高数概念题目及反例

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高数考试题及答案解析

高数考试题及答案解析一、选择题1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，那么f(x)与A的差值与任意正数ε之间满足的关系是（）。

A. |f(x) - A| < εB. |f(x) - A| > εC. |f(x) - A| = εD. |f(x) - A| ≥ ε答案：A解析：极限的定义是指当x趋近于a时，f(x)与A的差值可以任意小，即对于任意正数ε，存在一个δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - A| < ε。

因此，正确选项是A。

2. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x。

将x=0代入，得到f'(0) = 2*0 = 0。

因此，正确选项是A。

二、填空题1. 已知函数f(x) = sin(x)，则f'(x) = ________。

答案：cos(x)解析：根据三角函数的导数公式，sin(x)的导数是cos(x)。

2. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2在点(1,0)处的切线斜率为 ________。

答案：-4解析：首先求出函数的导数y' = 3x^2 - 6x。

将x=1代入，得到y'(1) = 3*1^2 - 6*1 = -3。

因此，在点(1,0)处的切线斜率为-3。

三、计算题1. 计算极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。

答案：-1解析：首先将极限表达式进行化简：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)] = lim(x→0) [(1 + x^2) / (1 - x^2)]。

当x趋近于0时，分子趋近于1，分母趋近于1，因此极限值为-1。

2. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 1) dx。

答案：1/3解析：首先求出被积函数的原函数：∫(x^2 - 2x + 1) dx = (1/3)x^3 - x^2 + x + C。

高等数学易错(易混淆)概念辨析讲解

高等数学易错（易混淆）概念辨析讲解第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限．结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。

高数函数定义域典型例题

高数函数定义域典型例题例1 已知()sin f x x =，2[()]1f x x ϕ=-，求()x ϕ的解析式及其定义域．解依题意得sin ()x ϕ=21x -，()x ϕ=2arcsin(1)x -．由2111x -≤-≤可知x ≤()x ϕ=2arcsin(1)x -，[x ∈．例2 设1,0()2,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，2, 0(),0x x g x x x ⎧<=⎨-≥⎩．求[()]f g x ．解（1）由()0g x ≤得()0g x x =-≤即0x ≥，所以0x ≥时[()]f g x =1x +．（2）由()0g x >即2()0g x x =>得0x <．所以0x <时，[()]f g x =22x +．故22,0[()]1, 0x x f g x x x ⎧+<=⎨+≥⎩．例3 设1,||1()0,||1x x x ϕ≤⎧=⎨>⎩，22,||1()2, ||1x x x x φ⎧-≤=⎨>⎩．试求[()]x ϕφ，{[()]}x ϕϕϕ．解（1）由于1,|()|1[()]0,|()|0x x x φϕφφ≤⎧=⎨>⎩，且仅当||1x =时，()1x φ=；||1x ≠时，1()2x φ<≤．则1,||1[()]0,||1x x x ϕφ=⎧=⎨≠⎩．（2）当(,)x ∈-∞+∞时，0()1x ϕ≤≤．故[()]1x ϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．于是{[()]}1x ϕϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．注函数复合类似“代入”，但应注意定义域的变化．复合后要写下复合函数的定义域．由于复合函数是微积分研究的主要对象之一，读者应熟练掌握复合函数的概念．例4 设()f x ，()x ϕ，()x φ均为单调递增函数，且()()()x f x x ϕφ≤≤．证明：[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．证明由题设可知[()][()][()]x f x f f x ϕϕϕ≤≤， [()][()][()]f f x f x x φφφ≤≤，则由上述不等式可得[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．注此处多次利用函数单调性的定义．例5 下述说法中与lim n n x a →∞=的定义等价的是（）．A ．(0,1),N ε∀∈∃，当n N ≥时，有||100n x a ε-≤．B ．1,N ε∀>∃，当n N >时，有||n x a ε-<．C ．,0N ε∀∃>，当n N >时，有||n x a ε-<．D ．,0N ε∃∀>，当n N >时，有||n x a ε-<．解 lim n n x a →∞=的定义：对于数列n x ，存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（不论它多么小），存在自然数N ，使当n N >时，不等式||n x a ε-<恒成立．A 与上述定义等价，因为0ε>具有任意性，100ε也具有任意性．B 因为1ε>不能保证ε为任意小，从而由||n x a ε-<不能保证n x 与a 无限接近．C 中的ε是存在性，与定义不符．D 如果存在自然数N ，使对0ε∀>，当n N >时有||n x a ε-<，这说明数列n x 有极限a ，说明D 是上述定义的充分条件．但反之如果lim n n x a →∞=，不一定能找到那样的N （它可能与ε无关．这一要求比N 与ε有关的要求更高），使对任意0ε>，当n N >时，都有||n x a ε-<，因为在定义中N 是依赖于ε的给定而确定的．因而D 不是上述定义的必要条件．故选A ．例6（03研*）设{}n a 、{}n b 、{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（）． A ．n n a b <对任意n 成立． B ．n n b c <对任意n 成立． C ．lim n n n a c →∞不存在． D ．lim n n n b c →∞不存在．解法1 由数列极限的定义，数列{}n a 的极限关心的是n a 在某个N （足够大）之后的性质，前面的有限多项则无关紧要．因此A 、B 中“任意n ”的条件显然不成立．“0⋅∞”型的极限是未定式，C 不成立，故选D ．事实上，当lim 0n n b b →∞=≠，lim n n c →∞=∞时，由无穷大量的定义得到lim n n n b c →∞=∞．解法2 举反例：取2n a n =，1n b =，2n nc =，则可以直接排除A 、B 、C ．例7 当1x →时，函数12111x x e x ---的极限（）． A ．2． B ．0． C ．∞． D ．不存在且不为∞．分析左、右极限存在且相等，是函数极限存在的充要条件．本题中函数211exp 11x x x ---为两个因式的乘积，易求出211lim 21x x x →-=-，所以解本题的关键是因式11x e -．注：03研表示2003年考研真题，以下同.解因211lim 21x x x →-=-，而111lim x x e +-→=+∞，111lim 0x x e --→=．故 12111lim 1x x x e x +-→-=+∞-，12111lim 01x x x e x --→-=-．所以选D ．例8求n →∞．分析所求极限中有根式．通常需要对分子或分母有理化．有时甚至需要对分子分母同时有理化．本题需对分子有理化．解n →∞=n=n=n =2．例9求x →解法1 分子分母有理化．则有x →21123333))))x →=2122333)))x →=32．解法2 注意到该极限属于型，可用洛必达法则，从而x →11222203311(1)(1)(1)22lim 11(1)(1)(1)33x x x x x --→--+--⋅-+--⋅- =1122223311(10)(10)(1)2211(10)(10)(1)33----+--⋅-+--⋅-=32．注解法2用到的洛必达法则属于第三章的内容．例10求limx分析所求极限中分子与分母都有根式，通常需要有理化，但本题如果对分子分母同时有理化则很难求解，注意到该极限属于∞∞型．考虑分子分母同时除以x 的最高次幂．解法1 由于x →-∞||x x ==-．函数的分子分母同时除以x -得limx=limx =1．解法2 运用变量代换，令x t =-，则lim x=limt=lim t 1．错误解答limxlimx 3．错解分析错误的原因在于没有注意到x 的变化过程，而将被求极限函数分子分母同时除以x 导致错误出现．在解题过程中，最好用解法2则可避免出错．例11已知lim (51x x →+∞=．试求常数a 、b 、c 中的a 和b ．分析本题极限中出现根式可优先考虑有理化．然后利用极限运算性质来分析极限运算过程，尤其是无穷小与无穷大的相关运算性质，即可解决问题．解法1 分子有理化可得lim (5x x →+∞=2limx=(25)limx ca xb -+-=1，如果25a ≠，则lim[(25)]x ca xb x→+∞-+-=∞，故要使lim (51x x →+∞=，必须有25a =1=，得25a =，10b =．解法2由题意有lim (51x x →+∞⋅=．当x →+∞时，由于lim (5x →+∞=5，若50≠，则lim (51x x →+∞⋅=∞≠．所以50，即25a =．由lim (51x x →+∞=⇒limx c b -=1，可得110b=．所以25a =，10b =．例12求n →∞．分析当n →∞时，的极限都不存在．尽管出现了根式，但无法直接有理化．应先利用三角函数的和差化积，然后再求解．解因为=，又|2≤，即为有界量．且n →∞n →∞=n 0，即为n →∞时的无穷小量．根据有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质可知：n →∞-=0．例13 求下列极限：（1）0sin limx x x →；（2）01lim sin x x x→⋅；（3）sin limx x x →∞；（4）1lim sin x x x→∞⋅；（5）11lim sin x x x →∞⋅；（6）011lim sin x x x →⋅．解（1）由重要极限知0sin lim 1x xx→=．（2）0x →时，1sin x 为有界量．故01lim sin x x x→⋅=0．（3）x →∞时，1x 为无穷小量，sin x 为有界变量．故sin lim x xx→∞=0．（4）解法1 x →∞时，11sinx x ．故1lim sin x x x→∞⋅=1．解法2 令1x t =，则由x →∞知0t →．故1lim sin x x x →∞⋅=0sin lim 1t tt →=．（5）解法1 x →∞时，10x →，1sin x 为有界量．故11lim sin x x x→∞⋅=0．解法2 x →∞时，10x →．11sinx x ．故11lim sin x x x→∞⋅=0．（6）0x →时，1x →∞．1sin x 不定．取子列12n x n π=，则n →∞时0n x →，11sin 0n nx x ⋅=．另取子列122n y n ππ=+，则n →∞时，0n y →，11sin 22n n n y y ππ⋅=+→∞．故011lim sin x x x→⋅不存在．注在求极限时，一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势，准确判断极限类型，正确使用重要极限公式，充分利用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质，对解题将大有帮助．例14 求下列极限：（1）30tan sin lim x x xx →-；（2）01sin cos lim1sin cos x x x px px →+-+-，其中p 为常数且0p ≠；（3）0lim x +→分析极限若为型，且含有三角函数或反三角函数，可尝试运用重要极限 0sin lim1x xx→=．解（1）解法1 运用重要极限0sin lim1x xx→=．30tan sin limx x x x →-=30tan (1cos )limx x x x →- =230sin 2sin 2limcos x xx x x →⋅=20sinsin 12lim ()2cos 2x x x x x x →⋅⋅=12．解法2 30tan sin lim x x x x →-=30tan (1cos )lim x x x x →-=2302lim x x x x →⋅=12．解法3 运用洛必达法则，则30tan sin lim x x xx→-=220sec cos lim 3x x x x →-=32201cos lim 3cos x x x x →-⋅=32011cos lim 3x x x →-⋅ =2013cos (sin )lim 32x x x x →-⋅-⋅=201cos sin lim 2x x x x →⋅⋅=12．错误解答 0x →时，tan sin x x x ，故30tan sin lim x x x x →-=30limx x xx →-=0．错解分析错误原因在于错误地使用了等价代换．tan sin x x -并不与x x -等价，而是与32x等价．在极限的和差运算中要慎重使用等价代换，一定要确保所做代换是等价代换．（2）解法1运用重要极限sinlim1xxx→=．1sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=sin1coslimsin1cosxx xx xpx pxx x→-+-+=2022sinsin2lim2sinsin2xxxx xpxpxppx x→+⋅+=222sinsin2()22limsinsin2()22xxx xxxpxpx p xppxpx→+⋅⋅+⋅=10p++=1p．解法2利用无穷小的等价替换：0x→时，sin x x，21cos2xx-．01sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=sin1coslimsin1cosxx xx xpx pxx x→-+-+=0000sin1coslim limsin1coslim limx xx xx xx xpx pxx x→→→→-+-+=2002002lim lim()2lim limx xx xxxx xpxpxx x→→→→++=10p++=1p．解法3利用()oαββαα⇔=+．由于当0x →时，sinx x，21cos2xx-从而有sin()x x o x=+，sin()px px o px=+，222()1cos()22px p xpx o-=+．01sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=222222()()22lim()()22xx xx o x op x p xpx o px o→++++++=2222()()212lim()()22xxoo x xx xp xoo px p xpx x→++++++=10001000p p+++=+++．解法4 用洛必达法则．01sin cos lim 1sin cos x x x px px →+-+-=00cos sin 1lim 0cos sin x x x p px p px p →++=++．（3）解法1 运用重要极限0sin lim1x xx→=．0lim x +→0lim x +→=202sin lim x x+→=2200sin /2()lim x x x x +→→⋅=12．解法2 利用等价无穷小的替换定理．0lim x +→0lim x +→=20(cos 1)2lim 2x x x +→--=2202lim x x x +→=12．解法3 利用分子有理化和等价无穷小的替换定理．0lim x +→0lim x +→=200lim lim x x x ++→→=12．解法4 分母先作等价替换，然后用洛必达法则．0lim x +→0lim x +→=1201(cos )(sin )2lim x x x x +-→-- =1201(cos )()2lim x x x x +-→--=12．注一般地，能够用重要公式0sin lim 1x xx→=来解决的问题，一般也可以通过恒等变形后作等价替换，在求极限时能用多种方法综合求解时多种方法一起使用，往往能使计算非常简便．例15（00研）求1402sin lim()||1xx xexx e→+++．分析求带有绝对值的函数的极限一定要注意考虑左、右极限．解因为1434402sin 2sin lim()lim()011||11xxxx x xx e x e e xx xee ++--→→-+++=+=+=++，114402sin 2sin lim()lim()211||11xxx x xxe x e xx xee --→→+++=-=-=++，所以1402sin lim()1||1xx xe xx e→++=+．错误解答因为 1402lim1xx xe e→++和0sin lim||x xx →均不存在，故原来的极限不存在．错解分析如果lim ()x af x →和lim ()x ag x →均不存在，但lim[()()]x af xg x →+可能存在．用极限的四则运算来求极限时要注意条件，即参与极限四则运算的各部分的极限均要存在．例16 设2lim()8xx x a x a→∞+=-．求a 的值．分析所求极限的函数为幂指函数．可用幂指函数的极限求法来求解．关于幂指函数()lim ()v x u x 的极限的求法参见内容提要．解法1 运用重要极限1lim(1)x x e x→∞+=．2lim()x x x a x a →∞+-=2lim(11)x x x a x a→∞++--=333lim(1)x a a x a x a x a x a -⋅⋅-→∞+-=3lim x axx ae →∞-=3a e ，得3a e =8，故ln2a =．解法2 2lim()x x x a x a →∞+-=2(1)lim(1)x x x a x a x →∞+-=2lim(1)lim(1)xx xx a x a x→∞→∞+-=2a a e e -=3a e =8，故ln2a =．解法3 2lim()x x x a x a →∞+-=2limexpln()x x x a x a →∞+-=2exp(lim ln )x x ax x a→∞+-=3exp[lim ln(1)]x a x x a →∞+-=3exp(lim )x ax x a→∞⋅-=3a e =8，故ln2a =．例17 求21lim(sin cos )x x x x →∞+．解法1 121(sin cos 1)22sin cos 12121lim(sincos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-，又因为21sincos 121lim (sincos 1)lim1x x x x x x xx →∞→∞+-⋅+-=21sin cos 1lim()20211x x x x x→∞-=+=+=，故21lim(sin cos )x x x x→∞+2e =．解法2 21lim(sin cos )x x x x →∞+21limexp[ln(sin cos )]x x x x →∞=+21exp[lim ln(sin cos )]x x x x→∞=+21ln(sin cos )exp[lim]1x x x x→∞+= 0ln(sin 2cos )exp[lim ]t t t t→+=(令1t x =)0ln(1sin 2cos 1)exp[lim]t t t t →++-=0sin 2cos 1exp(lim)t t t t →+-=(用到这里In （1+x ）=x)00sin 2cos 1exp(limlim )t t t t t t→→-=+2e =．解法3 21lim(sin cos )x x x x →∞+21limexp[ln(sin cos )]x x x x →∞=+21exp[lim ln(sin cos )]x x x x→∞=+21ln(sin cos )exp[lim]1x x x x→∞+= 0ln(sin 2cos )exp[lim ]t t t t →+=(令1t x =)202cos2sin exp(lim)sin 2cos t t te t t→-==+．例18（03研） 21ln(1)0lim(cos )x x x +→=_______．分析极限属于1∞的类型，既可用重要极限，又可用求幂指函数的极限的方法．解法1 用等价代换．21ln(1)lim(cos )x x x +→201exp[limln(cos )]ln(1)x x x →=+，而2200ln(cos )ln(1cos 1)lim limln(1)x x x x x x →→+-=+=22200cos 12lim lim x x x x x x →→--==12-，故21ln(1)0lim(cos )x x x +→e1=．解法2 先用等价代换，然后用洛必达法则．21ln(1)lim(cos )x x x +→ 201exp[limln(cos )]ln(1)x x x →=+，而22000sin ln(cos )ln cos 1cos lim lim lim()ln(1)22x x x xx x x x x x →→→==-=-+，故21ln(1)lim(cos )x x x +→e1=．例19 求11112lim ()xxxnxnx a a a n→+∞+++，其中1a ，2a ，，n a 均为正实数．分析该极限属于1∞型，可采用例16的解法1与解法3．解法1 11112lim ()x xxnx nx a a a n→+∞+++=11112lim (11)xxxnx nx a a a n→+∞++++-=111121111211112lim (1)x x x n x x x n a a a n nnxnx xxa a a nn x a a a nn+++-⋅⋅+++-→+∞+++-+=11112exp(lim)x xxn x a a a nnx n→+∞+++-⋅=11112(1)(1)(1)exp[lim]1xxxn x a a a x →+∞-+-++-=11112111exp(lim lim lim)111xxxn x x x a a a x xx→+∞→+∞→+∞---+++=12111ln ln ln exp(lim lim lim )111n x x x a a a x x x x x x→+∞→+∞→+∞+++ =12exp(ln ln ln )n a a a +++=12n a a a ⋅⋅．解法2 11112lim ()xxxnx nx a a a n→+∞+++=11112lim exp(ln)xxxnx a a a nx n →+∞+++⋅=11112exp(lim ln)xxxnx a a a nx n→+∞+++⋅=11112exp{lim ln[(1)1]}x xxnx a a a nx n→+∞+++⋅-+=11112exp[lim (1)]xxxnx a a a nx n→+∞+++⋅-=11112exp{lim [(1)(1)(1)]}xxxn x x a a a →+∞⋅-+-++-=12exp(ln ln ln )n aa a +++=12n a a a ⋅⋅．例20 求226n n n→∞++++．分析此类和式极限，不容易求出它的有限项的和的一般式，可考虑用夹逼准则．解由于≤≤1,2,,k n =．得222nnnk k k ===≤≤，1,2,,k n =．又2lim nn k →∞==1(1)(21)n n n n ++=13．同理2lim nn k →∞=13．所以由夹逼准则得226n n n →∞++=13．例21 求极限112lim()nnn nk n a a a →∞+++，其中1a ，2a ，，k a 均为正实数，k 为自然数．解记a =12max{,,,}k a a a ，则11112()()()n n nn n nn nk a a a a ka ≤+++≤．而1lim 1n n k →∞=，1lim()n nn a a →∞=．所以112lim()n nn nk n a a a →∞+++=a =12max{,,,}k a a a ．例22 []x 表示x 的取整函数．试求01lim []x x x→⋅．分析充分利用不等式1[]x x x -<≤是求解本题的关键．解对任一x R ∈，有1[]x x x -<≤，则当0x ≠时有1111[]x x x-<≤．于是（1）当0x >时，111(1)[]x x x x x x -<⋅≤⋅，由夹逼准则得01lim []1x x x +→⋅=；（2）当0x <时，111[](1)x x x x x x ⋅≤⋅<-，由夹逼准则得01lim []1x x x-→⋅=．所以01lim []1x x x→⋅=．例23 设110x =，1n x +=1,2,n =．试证数列}{n x 极限存在，并求此极限．分析用单调有界准则来证明，先证明单调性，再证明有界性．解用数学归纳法证明此数列的单调性．由110x =及24x ==可得12x x >．假设{1,2,}n ∈，有1+>n n x x ，则21166+++=+>+=n n n n x x x x ．由数学归纳法知，对一切N n ∈都有1+>n n x x ．即数列}{n x 单调递减．又0(1,2,)n x n >=显然成立，即}{n x 有下界，由单调有界准则知}{n x 存在极限，设A x n n =∞→lim ，对n n x x +=+61两边取极限，有A = 即 260A A --=．所以3A =或2A =-（舍去），即3lim =∞→n n x ．例24 设0a >，1x =2x =，1n x +=其中1,2,n =，求lim n n x →∞．分析需先用单调有界准则证明数列极限存在．单调性易证，但上界或下界却不易估计．为此则可先假设lim n n x A →∞=，并由A A =，此即为数列的一个上界，但此上界形式较复杂，论证不太方便．可将其适当放大化简：1<= 解先用数学归纳法证明数列{}n x 单调递增．由0a >知，210x x =>．假设10n n x x ->>成立，则1n n x x +==，所以数列{}n x 单调递增．下证有界性．下证1为数列{}n x 的上界．假设1n x <+11n x +=故01n x <<+{}n x 有界．根据单调有界准则知lim n n x →∞存在．不妨设为A ，则有A 解得A =或A =．故lim n n x →∞=注1 讨论数列{}n x 的单调性和有界性时，数学归纳法是一种简洁有效的方法．注2 如果数列{}n x 的上界（或下界）不易直接看出时，则可以先假定数列{}n x 的极限存在并求出极限值A ，据此就可以找到数列{}n x 的上界（或下界），再进一步证明其确实是数列{}n x 的上界（或下界）．例25 求下列极限：（1）lim 1)n n →∞；（2）n n →∞；（3）1121lim (33)n n n n +→∞-．分析含有指数函数或指数函数的差，一般考虑换底或提出公因子，然后结合等价替换求解．解（1）lim 1)n n →∞=1ln lim (1)a nn n e→∞⋅-=1lim ln n n a n→∞⋅=ln a ．（2）n n →∞=limexp[1)]n n →∞⋅=exp[lim 1)]n n →∞⋅=exp[lim n n →∞=exp(lim lim n n n n →∞→∞=1exp (ln5ln7)2+（3）1121lim (33)n n n n +→∞-=112(1)1lim 3[31]n n n n n ++→∞⋅-=ln32(1)lim [1]n n n n e+→∞-=2ln 3lim (1)n n n n →∞⋅+=ln3．注本题用到了1n =（0a >），11ln na na e=以及当0x →时ln(1)x x +，1x e x-等结果．例26 当0x →时，试将21x e -，ln(1)x +，21cos x -，tan sin x x -按低阶到高阶的无穷小顺序排列．分析注意将考虑对象均与x 进行比较，充分利用常用的等价替换关系式．解当0x →时，由于221x e x -， ln(1)x x +， 2242()1cos 22x x x-=，且tan sin x x -=1sin (1)cos x x-=2sin (1cos )cos 2x x x x x -⋅=32x ，故将其按低阶到高阶的无穷小顺序排列为ln(1)x +，21x e -，tan sin x x -，21cos x -．例27 设2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-，其中220a c +≠，则必有（）． A ．4b d =． B ．4b d =-． C ．4a c =．D ．4a c =-．分析由于0x →，极限式中含有tan x ，21x e --，ln(12)x -，1cos x -这些无穷小量，因此要考虑运用无穷小量的有关知识．解法1 2tan (1cos )lim ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+--+-=20tan (1cos )lim ln(12)(1)x x x x abx x x e c dx x-→-+--+ =20000tan (1cos )limlimln(12)(1)lim limx x xx x x x a b x x x e c d x x→→-→→-+--+=22a c -=，即4a c =-．选D ．解法2 利用关系式()o αββαα⇔=+．因为当0x →时，tan x x ， 1xx e -， ln(1)x x +， 21cos 2x x-，所以tan ()x x o x =+， 1()x e x o x -=+， ln(1)()x x o x +=+， 221cos ()22x x x o -=+．则20tan (1cos )lim ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+--+-=22220(())(())22lim (2())(())x x x a x o x b o c x o x d x o x →+++-+++=22a c -=，即4a c =-．选D ．解法3 用洛必达法则．22200sin tan (1cos )cos lim lim 222ln(12)(1)212x x x xab x a x b x a xc c c xde dxe x -→→-++-==-=--+-+-，即4a c =-．选D ．例28（97研） 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++_______．分析由于0x →，该极限属于0型，极限式中含有三角函数以及无穷小量ln(1)x +，因此要考虑运用无穷小量的有关知识．解因为0x →时，x x ~)1ln(+，所以2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 20013sin cos1lim lim(1cos )x x x x x x x→→+=⋅+ 01sin 1lim(3cos )2x x x x x →=⋅+13(310)22=⋅+=．例29 已知0()ln[1]sin lim321x x f x x →+=-，求20()lim x f x x →．分析因为0x →时，21ln 2x x -，由已知条件可知()ln[1]sin f x x +是无穷小量，而且()sin f x x与x 是同阶的无穷小．解法1 利用极限与无穷小量的关系．由题意得()ln[1]sin 321x f x x α+=+-，其中0lim 0x α→=．即 ()ln[1](21)(3)sin x f x xα+=-+，又因为021lim ln 2x x x→-=，故21ln 2()x x o x -=+．于是()ln[1]sin f x x+=(ln 2())(3)x o x α++=3ln 2()x o x +，则有()1sin f x x+=3ln 2()x o x e +，即 ()sin f x x=3ln 2()1x o x e +-=3ln 2()x o x ++(3ln 2())o x o x +．所以 20()limx f x x →=01()sin lim sin x f x x x x x →⋅⋅=03ln 2()sin lim x x o x xx x →+⋅=3ln2．解法2 利用等价无穷小替换．由于0x →时，21ln 2x x -，ln(1)x x +，sin xx ．则()ln[1]sin lim21x x f x x →+-=0()sin lim ln 2x f x x x →=0()lim sin ln 2x f x x x →⋅⋅=3，故 20()limx f x x →=0()sin lim ln 2sin ln 2x f x xx x x→⋅⋅⋅⋅=3ln2．注1 解法1用到了如下常用结论：a ．0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=；b ．()o αββαα⇔=+；c ．当0x →时，()()k o x o x ⋅=，()()()o x ko x o x +=，()()o x o x α⋅=，其中k 为常数，lim 0x α→=．注2 本章求极限常用如下一些方法：a ．利用极限四则运算法则求极限;b ．利用两个重要极限求极限;c ．利用夹逼准则求极限;d ．利用单调有界准则求极限;e ．利用无穷小的性质求极限;f ．利用函数的连续性求极限．例30 讨论函数2()lim n nn nn x x f x x x +--→∞-=+的连续性．分析该函数为含有参数的极限式，应该先求出极限得()f x ，再讨论其连续性．解显然当0x =时()f x 无意义．故当0x ≠时21, 0<||1()0, ||1, ||1x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩，，．而()f x 在区间(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，(1,)+∞上是初等函数，故()f x 在这些区间上连续．又1lim ()1x f x +→=，1lim ()1x f x -→=-， 0lim ()1x f x →=-，1lim ()1x f x +→-=-，1lim ()1x f x -→-=，所以1x =±及0x =为()f x 的第一类间断点，其中0x =为()f x 的可去间断点，1x =±为()f x 的跳跃间断点．例31 讨论函数2(2), 0,sin ()sin , 01x x x x n n N xf x x x x π+⎧<≠-∈⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩,的间断点及其类型．解 0x =是该分段函数的分界点．并且当0x <时x n ≠-，当0x ≥时1x ≠．（1）由于(2)lim ()lim sin x x x x f x x π--→→+==2π，200sin lim ()lim 1x x xf x x +-→→=-=0，所以0x =为()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点．（2）当x n →-（2n ≠）时，(2)lim ()limsin x nx n x x f x xπ→-→-+==∞．所以x n =-（2n ≠）为()f x 的第二类间断点中的无穷间断点．（3）当2x →-时，由于22(2)lim ()limsin x x x x f x xπ→-→-+==0(2)limsin t t t t π→-=2π-（令2t x =+）．所以2x =-为()f x 的第一类间断点中的可去间断点．（4）由于211sin lim ()lim1x x xf x x →→=-=∞，所以1x =为()f x 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，0x =为()f x 的跳跃间断点，1x =与x n =-（2n ≠）为()f x 的无穷间断点，2x =-为()f x 的可去间断点．例32 证明方程323910x x x --+=在开区间(0,1)内有唯一实根．分析问题等价于证明函数32()391f x x x x =--+在开区间(0,1)内有唯一的零点，既要证明存在性，又要证明唯一性．存在性通常用零点定理来证明，唯一性常用单调性或用反证法来证明．证法1 令32()391f x x x x =--+．由于(0)10f =>，(1)100f =-<．又()f x 在[0,1]上连续．由零点定理知：至少存在一点1(0,1)x ∈使得1()0f x =．下证唯一性．对于唯一性下面给出三种证明方法．证法1 若有2(0,1)x ∈使得2()0f x =，于是12()()0f x f x ==，得12()()0f x f x -=．即2212112221()[()3()9]0x x x x x x x x -++-+-=，而1(0,1)x ∈，2(0,1)x ∈，所以221122213()90x x x x x x ++-+-<，则120x x -=，即12x x =．从而方程323910x x x --+=在开区间(0,1)内有唯一实根．证法2 若有2(0,1)x ∈且21x x ≠，使得2()0f x =．不妨设21x x >．可知12()()0f x f x ==，显然，()f x 在闭区间12[,]x x 上连续，在开区间12(,)x x 上可导．由罗尔定理知，至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈∈使得()0f ξ'=，即23690ξξ--=，解得1ξ=-或3ξ=，于是(0,1)ξ∉，与假设矛盾．唯一性证得．证法3 由于2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-．当(0,1)x ∈时，有()0f x '<即()f x 在(0,1)上单调递减．故()f x 在开区间(0,1)上零点唯一．证毕．证法2 令32()391f x x x x =--+，则由于(0)10f =>，(1)100f =-<，lim ()x f x →-∞=-∞，lim ()x f x →+∞=+∞，而()f x 在(,)-∞+∞上连续．所以由零点定理知()f x 在区间(,0)-∞，(0,1)，(1,)+∞上至少各有一个零点．即一元三次方程323910x x x --+=在各区间(,0)-∞，(0,1)，(1,)+∞内恰有一实根，即所给方程在(0,1)区间内有唯一实根．证毕．注1 证法1中唯一性的证法2和证法3涉及到微分中值定理和导数的应用等知识，这将在第三章重点讨论，它们是证明函数的零点或方程的根的唯一性的常用的两种方法．注2 零点定理在证明方程根的存在性的问题中应用较广泛．当函数()f x 在(,)a b （a 可以为-∞，b 可以为+∞）内连续，lim ()x af x +→存在（或者为-∞，或者为+∞，但不为∞），lim ()x b f x -→存在（或者为+∞，或者为-∞，但不为∞）．分别记它们为()f -∞和()f +∞，且()()0f f -∞⋅+∞<．此时零点定理同样成立．例33 设函数()f x 在[,]a b 上连续，[,]i x a b ∈，0i t >（1,2,,i n =），且01ni i t ==∑．试证至少存在一点(,)a b ξ∈使得1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=++⋅⋅⋅+．分析用介值定理来证明，只需证明1122()()()n n t f x t f x t f x ++⋅⋅⋅+介于()f x 的最大值与最小值之间即可．证明由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以由最值定理可知()f x 的最大值与最小值存在，令max{()|[,]}M f x x a b =∈，min{()|[,]}m f x x a b =∈，于是对任何[,]x a b ∈都有()m f x M ≤≤．由于[,]i x a b ∈，0i t >（1,2,,i n =）．所以 111()nnni i i i i i i m mt t f x Mt M ====≤≤=∑∑∑，从而由介值定理知至少存在一点(,)a b ξ∈使得1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=++⋅⋅⋅+．证毕．注利用闭区间上的连续函数的性质证明与介值相关的命题，通常有两种方法：（1）直接法（利用介值定理和最值定理）．解题步骤：a ．从要证的等式中整理出连续函数()f x 所需取得的值()f ξ；b ．说明()f ξ介于()f x 在相应区间上的最大值与最小值之间；c ．利用介值定理得到命题的结论．如例33．（2）间接法（利用零点定理）．解题步骤：a ．作辅助函数：将要证的等式整理为左边=右边=0的形式，而左边设为辅助函数．b ．寻找区间，使辅助函数在该区间端点处的函数值异号，用零点定理，如例32．。

高等数学中的一些反例

高等数学中的一些反例1 高等数学中的反例在高等数学中，反例就是指一些能够证明一个命题不成立的具体实例。

因此，反例在数学领域中具有重要的作用。

在这篇文章中，我们将会探讨一些高等数学中的反例。

2 无理数的乘积是有理数首先，我们考虑一个看似显然的命题，即两个无理数的乘积一定是一个有理数。

这个命题的错误之处在于，我们无法保证这两个无理数是代数无关的。

下面给出一个反例：假设x = √2，y = 1 / √2，那么显然 x、y 都是无理数。

但是它们的乘积为：xy = (√2) (1 / √2) = 1因此，这个反例表明了两个无理数的乘积并不一定是一个有理数。

3 常数项级数收敛的级数和绝对收敛接下来，我们来思考一下另一个命题：如果一个常数项级数收敛，那么它的级数和一定是有限的。

而这个命题也是错误的。

我们可以通过下面这个反例来证明：考虑级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...显然，这个序列的部分和为：S_n ={ 1 (n 为奇数 ){ 0 (n 为偶数 )因此，该序列的极限不存在。

但是，如果我们对该序列取绝对值，那么它会变成一个常项级数，即：1 + 1 + 1 + 1 + ...该级数显然是发散的。

因此，这个反例说明了一个常数项级数收敛不一定意味着它的级数和是有限的，也不意味着它的级数和绝对收敛。

4 现代几何的反例在现代几何中，我们经常会面临一些看似正确的命题，但是它们在特殊情况下并不成立。

例如，如果一个三角形的两条边长一样，那么这个三角形一定是等腰三角形。

这个命题在大多数情况下是正确的，但存在以下反例：考虑一个由两个直角三角形组成的三角形。

其中直角边分别为2和1，斜边长度为√5，这个三角形显然不是等腰三角形。

这个例子说明了即使在看似简单的几何命题中，也可能存在反例。

5 常微分方程的反例最后，我们来看一个常微分方程的例子，来说明反例在应用数学中的重要性。

考虑一个简单的一阶常微分方程：y' = y^2 - 1这个方程可以通过分离变量得到解：2arctanh(y) = x + C其中，arctanh(y) 表示双曲正切的反函数。

高数复习题目和答案

高数复习题目和答案# 高数复习题目和答案题目一：极限的概念与计算题目：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

答案：根据洛必达法则，因为分子分母同时趋向于0，我们可以对分子分母同时求导，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。

题目二：导数的应用题目：设函数 $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$，求其在 $x = 1$ 处的切线斜率。

答案：首先求导数 $f'(x) = 6x + 2$，然后将 $x = 1$ 代入得到切线斜率 $f'(1) = 6(1) + 2 = 8$。

题目三：不定积分的计算题目：计算不定积分 $\int x^2 + 3x + 2 \, dx$。

答案：利用幂函数的积分公式，得到 $\int x^2 \, dx =\frac{1}{3}x^3$，$\int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2$，$\int 2 \, dx = 2x$。

将它们相加，得到 $\frac{1}{3}x^3 +\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$。

题目四：定积分的应用题目：求定积分 $\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx$。

答案：先计算不定积分，得到 $\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x +C$。

然后计算定积分，得到 $\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx =[x^2 + x]_{0}^{1} = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2$。

题目五：级数的收敛性判断题目：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是否收敛。

答案：使用比较判别法，由于 $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = 1$，所以级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛。

数学概念试题及答案高中

数学概念试题及答案高中数学概念试题及答案（高中）一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项表示的是函数的奇偶性？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)2. 一个圆的半径为5，其面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 以下哪个表达式是等价的？A. (x+1)(x-1) = x^2 - 1B. x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2C. x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2D. x^2 - 1 = (x-1)(x+1)4. 一个集合{1, 2, 3}的子集个数是：A. 3B. 6C. 7D. 85. 以下哪个是三角函数的周期性？A. sin(x)B. cos(x)C. tan(x)D. cot(x)二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个函数f(x) = 2x + 3的反函数是________。

7. 一个函数f(x) = x^3 + 1的导数是________。

8. 一个函数f(x) = sin(x)的周期是________。

9. 一个函数f(x) = 1/x的渐近线是________。

10. 一个函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是________。

三、简答题（每题5分，共30分）11. 解释什么是函数的连续性，并给出一个连续函数的例子。

12. 描述如何计算一个函数的不定积分。

13. 解释什么是向量的数量积，并给出一个例子。

14. 解释什么是圆锥曲线，并给出一个椭圆的例子。

四、计算题（每题10分，共40分）15. 计算定积分：∫(1/x)dx 从1到2。

16. 解线性方程组：\[\begin{cases}x + y = 3 \\2x - y = 0\end{cases}\]17. 证明：如果一个函数f(x)在其定义域内连续且可导，那么它在定义域内的任何闭区间上都是可积的。

高等数学教学中的反问题及反例

高等数学教学中的反问题及反例
【原创实用版】
目录
一、引言
二、高等数学中的反问题
三、高等数学中的反例
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
五、结论
正文
一、引言
高等数学是现代科学和技术领域的重要基础学科，其教学目的是培养和加强学生的基本运算能力、基本应用能力和逻辑思维能力。

在高等数学教学过程中，反问题和反例的教学方法被广泛应用，它们对于加深学生对概念的理解、提高学生的运算能力和应用能力具有重要的作用。

二、高等数学中的反问题
反问题是指将问题的条件和结论互换，从而形成的新问题。

在高等数学中，反问题的提出可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程，同时也能够培养学生的逆向思维能力。

例如，在求解微分方程时，通过提出反问题，可以帮助学生更好地理解微分方程的解法。

三、高等数学中的反例
反例是指在某个命题中，存在的一个对象使得该命题不成立。

在高等数学中，反例的存在可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围，防止学生片面理解概念和定理。

例如，在极限的求解过程中，通过引入反例，可以帮助学生理解极限存在的条件。

四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
在高等数学教学过程中，教师应该注重反问题和反例的教学方法。

通过引入反问题，可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程；通过引入反例，可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围。

同时，教师应该引导学生主动寻找反问题和反例，培养学生的自主学习能力和探索能力。

五、结论
反问题和反例在高等数学教学中具有重要的作用，它们可以帮助学生更好地理解概念和定理，提高学生的运算能力和应用能力。

高数前两章复习题和答案

高数前两章复习题和答案# 高数前两章复习题和答案一、极限的概念与性质复习题：1. 定义极限的概念，并给出一个函数在某一点的极限的例子。

2. 解释什么是无穷小，什么是无穷大，并给出一个函数在无穷远处的极限的例子。

3. 举例说明极限存在的充分条件。

4. 解释什么是夹逼定理，并给出一个应用夹逼定理求解极限的例子。

5. 说明极限的性质，并给出一个函数极限的运算法则的例子。

答案：1. 极限的概念是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数。

例如，函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x $ 趋近于 0 时的极限是无穷大。

2. 无穷小是指当自变量趋近于无穷时，函数值趋近于 0 的函数。

无穷大是指当自变量趋近于无穷时，函数值趋近于无穷的函数。

例如，函数 $ g(x) = \frac{1}{x^2} $ 在 $ x $ 趋近于无穷时的极限是 0。

3. 极限存在的充分条件包括：单调有界准则、夹逼准则等。

4. 夹逼定理是指如果两个函数 $ f(x) $ 和 $ h(x) $ 都趋近于同一个极限 $ L $，并且它们在 $ x $ 趋近于 $ a $ 时夹着另一个函数 $ g(x) $，即 $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $，那么 $ g(x) $ 在 $ x $ 趋近于 $ a $ 时的极限也是 $ L $。

5. 极限的性质包括唯一性、局部有界性、保号性等。

例如，如果$ \lim_{x \to a} f(x) = L $ 和 $ \lim_{x \to a} g(x) = M$，那么 $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M $。

二、导数与微分复习题：1. 定义导数的概念，并给出一个函数在某一点的导数的例子。

2. 解释什么是可导函数，并给出一个函数不可导的例子。

考研高数概念题

考研高数概念题
1. 有界集合：一个集合称为有界集合，如果存在一个正数M，使得集合中的每个元素的绝对值都小于等于M。

例如，区间[a, b]是有界集合。

2. 无界集合：一个集合称为无界集合，如果对于任意的正数M，都存在集合中的元素的绝对值大于M。

例如，自然数集
合N是无界集合。

3. 闭集合：一个集合称为闭集合，如果它包含了集合中所有的极限点。

例如，闭区间[a, b]是闭集合。

4. 开集合：一个集合称为开集合，如果它的内部点都包含在集合中。

例如，开区间(a, b)是开集合。

5. 紧致集合：一个集合称为紧致集合，如果对于任意的开覆盖，都存在有限子覆盖。

例如，闭区间[0, 1]是紧致集合。

6. 连通集合：一个集合称为连通集合，如果它不能被分为两个不相交的非空开集合。

例如，单位球是连通集合。

7. 极限点：对于集合S的每个去心邻域U(x)，如果存在S中
的某个元素y使得y∈U(x)，则称点x是集合S的极限点。

8. 内点：如果一个点x存在一个开邻域包含于集合S，则称x
是集合S的内点。

9. 边界点：如果一个点x的每个开邻域既包含于S，又包含于S的补集，则称x是集合S的边界点。

10. 导数：设函数f(x)在点a的某个邻域内有定义，如果极限lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)存在，则称该极限为函数f(x)在点a处的导数。

高数前两章复习题和答案

高数前两章复习题和答案1. 极限的概念和性质- 极限的定义是什么？- 极限的性质包括哪些？- 请举例说明极限的运算法则。

答案：- 极限是指函数在某一点附近的行为趋势，即当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数值。

- 极限的性质包括极限的非负性、极限的乘法法则、极限的商法则、极限的和法则等。

- 例如，对于函数f(x) = x^2 和 g(x) = x，根据极限的乘法法则，我们有lim(x->0) [f(x) * g(x)] = lim(x->0) [x^2 * x] = lim(x->0) [x^3] = 0。

2. 无穷小量与无穷大量- 无穷小量和无穷大量分别是什么？- 无穷小量和无穷大量在极限计算中如何应用？答案：- 无穷小量是指趋近于0的量，无穷大量是指趋近于无穷大的量。

- 在极限计算中，无穷小量可以用来简化极限表达式，而无穷大量则可以帮助我们判断极限是否存在。

3. 连续函数- 连续函数的定义是什么？- 连续函数有哪些性质？- 连续函数是指在定义域内任意一点的函数值都等于该点的极限值的函数。

- 连续函数的性质包括局部有界性、中间值定理、连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是连续函数等。

4. 导数的概念和性质- 导数的定义是什么？- 导数的性质包括哪些？答案：- 导数是指函数在某一点处的变化率，即函数值随自变量变化的快慢。

- 导数的性质包括线性性质、乘积法则、商法则、链式法则等。

5. 导数的运算法则- 请举例说明导数的和法则、差法则、积法则和商法则。

答案：- 和法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)' = f'g +fg'。

- 差法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)' = f'g -fg'。

- 积法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f*g)' = f'*g + f*g'。

高数第一章复习题和答案

高数第一章复习题和答案1. 极限的概念和性质- 极限的定义是什么？答案：极限是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某个确定的数值。

- 极限的性质有哪些？答案：极限的性质包括极限的非负性、极限的乘法法则、极限的加法法则等。

2. 无穷小与无穷大- 无穷小的定义是什么？答案：无穷小是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于0。

- 无穷大的定义是什么？答案：无穷大是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于正无穷或负无穷。

3. 极限的运算法则- 极限的加法法则如何表述？答案：如果极限存在，那么两个函数的和的极限等于它们极限的和。

- 极限的乘法法则如何表述？答案：如果极限存在，那么两个函数的积的极限等于它们极限的积。

4. 极限的计算方法- 极限的夹逼定理是什么？答案：如果对于任意的x，都有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，并且lim(x->a) f(x) = lim(x->a) h(x) = L，那么lim(x->a) g(x) = L。

- 极限的洛必达法则是什么？答案：如果两个函数的比值的极限形式为0/0或∞/∞，那么可以通过对分子和分母分别求导，再求极限来计算。

5. 连续性的概念- 连续性的定义是什么？答案：如果函数在某点的极限存在且等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。

- 连续函数的性质有哪些？答案：连续函数的性质包括连续函数的和、差、积、商（分母不为0）都是连续的。

6. 连续函数的运算- 连续函数的和如何计算？答案：连续函数的和等于它们各自极限的和。

- 连续函数的积如何计算？答案：连续函数的积等于它们各自极限的积。

7. 间断点的分类- 可去间断点的定义是什么？答案：如果函数在某点的极限存在，但不等于该点的函数值，那么该点称为可去间断点。

- 无穷间断点的定义是什么？答案：如果函数在某点的极限为无穷大，那么该点称为无穷间断点。

8. 连续函数的介值定理- 介值定理的内容是什么？答案：如果函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a) ≠ f(b)，那么对于任意的y在f(a)和f(b)之间，都存在一个c属于(a, b)，使得f(c) = y。

大一高数每个知识点的例题

大一高数每个知识点的例题一、函数与极限1. 函数的定义与性质例题：已知函数$f(x)=-2x^2+3x+1$，求函数$f(x)$的定义域。

2. 极限的定义与基本性质例题：求极限$\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$。

二、导数与微分1. 导数的定义与基本性质例题：已知函数$y=3x^2-2x+1$，求函数$y$在$x=2$处的导数。

2. 高阶导数与函数的凹凸性例题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求$f(x)$的凹凸区间。

三、微分中值定理与泰勒展开1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理例题：证明函数$f(x)=e^x-x-1$在区间$(0,1)$内存在唯一根。

2. 泰勒展开与麦克劳林展开例题：求函数$f(x)=\cos x$的部分麦克劳林展开式。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的基本性质与常见公式例题：求不定积分$\int 2x^2+3x-1 \,dx$。

2. 定积分的定义与性质例题：计算定积分$\int_0^2 (x^2+1) \,dx$。

五、常微分方程1. 一阶常微分方程的可分离变量与线性方程例题：求解微分方程$\frac{dy}{dx}=x^2+y$。

2. 高阶常微分方程与特征方程例题：求解微分方程$y''-2y'+y=e^x$。

六、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质例题：判断函数$z=2x^2+3y^2-xy$的单调性。

2. 偏导数的定义与计算例题：求函数$f(x,y)=2x^2+3xy-1$的偏导数$\frac{\partialf}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

七、重积分与曲线积分1. 重积分的定义与计算例题：计算二重积分$\iint_{D} (x^2+y^2) \,dxdy$，其中$D$为由曲线$y=x^2$和$y=2x$所围成的区域。

2. 曲线积分的定义与计算例题：计算曲线积分$\int_{C} y \,dx + x \,dy$，其中曲线$C$为$x^2+y^2=1$上从点$(1,0)$到点$(0,1)$的一段弧。

高数概念考研真题答案解析

高数概念考研真题答案解析一、定积分与不定积分的概念解析定积分和不定积分是高数中基本概念之一，也是考研中常见的题型。

定积分是对一个函数在一定区间内的面积进行求解，表示在函数曲线与x轴之间的面积。

不定积分则是对函数的原函数进行求解，表示函数的一个家族。

在考研真题中，常常会涉及到对定积分和不定积分的求解。

例如，一道题目给出了一个函数的原函数f(x)，要求求解∫f'(x) dx的值。

这里的f'(x)是f(x)的导函数，对f'(x)进行求解后，再进行不定积分，最后得到的结果就是本题的答案。

二、一元函数的连续性与可导性连续性与可导性是高等数学中重要的概念，也是考研中的常见考点。

连续性是指函数在某个区间内没有间断点，即函数的图像是一条连续的曲线。

要判断一个函数是否连续，常用的方法是利用极限的概念进行推导。

如果函数在某一点x=a处的左极限和右极限都存在且相等，而且与该点的函数值相等，那么函数就在该点连续。

可导性则是指函数在某一点处的导数存在。

一个函数在某一点连续，不一定可导。

如果函数在某一点x=a处的左导数和右导数都存在且相等，那么函数在该点可导。

举个例子，考研真题中可能会给定一个函数f(x)，要求判断f(x)在某点x=a是否连续或可导。

我们可以先计算f(x)在x=a处的左右极限是否相等，如果相等，则说明f(x)在x=a处连续。

然后再计算f(x)在x=a处的左右导数是否相等，如果相等，则说明f(x)在x=a处可导。

三、实数和复数的性质实数和复数是数学中常见的概念，在高数中也是重要的知识点。

实数是包括有理数和无理数的一类数，我们常用的整数、小数、分数都属于实数。

复数则是由实数和虚数构成的数，虚数的形式为a+bi，其中a为实数，b为虚数单位i。

实数和复数的性质也是考研中的热门题材。

例如，一道题目可能给定一个复数z=3+4i，要求求解z的共轭复数。

共轭复数的定义是改变复数中虚数部分的符号，即3-4i。

数学分析判断题36个经典反例

数学分析判断题36个经典反例本文介绍了数学分析中的36个经典反例，这些反例可以帮助读者更好地理解和掌握分析性数学的相关概念和方法。

反例一：可导不连续函数在某点可导不一定在该点连续，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处可导，但在该点不连续。

反例二：微积分基本公式不成立微积分基本公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$在一些情况下不成立，例如函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$[0,1]$上积分不满足基本公式。

反例三：连续不可导函数在某点连续不一定可导，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但在该点不可导。

反例四：一致连续性函数一致连续和点连续不等价，有些点连续的函数不一定一致连续，例如函数$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$上连续但不一致连续。

反例五：级数收敛性与函数可积性不等价级数收敛的函数不一定可积，例如函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$[0,\infty)$上级数收敛但不可积。

反例六：积分换序对于一些函数，交换积分次序会导致结果错误，例如函数$f(x,y)=\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}$，交换积分次序后结果不同。

反例七：泰勒级数不收敛某些函数在某点的泰勒级数不收敛，例如函数$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$在$x=0$处泰勒级数不收敛。

反例八：函数可导与偏导数存在不等价当函数的偏导数存在且连续时，函数不一定可导，例如函数$f(x,y)=xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$在原点处偏导数存在但不可导。

反例九：连续与闭集不等价一个连续函数的原像不一定为闭集，例如函数$f(x)=\arctanx$在$(-\infty,\infty)$上连续但原像不是闭集。

反例十：一致收敛不保持函数类如果$f_n(x)$是$[0,1]$上的可积函数，$f_n(x)$在$[0,1]$上一致收敛于$f(x)$，则$f(x)$不一定可积。

高等数学300题(含答案)

x
2
2
x 1 , 代入 g(1 2x) 1 x 即可得到结果 3.
4
x
10 、设 f (x) 2x 5 , 则 f f (x) 1 .
解: f (x) 1 2x 5 1 2x 4,则f 「 f (x) 1[ f (2x 4) 2(2x 4) 5 4x 13
0 ,则正整数 n =
x 0 s]n x
x0 1 cos x
x2 ln 1 x2
解: ∵ l]m
l]m x2 x2
x0 s]nn x
x x0
n
2
27、 l]m(1 x) x x0
n 4 0, l]m xn n 2 0 n 2, n 4, x x0 2 2
故n 3 .
(
)
A、 1
B. 0
解 : ∵ l]m
x0
s]
n x
x
1,
「 l]m x 0【
x
s]nx1⎠
⎞
C. 1
a
o
a
a
1
│
D. 2
选 C.
29、函数
f
(x)
〔e
1
, x 1
x
1
,
在点
x
1处
0, x 1
A、连续
B、不连续, 但右连续
(
)
C、不连续, 但左连续
1
1
解 : f (1) 0, l]m e x 1 , l]m e
32 、 f (x) s]n bx , x 0 在 x 0 处连续, a 与 b 的关系为
.
2x
考点 7 函数间断点的类型判定
33、 x 0 是函数 f (x) arci an 1 的 x

高等数学反例集

⎧1 x为有理数 , 它以任意有理数（或无理数）为周期，从而为无理数 x 0 ⎩
g ( x) = cos x. f ( x)以1为周期，g(x)以2π 为周期，而f ( x) +
g ( x) = x − [ x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。例 1：f ( x ) = 0,
g ( x) =
1 f ( x) ，两函数均在区间 ( 0,1) 内无界，而 = x 却在区间 ( 0,1) 2 x g ( x)
5. 有单值反函数的非单调函数。
2
例： f ( x ) = ⎨
⎧ x, x为有理数; ⎩− x, x为无理数.
f ( x) 是非单调函数，但是存在单值反函数；
⎧ x, x为有理数; f −1 ( x) = ⎨ ⎩− x, x为无理数.
x →+∞
f ( x) g ( x) = xe − x ，因为 lim xe − x = 0 ，从而易见 f ( x) g ( x) 在区间 ( 0, +∞ ) 内是有界的。
4. 无界函数之和（差，积，商）未必无界。例 1： f ( x ) = 1 −
1 , x
g ( x) =
1 ，两函数均在区间 ( 0,1) 内无界，而 f ( x) + g ( x) = 1 却在 x
可见函数在区间上上单调只是存在反函数的充分条件，并非必要。 6. 由于使用极限“ ε ─ δ ”定义不准确产生的反例。函数 f ( x) 定义在 ( a, b) 上， x0 ∈ ( a, b) ，对任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 x − x 0 < δ 时，恒有 f ( x) − A < ε ，其中 A 是常数。但是 lim f ( x ) ≠ A 。

大一高数复习题及答案

大一高数复习题及答案1. 极限的概念和性质- 极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某个邻域内都有定义，如果存在一个实数A，对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，都有|f(x)-A| < ε，则称A是f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=A。

- 极限的性质：极限的非负性、极限的乘法法则、极限的和法则等。

答案：极限是微积分中的基础概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

极限的性质包括极限的非负性，即如果f(x)和g(x)在x趋近于a时的极限都存在，那么lim(x→a)[f(x)g(x)] =[lim(x→a)f(x)][lim(x→a)g(x)]，以及极限的和法则，即lim(x→a)[f(x)+g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)。

2. 导数与微分- 导数的定义：设函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)是f(x)在x=a处的导数，定义为f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h。

- 微分的定义：如果函数f(x)在某点x=a处可导，则称f(x)在x=a 处有微分，记作dy = f'(a)dx。

答案：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，而微分则是导数与自变量增量的乘积。

导数的计算通常涉及到极限的概念，而微分则用于近似计算函数值的变化。

3. 不定积分与定积分- 不定积分的定义：设函数f(x)在区间I上可积，则其不定积分F(x)是满足F'(x) = f(x)的函数，记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

- 定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上可积，则其定积分为∫[a, b]f(x)dx，表示从x=a到x=b的曲线下面积。

答案：不定积分是求函数原函数的过程，而定积分则是计算函数在一定区间上的累积效果。

不定积分的结果包含一个任意常数C，而定积分的结果是一个具体的数值。

高数易错题目

高数易错题目一、定义与定理类题目一：请写出极限的定义，并简要说明其思想。

解析：极限是高等数学中的重要概念，用以描述函数在某一点附近的变化趋势。

极限的定义如下：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ（依赖于ε），当0 < |x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L其中，x→a表示当x趋近于a时，f(x)的极限。

这个定义的思想是，极限L是在函数f(x)的变化趋势中的稳定值，无论多么接近L的ε都能找到一个足够小的去心邻域，使得邻域中的函数值都与L的差距小于ε。

题目二：请叙述洛必达法则的基本思想，并给出计算极限的步骤。

解析：洛必达法则是计算函数极限的常用方法之一，其基本思想是利用函数的导数来简化极限的计算。

计算极限的步骤如下：步骤一：确定极限的形式为0/0或∞/∞。

步骤二：对原函数及其极限形式应用洛必达法则，即将函数及其极限形式分别求导，然后计算导数的极限。

步骤三：重复步骤二，直到得到的极限不存在为止，或找到可以直接计算的结果。

步骤四：根据得到的极限结果，判断原函数的极限。

题目三：请说明泰勒展开的概念及其应用领域。

解析：泰勒展开是将一个函数在某一点附近用幂级数表示的方法，可以将复杂的函数近似表示为简单的多项式。

泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + fⁿ⁺¹(a)(x-a)^ⁿ⁺¹/ⁿ⁺¹! + Rⁿ⁺²(x)其中，fⁿ⁺¹(a)表示函数f(x)在点a处的（ⁿ⁺¹）阶导数，Rⁿ⁺²(x)表示剩余的余项，并满足当x→a时Rⁿ⁺²(x)趋近于0。

高中数学重点概念辨析及例题汇总

高中数学重点概念辨析及例题汇总一、辨析概念1.1. 代数与几何代数和几何是数学的两个主要分支，但它们有着不同的研究对象和方法。

代数主要研究数字和符号之间的关系，包括代数方程、多项式、函数等；而几何主要研究空间中的形状、大小、位置等属性。

代数和几何在解决问题时可以互相结合，互为补充。

1.2. 解析几何与平面几何解析几何是以坐标系为基础进行几何研究的一种方法，包括点、直线、曲线等几何对象在坐标系上的表达和性质分析；而平面几何是以平面上点、线、面等几何对象的性质和关系为研究对象。

解析几何可以通过坐标求解问题，而平面几何更注重图形性质的分析和推理。

1.3. 统计与概率统计学和概率论是数学中用于研究随机现象和数据分析的两个分支。

统计学主要研究数据的收集、整理、分析和解释，通过总结和推断得出结论；而概率论主要研究不确定性的度量和描述，分析随机事件发生的可能性。

统计学和概率论在实际问题中经常结合使用，用于预测和决策。

二、例题汇总2.1. 代数例题例题1：已知方程组$$\begin{align*}2x + 3y &= 7 \\4x - y &= 5\end{align*}$$求解该方程组的解 $(x, y)$。

例题2：已知函数 $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$，求函数的对称轴和顶点坐标。

2.2. 几何例题例题3：在直角三角形 $ABC$ 中，已知 $\angle B = 90^\circ$，$AC = 5$，$BC = 12$，求 $AB$ 的长度。

例题4：已知长方形 $ABCD$，$AB = 10$，$BC = 6$，求长方形的面积和周长。

2.3. 概率例题例题5：某班级有 30 名学生，其中男生 20 名，女生 10 名。

从班级中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。

例题6：一枚骰子投掷一次，求出现偶数点数的概率。

以上例题仅供参考，希望对您的研究有所帮助。

参考文献（添加参考文献列表，如果有的话）。

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答：非。如
（其中p,q为互素的自然数，且），都是[0,1]上的可积函数，而
在[0,1]上却不可积。
24、若|f(x)|可积，则f(x)必可积。
答：非。如
25、若f(x)在（a,b）内有原函数，则f(x)在[a,b]上必可积。
答：非。如
若f(x)在[a,b]上有原函数，则f(x)在[a,b]也不一定可积。
如在[-1,1]上有原函数
但f(x)在[-1,1]无界，故不可积。
26、若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在(a,b)内必定有原函数。
答：非。如在上可积，即
而在内却不存在原函数。证明如下：
若F(x)为在内的原函数，则有原函数的定义，
因而F(x)在内必连续。
任取则F(x)在内满足拉格朗日定理条件，从而可以证明
答：非。如在处可导，而反函数x=arcsiny在相应y=1处导数不存在。
10、若f(x)在处不可导，在处可导，且，则
在处必不可导。
答：非。如
函数在u=0处不可导，在x=0处可导，而
在x=0处却可导。
11、若f(x)在处不可导，在处也不可导，且，则在处必不可导。
答：非。如在u=0处不可导，
答：非。如
在x=0处。。
6、若f(x)g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处皆可导。
答：非。如
在x=0处
7、若f(x)、g(x)在c都不可导，则f(x)+g(x)、f(x)g(x)在c必不可导。
答：非。
8、若f(x)在c可导，g(x)在c不可导，则f(x)g(x)在c必不可导。
答：非。
9、若函数在（a,b）内可导，则其反函数在相应点必定可导。
一、判断下面命题是否正确：
1、初等函数在其定义域内必可导。
答：非。如
2、连续函数除去可能有几个特别点之外处处可导。
答：非。
3、若f(x)在点a不可导，则曲线y=f(x)在（a,f(a)）点处必无切线。
答：非。
4、若曲线y=f(x)处处有切线，则函数f(x)必处处可导。
答：非。如
5、若f(x)+g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处必皆可导。
下求二元函数f(x,y)的极值：可以验证，（0,0）是其驻点，而在（0,0）处
无法判定。但由f(x,y)的表达式看出，
当时，当或时，
因此，不可能在（0,0）取得极值。
36、偏导数不存在，方向导数可存在。如
在(0,0)点。
一般地，偏导数连续函数可微，反之不真。函数可微可推出可偏导。
函数可微函数连续，反之不真。
答：非。如
21、判定是否正确？
答：不正确。
22、判定命题是否正确：若f(x)在某一区间内不连续，则在该区间内f(x)必无原函数。
答：不正确。如
由于x=0是f(x)的第二类间断点，故f(x)在[-1,1]不连续，但是f(x)具有原函数
23、若f(x)与g(x)在[a,b]上都可积，则f[g(x)]在[a,b]上必定可积。
如：
32、设f(x)和g(x)在有定义，是连续函数，g(x)有间断点，则（D）
(A)g[f(x)]必有间断点；（B）必有间断点；
（C）f[g(x)]必有间断点；（D）必有间断点。
33、证明：若f(x)连续，则|f(x)|及也连续。
反之，若f(x)|或连续，则|f(x)|不一定连续。
34、在一点f(x)连续，而g(x)不连续，f(x)g(x)在该点也可能连续。
答：不一定。如
19、若在c的某一邻域内，f(x)是否必为单调增加函数。
答：不一定。如
显然
但是，当时，
在处，
而在处，
当k足够大时，可以与x=0充分接近，可见在x=0的任何邻域在，函数f(x)的导数有时为正，有时为负，故非单调。
20、若a为f(x)的极大值点，则必定存在a的某一邻域，在该邻域内，函数在a的左侧单调增加，而在右侧单调减少。
函数可微沿任意方向的方向导数存在，反之不真。
沿任意方向的方向导数存在和可偏导不能互推。
可偏导和函数连续不能互推。
沿任意方向的方向导数存在和函数连续不能互推。
在x=0处不可导，而
其中
所以在x=0处可导。
12、若在处可导，在处不可导，且，则
在处必不可导。
答：非。如在u=0处可导，在x=0处不可导，但
在x=0处却可导。
13、若存在，则在的某邻域内必存在使可导。
答：非。如在x=0.
14、举例说明罗尔定理中的三个条件缺一不可。
答：如下面三个函数
在一点f(x)和g(x)都不连续，f(x)g(x)也可能连续。
35、证明：在过点（0,0）的任何一条直线上，函数均在点（0,0）取得极小值，但f(x,y)在点（0,0）处无极值。
证明：在直线x=0上，在直线y=0上，，结论显然成立。
现考虑直线函数化为
求导得
因为在原点取得极小值。
因此，在过点（0,0）的任何一条直线上，函数均在点（0,0）取得极小值。
二、结果
28、二元函数在一点不可微，但沿任意方向的方向导数仍可存在。
29、二元函数在一点的两个偏导数都存在，且在该点的各方向导数都存在，函数在该点也不一定可微。
如
30、若f(x)的极限存在，而g(x)的极限不存在，则f(x)g(x)的极限不一定。
31、若在一点f(x)与f(x)g(x)的极限都存在，则g(x)的极限不一定存在。
，矛盾。
27、一般地，不能从求得，只有在处连续，且存在时，才有否则要用导数的定义或可导的必要条件来判断。如
，可以求得
显然但不存在，因为f(x)在x=0不连续。
的几何意义表示曲线的弦的斜率当M点沿着曲线趋近于时的极限；而的几何意义表示曲线在M(x,y)点的切线MT的斜率当M点沿着曲线趋近于时的极限。所以二者未必相等。
，
15、若函数f(x)为（a,b）内的严格单调递增函数，且f(x)在（a,b）内可导，是否必有
答：不一定。如
16、若f(x)与g(x)在（a,b）内皆可导，且f(x)>g(x),在（a,b）内是否必有
答：不一定。如
17、单调可导函数的导数必定是单调函数。
答：不一定。如
18、若导函数单调，函数是否必单调。