数论高难度练习题-答案版

数论余数部分练习题

【1】1013除以一个两位数得到的余数为12，这个两位数有 种可能的取值．

【分析】根据题意可知，这个两位数是1013121001-=的约数，而且大于12；

由于100171113=⨯⨯，两位数约数有11、13、77、91，其中11不满足，所以这个两位数有3种可能的取值．

【2】（2009年第七届走美六年级初赛）1234567891011121314……20082009除以9，商的个位数字是 。

【分析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。 由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除。

由于200992232÷=，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.

那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，

即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.

【3】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是 ．

【分析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为，所以第2008个数除以6余1．

【3】(2008年101中学考题)2008222008+除以7的余数是 ．

【分析】328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922

(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．

200866691÷=

【4】(第六届走美决赛六年级试题)M ,N 为非零自然数，且20072008M N +被7整

除．M N +的最小值为

【分析】 20075(mod7)≡

2220075(mod7)4(mod7)≡≡

3320075(mod7)45(mod7)6(mod7)≡≡⨯≡

4420075(mod7)65(mod7)2(mod7)≡≡⨯≡

5520075(mod7)25(mod7)3(mod7)≡≡⨯≡

6620075(mod7)35(mod7)1(mod7)≡≡⨯≡

7720075(mod7)15(mod7)5(mod7)≡≡⨯≡

因此2008N 除以7的余数为5，4，6，2，3，1，六个一循环

同理，1两个一循环，因此20072008M N +被7整除，2007M 除以7的余数与

2008N 除以7的余数的和为7，又要求M N +最小，M N +的最小值为

325+=

【5】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是

25．这3个余数中最大的一个是多少？

【分析】由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以639013025258++-=能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为()3213⨯-=，

()3316⨯-=，()36115⨯-=，所以均不能满足条件.

当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满

足．那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数

的和为25，满足，其中最大的是20．

【6】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？

【分析】设这个数为M ，则1

1603M A r ÷= 2

2939M A r ÷= 33393M A r ÷=

122r r =,232r r =,要消去余数1r ,2r ,3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数

相减．

这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．

这样我们可以得到下面的式子：

11603M A r ÷=

()22939222M A r ⨯÷=

()33393424M A r ⨯÷=

这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．

9392

603⨯-=，3934603969⨯-=， ()1275,96951317==

⨯． 经检验A 等于17．

【7】有一类四位数，它们恰好是自己的各位数字之和的83倍，那么这样的四位数有 个．

【分析】因为原四位数恰好是自己的数字和的83倍，而一个数除以9的余数与它的数字和除以9的余数相等，那么这个数与它的数字和的差就是9的倍数，所以本题中原四位数减去它的数字和后(即数字和的82倍)是9的倍数；而()82,91=，所以数字和是9的倍数，原数是839747⨯=的倍数，

又因为是原数是四位数，各位数字之和最多为36，所以原数至多是83的36

倍，也就是至多是747的4倍．

依次检验：74721494⨯=符合，而74732241⨯=和74742988⨯=均不符合．

所以满足条件的四位数只有1个．

【8】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527⨯+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[]3,5,11165=，所以这个数最小是1657172+=． 法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．