应用数理统计1.2.pdf

2. 由于样本具有两重性（既可看成随机变量，又
可看成具体的数），而统计量是样本的函数，
因此统计量也具有两重性.
4
§1.2.2 几个常用的统计量
• 样本均值 Sample mean • 样本方差 Sample variance
它反映总体 方差的信息
它反映 1 总体均值 X Xi 的信息 n i 1 n 1 2 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
x 0.

随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称. 19

上侧分位数

2 n ( )
P
2

2 n ( )


2 n ( )
g( y )dy .
2 2 (n)可通过查表求， 25 (0.1) 34.382
2 练习：求 30 (0.95)
18.493
精确定义：

设X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体X的一个样本， g ( X 1 , X 2 ,, X n )是X 1 , X 2 ,, X n的函数，若g 中不含未知参数，则g ( X 1 , X 2 ,, X n )称是一 个统计量.
3

关于统计量的说明：
1. 统计量只与样本有关，不能与未知参数有关；
20

2 (1) 若r .v . ~ n , 则 2分布的数学期望与方差
E( ) n, D( ) 2n.
证明:
分布的可加性
证明: 设Z1 i 1 X , 其中X i ~ N (0,1), Z 2 i n 1 X i2 ,
n1 2 i n1 n2
1
Leabharlann Baidui.i.d.
29

设 F ~ Fm ,n ,0 1, 令P ( F c ) , 称c Fm ,n ( )为 F分布的上侧 分位数.
P F Fm ,n ( )



Fm , n ( )
f m ,n ( y )dy .

Fm,n ( )

上侧分位数
3.9; 3.22
i.i.d.
13

正态变量样本均值和样本方差的分布
★
的样本,
定理 3 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体
X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有
2
14
证明:
15
i 2,, n,
(3) 由(2)的证明知Y1 ,, Yn 相互独立，而
因此，X 与 S 2 独立.
16
注：
X 2 ~ N (0,1) X ~ N ( , ) n n
注: 定理
~ Fn,m .
28
0.8 0.6 0.4 0.2
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15
1 2 3 4 5 6
0.8 0.6 0.4 0.2
m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
1 2 3 4 5 6
浙江财经学院本科教学课程
应用数理统计
第一章
统计量及其分布
§ 1.0 前言 § 1.1 数理统计的若干基本概念 § 1.2 统计量与抽样分布 § 1.3 次序统计量及其分布
课件制作: 罗季
§ 1.2 统计量(Statistic) §1.2.1 统计量的定义
≥
≥
2

描述性定义： 不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量.
2 2 2 其中(m n 2) Sw (m 1) S1 (n 1) S2 . 2 2 S1 1 ( 2) F 2 2 ~ Fm 1,n1 . S2 2
32

例题
2 设总体 X 服从正态分布 N ( 12 , ), 抽取容量为 例1 25 的样本, 求样本均值 X 大于12.5 的概率.如果
样本 k 阶中心矩
mn ,k
1 k (Xi X ) n i 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
6
• 样本变异系数 Sample coefficient of variation (了解) Sn ˆ X 反映了总体变异系数 ( population coefficient of variation) 的信息. 总体变异系数的定义是
(1) 已知 12； ( 2) 未知，但已知 S 2 5.57.
X 12 12.5 12 解 (1) P X 12.5 P 12 25 12 25 X 12 P 1.25 1 (1.25) 0.1063. 0.4 X 12 12.5 ( 2) P X 12.5 P Pt 24 1.059 S 25 S 25 查自由度为24的t分布表, t 24 (0.15) 1.059, 即
Pt 24 1.059 0.15. 故有P X 12.5 0.15.
33
2 从正态总体 N ( , 0 . 5 )中抽取样本X 1 , , X 10 . 例2 10 2 （ 1 ）已知 0，求概率 P X i 4; i 1 10 2 （2 ）未知，求概率P ( X i X ) 2.85. i 1 解 (1) 由 0， 有 X i 0.5 ~ N (0,1)，则


34
9S 2 1 10 2 2 ( 2) 由定理2.2.3，Z 2 ( X X ) ~ i 9, 2 0.5 0.5 i 1

10 10 1 2.85 2 2 P ( X i X ) 2.85 P 2 ( X i X ) 2 0.5 i 1 0.5 i 1
10 1 2 2 Y2 X ~ 10 , 2 i 0.5 i 1 10 2 1 10 2 4 2 P X i 4 P 2 X i P Y 16 , 2 0.5 i 1 0.5 i 1 10 2 2 查表求10 (0.10) 16.由此可得 P X i 4 0.10. i 1
17

三大抽样分布：
分布

2
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设
，则随机变量
X 12 X 2 2 X n 2 X i 2
服从自由度为 n 的
定理
n
分布，记为 ~
i 1
2 n .
(证明略)
18
其中伽玛函数
( x )

为

0
e t t x 1dt ,
n
1 n 2 2 X n X i n 1 i 1
• 样本标准差
1 n 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
5
• 样本矩 Sample moments 样本 k 阶原点矩
an , k
1 n X ik k=1,2,… n i 1
它反映了总体k 阶矩的信息
Gosset 1908年以笔名student提出
2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ n ，且 X与Y相互独立，
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布，记为 t ~ tn. 定理
23
24
N (0,1)
N (0 ,1)很相似, t n的p.d.f. 与标准正态分布

0.4 0.3 0.2
其中X i ~ N (0,1).
i.i.d.
21
由Z1与Z 2的独立性知， X 1 ,, X n1 , X n11 ,, X n2 ~ N (0,1),
Z1 Z 2 i 1 X i2 ,
n2
i.i.d.
2 故由定义有Z1 Z 2 ~ n 1 n 2 .
22
t 分布
则称变量
性质：样本均值与样本方差的无偏性
证明: (ii)
9

正态变量线性函数的分布
正态分布
定理 1
10
推论 1
推论 2
11
定理 2
i.i.d. N(0,σ2)r.v.经过正交变换仍为i.i.d.N(0,σ2)r.v.
12
则由推论 1知 证明: (1) Yi k 1 aik X k，
n
Y ~ N (a k 1 aik ,
1 t1 ( x ) , x . 2 (1 x )
(3) 当n充分大时, 其图形近似于标准正态 分布p.d.f. 的图形， 再由Γ 函数的性质有
n
lim t n ( x )

1 x2 2 e , 2
即当n足够大时，t ~ N (0,1).
27
F 分布
2 2 ,Y ~ n , 且 X 和Y 独立，则 定义: 设 X ~ m X m F Y n 服从自由度为m 和 n 的F分布，记作 F ~ Fm ,n .
2

n
n k 1
aik a jk .
n
( 2) 当 A 为正交阵时， k 1 a 1，且k 1 aik a jk 0 (i j ), 则
2 ik
i a k 1 aik , D(Yi ) 2 , Cov(Yi , Y j ) 0.
n
( 3) 特别，若 a 0，由( 2)知 i 0, i 1,, n. 故 Y1 ,, Yn ~ N (0, 2 ).

2 tn ( ) 2
P ( t 2 )
2

tn ( ) 2

1.7823; 2.2622
-1.7139, 2.0687
26

n (1) 设r .v . t ~ t n , E( t ) 0, D( t ) ， ( n 2)； n2
(2) 当n 1时，t分布就是柯西(Cauchy)分布，即
n=20
-3 -2

0.1 n= 1
-1 1 2 3
厚尾分布
25

t 分布的双侧分位数
设 t ~ t n ,0 1，令P (| t | c ) ，则称c t n ( 2) 为自由度为n 的 t 分布双侧 分位数，即
双侧分位数 上侧分位数 例
P (| t | 1 )
D( X ) E( X ) , 它是衡量总体分布离散程度的量, 它是以总体均值为单位来度量的.
7
§ 1.2.3 抽样分布

何谓抽样分布? 统计量的分布称为抽样分布.
精确分布: 正态总体样本均值和样本方差的分 布， 抽样分布
极限分布: 样本容量足够大时,作为精确分布
的近似
8


正态总体均值和样本方差的分布
n n
2
2 a k 1 ik ). n 2 2 a k 1 ik . n
因此E(Yi ) a k 1 aik , D(Yi )
n n
Cov(Yi , Y j ) E[(Yi EYi )(Y j EY j )]
k 1 l 1 aik a jl E[( X k a )( X l a )]
30

(1) 若F ~ Fm ,n，则1 F ~ Fn,m .
n ( 2) E ( F ) , n 2. n2 即它的数学期望并不依赖于第一自由度m.
(3) 若 T ~ t n , 则T 2 ~ F1,n .
(4) Fm ,n (1 )
1
练习：P F8,12 1 0.05, 求1.P F8,12 2 0.05, 求2
Fn,m ( ) 1 1 0.357 F12,9 (0.95) F9,12 (0.05) 2.80
.
2.85, 1／3.28
31

几个重要结论
i.i.d. 2 n 2
Xi a 2 推论1 设X 1 ,, X n ~ N (a , )，则 . ~ n i 1 i.i.d. n( X a) 2 ~ t n 1 . 推论2 设X 1 , , X n ~ N (a , )，则t S
2 ~ N (a2 , 2 ), 推论3 设X 1 ,, X m ~ 且样本X 1 ,, X m与Y1 ,, Yn 独立，则
2 (1) 当 12 2 2时，
i.i.d.
2 N (a1 , 1 )，Y1 ,, Yn
i.i.d.
( X Y ) ( a1 a2 ) mn T ~ t m n 2 , Sw mn