高考立体几何问题的探究
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证 ，有利于克服空间想象力不足形成的障碍． ２１ ０ １年浙江高考数学 立体几何 （ 理科） 以源 于教 材而不拘 泥于教材 为教学提 供 了良好 的导 向 ，以解法 灵活为考 生提供 了
分 析一 ：利 用向量 的加 法 、数 量积的性质等 平 面向量基本
知识 解 决．
证 法一 ： 由 已知 Ａ０ＪＢ ，Ｏ ＿Ｂ Ｃ Ｐｌ Ｃ， ＿ ＿
证 法 二 ： 因为 Ｐ Ｏ上平 面 Ａ Ｃ，Ｐ Ｂ ＯＣ平 面 Ａ Ｄ， Ｐ 所 以平 面 ＡＰ Ｄ上平 面 Ａ Ｃ Ｂ ．
３ 基 教 论 ２１年 期 ０ 础 育 坛［ ２ 第４ ｏ
Ｙｏ Ｂ ： ．ｓ Ｐ ｃ／ Ａ ＿
＝， ｝
所 ｓ 争 Ａ× ×ｎ Ｐ ×ｘ×Ｘ ＝ 以 ＝ ×ＰＰ ｓ＿ Ｃ １ ５６—３ Ｃ ｉＡ ＝ ２ 一 ／ ／
Ｃ
证 法一 ：由 Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ，Ｄ是 Ｂ的中点 ，得 Ａ Ｄ上Ｂ ． Ｃ
又 Ｐ Ｌ 面 Ａ Ｃ，得 Ｐ Ｏ－平 Ｂ Ｏ上Ｂ ． Ｃ
又 Ｐ平 面 ＡＰ Ｃ， Ｂ
因为 Ｐ ＡＤ＝０，所 以 Ｂ ｊ平面 Ｐ ＯＧ Ｃ＿ ＡＤ，故 Ｂ Ｃ上Ｐ Ａ．
分 析 二 ：要 证 Ａ Ｌ Ｃ，也 可 以 考 虑 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 、 Ｐ＿Ｂ
Ｂ（ ，２ ） Ｃ 一 ，２ ） Ｐ Ｏ ４ ，０ ， （ ４ ，０ ， （ ，０ ） ，４ ，
：
（ 在线段 Ａ Ⅱ） Ｐ上是 否存在点 ， 使得二 面角 Ａ— — ＭＣ Ｂ为直二 面角？若存 在 ，求 出 Ａ 的长 ；若 Ｍ 不存在 ，请说 明理 由．
一
（ ，３ ） ０ ，４ ，
：（ ｓ ，０ ． － ，０ ）
图 １
由此可得 ・ ｇ＝ ， － Ｂ－ ０
所 以 Ｊ ＿ ，即 Ａ Ｌ Ｃ Ｐ＿Ｂ ．
、
解法探究
（ ） （Ｉ） 一 对 的探 究
（ ） （ 的探 究 二 对 Ⅱ）
探 究 一 ：综 合 法 （ 统 的 几何 方 法 ） 传 ．
探 究 一 ：综 合 法 （ 统 的 几 何 方 法 ） 传 ． 分 析 一 ： 解三 角形 ．把要 求 的 线段 放 在 三 角 形 中 ，通 过 代 数
用综 合法解 立体几 何题需要 较强 的空 间想 象力 ，首 先要作 出合 理的 图形 ，特别是 在解决 空间角度 、距离 问题时更需 要对 图形 中涉及到 的长度 、直线平 面位置关 系进行 分析 ，找 到解决
问 题 的 突 破 口．
分 析 一 ：要 证 Ａ Ｐ上Ｂ Ｃ，可 以 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 （ 线
童俸 侧
段 先 高 （ 江省浦 江 中学） 浙
空 间想象能 力是浙 江省高考 数学对学 生考查 的五大能力 要 求 之一 ，要求 能正 确地分 析 出图形 中基本 元素 及其 相互关 系 ， 能对 图形进行分解 、组合 ． 解决立体几何的方法主要是综合法和 向量法 ． 合法 主要 通过作 图、证 明 、计算三部 曲来解决 问题 ， 综 由于 向量所具 有 的数和形 双重 特性 ，新课 程 引入 了空 间向量 ，
Ｃ
平面 Ａ Ｃ，垂 足 ０落在线 段 Ａ Ｂ Ｄ上 ，已
知Ｂ Ｃ＝８ Ｏ＝４ ，Ｐ ，Ａ０＝３ ，Ｏ Ｄ＝２ ．
（Ｉ） 明 ：Ａ 证 Ｐ￣Ｂ ； Ｃ
Ｂ
为 Ｚ 的正 半轴 ，建立 空间直角 坐标 系 轴
０ ｘｚ －ｙ ，则 ｏ（ ，０ ） ｏ ，０ ，Ａ（ ，一 ，０ ， ０ ３ ）
科第２ ０题 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 Ｐ Ａ Ｃ －Ｂ 中 ，Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ，Ｄ 为 Ｂ Ｃ的 中 点 ，Ｐ Ｏ上
Ｐ
分 析 二 ： 通 过 建 立合 适 的 坐标 系将 几 何 问题 转 化 为 坐标 运
算．向量的坐标表示是将几何 问题代数化 ，用坐标 法解决问题 思 路清晰 ，操 作简单方便． 证法 二 ：以 ０为原点 ，以射线 Ｏ Ｐ
１ 、 ¨ ③ ０／ 『．
从 而 Ｐ ＝ Ｂ ｏ ／Ｂ Ａ ＝２ Ｍ Ｐ ｃｓ Ｐ ＿ ，所 以 Ａ ＝Ｐ —Ｐ ＝３ Ｍ Ａ Ｍ ．
综上所述 ，存在点 符合题 意 ，Ａ Ｍ：３ ． 分 析二 ：列 方程 组． 线段 ＡＭ放 在 两个不 同的三 角形 中， 把
鲤
平 面 Ｄｊ平 面 Ａ Ｃ ＿ Ｂ
平 面 ＡＰ Ｄｎ平 面 Ａ Ｃ＝ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ ＣＣ平 面 ＡＢ Ｃ
Ｂ 上平 面 ＡＢ Ｃ Ｃ 日 Ｃ上平 面 Ｐ ＝ 曰 ＡＤ ＝ Ｃ上 ＞
探 究 二 ： 向量 法 ．
其显著优 点是减弱 了对作 图的要求 和推理论证 ，转化 为计算论
运 算计算三 角形的边 长，几何证 明判断三 角形 的形状 来解三 角
形 求 解．
证 法 一 ：如 图２ ，在 平 面 日 内
作 Ｂ ＿Ｐ 于 Ｍ，连 Ｃ ＭＬＡ Ｍ．
Ｐ
面 垂 直 线 线 垂 直 ） 得 到 ．
由（Ｉ） 中知 Ａ Ｐ￣Ｂ Ｃ得 Ａ Ｉ Ｐ＿平面 ＿
ＢＭＣ ． Ａ
所以 ． ｄ ：（ － Ｂ＂
＋ ｇ） Ｂ － ｏ ．－ － ｄ： －
．
Baidu Nhomakorabea
＋
・
＝
多样的选择 ，以丰富的 内涵为研究提供了广阔的空间． 面笔者 ０． 即 ＡＰ上ＢＣ 下 ． 就该题的解法 、内涵作进一步的讨论 、评析与探 究． 题 目 （０ １ 浙 江省 高考 数 学理 ， ２１ 年
线 面 垂 直 的性 质 定理 （ 面垂 直 ｊ 线 面垂 直ｊ 线线 垂 直 ） 得 到 ． 面
所 以平 面 Ｂ ＭＣ＿平 ￣ Ａ Ｃ Ｌ ｉＰ．
。
在 Ｒ ＡＡ Ｂ 中 ，Ａ Ｄ ＋Ｂ ＝ １ ＡＢ＝、 ４ ｔ Ｄ Ｂ ＝Ａ Ｃ ４ 得 ／ １． 在 Ｒ △Ｐ Ｄ 中 ，Ｐ Ｏ ＋Ｏ ｔ Ｏ Ｄ ＝Ｐ Ｄ ， 在 Ｒ ＡＰ Ｂ 中 ，ｐ ２ Ｏ ＋Ｏ Ｂ ＝３ ，得 咫 ＝６ ｔ Ｄ Ｂ ＝Ｐ 。 Ｄ ＋Ｄ ６ 在 Ｒ ＡＰ Ａ 中 ，Ｐ ｔ Ｏ Ａ ＝Ａ０ ＋Ｏ ２ ５ ｐ ＝２ ，得 Ｐ ＝５ Ａ ．
分 析一 ：利 用向量 的加 法 、数 量积的性质等 平 面向量基本
知识 解 决．
证 法一 ： 由 已知 Ａ０ＪＢ ，Ｏ ＿Ｂ Ｃ Ｐｌ Ｃ， ＿ ＿
证 法 二 ： 因为 Ｐ Ｏ上平 面 Ａ Ｃ，Ｐ Ｂ ＯＣ平 面 Ａ Ｄ， Ｐ 所 以平 面 ＡＰ Ｄ上平 面 Ａ Ｃ Ｂ ．
３ 基 教 论 ２１年 期 ０ 础 育 坛［ ２ 第４ ｏ
Ｙｏ Ｂ ： ．ｓ Ｐ ｃ／ Ａ ＿
＝， ｝
所 ｓ 争 Ａ× ×ｎ Ｐ ×ｘ×Ｘ ＝ 以 ＝ ×ＰＰ ｓ＿ Ｃ １ ５６—３ Ｃ ｉＡ ＝ ２ 一 ／ ／
Ｃ
证 法一 ：由 Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ，Ｄ是 Ｂ的中点 ，得 Ａ Ｄ上Ｂ ． Ｃ
又 Ｐ Ｌ 面 Ａ Ｃ，得 Ｐ Ｏ－平 Ｂ Ｏ上Ｂ ． Ｃ
又 Ｐ平 面 ＡＰ Ｃ， Ｂ
因为 Ｐ ＡＤ＝０，所 以 Ｂ ｊ平面 Ｐ ＯＧ Ｃ＿ ＡＤ，故 Ｂ Ｃ上Ｐ Ａ．
分 析 二 ：要 证 Ａ Ｌ Ｃ，也 可 以 考 虑 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 、 Ｐ＿Ｂ
Ｂ（ ，２ ） Ｃ 一 ，２ ） Ｐ Ｏ ４ ，０ ， （ ４ ，０ ， （ ，０ ） ，４ ，
：
（ 在线段 Ａ Ⅱ） Ｐ上是 否存在点 ， 使得二 面角 Ａ— — ＭＣ Ｂ为直二 面角？若存 在 ，求 出 Ａ 的长 ；若 Ｍ 不存在 ，请说 明理 由．
一
（ ，３ ） ０ ，４ ，
：（ ｓ ，０ ． － ，０ ）
图 １
由此可得 ・ ｇ＝ ， － Ｂ－ ０
所 以 Ｊ ＿ ，即 Ａ Ｌ Ｃ Ｐ＿Ｂ ．
、
解法探究
（ ） （Ｉ） 一 对 的探 究
（ ） （ 的探 究 二 对 Ⅱ）
探 究 一 ：综 合 法 （ 统 的 几何 方 法 ） 传 ．
探 究 一 ：综 合 法 （ 统 的 几 何 方 法 ） 传 ． 分 析 一 ： 解三 角形 ．把要 求 的 线段 放 在 三 角 形 中 ，通 过 代 数
用综 合法解 立体几 何题需要 较强 的空 间想 象力 ，首 先要作 出合 理的 图形 ，特别是 在解决 空间角度 、距离 问题时更需 要对 图形 中涉及到 的长度 、直线平 面位置关 系进行 分析 ，找 到解决
问 题 的 突 破 口．
分 析 一 ：要 证 Ａ Ｐ上Ｂ Ｃ，可 以 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 （ 线
童俸 侧
段 先 高 （ 江省浦 江 中学） 浙
空 间想象能 力是浙 江省高考 数学对学 生考查 的五大能力 要 求 之一 ，要求 能正 确地分 析 出图形 中基本 元素 及其 相互关 系 ， 能对 图形进行分解 、组合 ． 解决立体几何的方法主要是综合法和 向量法 ． 合法 主要 通过作 图、证 明 、计算三部 曲来解决 问题 ， 综 由于 向量所具 有 的数和形 双重 特性 ，新课 程 引入 了空 间向量 ，
Ｃ
平面 Ａ Ｃ，垂 足 ０落在线 段 Ａ Ｂ Ｄ上 ，已
知Ｂ Ｃ＝８ Ｏ＝４ ，Ｐ ，Ａ０＝３ ，Ｏ Ｄ＝２ ．
（Ｉ） 明 ：Ａ 证 Ｐ￣Ｂ ； Ｃ
Ｂ
为 Ｚ 的正 半轴 ，建立 空间直角 坐标 系 轴
０ ｘｚ －ｙ ，则 ｏ（ ，０ ） ｏ ，０ ，Ａ（ ，一 ，０ ， ０ ３ ）
科第２ ０题 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 Ｐ Ａ Ｃ －Ｂ 中 ，Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ，Ｄ 为 Ｂ Ｃ的 中 点 ，Ｐ Ｏ上
Ｐ
分 析 二 ： 通 过 建 立合 适 的 坐标 系将 几 何 问题 转 化 为 坐标 运
算．向量的坐标表示是将几何 问题代数化 ，用坐标 法解决问题 思 路清晰 ，操 作简单方便． 证法 二 ：以 ０为原点 ，以射线 Ｏ Ｐ
１ 、 ¨ ③ ０／ 『．
从 而 Ｐ ＝ Ｂ ｏ ／Ｂ Ａ ＝２ Ｍ Ｐ ｃｓ Ｐ ＿ ，所 以 Ａ ＝Ｐ —Ｐ ＝３ Ｍ Ａ Ｍ ．
综上所述 ，存在点 符合题 意 ，Ａ Ｍ：３ ． 分 析二 ：列 方程 组． 线段 ＡＭ放 在 两个不 同的三 角形 中， 把
鲤
平 面 Ｄｊ平 面 Ａ Ｃ ＿ Ｂ
平 面 ＡＰ Ｄｎ平 面 Ａ Ｃ＝ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ ＣＣ平 面 ＡＢ Ｃ
Ｂ 上平 面 ＡＢ Ｃ Ｃ 日 Ｃ上平 面 Ｐ ＝ 曰 ＡＤ ＝ Ｃ上 ＞
探 究 二 ： 向量 法 ．
其显著优 点是减弱 了对作 图的要求 和推理论证 ，转化 为计算论
运 算计算三 角形的边 长，几何证 明判断三 角形 的形状 来解三 角
形 求 解．
证 法 一 ：如 图２ ，在 平 面 日 内
作 Ｂ ＿Ｐ 于 Ｍ，连 Ｃ ＭＬＡ Ｍ．
Ｐ
面 垂 直 线 线 垂 直 ） 得 到 ．
由（Ｉ） 中知 Ａ Ｐ￣Ｂ Ｃ得 Ａ Ｉ Ｐ＿平面 ＿
ＢＭＣ ． Ａ
所以 ． ｄ ：（ － Ｂ＂
＋ ｇ） Ｂ － ｏ ．－ － ｄ： －
．
Baidu Nhomakorabea
＋
・
＝
多样的选择 ，以丰富的 内涵为研究提供了广阔的空间． 面笔者 ０． 即 ＡＰ上ＢＣ 下 ． 就该题的解法 、内涵作进一步的讨论 、评析与探 究． 题 目 （０ １ 浙 江省 高考 数 学理 ， ２１ 年
线 面 垂 直 的性 质 定理 （ 面垂 直 ｊ 线 面垂 直ｊ 线线 垂 直 ） 得 到 ． 面
所 以平 面 Ｂ ＭＣ＿平 ￣ Ａ Ｃ Ｌ ｉＰ．
。
在 Ｒ ＡＡ Ｂ 中 ，Ａ Ｄ ＋Ｂ ＝ １ ＡＢ＝、 ４ ｔ Ｄ Ｂ ＝Ａ Ｃ ４ 得 ／ １． 在 Ｒ △Ｐ Ｄ 中 ，Ｐ Ｏ ＋Ｏ ｔ Ｏ Ｄ ＝Ｐ Ｄ ， 在 Ｒ ＡＰ Ｂ 中 ，ｐ ２ Ｏ ＋Ｏ Ｂ ＝３ ，得 咫 ＝６ ｔ Ｄ Ｂ ＝Ｐ 。 Ｄ ＋Ｄ ６ 在 Ｒ ＡＰ Ａ 中 ，Ｐ ｔ Ｏ Ａ ＝Ａ０ ＋Ｏ ２ ５ ｐ ＝２ ，得 Ｐ ＝５ Ａ ．