一致连续性的判定定理及性质

一致连续性的判定定理及性质

作者：朱肖红 指导老师：张海

摘 要 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要

的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.

关键词 连续函数 极限 有界函数 一致连续 非一致连续

1引言

弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.

2一致连续性的概念

定义 2.1 设函数()x f 在区间I 上有定义.若,,,0,021I x x ∈∀>∃>∀δε只要,21δ<-x x 都有()()ε<-21x f x f ,称函数()x f 在I 上一致连续.

对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题：

（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系

比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的δ不仅和ε有关,而且还和点0x 有关,即对于不同的0x ,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x ,δ取决于0x 和ε ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于ε ,与点0x 的值无关.）

在区间I 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将1x 固定,令2x 变化,即知函数()x f 在1x 连续,又1x 是I 的任意一点,从而函数()x f 在I 连续,但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如()x

x f 1= 在区间 ()1,0 就是如此.

（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,

就绝对值来说,可以任意小,即任意的21,x x ,当δ<-21x x 时,就有()()ε<-21x f x f .

（3）要注意函数一致连续的否定叙述

一致连续的否定就是非一致连续,即设函数()x f 在区间I 上有定义,若 δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x 有()()021ε≥-x f x f ,则称)(x f 在I 上非一致连续.

总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.

3一致连续性的判定定理

判定函数一致连续性的几个充要条件

定理3.1 在 []b a ,上一致连续的充要条件是()x f 在[]b a , 上连续.

证明 ［必要性］由定义直接可得.

［充分性］采用反证法,假设()x f 在 []b a ,上非一致连续,

即,00>∃ε对0>∀η,在区间[]b a , 内至少存在两点1x 及2x , 虽然

()x f η<-21x x ,但()()021ε≥-x f x f . 现取() 3,2,11==n n

η ,那么在[]b a , 内存在两点()n x 1 及 ()n x 2 . 虽然 ()()n x x n n 121<-,但()()()()

021ε≥-n n x f x f . 应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列(){}n x 1

中存在一个收敛的子列()()∞→→k x x k n 01 ,这里 []b a x ,0∈,再由于()()n

x x n n 121<- , 所以 ()()k

k k n x x 121<-, 亦即()()∞→→-k x x k k n n 021 .因为()()∞→→k x x k n 01 ,所以()()∞→→k x x k n 02

, 并且()()()()021ε≥-k k n n x f x f 对一切 k 成立.另一方面,由于()x f 在 0x 连续,亦即

()()00lim x f x f x x =→.

由函数极限与数列极限的关系,有()()()()()()0

201lim ,lim x f x f x f x f k k n k n k ==∞→∞→.而 ()()()()()

0lim 21=-∞→k k n n k x f x f .

这同()()()()021ε≥-k k n n x f x f 对一切 k 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.

定理 3.2 函数 ()x f 在有限开区间()b a , 内一致连续的充要条件是()x f 在()b a , 内连续且极限()x f a x +→lim 和()x f b

x -→lim 存在. 证明 ［充分性］令

⎝

⎛=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x g ),0(),(),(),0()(

则)(x g 在[]b a ,上连续,从而)(x g 在[]b a ,上一致连续.

［必要性］ 因为()x f 在()b a , 内一致连续.∴()x f 在()b a , 内连续,并且∈>∃>∀21,,0,0x x δε()b a , ,当δ<-21x x 时, 有

()()ε<-21x f x f

于是当()δ+∈a a x x ,,21 时，有

()()ε<-21x f x f .

根据柯西准则,极限()x f a x +→lim 存在.同理可证()x f b

x -→lim 也存在. 定理3.3设函数()x f 在区间 I 上有定义, 在I 上一致连续的充要条件是对区间I 上

的任意两数列}{n x 与}{n y ,当0)(lim =-∞

→n n n y x 时, 有()()0)(lim =-∞

→n n n y f x f . 证明 ［必要性］因为()x f 在I 上一致连续,所以I y x ∈∀>∃>∀,,0,0δε, 当δ<-y x 时有

ε<-)()(y f x f .

任取I 上的两数列}{n x 与}{n y 并且满足

0)(lim =-∞

→n n n y x . 则对N ∃>,00δ ,当N n >时有

0δ<-n n y x .