哈尔滨理工大学高数竞赛题

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哈尔滨理工大学

2002年高等数学试题

姓名： 学号： 专业：

一、填空（每小题4分，共计32分）

1、已知)(x f 在),(∞+-∞内可导，且2

e )(lim ='∞

→x f x ，

(

)[])1()(lim lim --=-+∞

→∞

→x f x f a

x a x x x x ，则=a 。

2、设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞

→x

y

x lim

。 3、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，则圆锥面的方程 为 。

4、已知0))(e (3

2='++''y x y y

，则方程的通解为 。 5、已知级数

∑∞

=1

n n

u

的一般项n u 与前n 项的和n s 有如下关系：

n n n n u s u s -=222（2≥n ），且21=u

则级数

=∑∞

=1

n n

u

。

6、设∑∞

==12)(n n

n

x x f （10≤≤x ），则=-⋅+-+)1ln(ln )1()(x x x f x f 。

7、11269422222++-+++--+=

y x y x y x y x z 的最小值为 。

8、设Ω是由xy z = ，1=++z y x 与0=z 围成的区域，则

=⎰⎰⎰Ω

xdV 。

二、（7分）设函数)(x f 满足1)1(=f ，且对1≥x 时，有)

(1

)(22x f x x f +='，

证明： （1）)(lim x f x ∞

→存在，（2）4

π1)(lim +

≤∞

→x f x 。 三、（8分）设)(x f 在]1,0[上连续，且

⎰

=10

0d )(x x f ，⎰=10

0d )(x x xf ，……

，⎰

=-10

1

0d )(x x f x

n ，⎰=1

1d )(x x f x n ，证明：存在]1,0[∈ξ，使

)1(2)(+≥n f n ξ

四、（8分）证明：内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长为最大。

2

五、设),(y x f 有二阶连续偏导数，θθθπd )sin ,cos (20

⎰

=

r r f u ，且

θθθπd )sin ,cos (d d 20⎰∂∂=r r f r r u ，θθθπd )sin ,cos (d d 2022

22⎰∂∂=r r f r

r u r f f 11211=''+''， 求 r u r

u r d d d d 22+ 的值。

六、（8分）设)(x f 在),1[∞+上有连续的二阶导数，0)1(=f ，1)1(='f ，且

二元函数 )()(2

2

2

2

y x f y x z ++= 满足 02222=∂∂+∂∂y

z

x z ，求)(x f 在),1[∞+的最

大值。

七、（7分）计算曲面积分y x y x xy x z x z xz z y z y yz d d )(d d )(d d )(-+-+-⎰⎰∑

，

其中∑是曲面224y x Rx z --=

（1≥R ）在柱面1)2

3(2

2=+-y x 之内部分的上侧。

八、（7分）设区域D 为122≤+y x ，证明

π52d d )(sin π16561322≤+≤⎰⎰y x y x D

九、（8分）设2

11)(x x x f --=，)0(!1)

(n n f n a =，证明级数∑∞

=++02

1n n n n a a a 收敛，并求其和。

十、（8分）计算曲线积分y y x x xy y x y x L

d )]ln([d 2222⎰

+++++

其中L 是曲线1+=x y 从点)2,1(A 到点)1,0(C 的部分。

3 7、 判别级数的敛散性

（1）∑∞

=12

n n

n

； (2) ∑∞

=-12

43n n

n

n

8、 求解微分方程 x y x

y =+'1

四、 证明题(6分)

设)(x f 连续，积分区域D 是由直线x y

=，1=y 及y 轴围成 ，试证明

2

10d )(21d d )()(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰x x f y x y f x f D