数学中的推理和证明

例5.梅森猜想（Mersenne，又译为默森尼） （P197-198 王子兴）
例6.柯召—孙琦猜想 （P199
王子兴）
5）完全归纳推理和不完全归纳推理
（1）完全归纳推理：也称完全归纳法，是根
据某类事物中每一对象或每一子类的情况，
作出该类事物的一般性结论的推理.
完全归纳推理的形式为：
A1具有性质F
所以， n 0
.
例2.
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
A和B 是对顶角，
所以， A B .
总结：
大前提 ＆ 小前提
结论
根据前提中命题的不同形式又可以将三段论分为直言三段论
和假言三段论.
当三段论的两个命题都是直言命题时，这种三段论称为直言
三段论. 当三段论的前提中包含假言命题时，这种三段论称为假言三 段论.
波义耳—马略特定理:温度不变时，一定质量的气体的压强 跟它的体积成反比.该定律对理想气体才严格成立，但可 近似反映实际气体的性质.
例1. 凸多面体的欧拉（Euler）公式的发现道路. （P182-187 王子兴）
正多面体 正四面体 顶点数 面数 棱数
正六面体 正八面体
正十二面体 正二十面体 三棱锥 五棱柱
5）归纳推理在问题解决中的作用和意义
①用归纳推理发现问题的结论
两种形式：
由特殊事物直接猜测结论
根据规律先猜测一个结论的加强式（或一个递推关 系），然后凭借结论的加强式（或递推关系）去发 现结论
例7. （1993年全国高考题） （P200
王子兴）
②用归纳推理发现解决问题的途径
例8.
一个不等式的证明
合情推理一词来自于 Plausible 又译为似真推理.
reasoning ，
波利亚说：数学家的创造性工作成果是论证推理，
即证明；但是这个证明是通过合情推理、通过 猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映 出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情 推理占有适当的位置.
因此，波利亚曾多次呼吁——让我们教猜想吧！
完全归纳推理的每一个前 提如果都是真实的，那么其结
论一定正确，所以它是一种严 格的推理方法，在数学中可以
作为严格的推理方法.
（2）不完全归纳推理：也称不完全归纳法，
是根据某类事物中的一部分对象的情况， 作出关于该类事物的一般性结论的推理.
不完全归纳推理的一般形式：
A1具有性质F A2 具有性质F A3具有性质F An 具有性质F
规则2：若 p→q真，且p真，则q真.
即：（ p→q）∧ p →q. 规则3：若 p→q真，且p 真，则q 真. 即：（ p→q）∧ p → q.
规则4：若 p∨q真，且p 真，则q 真. 即： （ p∨q）∧ p → q. 同样有：（ p∨q）∧ q → p.
规则5：若 p→q真，且q→r 真，则 p →r 真.
即： （p→q）∧（q→r） （ p →r ）.
规则6：若集合A中的每一个元素x都具有属性F，则 集合A的任一非空子集B中的每一个元素y，也具有 属性F. 即： x AF ( x) ( A B ) y BF ( x)
这条规则是逻辑上的一条演绎推理规则，是 作为公理提出来的，它保证了由全称命题为真可 以推出相应的特称命题为真.
二.推理的种类
1.演绎推理
演绎推理，又称演绎法，又称为论证推理，它是思
维进程中从一般到特殊的推理.
演绎推理主要有三段论、关系推理、联言推理、选
言推理、假言推理和模态推理等推理模式.
一般
特殊
何为三段论？
由两个前提推出一个结论的演绎推理叫做三 段论.
例1. 任何一个自然数都大于或等于零，
n 是自然数.
3.类比推理
1) 何为类比推理
类比推理是根据两个不同的对象的某些方面 （如特征、属性、关系等）相同或相似， 推出它们在其他方面也可能相同或相似的 思维形式，它是思维进程中由特殊到特殊 的推理.
特殊
特殊
类比推理的一般性例子：
飞机的发明、潜水艇的设计思路、航海偏光天文罗 盘的制造（仿蜜蜂的太阳偏光定向功能）、雷达 的发明（仿蝙蝠等）——近代仿生学的成果 牛顿把天体运动与自由落体运动作类比发现了万有 引力定律 …………
设a、b、c都是正数，求证： a b c a b c a b c a b c ，
n n n p q r r p q q r p
其中n N，p、q、r都是非负整数， 且p q r n.
证明：先考虑特殊情形：
当 （１） n 3, p q r 1时不等式即是：a 3 b 3 c 3 3abc, 不等式成立.
黑人是黑头发
中国人是黑头发 中国人是黑人
都是由两个前提得到一个结论的推理.
如果舍弃了前提与结论中的命题的具体内容，仅保
留其逻辑结构，便得到抽象的推理形式.以上两例
的推理形式分别是：
所有的M是P 所有的S是M 所有的S是P
所有的P是M 所有的S是M 所有的S是P
由三段论知识可知，第一个推理形式是正
确的，第二个推理形式是错误的.
规律：X(P)=F+V-E=2 称任一凸多面体的欧拉示性数等于2.
验证：这些正多面体都满足这条规律吗？
问题：证明正多面体只有五种.
例2. 杨辉三角形、牛顿（Newton）二项式定
理的发现道路. （P187-189 王子兴）
3） 归纳推理失败的例子
例3. 费马（Fermat）素数（1664年）的猜想
k 1 __________ __________ __________ __
( Ak A)
n
A类事物具有性质F
例如：费马素数猜想就是一个不完全归推理的例子.
f ( 0) 2 f ( 2) 2 f ( 4) 2
24
20 21
1 3是素数， 1 17是素数，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学上的类比——从一个故事说起：
从前有一个国王，暴虐任性。一次，他对一位大臣说： “我吃的鸡蛋都是母鸡生的，现在想尝尝公鸡蛋的滋味，命令你三天
特殊
一般
完全归纳法 — —属于演绎推理（比如数学归纳法） 归纳法 — 不完全归纳法（实验归纳法、经验归纳法） —属于归纳推理
我们借助于归纳推理可以从大量的个别事例中发现数学 真理，引出新的数学命题.但此时的数学命题还只是一种猜想，
它往往是冒风险的、有争议的和暂时成立的。要使它成为真
正的普遍命题，还要借助于论证推理进行严格的证明.
（２） n 3, p 2，q 1，r 0时不等式即是：a 3 b 3 c 3 a 2 b b 2 c c 2 a. 当
下证不等式(2)成立. 受（）的启发，可以得到： 1 在a 3 b 3 c 3 3abc中，令a c有： 2a 3 b 3 3 3 3 3 2b3 c 3 2c3 a 3 2 2 a a b a b, 同理有： b c, c 2 a. 3 3 3 三式相加有：a 3 b 3 c 3 a 2b b 2 c c 2 a成立.
1是素数.
由于不完全归纳仅仅列举了归纳对象的一部分，因此前
提和结论之间未必有必然的联系.
其结论的真实性，还需要经过理论的证明和实践的检验.
虽然不完全归纳法不能作为严格的数学推理方法，但在 探索数学真理的过程中，它能帮助我们迅速发现事物 的特征、属性和规律，为我们提供研究方向，提供猜 想的基础和依据.同时，不完全归纳法在数学教学和解 题过程中也有着广泛的应用（先猜后证）.
（N 是不小于9的奇数） Vinogradov 1937 证明
偶数哥德巴赫猜想 N p1 p2 （N 是不小于6的偶数） 也即 （1+1）
N 3 p1 p2
偶 数 哥德巴 赫猜想 奇 数 哥德巴 赫猜想
目前最好的结果是陈景润1966年的（1+2）.
陈景润 1966证明 （1+2）
学习合情推理的意义——还数学的 本来面目，把数学知识的学术形态 的“冰冷的美丽”转化为数学知识
的教育形态的“火热的思考”.
数学中的合情推理主要有：归纳推
理、类比推理、直觉、顿悟等. 这里主要谈谈归纳推理与类比推理.
2. 归纳推理 1）定义 把某类事物中个别事物所具有的规律 作为该类事物的普遍规律，这种思维进程 中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称 归纳法.
直言命题是断定思维对象具有或不具有某 种性质的命题； 假言命题是有条件地断定事物的某种情况
存在的命题，在数学上假言命题一般用“如
果……，那么……”或者“当且仅当……， 则……”这两种形式来表达.
一个数学上的证明是论证推理，呈现
在我们面前的科学数学是一门以论证推理 为特征的演绎科学.
但是，这仅仅是科学数学的一个方面，科学 数学所呈现的东西已经是科学数学建造过 程的尾声，是数学家创造性工作结出的果 实，而在整理成这些定型的逻辑论证材料 之前，有着更为漫长的探索发现过程，这 就是科学数学的另一个侧面——数学发现 的方法之一：合情推理.
西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌
一、数学中的推理
1.推理的意义和结构
从一个或几个已知的命题得到一个 新命题的思维形式叫做推理. 其中，已知的命题叫做前提（或条 件），得到的新命题叫做结论.
在形式逻辑中，常把一个推理形式表示为：
前提 结论
或“前提→结论”
例如：
所有的矩形对角线相等
正方形是矩形 正方形对角线相等
一个正确的推理，必须是推理 的前提真实、推理的形式有效.
如：因为 负数大于0，-5是负数，
前提不真实
所以
因为
-5大于0.
整数是有理数，分数是有理数，
所以
整数是分数.
推理的形式错误
2.推理的规则
凡是正确的推理形式，就是推理规则.
规则1：若p∧q真，则p真；若p∧q真，则q真.
即：（ p∧q ）→p; （ p∧q ）→q.
x1具有性质F x2具有性质F x3具有性质F ( A x1 , x2 , x3 , , xn ) A类事物具有性质F xn具有性质F
或 者
A2 具有性质F A3具有性质F An 具有性质F ( A A1 A2 A3 An ) A类事物具有性质F
f (0) 2 1 3是素数，
20
P193-194
王子兴）
f (1) 2 1 5是素数，
21
2
f ( 2) 2 2 1 17是素数， f (3) 2 2 1 257 是素数，
3
f ( 4) 2 2 1 65537 是素数，
4
__________ __________ __________ __________ __________ __________ _________
猜想，对所有自然数n，f ( n) 2 1是素数.
2n
然而，善于计算的欧拉在1732 年发现 f (5) 2 1 4294967297 641 6700417
25
即f (5) 2 1不是素数.
25
4）归纳推理结论未定的例子
例4. 偶数哥德巴赫（Goldbach）猜想 奇数哥德巴赫猜想 N p1 p 2 p3
归纳推理的特点：
创造性较强而可靠性较弱.
归纳推理在数学创造活动 中发现真理的一般过程：
从具体 问题或 具体素 材出发 经验归纳 （归纳推理）
实验和观察
推广
形成普遍 命题 （猜想）
证明
(反驳)
2） 归纳推理成功的例子
物理学中的波义耳——马略特定理、化学中
的门捷列夫元素周期表、数学中勾股定理等等都
是运用归纳推理发现真理的典型例证.
f (1) 2 1 5是素数，
22
f (3) 2 1 257 是素数，
23
1 65537 是素数，
2n
__________ __________ __________ __________ __________ __________ _________
所以，对所有自然数n，f (n) 2
(3)一般的情形：由（），由于n N，p、q、r都 2 是非负整数，且p q r n. 根据类比有： pa n qbn rc n a pb q c r , n ra n pbn qcn a rb pc q , n qa n rb n pcn a qb r c p . n 三式相加有： a n b n c n a p b q c r a r b p c q a q b r c p 成立.