数论高难度练习题-答案版

数论余数部分练习题
【1】1013除以一个两位数得到的余数为12，这个两位数有 种可能的取值．
【分析】根据题意可知，这个两位数是1013121001-=的约数，而且大于12；
由于100171113=⨯⨯，两位数约数有11、13、77、91，其中11不满足，所以这个两位数有3种可能的取值．
【2】（2009年第七届走美六年级初赛）1234567891011121314……20082009除以9，商的个位数字是 。

【分析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。

由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除。

由于200992232÷=，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.
那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，
即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.
【3】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是 ．
【分析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为，所以第2008个数除以6余1．
【3】(2008年101中学考题)2008222008+除以7的余数是 ．
【分析】328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922
(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．
200866691÷=
【4】(第六届走美决赛六年级试题)M ,N 为非零自然数，且20072008M N +被7整
除．M N +的最小值为
【分析】 20075(mod7)≡
2220075(mod7)4(mod7)≡≡
3320075(mod7)45(mod7)6(mod7)≡≡⨯≡
4420075(mod7)65(mod7)2(mod7)≡≡⨯≡
5520075(mod7)25(mod7)3(mod7)≡≡⨯≡
6620075(mod7)35(mod7)1(mod7)≡≡⨯≡
7720075(mod7)15(mod7)5(mod7)≡≡⨯≡
因此2008N 除以7的余数为5，4，6，2，3，1，六个一循环
同理，1两个一循环，因此20072008M N +被7整除，2007M 除以7的余数与
2008N 除以7的余数的和为7，又要求M N +最小，M N +的最小值为
325+=
【5】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是
25．这3个余数中最大的一个是多少？
【分析】由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以639013025258++-=能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为()3213⨯-=，
()3316⨯-=，()36115⨯-=，所以均不能满足条件.
当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满
足．那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数
的和为25，满足，其中最大的是20．
【6】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？
【分析】设这个数为M ，则1
1603M A r ÷= 2
2939M A r ÷= 33393M A r ÷=
122r r =,232r r =,要消去余数1r ,2r ,3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数
相减．
这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．
这样我们可以得到下面的式子：
11603M A r ÷=
()22939222M A r ⨯÷=
()33393424M A r ⨯÷=
这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．
9392
603⨯-=，3934603969⨯-=， ()1275,96951317==
⨯． 经检验A 等于17．
【7】有一类四位数，它们恰好是自己的各位数字之和的83倍，那么这样的四位数有 个．
【分析】因为原四位数恰好是自己的数字和的83倍，而一个数除以9的余数与它的数字和除以9的余数相等，那么这个数与它的数字和的差就是9的倍数，所以本题中原四位数减去它的数字和后(即数字和的82倍)是9的倍数；而()82,91=，所以数字和是9的倍数，原数是839747⨯=的倍数，
又因为是原数是四位数，各位数字之和最多为36，所以原数至多是83的36
倍，也就是至多是747的4倍．
依次检验：74721494⨯=符合，而74732241⨯=和74742988⨯=均不符合．
所以满足条件的四位数只有1个．
【8】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527⨯+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[]3,5,11165=，所以这个数最小是1657172+=． 法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．
【9】一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？
【分析】 注意到72835-=-=，也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的
倍数．
这个数又小于200，因此这个数只可能是565-，5625⨯-，5635⨯-，
经检验发现只有5635163⨯-=被9除余1符合要求，因此该数为163．
【10】有连续的三个自然数a 、1a +、2a +，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
【分析】仔细观察，可知由于a 、1a +、2a +恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a +、18a ++、27a ++也分别是9、8、7的倍数，即9a +是9、8、7的公倍数，那么9a +的最小值是987504⨯⨯=，即a 至少是5049495-=．
【11】一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？
【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于2104719871⨯+=不超过10000，而21048110080⨯+=大于10000．所以在10000以内被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是201471⨯+，这样满足条件的自然数共有47个．
说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．
【12】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．
【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n ，则其余两个自然数分别为1n +，2n +．
依题意可知：15|n ，()17|1n +，()19|2n +，根据整除的性质对这三个算式进
行变换：
()()()()()()()()15|15|215|21517|117|2217|215[15,17,19]|21519|219|2419|215n n n n n n n n n n →→-⎫⎪+→+→-⇒-⎬⎪+→+→-⎭
从上面可以发现215n -应为15、17、19的公倍数．
由于[15,17,19]4845=，所以()215484521n k -=-(因为215n -是奇数)，可得
48452415n k =-．
当1k =时2430n =，12431n +=，22432n +=，所以其中的一组自然数为
2430、2431、2432．
【13】（第13届日本算术奥林匹克预赛试题高小组）有四个连续的都大于1的整数A 、B 、
C 、
D （A ＜B ＜C ＜D ）。

这四个整数按照顺序分别是7、9、11、13的倍数，求符合以上条件的A 、B 、C 、D 组合的最小的A 。

【分析】令四个数分别是a ，a +1,a +2,a +3，则他们分别是7、9、11、13的倍数，则相当于a 除以7余0，a 除以9余8；a 除以11余9；a 除以13余10。

则2a 用9除余7；用11除余7；用13除余7。

且2a 是显然还是7的倍数，也可以认为是用7除余7。

则(2a -7)是7、9、11、13的倍数。

7×9×11×13=9009。

所以2a =9016.a =4508。

所以符合条件的a 的最小值为4508。

【14】试求105253168⨯的末两位数．
【分析】分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．
首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4
的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的
余数也是0．
再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又
310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余
18，则只需看51832432418=⨯⨯除以25的余数，可知余数为18；又
2418432⨯=除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．
两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．
【15】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．
【分析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．
设这个数分解质因数之后为235a b c ⨯⨯，则根据题意可知，
a 是3和5的倍数，且除以2余1；
b 是2和5的倍数，且除以3余2；
c 是2和3的倍数，且除以5余4．
可以求得a 、b 、c 的最小值分别为15、20、24，
所以这样的自然数最小为152024235⨯⨯．
【16】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
【分析】根据“和的余数等于余数的和”，将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、
2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所
以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期，所以第2008项被3除所得的
余数为0.
【17】（2008年第六届走美五年级初赛第8题）20086a b ÷=,,a b 均为自然数．a 有____________种不同的取值．
【分析】由20086a b ÷=可知，ab +6=2008，ab =2002。

又因为
2002=2×7×11×13，而且a >6，所以a 的取值有：3+2344C C ++1=14（种
【18】（2009年第14届华杯赛试题）在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.
【分析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a （a ﹤57），则这个数为57×a +a =58a 。

所以58a ﹥2009，得到a ﹥2009÷58=373458
，由于a 为整数，所以a 至少为35.又由于a ﹤57，所以a 最大为56，则a 可以为35，36，37，…，56.由于每一个a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。

【19】（2009年第七届走美初赛六年级第8题）有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有
_________个是5的倍数。

【分析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014÷=，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
【20】（2010年第8届希望杯5年级1试第4题，6分）有三个自然数a ，b ，c ，已知b 除以a ，得商3余3；c 除以a ，得商9余11。

则c 除以b ，得到的余数是 。

【分析】
33
911
(99)232b a c a c a b =+=+=++=+
所以应该余2.
【21】（1）1319919119911991191991
1991÷ 个的余数是 ；
（2）()72200820082÷+的余数是 ； （3）2008200720082006+计算结果的个数数字是_______；
【分析】（1）因为911991199119能被13整除，那么我们观察一下
1991
19911991911991199119个中
有几个911991199119即可，所以266331991 =÷。

所以1319919119911991191991
1991÷ 个的余数就和1319911991÷的余数相同，经计算，
余数为8。

（2）首先，720082÷的余数是1；其次我们观察722008÷的余数：
72÷余2；722÷余4；723÷余1，所以我们看看20082中有多少个32，
166932008 =÷，所以722008÷的余数与72÷余数相同，那么722008÷的余 数是2，所以()
72200820082÷+的余数是3。

（3）我们先观察20082008的个位数字：
注意到，12008的个位数字是8；22008的个位数字是4；32008的个位数字是2； 42008的个位数字是6；52008的个位数字是8；
我们只需要观察20082008中有多少个42008就可以了，50242008=÷余0。

所以20082008的个位数字是6。

而20072006的个位数字与12006是一样的，是6。

那么，2008200720082006+的个位数字就是66+的个位数字，就是2。

【22】(2008年101中学考题)2008222008+除以7的余数是 ．
【分析】328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．
【23】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D = ．
【分析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以
20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则
20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，
所以()334200963345652222⨯+==⨯除以9的余数为52除以9的余数，即为5．
另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036
位，那么它的各位数字之和不超过9803672324⨯=，即72324A ≤；那么A 的
各位数字之和9545B <⨯=，B 的各位数字之和9218C <⨯=，C 小于18且除
以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．
【24】（1984年第1届迎春杯试题）一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？
【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于
2104719871⨯+=不超过10000，而21048110080⨯+=大于10000．所以在10000以内被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是201471⨯+，这样满足条件的自然数共有47个．
说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．
【25】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．
【分析】法一：
将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：
3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，
所以21051050⨯=被11除余5，由此可知77069316510502678+++=是符合
条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小
于它们的最小公倍数．
由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以267811552368-⨯=是符合条
件的最小值．
法二：
对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、
5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到
702213154263⨯+⨯+⨯=是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是
263105253-⨯=；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可
知96327+⨯=除以11的余数为5，所以531053368+⨯=是满足条件的最小数．
也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，
也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为
(3571)253
⨯⨯+÷=，后面的步骤与上面的解法相同．
【26】一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最
小数．
【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，根据上面例题可知符合条件的最小偶数是368，所以只要将368加上
35711
⨯⨯⨯就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368357111523
+⨯⨯⨯=．
【拓展】有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数。

这三个数中最小的一个是多少？
【分析】三数分别是10，3，4的倍数，最大数
102
3152
40
÷
⎧
⎪
÷⇒
⎨
⎪
÷
⎩
所以最小的数是50
【27】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．
【分析】由于这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而[]
7,8,9504
=，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被7，8，9
除的三个商数的和是570111573
+++=，
而504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191
⨯+⨯+⨯=，由于5731913
÷=，所以这个数加上6等于504的3倍，则这个数是504361506
⨯-=．【28】有连续的三个自然数a、1
a+、2
a+，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求
这三个自然数中最小的数至少是多少？
【分析】法一：
由1
a+是8的倍数，得到a被8除余7，由2
a+是7的倍数，得到a被7除余5，现在相当于一个数a除以9余0，除以8余7，除以7余5.运用中国剩余
定理求a(用逐步满足的方法也可以)：
7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的
最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理， 2800441728854527⨯+⨯+⨯=符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知()45277898495-⨯⨯⨯=是满足各个余数条件
的最小值，所以a 至少是495．
法二：
仔细观察，可知由于a 、1a +、2a +恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a +、18a ++、27a ++也分别是9、8、7的倍数，即9a +是9、8、7的公倍数，那么9a +的最小值是987504⨯⨯=，即a 至少是5049495-=．
【29】对任意的自然数，证明能被整除．
【分析】，与互质，因为2903被7除余5，803被7除余5，464被7除余2，261被7除余2，所以，被7除的余数与被7除的余数相等，都为0，故能被整除．
又因为2903被271除余193，803被271除余261，464被271除余193，
所以
被271除的余数等于被
271除的余数，故 能被整除．
因为与互质，所以能被整除．
n 2903803464261n n n n A =--+189718977271=⨯72712903803464261n n n n A =--+5522n n n n --+A 72903803464261n n n n A =--+193261193261n n n n --+A 2717271A 1897
【30】（2009年秋季学而思杯六年级试题）三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三位数中最小的数最大是 。

【分析】设中间数是a ，三个连续自然数的和是中间数的3倍即3a ，由13|3a 得13|a ，所以中间数能被13整除，而其中最大的数被9除余4，说明中间数被9除余3，从1000往下试能被13整除的数为988，975，…，975符合两个条件。

所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.
【31】（第13届迎春杯决赛试题）一个自然数除以19余9，除以23余7．那么这个自然数最小是 ．
【分析】这是著名的中国剩余问题，即一元一次同余式组的最小正整数解．
此题直接使用枚举法较为困难，我们可通过逐级满足法来实现之。

首先找到所有符合除以23余7的数可表示为237a +（从数大的开始考虑可以在后面使运算更为简单）。

则有：()237199a +÷，所以有：()23192a ÷，即()4192a ÷。

所以有： 10a =，则这个自然数最小是237。

【32】学而思超常班来了四名新同学，分别是哈拉雷、维尼熊、Kitty 猫、孙悟空。

有一天老师在黑板上写了一个两位数让四位同学猜，他们每个人都说了两句话： 哈拉雷说：“这个数除以余1；这个数除以余2。

”
维尼熊说：“这个数除以4余3；这个数除以5余4。

”
Kitty 猫说：“这个数除以6余5；这个数除以7余6。

”
孙悟空说：“这个数除以8余7；这个数除以9余8。

”
老师说每位同学都只说对了一半，请问这个两位数是多少？
【分析】我们观察到，如果这句话全对，那么我们设这个数为，则能被
同时整除。

但是我们知道，这是不可能的。

我们用假设法：
假设能被整除，则不能被整除；
238x 1+x 9,8,7,6,5,4,3,21+x 91+x 8
则就能被整除，则就不能被整除；
而且也不能被整除，则就能被整除；
这样就不能被整除，则就能被整除。

这样的话能被整除，最小为，这不是一个两位数，所以这是不
可能的。

那么我们知道不能被整除，则能被整除；
则不能被整除，能被整除；
则不能被整除，1+x 能被7整除；
则1+x 不能被5整除，1+x 能被4整除。

这样的话1+x 能被8,7,4,2整除，1+x 最小为56，所以55=x 。

【33】算式20072007200720071232006++++计算结果的个位数字是多少？
【分析】由于任意自然数除以10的余数均是4个一周期。

则20072007200720073331232006122006(mod10)+++
+≡+++ 方法一：223332220062007122006100320074⨯+++==⨯ 其个位数字为1。

方法二：由于31与311的个位相同，32与312的个位相同，其他类似，
而()33312105mod10+++≡（可只计算个位），这样
()33333333312200612345652001874561mod10++
+≡++++++⨯≡+++++≡
【34】有一些自然数n ，满足：2n n -是3的倍数，3n n -是5的倍数，5n n -是2的倍数。

请问：这样的n 中最小的是多少？
【分析】根据题意，容易知道
()()()
2mod 33mod 55mod 2n n n n n n ⎧≡⎪⎪≡⎨⎪≡⎪⎩
1+x 31+x 21+x 41+x 51+x 61+x 71+x 9,7,5,31+x 3151+x 91+x 81+x 31+x 21+x 6
根据()2mod3n n ≡可知，由于2n 除以3的余数为2、1、2、1、2、1两个一周期，n 除以3的余数为1、2、0、1、2、 0三个一周期，则满足条件的n 的取为：64k +或者65k +；
根据()3mod5n n ≡可知，由于3n 除以5的余数为3、4 、2、1四个一周期；n 除以5的余数为1、2、3、 4、0五个一周期，则合起来20一周期，满足条件的n 取值为：207p +或者2012p +或者2013p +或者2014p +
根据()5mod 2n n ≡可知，n 必须为奇数。

则n 应同时符合65k +以及207p +或者2013p +
当1p =时，27与33均不能表示成65k +的形式，不符合；
当2p =时，47675=⨯+
所以n 的最小值是47。

【35】算式13572007⨯⨯⨯⨯⨯计算结果的末两位数字是多少？
【分析】该数能被25整除且为奇数。

所以该数的末两位数字只能为25或者75。

由于()1357911131517191mod 4⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯≡
所以末两位数字为25。