圆锥曲线的标准方程与性质

7.2圆锥曲线的标准方程与性质

高考命题规律

1.每年必考考题,多数年份有2道小题,主要考查圆锥曲线方程、性质的应用.

2.选择题或填空题,5分,中档难度.

3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.

命题角度1圆锥曲线的定义及标准

方程

高考真题体验·对方向

1.(2017全国Ⅰ·5)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()

A.B.C.D.

c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A 的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.

2.(2016全国Ⅱ·5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()

A. B.1 C. D.2

F为抛物线y2=4x的焦点,所以F(1,0).

又因为曲线y=(k>0)与抛物线交于点P,PF⊥x轴,

如图所示,可知P(1,2),故=2,解得k=2,故选D.

3.(2017北京·10)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.

a=1,b=,m>0,c=,则离心率e=,解得m=2.

4.(2016山东·14)已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E 的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.

AB=3,则BC=2.

设AB,CD的中点分别为M,N,如图,

则在Rt△BMN中,MN=2,

故BN=.

由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.

新题演练提能·刷高分

1.(2018山东济南一模)已知椭圆C:=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()

A.=1

B.=1

C.=1

D.=1

椭圆长轴长为6,焦点恰好将长轴三等分,

∴2a=6,a=3,

∴6c=6,c=1,b2=a2-1=8,

∴椭圆方程为=1,故选B.

2.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若

|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()

A.2

B.4

C.8

D.16

,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为

C,D,

则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.

3.(2018海南二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)过点(),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是() A.-y2=1 B.=1

C.x2-=1

D.=1

C:=1(a>0,b>0)过点(),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等

边三角形,可得-

解得

∴双曲线C的标准方程是x2-=1.故选C.

4.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为()

A.x2-=1

B.x2-y2=1

C.x2-=1

D.x2-=1

M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.

在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2a cos 60°=a,|MN|=2a sin 60°=a,

即M(2a,a),代入双曲线方程得4-=1,即b2=a2.

∵点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,

∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1.

5.(2018山西太原一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则()

A.|AB|≥2|MN|

B.2|AB|≥3|MN|

C.|AB|≥3|MN|

D.|AB|≥|MN|

|AF|+|BF|=2|MN|,在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|cos

60°=|AF|2+|BF|2-|AF|·|BF|=(|AF|+|BF|)2-3|AF|·|BF|≥(|AF|+|BF|)2-3×

=|MN|2,

所以|AB|≥|MN|,故选D.

6.(2018河北衡水模拟)已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()

A.2

B.2

C. D.

l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最

,故选D.

小值为

-

7.(2018安徽合肥第一次质检)如图,椭圆=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为()

A.20

B.10

C.2

D.4

H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c, 即NF2⊥x轴,所以N c,,则H0,.

又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-,代入椭圆方程得=1,

∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c2,

∴c2=1,a2=b2+c2=5.

由椭圆的定义可知,△F2MN的周长为4a=4.

命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用

高考真题体验·对方向

1.(2018全国Ⅱ·6)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()

A.y=±x

B.y=±x

C.y=±x

D.y=±x

e=,∴+1=3.

∴=±.

∵双曲线交点在x轴上,∴渐近线方程为y=±x,∴渐近线方程为y=±x.

2.(2018全国Ⅲ·10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()

A.B.2 C.D.2

双曲线C的离心率为,∴e=,

即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到c的渐近线距离d==2.

3.(2017天津·5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边

长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为() A.=1 B.=1

C.-y2=1

D.x2-=1

双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,

∴°解得

所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.

4.(2017全国Ⅰ·12)设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()

A.(0,1]∪[9,+∞)

B.(0,]∪[9,+∞)

C.(0,1]∪[4,+∞)

D.(0,]∪[4,+∞)

,可知当点M为短轴的端点时,∠AMB最大.当03时,椭圆C 的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan 60°=,即,解得

m≥9,综上m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.

5.(2017全国Ⅱ·12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()

A.B.2C.2D.3

F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x 联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.

因为M在x轴的上方,所以M(3,2).

因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).

=2.

因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为

-

6.(2016天津·4)已知双曲线=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()

A.-y2=1

B.x2-=1

C.=1

D.=1

双曲线=1(a>0,b>0)的焦距为2,

∴c=.

∵该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,

∴渐近线方程为y=x.∴,即a=2b.

∴a2=4b2.∴c2-b2=4b2.∴c2=5b2.

∴5=5b2.∴b2=1.∴a2=c2-b2=5-1=4.

故所求双曲线的方程为-y2=1.

7.(2017全国Ⅲ·14)双曲线=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.

y=±x.由题意得,解得a=5.

新题演练提能·刷高分

1.(2018河南豫南豫北第二次联考)若F(c,0)是椭圆=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()

A.c,±

B.-c,±

C.(0,±b)

D.不存在

M=a+c,m=a-c,

所以=a,椭圆上与F点的距离等于a的点为短轴的两个端点,故选C.

2.(2018湖南长沙模拟)椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()

A.=1

B.+y2=1

C.=1

D.=1

b=c=,a=2,

所以椭圆方程为=1,故选C.

3.(2018湖南长郡中学模拟)已知以原点为中心,实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=x,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为()

A.=1

B.=1

C.=1

D.=1

双曲线的一条渐近线方程是y=x,

∴.∵=6,∴c=10.

∵c2=a2+b2,∴a2=64,b2=36,

∴双曲线方程为=1.

4.(2018河南中原名校质量考评)已知点P(x1,y1)是椭圆=1上的一点,F1,F2是焦点,若∠F1PF2取最大时,则△PF1F2的面积是()

A. B.12

C.16(2+)

D.16(2-)

椭圆方程为=1,

∴a=5,b=4,c=-=3,

因此椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,则此时△PF1F2的面积S=2××3×4=12,故选B.

5.(2018湖北天门、仙桃、潜江期末联考)如图F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B 分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的虚轴长为.

C2的半实轴长为a,半虚轴长为b,

则|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=2×2=4,

∵|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2=(2-)2=12,∴=12,∴a2=2,b2=c2-a2=3-2=1.

∴2b=2,即C2的虚轴长为2.

命题角度3求椭圆、双曲线的离心率

高考真题体验·对方向

1.(2018全国Ⅰ·4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()

A.B.C.D.

C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.

2.(2018全国Ⅱ·11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()

A.1-

B.2-

C.-

D.-1

不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.

∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,

∴c+c=2a,即(+1)c=2a.

-1.

∴e=-

-

3.(2017全国Ⅱ·5)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()

A.(,+∞)

B.(,2)

C.(1,)

D.(1,2)

e2==1+.

因为a>1,所以1<1+<2.所以1

4.(2017全国Ⅲ·11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为() A. B. C. D.

A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.

因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d==a,

整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),

所以,从而e=.故选A.

5.(2016全国Ⅰ·5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()

A. B. C. D.

(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=.

6.(2016全国Ⅲ·12)已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、

右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM 经过OE的中点,则C的离心率为()

A. B. C. D.

,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,

不妨令P-,

设l:x=my-a,∴M--,E.

∴直线BM:y=--(x-a).

又直线BM经过OE的中点,

∴-,解得a=3c.∴e=,故选A.

新题演练提能·刷高分

1.(2018河北唐山二模)椭圆C:=1(a>b>0)右焦点为F,存在直线y=t与椭圆C交于A,B两点,使得△ABF为等腰直角三角形,则椭圆C的离心率e=()

A. B.-1 C.-1 D.

BF⊥AB时,△ABF为等腰直角三角形,所以|FB|=|AB|,∴=2c,

∴b2=2ac.∴a2-c2=2ac.

∴1-e2=2e.∴e2+2e-1=0.∴e=±-1.由于椭圆的离心率e∈(0,1),所以e=-1,故选B.

2.

(2018湖南、江西十四校第二次联考)如图所示,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为()

A. B.

C. D.

,椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形,且长轴与直径的夹角为30°.b=r,a==2r,

∴c=-r,e=.故选D.

3.(2018陕西西安八校第一次联考)已知双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的离心率为()

A. B. C. D.2

抛物线y2=8x的焦点坐标为F(2,0),p=4,

∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同,∴c=2.

∵设P(m,n),由抛物线定义知:|PF|=m+=m+2=5,∴m=3.∴P点的坐标为(3,2),

∴

解得

-

因为c=2,则双曲线的离心率为2,故选D.

4.(2018东北三省三校二模)F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于B,A两点,若=2,则双曲线的离心率为()

A. B. C. D.

,

y=x+c,与渐近线方程y=±x联立方程组解得y B=,y A=

-

∵=2,∴y B-y A=2(0-y B),y A=3y B.

∴

,∴b=2a.∴c=a,e=,选B.

-

5.(2018湖南长郡中学、江西南昌二中等十四校第二次联考)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其焦距为2c,点Q c,在椭圆的内部,点P是椭圆C上的动点,且|PF1|+|PQ|<4|F1F2|恒成立,则椭圆离心率的取值范围是.

答案

解析∵点Q c,在椭圆的内部,

∴.∴2b2>3ac,

即2c2+3ac-2a2<0,

∴2e2+3e-2<0.

解得0

∵|PQ|-|PF2|≤|QF2|,且|QF2|=,要使|PF1|+|PQ|<4|F1F2|恒成立,即2a-

|PF2|+|PQ|≤2a+<4×2c,2a<,∴e>.

则椭圆离心率的取值范围是.

命题角度4圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题

高考真题体验·对方向

1.(2014全国Ⅱ·10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=()

A. B.6 C.12 D.7

F为,则过F且倾斜角为30°的直线方程为y=-.联立方程

-

消去y得x2-x+=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.

又直线AB过焦点F,

∴|AB|=x1+x2+=12.故选C.

2.(2013全国Ⅰ·10)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()

A.=1

B.=1

C.=1

D.=1

A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,

①

∴

②

①-②,得

--=0,

即=--

,∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,

-

而-

-

=k AB=--

-

,∴.

又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.

∴椭圆E的方程为=1.故选D.

新题演练提能·刷高分

1.(2018河南南阳模拟)已知双曲线E:=1,直线l交双曲线于A,B两点,若A,B的中点坐标为,-

1,则l的方程为()

A.4x+y-1=0

B.2x+y=0

C.2x+8y+7=0

D.x+4y+3=0

A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,

∴--=0.∴-k l·=0.

∴-k l·-=0.∴k l=-,

∴l:y-(-1)=-x-,

整理得2x+8y+7=0.

2.(2018山东德州期末)以双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于M,N两点,且MN的中点为P(3,1),则双曲线的方程为()

A.-y2=1

B.y2-=1

C.-x2=1

D.x2-=1

由题意设该双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),M(x1,y1),N(x2,y2),

则=1且=1,则--,即--,则-

-

--

-

=1,即b2=3a2,则c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,

即该双曲线的方程为y2-=1.故选B.

3.(2018新疆乌鲁木齐第一次质量监测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛

物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为() A.3 B.2或4 C.4 D.2

A(x1,y1),B(x2,y2),两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),-

-

, ∵M为AB的中点,

∴y1+y2=4,-

--

-

,故有

-

,

解得p=2或4.

4.(2018广西钦州质检)已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在

抛物线y2=9x上,则实数m的值为()

A.4

B.-4

C.0或4

D.0或-4

MN关于y=x+m对称,所以MN垂直直线y=x+m,故MN的斜率为-1.

MN的中点P(x0,x0+m)在y=x+m上,且在MN上.设直线MN:y=-x+b,∵P在MN上,

∴x0+m=-x0+b,∴b=2x0+m.

由

-

-

消元可得2x2+2bx-b2-3=0,

Δ=4b2-4×2(-b2-3)=12b2+12>0恒成立,

∴x M+x N=-b,∴x0=-,∴b=.

∴MN的中点P-,

∵MN的中点在抛物线y2=9x上,

∴m2=-,∴m=0或m=-4.

5.(2018广东珠海3月质检)过点M(1,1)作斜率为-的直线l与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.

A(x1,y1),B(x2,y2),

由题意得

∴b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0.∴2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0.∴b2(x1-x2)=-a2(y1-y2).∴=-

-

-

.∴a2=3b2.

∴a2=3(a2-c2).∴2a2=3c2.∴e=.

6.(2018辽宁辽南协作校一模)已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|<|BF|,则|AF|=.

-4

,即AB⊥x轴.此时|AB|=8,不满足题意.

可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).

联立-

得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.

∵|AB|=16,∴x1+2+x2+2=16,即=12.∴k2=1,则x2-12x+4=0.∴x==6±4.∵

|AF|<|BF|,∴x1=6-4,x2=6+4,

∴|AF|=6-4+2=8-4.