0,0）是其驻点，而在（0,0）处
无法判定。但由f(x,y)的表达式看出，
当 时， 当 或 时，
因此， 不可能在（0,0）取得极值。
36、偏导数不存在，方向导数可存在。如
在(0,0)点。
一般地，偏导数连续 函数可微，反之不真。函数可微可推出可偏导。
函数可微 函数连续，反之不真。
答：非。如
在x=0处。 。
6、若f(x)g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处皆可导。
答：非。如
在x=0处
7、若f(x)、g(x)在c都不可导，则f(x)+g(x)、f(x)g(x)在c必不可导。
答：非。
8、若f(x)在c可导，g(x)在c不可导，则f(x)g(x)在c必不可导。
答：非。
9、若函数在（a,b）内可导，则其反函数在相应点必定可导。
答：非。如
21、判定 是否正确？
答：不正确。
22、判定命题是否正确：若f(x)在某一区间内不连续，则在该区间内f(x)必无原函数。
答：不正确。如
由于x=0是f(x)的第二类间断点，故f(x)在[-1,1]不连续，但是f(x)具有原函数
23、若f(x)与g(x)在[a,b]上都可积，则f[g(x)]在[a,b]上必定可积。
，
15、若函数f(x)为（a,b）内的严格单调递增函数，且f(x)在（a,b）内可导，是否必有
答：不一定。如
16、若f(x)与g(x)在（a,b）内皆可导，且f(x)>g(x),在（a,b）内是否必有
答：不一定。如
17、单调可导函数的导数必定是单调函数。
答：不一定。如
18、若导函数单调，函数是否必单调。
在x=0处不可导，而
其中
所以 在x=0处可导。
12、若 在 处可导， 在 处不可导，且 ，则
在 处必不可导。
答：非。如 在u=0处可导， 在x=0处不可导，但
在x=0处却可导。
13、若 存在，则在 的某邻域内必存在 使 可导。
答：非。如 在x=0.
14、举例说明罗尔定理中的三个条件缺一不可。
答：如下面三个函数
在一点f(x)和g(x)都不连续，f(x)g(x)也可能连续。
35、证明：在过点（0,0）的任何一条直线上，函数 均在点（0,0）取得极小值，但f(x,y)在点（0,0）处无极值。
证明：在直线x=0上， 在直线y=0上， ，结论显然成立。
现考虑直线 函数 化为
求导得
因为 在原点取得极小值。
因此，在过点（0,0）的任何一条直线上，函数 均在点（0,0）取得极小值。
答：非。如 在 处可导，而反函数x=arcsiny在相应y=1处导数不存在。
10、若f(x)在 处不可导， 在 处可导，且 ，则
在 处必不可导。
答：非。如
函数 在u=0处不可导， 在x=0处可导，而
在x=0处却可导。
11、若f(x)在 处不可导， 在 处也不可导，且 ，则 在 处必不可导。
答：非。如 在u=0处不可导，
32、设f(x)和g(x)在 有定义， 是连续函数，g(x)有间断点，则（D）
(A)g[f(x)]必有间断点；（B） 必有间断点；
（C）f[g(x)]必有间断点；（D） 必有间断点。
33、证明：若f(x)连续，则|f(x)|及 也连续。
反之，若f(x)|或 连续，则|f(x)|不一定连续。
34、在一点f(x)连续，而g(x)不连续，f(x)g(x)在该点也可能连续。
答：非。如
（其中p,q为互素的自然数，且 ），都是[0,1]上的可积函数，而
在[0,1]上却不可积。
24、若|f(x)|可积，则f(x)必可积。
答：非。如
25、若f(x)在（a,b）内有原函数，则f(x)在[a,b]上必可积。
答：非。如
若f(x)在[a,b]上有原函数，则f(x)在[a,b]也不一定可积。
答：不一定。如
19、若 在c的某一邻域内，f(x)是否必为单调增加函数。
答：不一定。如
显然
但是，当 时，
在 处，
而在 处，
当k足够大时， 可以与x=0充分接近，可见在x=0的任何邻域在，函数f(x)的导数有时为正，有时为负，故非单调。
20、若a为f(x)的极大值点，则必定存在a的某一邻域，在该邻域内，函数在a的左侧单调增加，而在右侧单调减少。
二、结果
28、二元函数在一点不可微，但沿任意方向的方向导数仍可存在。
29、二元函数在一点的两个偏导数都存在，且在该点的各方向导数都存在，函数在该点也不一定可微。
如
30、若f(x)的极限存在，而g(x)的极限不存在，则f(x)g(x)的极限不一定。
31、若在一点f(x)与f(x)g(x)的极限都存在，则g(x)的极限不一定存在。
，矛盾。
27、一般地，不能从 求得 ，只有 在 处连续，且 存在时，才有 否则要用导数的定义或可导的必要条件来判断。如
，可以求得
显然 但 不存在，因为f(x)在x=0不连续。
的几何意义表示曲线 的弦 的斜率 当M点沿着曲线 趋近于 时的极限；而 的几何意义表示曲线 在M(x,y)点的切线MT的斜率当M点沿着曲线 趋近于 时的极限。所以二者未必相等。
如 在[-1,1]上有原函数
但f(x)在[-1,1]无界，故不可积。
26、若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在(a,b)内必定有原函数。
答：非。如 在 上可积，即
而 在 内却不存在原函数。证明如下：
若F(x)为 在 内的原函数，则有原函数的定义，
因而F(x)在 内必连续。
任取 则F(x)在 内满足拉格朗日定理条件，从而可以证明
一、判断下面命题是否正确：
1、初等函数在其定义域内必可导。
答：非。如
2、连续函数除去可能有几个特别点之外处处可导。
答：非。
3、若f(x)在点a不可导，则曲线y=f(x)在（a,f(a)）点处必无切线。
答：非。
4百度文库若曲线y=f(x)处处有切线，则函数f(x)必处处可导。
答：非。如
5、若f(x)+g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处必皆可导。
函数可微 沿任意方向的方向导数存在，反之不真。
沿任意方向的方向导数存在和可偏导不能互推。
可偏导和函数连续不能互推。
沿任意方向的方向导数存在和函数连续不能互推。
下求二元函数f(x,y)的极值：可以验证，（0,0）是其驻点，而在（0,0）处
无法判定。但由f(x,y)的表达式看出，
当 时， 当 或 时，
因此， 不可能在（0,0）取得极值。
36、偏导数不存在，方向导数可存在。如
在(0,0)点。
一般地，偏导数连续 函数可微，反之不真。函数可微可推出可偏导。
函数可微 函数连续，反之不真。
答：非。如
在x=0处。 。
6、若f(x)g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处皆可导。
答：非。如
在x=0处
7、若f(x)、g(x)在c都不可导，则f(x)+g(x)、f(x)g(x)在c必不可导。
答：非。
8、若f(x)在c可导，g(x)在c不可导，则f(x)g(x)在c必不可导。
答：非。
9、若函数在（a,b）内可导，则其反函数在相应点必定可导。
答：非。如
21、判定 是否正确？
答：不正确。
22、判定命题是否正确：若f(x)在某一区间内不连续，则在该区间内f(x)必无原函数。
答：不正确。如
由于x=0是f(x)的第二类间断点，故f(x)在[-1,1]不连续，但是f(x)具有原函数
23、若f(x)与g(x)在[a,b]上都可积，则f[g(x)]在[a,b]上必定可积。
，
15、若函数f(x)为（a,b）内的严格单调递增函数，且f(x)在（a,b）内可导，是否必有
答：不一定。如
16、若f(x)与g(x)在（a,b）内皆可导，且f(x)>g(x),在（a,b）内是否必有
答：不一定。如
17、单调可导函数的导数必定是单调函数。
答：不一定。如
18、若导函数单调，函数是否必单调。
在x=0处不可导，而
其中
所以 在x=0处可导。
12、若 在 处可导， 在 处不可导，且 ，则
在 处必不可导。
答：非。如 在u=0处可导， 在x=0处不可导，但
在x=0处却可导。
13、若 存在，则在 的某邻域内必存在 使 可导。
答：非。如 在x=0.
14、举例说明罗尔定理中的三个条件缺一不可。
答：如下面三个函数
在一点f(x)和g(x)都不连续，f(x)g(x)也可能连续。
35、证明：在过点（0,0）的任何一条直线上，函数 均在点（0,0）取得极小值，但f(x,y)在点（0,0）处无极值。
证明：在直线x=0上， 在直线y=0上， ，结论显然成立。
现考虑直线 函数 化为
求导得
因为 在原点取得极小值。
因此，在过点（0,0）的任何一条直线上，函数 均在点（0,0）取得极小值。
答：非。如 在 处可导，而反函数x=arcsiny在相应y=1处导数不存在。
10、若f(x)在 处不可导， 在 处可导，且 ，则
在 处必不可导。
答：非。如
函数 在u=0处不可导， 在x=0处可导，而
在x=0处却可导。
11、若f(x)在 处不可导， 在 处也不可导，且 ，则 在 处必不可导。
答：非。如 在u=0处不可导，